Statystyka opisowa
Autor: dr inż. Małgorzata Rabiej
Opis statystyczny
" Opis statystyczny to obliczenie pewnych
charakterystyk liczbowych (zwanych
parametrami) badanych cech.
" Parametry tak charakteryzują zbiorowość, że
porównywanie różnych zbiorowości
statystycznych można sprowadzić do
porównań tych parametrów.
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Opisowe charakterystyki
rozkładów.
Wszystkie miary opisu rozkładu cechy można
podzielić na:
" miary położenia,
" miary zróżnicowania,
" miary asymetrii,
" miary koncentracji.
Miary położenia
" Miary położenia służą do określenia tej
wartości zmiennej opisanej przez rozkład,
wokół której skupiają się wszystkie pozostałe
wartości zmiennej.
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Miary położenia
Średnia arytmetyczna określona jest wzorem:
n
x1 +� x2 +�...+� xn 1
x =� =�
��x
i
n n
i=�1
Średnia arytmetyczna ważona określona jest wzorem:
k
x1 �� n1 +� x2 �� n2 +� ...+� xk �� nk 1
x =� =�
��x �� ni
i
n n
i=�1
n =� n1 +� n2 +�...+� nk
Wartość średnia
Sprawdzono 20 stron maszynopisu znajdując na
nich następujące liczby błędów:
0 3 1 1 2 2 0 0 3 5 0 1 2 2 1 1 0 1 1 1
n
1
x =�
i
��x
n
i=�1
1
(0 +3+ 1+ 1+ 2+ 2+ 0+ 0+ 3+ 5+ 0+ 1+ 2+
x =� *
20
2+ 1+ 1+ 0+ 1+ 1+ 1)= 1,35
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Średnia arytmetyczna ważona
i
Liczba błędów xi ni x ni
k
1
0 5 5
x =�
i
��x ni
n
i=�1
1 8 8
2 4 8
3 2 6
1
4 0 0
27 = 1,35
x =� *
20
5 1 5
Razem 27
Średnia geometryczna
" Średnią geometryczną gśr liczb x1, x2, ... , xn
n
n
gśr =�
��x
i
i=�1
n
n
n
x =� x1 �� x2 �� x3 ��K��� xn =�
G
��xi
i=�1
Średnia harmoniczna
" Średnią harmoniczną hśr różnych od zera
liczb x1, x2, ... , xn, nazywamy odwrotność
średniej arytmetycznej odwrotności tych
liczb.
-�1
n
ć� ��
1 1
�� ��
hśr =�
��
��
n xi ��
i=�1
Ł� ł�
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Średnia harmoniczna
n
x =�
H
n
1
dla szeregu szczegółowego
��
xi
i=�1
k 1szt./min ; 1km/h
ni
��
i=�1
dla szeregu rozdzielczego
x =�
H
k
ni
��
xi
i=�1
1szt./min ; 1km/h
Moda, dominanta
" Dominantą, wartością modalną D0
próbki x1, x2, ... , xn o powtarzających się
wartościach nazywamy najczęściej
powtarzającą się wartość, o ile istnieje i
nie jest wartością pierwszą ani ostatnią.
Wartość modalna, dominanta
nm -� nm-�1 13-� 9
Do =� xi min +� hm =� 5 +� *1,5 =� 5,44
(nm -� nm-�1) +� (nm -� nm+�1) (13-� 9) +� (13-� 8)
Kwantyle.
" Kwantyle - wartości cechy badanej w
zbiorowości, które dzielą ją na określone
części pod względem liczby jednostek.
" Do najczęściej używanych kwantyli
należy
 mediana - kwartyl drugi
 kwartyle: pierwszy i trzeci.
Mediana.
Medianą lub wartością środkową me (Me lub
Q2, QMe) próbki x1, x2, ... , xn nazywamy
środkową liczbę w uporządkowanej
niemalejąco próbie, gdy n jest liczbą
nieparzystą, albo średnią arytmetyczną
dwóch środkowych liczb, gdy n jest liczbą
parzystą.
