RÓWNANIA MAXWELLA
Czy pole magnetyczne mo\
e stać
się z
ródłem pola elektrycznego?
Czy pole elektryczne mo\
e stać się
z
ródłem pola magnetycznego?
Doświadczenia
Doświadczenia
1
PRAWO FARADAY A
PRAWO FARADAY A
Zmienny w czasie strumień indukcji pola
magnetycznego ŚB indukuje siłę elektromotoryczną �
dŚB
� = -
dt
Im większa szybkość zmian strumienia pola magnetycznego
tym większa siła elektromotoryczna.
Znak  - pokazuje, \
e powstały efekt przeciwdziała zmianom,
które były jego przyczyną (reguła przekory, reguła Lenza).
REGUA
A LENZA
REGUA
A LENZA
Prąd indukowany płynie w
takim kierunku, \
e pole
magnetyczne wytworzone
przez ten prąd przeciwdziała
zmianie strumienia pola
magnetycznego, która ten
prąd indukuje
Bi związane z indukowanym prądem i
2
Przypomnienie:
Strumień indukcji pola magnetycznego jest
zdefiniowany jako całka po powierzchni S:
r r
ŚB = odA
+"B
S
a zatem istnieją trzy zasadnicze sposoby
uzyskania indukowanej siły elektromotorycznej:
" zmiana indukcji pola B,
" zmiana powierzchni S,
" zmiana kąta pomiędzy B i wektorem powierzchni (obrót
ramki w polu magnetycznym  prądnica)
Przypomnienie: siła elektromotoryczna jest pracą
przypadającą na jednostkowy ładunek wykonaną przez pole
elektryczne (pole magnetyczne nie wykonuje pracy)
r r
� = odl
+"E
C
Indukowana siła elektromotoryczna jest
związana z pracą indukowanego pola
elektrycznego a zatem
r
r r
E
dŚB
+"E o dl = - dt
C
r r r r
d
oraz
+"E o dl = - dt+"B o dA
C S
Taka postać prawa Faraday a stanowi kolejne z równań
Maxwella w postaci całkowej
3
Własności indukowanej siły
elektromotorycznej
" Indukowana SEM nie jest zlokalizowana, (pomiędzy
biegunami z
ródła napięcia), lecz jest rozło\
ona w całym
obwodzie.
" Mo\
na ją przedstawić jako całkę krzywoliniową po
zamkniętym konturze z indukowanego pola elektrycznego.
" Całka ta jest ró\
na od zera, więc indukowane pole
elektryczne nie jest zachowawcze.
" Pole to nie ma potencjału ani powierzchni ekwipotencjalnych.
" Je\
eli w obszarze indukowanego pola elektrycznego
umieścimy przewodnik i obwód zamkniemy, to
zaobserwujemy indukowany prąd elektryczny. W przeciwnym
przypadku mo\
na mówić tylko o sile elektromotorycznej.
" Dyssypacja energii zachodzi, gdy obecne są ładunki.
Postać ró\
niczkowa prawa
Postać ró\
niczkowa prawa
Faraday a
Faraday a
r r r r
z twierdzenia Stokes a
+"E o dl = S E) o dA
+"(rot
C
z prawa Faraday a w postaci całkowej
r r r r
d
+"E o dl = - dt S o dA
+"B
C
r
r
"B
rot E = -
"t
Zmienne w czasie pole magnetyczne indukuje pole
elektryczne (wirowe, zmienne w czasie, nie zachowawcze)
4
Przykład-1
W pewnym kołowym obszarze o promieniu R istnieje
jednorodne pole magnetyczne, którego wektor indukcji jest
prostopadły do płaszczyzny rysunku. Wartość indukcji pola
magnetycznego zmienia się w czasie z szybkością dB/dt.
Jaka jest wartość i kierunek wektora pola elektrycznego
indukowanego na płaszczyz
nie tego obszaru kołowego w
odległości r od jego środka? Rozważyć przypadki rR.