Wyznaczanie mediany
x gdy n jest nieparzyst
e
��
n+�1
2
��
Q2 =� Me =�
��1
(x +� x ) gdy n jest parzyste
n n
��
+�1
2 2
��2
Me=Q1 Me=Q2 Me=Q3
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Mediana
Kwartyl drugi Q2 (mediana Me, me) dzieli
zbiorowość na dwie równe części w taki sposób, że
50% jednostek danej zbiorowości ma wartości cech
niższe lub równe kwartylowi drugiemu i 50% cech ma
wartości wyższe lub równe temu kwartylowi.
50%
50%
xn
Q2
Mediana dla cechy ciągłej
k-�1
n
-�
��n
i
2
i=�1
QMe =� xMe +� hMe
nMe
" xMe dolne granica przedziału, w którym znajdują się
mediana
" hMe, - rozpiętość przedziału mediany.
Kwartyl pierwszy- dolny
Kwartyl pierwszy dzieli uporządkowaną niemalejącą
zbiorowość statystyczną na dwie części w taki sposób, że
25% zbiorowości ma wartości cechy mniejsze lub równe
kwartylowi pierwszemu, a 75% - równe lub większe od
tego kwartyla
75%
25%
xn
Q1
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Kwartyl dolny - pierwszy
" Aby wyznaczyć kwartyl pierwszy należy w
uporządkowanym zbiorze obserwacji znalez
ć
wartość x(n+1)/4. Jeśli uzyskany numer nie jest
liczbą całkowitą należy go zaokrąglić w górę.
Kwartyl trzeci - górny
Kwartyl trzeci dzieli uporządkowaną niemalejącą
zbiorowość statystyczną na dwie części w taki sposób, że
75% zbiorowości ma wartości cechy mniejsze lub równe
kwartylowi trzeciemu, a 25% - równe lub większe od
tego kwartyla
xn
75% 25%
Q3
Kwartyl trzeci - górny
" Aby wyznaczyć kwartyl trzeci należy znalez
ć wartość o
numerze x3*(n+1)/4 i jeśli nie jest liczbą całkowitą zaokrąglić
w dół.
Przykład.
Kwartyle obliczone w EXCEL-u
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.75
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.00
" X14/4 � x4 = 4
" X14*3/4 � x11= 11
Kwartyle dla cechy ciągłej
k -�1
n
-�
��n
i
kwartyl pierwszy
4
i=�1
Q1 =� xQ1 +� hQ1
nQ1
k -�1
3n
-�
��n
i
4
i=�1
kwartyl trzeci
Q3 =� xQ3 +� hQ3
nQ3
xQ 1,xQ 3  dolne granica przedziałów, w których znajdują się
,
kwartyle
hQ1 , hQ3 - rozpiętość przedziału kwartyla pierwszego i trzeciego
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Rozstęp kwartylowy
Rozstęp kwartylowy (odchylenie ćwiartkowe) określa
"długość" tej części przedziału zmienności cechy, w
której znajduje się 50% "środkowych" obserwacji.
Jest to różnica pomiędzy kwartylem trzecim i pierwszym
(Q3-Q1)
Kwantyle - przykład
Wartości zaobserwowane:
5, 6 , 6, 6, 4, 7, 5, 6, 4, 6, 8, 6, 7, 5, 6
Po uporządkowaniu
4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8
n = 15
Mediana = 6
Kwartyl pierwszy = x(n+1)/4 =5
Kwartyl trzeci = x 3*(n+1)/4 = 6
Kwartyle
Przykład: 11 danych.
Kraje OPEC Dzienne wydobycie
w ml. baryłek
Katar 0,63
Algieria 0,79
Q1 = x12/4=x3
Indonezja 1,28
Libia 1,34
Kuwejt 1,74
Q2=Me
Nigeria 2,02
ZEA 2,20
Irak 2,39
Wenezuela 2,97
Q3=x3*12/4 = x9
Iran 3,55
Arabia Saudyjska 7,82
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Wykres pudełkowy
Wykres ramka-wąsy
Pozycyjne miary położenia
Wykres ramka-w ąsy (Arkusz1 1v*11c)
9
Q3 -� Q1
Q =�
8
2
7
Q
VQ =�
6
Me
5
4
3
Mediana = 2,02
25%-75%
2
= (1,28, 2,97)
Zakres nieodstających
1
= (0,63, 3,55)
Odstające
Ekstremalne
0
Zmn1
Dzienne wydobycie
Miary rozproszenia
" Miary rozproszenia (zmienności,
zróżnicowania, dyspersji) służą do badania
stopnia zróżnicowania wartości zmiennej.
Miary rozproszenia
" rozstęp,
" wariancja,
" odchylenie standardowe,
" współczynnik zmienności.
Wariancja i odchylenie standardowe
" Wariancja jest średnią arytmetyczną kwadratów
odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od
wartości oczekiwanej.
" Pierwiastek z wariancji = odchylenie standardowe.
" Odchylenie standardowe mówi, jak szeroko
wartości badanej cechy są rozrzucone wokół jej
średniej. Im mniejsza wartość odchylenia tym
obserwacje są bardziej skupione wokół średniej.
Wariancja i odchylenie standardowe
Dla danych empirycznych, zapisanych w
postaci ciągu liczb
n
1
" wariancja
s2 =�
i
��(x -� x)2
n
i=�1
n
1
" odchylenie
s =�
i
��(x -� x)2
n
standardowe i=�1
n
1
x =�
i
��x
n
i=�1
gdzie
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Wariancja
Dla cechy dyskretnej zapisanej w postaci
szeregu rozdzielczego
k
1
s2 =�
i
��(x -� x)2 ni
n
i=�1
k
1
x =�
i
��x ni
n
i=�1
Wariancja
Dla cechy ciągłej zapisanej w postaci
szeregu rozdzielczego
k
o
o
1
s2 =�
x - Środek przedziału
i
��(x -� x)2 ni
n
i=�1
k
o
1
x =�
i
��x ni
n
i=�1
Współczynnik zmienności
Współczynnik zmienności określa jaki procent wartości
średniej stanowi odchylenie standardowe.
Jest miarą względną zróżnicowania rozkładu cechy.
s
V =� ��100%
x
Współczynnik zmienności jest stosowany najczęściej przy
porównywaniu zróżnicowania cechy w dwóch różnych
rozkładach.
Przykład. Należy porównać zróżnicowanie wagi
niemowląt i dorosłych.
Przykład.
" W firmie zarejestrowano liczbę wyrobów
wyprodukowanych w ciągu dnia przez 1 pracownika.
" Wyniki zapisano w tabeli
cd.
" Średnia wydajność pracy przypadająca na 1
pracownika jest średnią ważoną.
k
k
1 720
n =�
��n =� 60
x =� xini =� =� 12 i
��
i=�1
n 60
i1
cd.
" Aby obliczyć, o ile średnio, wszyscy pracownicy
różnią się od tej średniej, należy obliczyć
odchylenie standardowe:
k
1 66
s =�
��(x -� x)2 ni =� 60 �1.05
i
n
i=�1
Zadanie
Pantera śnieżna rozmnaża się w ZOO i rodzi od 1
do 5 kociąt. W pewnym ogrodzie zoologicznym
obserwowano następujące liczby kociąt w miocie
( n = 25):
1 4 2 3 2 1 2 1 5 3 2 2 4 2 3 2 1 2 1 2 3
3 1 1 2 .
Oblicz: medianę, dominantę, kwartyl 1, kwartyl 3,
wartość średnią, odchylenie standardowe.
Miary asymetrii
" Miary asymetrii (skośności) służą do
badania kierunku zróżnicowania wartości
zmiennej.