Rozwiązanie:
r r r r
d
z prawa Faraday a
+"E o dl = - dt S o dA
+"B
C
r r
obliczamy krą\
enie pola
+"E o d l = E 2 Ą r
elektrycznego
C
r r
strumień pola
dla r > R
+"B o dA = B Ą R2
magnetycznego
S
dB
a zatem
E 2 Ą r = - Ą R2
dt
R2 dB
E = -
2r dt
5
r r
dla strumień pola
r < R
+"B o dA = B Ą r2
magnetycznego
S
dB
a zatem
E 2 Ą r = - Ą r2
dt
r dB
E = -
2 dt
Zadanie domowe-1
Zadanie domowe-1
" Znalez
ć wartość siły elektromotorycznej
indukowanej w obwodzie przedstawionym na
rysunku. Pręt przesuwany jest w jednorodnym,
stałym w czasie polu magnetycznym ze stałą
prędkością v. Jaka jest wartość prądu w
obwodzie? Jaka moc wydziela się na rezystancji
R?
6
Zadanie domowe-2
Zadanie domowe-2
" Generator prądu AC (prądnica)
Cewka kołowa o promieniu R=20 cm
zawiera N=20 zwojów. Jak szybko
cewka musi obracać się w polu
magnetycznym o indukcji B=0.2 Wb/m2
aby maksymalna (szczytowa) wartość
siły elektromotorycznej wynosiła160 V?
SAMOINDUKCJA
SAMOINDUKCJA
Jeżeli prąd w obwodzie zmienia się w czasie, strumień pola
magnetycznego w cewce też jest zmienny i indukowana siła
elektromotoryczna przeciwdziała zmianom prądu.
wewnątrz idealnego
N
solenoidu o N zwojach i B = �o i
l
długości l
strumień pola
magnetycznego przez N2
ŚB = �o iS
powierzchnię NS (S-
l
powierzchnia jednego
zwoju)
ŚB = Li
Jednostka: 1H (henr) = 1Wb/A indukcyjność
indukcyjność
7
Siła elektromotoryczna
Siła elektromotoryczna
samoindukcji
samoindukcji
dŚB N2 di di
�L = - = -�o S = -�o n2lS
dt l dt dt
n- liczba zwojów na jednostkę długości, l  długość
solenoidu, S  pole powierzchni przekroju
di
�L = -L
dt
Przypomnienie: W obwodzie LC zapisywaliśmy korzystając z
prawa Kirchhoffa
d2q q
di q
L + = 0
L + = 0
dt C dt2 C
INDUKCYJNOŚĆ
INDUKCYJNOŚĆ
�L
Definicja:
Przypomnienie: pojemność C
L = -
di
Q
C =
dt
U
dla idealnego solenoidu dla kondensatora płaskiego
A
N2
C = �o
L = �o S
d
l
Indukcyjność podobnie jak pojemność zale\
y wyłącznie od parametrów
geometrycznych cewki. Mo\
na ją zwiększyć przez wprowadzenie
rdzenia ferromagnetycznego o przenikalności magnetycznej �.
N2
L = �o� S = �o� n2lS
l
8
Rt
OBWODY LR
-
L
VR = �(1- e )
� + VR + VL = 0
di
� - iR - L = 0
dt
Rt
-
�
L
i = (1 - e )
Rt
R
-
L
VL = �e
Zadanie domowe-3
Zadanie domowe-3
" Opracować temat: energia
zmagazynowana w polu magnetycznym i
gęstość energii pola magnetycznego
(HRW, t.3, 31.10,31.11).
" Przemyśleć analogie do pola
elektrycznego w kondensatorze.