Miary asymetrii
" współczynnik asymetrii
" współczynnik skośności
" trzeci moment centralny
Moment zwykły
Moment zwykły rzędu 1  wartość średnia
Moment zwykły rzędu k
n
1
k
M =� xi kni
��
n
i=�1
Moment centralny
Moment centralny rzędu 1 - nie istnieje
Moment centralny rzędu 2 - wariancja
n
1
s2 =�
i
��(x -� x)2
n
i=�1
Moment centralny rzędu k
n
1
Mk =�
��(x -� x)k
i
n
i=�1
Trzeci moment centralny
n
1
'
M3 =�
j
��(x -� x)3
n -�1
j=�1
k
1
'
M3 =�
i
��(x -� x)3 ni
n -�1
i=�1
" ujemny - asymetria lewostronna
" dodatni - asymetria prawostronna
" zero dla rozkładu symetrycznego
Współczynnik asymetrii
'
A =� M3 / s3
Wartość bezwzględna tego współczynnika
jest mniejsza od 2.
Ujemna wartość oznacza asymetrię
lewostronną
Dodatnia  asymetrię prawostronną.
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Współczynnik skośności
" Obliczany wg wzoru
x -� d0
A1 =�
s
Miary koncentracji
" Służą do badania stopnia nierównomierności
rozkładu ogólnej sumy wartości zmiennej
pomiędzy poszczególne jednostki zbiorowości
lub do analizy stopnia skupienia
poszczególnych jednostek wokół średniej.
Koncentracja wartości cechy
" Ze zjawiskiem koncentracji pierwszego rodzaju
mamy do czynienia, gdy występuje nierównomierny
rozdział łącznego funduszu cechy (np. dochodu,
produkcji, zysku) pomiędzy poszczególne jednostki
zbiorowości.
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Miary koncentracji
" Dwa skrajne przypadki to brak koncentracji oraz
koncentracja całkowita.
" Brak koncentracji występuje wówczas, gdy na każdą
jednostkę zbiorowości przypada taka sama część
ogólnej sumy wartości np. każdy pracownik w
przedsiębiorstwie otrzymuje taką samą część
łącznego funduszu płac.
" W przypadku koncentracji zupełnej łączny fundusz
cechy przypada na daną jednostkę zbiorowości (np.
łączny areał ziemi w województwie należy do
jednego gospodarstwa rolnego).
Koncentracja wokół średniej
M'
Kurtoza, współczynnik skupienia
4
a4 =� -� 3
s4
gdzie M 4 moment centralny czwartego rzędu
n
1
M' =�
4 j
��(x -� x)4
n -�1
j=�1
Jeżeli kurtoza (miara smukłości rozkładu) jest
wyraz
nie różna od zera, wówczas rozkład jest albo
bardziej spłaszczony niż rozkład normalny, albo
bardziej wysmukły (kurtoza rozkładu normalnego
wynosi dokładnie 0).
Stopień koncentracji
" można ocenić przez porównanie częstości
występowania cechy jednostek w różnych
przedziałach z udziałami łącznej wartości cechy w
poszczególnych przedziałach.
Przykład.
" Badając staż pracy pracowników dwóch zakładów
wchodzących w skład tego samego przedsiębiorstwa
ustalono, że w I zakładzie najliczniej byli reprezentowani
pracownicy, których staż pracy wynosił 5,5 roku, połowa
pracowników osiągnęła staż mniejszy lub równy 6 lat.
Średni staż pracy wynosił 6 lat. Współczynnik zmienności
liczony na podstawie odchylenia standardowego wyniósł 30
%.
" Dla II zakładu zebrano informacje przedstawione w tabeli:
Przykład
Od - do ni
2  4 10
4  6 20
6  8 25
8  10 35
10 - 12 10
Ogółem 100
" Na podstawie powyższych danych dokonać analizy
porównawczej obu zakładów z punktu widzenia
stażu pracy.
" Zinterpretować otrzymane wyniki.
P
Zakład I Zakład II
x śr
6 lat 7,3 lat
m e
6 lat 7,6 lat
d 0
5,5 lat 8,57 lat
s
1,8 lat 2,3 lat
V
30% 31,5 %
A
=(xsr  d0 )/s =0,26 -0,552
Dr inż. Małgorzata Rabiej
Porównanie
xsr 1 < xśr 2
me1 < me2
d01 < d02
-
V1 < V2
|A1| < |A2|