9
PRAWO AMPERE A-MAXWELLA
PRAWO AMPERE A-MAXWELLA
" Maxwell rozszerzył prawo Ampere a
" y
ródłem pola magnetycznego jest nie tylko
rzeczywisty prąd w obwodzie lecz równie\

zmienny w czasie strumień pola
elektrycznego
r r
dŚE
+"B o dl = �o(i + �o dt )
C
prąd przesunięcia id
" Wprowadzenie pojęcia prądu przesunięcia
pozwala zachować ciągłość prądu w
obwodzie nawet gdy obecny jest
kondensator
prąd przesunięcia
prąd rzeczywisty
dŚE
id = �o
dt
10
RÓWNANIA MAXWELLA
RÓWNANIA MAXWELLA
Prawo: Postać całkowa Postać ró\
niczkowa
r r
r
q
�
Gaussa dla
o
div E =
+"E d A = �o
elektrostatyki �o
S
r r
r
Gaussa dla
+"B odA =0 div B = 0
magnetyzmu
S
r
r r
r r
"E
dŚE
Ampere a-
+"B o dl = �o(i + �o dt ) rot B = �o( j + �o "t )
Maxwella C
r
r r
r
dŚB
Faraday a "B
rot E = -
+"E o dl = - dt
"t
C
FALA ELEKTROMAGNETYCZNA
FALA ELEKTROMAGNETYCZNA
w pró\
ni
w pró\
ni
" Zakładamy, \
e j=0, �=0
" Równania Maxwella mają postać:
r r
div E = 0 " o E = 0
r r
div B = 0 " o B = 0
r r
r r
"E "E
rot B = �o �o "�B = �o�o
"t "t
r r
r r
"B "B
rot E = - "�E = -
"t "t
11
Wyprowadzenie równania fali EB
Wyprowadzenie równania fali EB
r
r r
"B "
"�("�E) = -"� = - "� B
r
"t "t
r
"E
ale "� B = �o�o czyli:
r
"t
r
"2E
(1)
"� ("� E) = -�o�o
"t2
r r r
r r r r r r
Korzystając z to\
samości: a�(b� c) = (a o c)b - (a o b)c
r r r r
(2)
"� ("� E) = (" o E)E - "2E
0
r
r
"2E
A
ącząc (1) i (2)
"2E = �o�o
otrzymujemy:
"t2
r 1 "2�
"2�(r, t) =
Przypomina to ogólne równanie fali
v2 "t2
PR
DKOŚĆ ROZCHODZENIA SI
FALI EB
PR
DKOŚĆ ROZCHODZENIA SI
FALI EB
W PRÓśNI
W PRÓśNI
r
r
"2B
"2B = �o�o
Podobnie dla pola magnetycznego
"t2
r
r
"2E
stanowią równania fali
razem z
"2E = �o�o
elektromagnetycznej
"t2
Zaburzeniem �jest wektor natę\
enia pola elektrycznego E lub
indukcji pola magnetycznego B a prędkość fali v jest określona
wyłącznie przez stałe uniwersalne:
prędkość fali EB (prędkość
1
v = = c
�o�o światła) w pró\
ni mo\
na obliczyć
teoretycznie cH"3�108m/s
12
Zadanie domowe-4
Zadanie domowe-4
" Opracować temat:  Metody eksperymentalne
wyznaczania prędkości światła
Propagacja fali elektromagnetycznej
Propagacja fali elektromagnetycznej
r r r
1
S = E� B
�o
wektor Poyntinga
wektor Poyntinga
r
S
13
Podsumowanie
Podsumowanie
" Zmienne w czasie pole magnetyczne jest
z
ródłem pola elektrycznego (prawo Faraday a)
" Indukowane pole elektryczne nie jest
zachowawcze, jest polem wirowym o niezerowej
rotacji
" Zmienne w czasie pole elektryczne jest z
ródłem
pola magnetycznego (poprawka Maxwella do
prawa AmpŁre a)
" Równania Maxwella w pró\
ni mają charakter
symetryczny dla obu pól
" Równania Maxwella przewidują istnienie fali
elektromagnetycznej, która rozchodzi się w
pró\
ni z prędkością c
14