Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
WYKA
AD 6
2.3. Oddziaływanie światła z materią
Odkrycie praw elektrodynamiki i, w konsekwencji, sformułowanie elektromagnetycznej teorii światła
przez Maxwella to z pewnością najważniejsze wydarzenie w fizyce XIX wieku. Umożliwiło ono po raz
pierwszy, poprzez wykorzystanie pewnych klasycznych modeli materii, wytłumaczenie wielu zjawisk
wywoływanych przez oddziaływanie różnych ośrodków materialnych ze światłem. Zjawiska te, a także
wyjaśnienie ich w ramach klasycznej elektrodynamiki i klasycznego (niekwantowego) modelowego
opisu materii, będą celem kilku najbliższych wykładów.
Pola elektryczne i magnetyczne w próżni i ośrodkach materialnych - równania
Maxwella
Klasyczna teoria elektromagnetyzmu opiera się na równaniach Maxwella, które opisują przestrzenne i
czasowe zależności wiążące ze sobą pola elektryczne i magnetyczne. Pola te są w zupełności opisane
przez dwa pola wektorowe, E (natężenie pola elektrycznego) i B (indukcję magnetyczną). Określają
one siłę (tzw siłę Lorentza), działającą na dowolny ładunek q znajdujący się w pewnym punkcie
przestrzeni r i poruszający się z prędkością v :
F = q(E + v × B), (1)
co z kolei pozwala na napisanie równań ruchu i, w konsekwencji, wyznaczenie ruchu pojedynczej na-
ładowanej cząstki, a zatem także większego układu (czy rozkładu, dla przypadku ciągłego) ładunków.
Poniżej przedstawiamy równania Maxwella w postaci różniczkowej (układ SI):
Á
" Å" E = - prawo Gaussa, (2a)
µ0
"B
" × E = - - prawo Faradaya, (2b)
"t
" Å" B = 0 - z prawa Biota - Savarta, (2c)
j "E
c2" × B = + - zmodyfikowane prawo Ampére' a, (2d)
µ0 "t
a także dodatkowe równanie tzw równanie ciągłości, wiążące ze sobą gęstości prądu i ładunku:
"Á
" Å" j = - . (3)
"t
Równanie to wiąże wypływ prądu z danego punktu ze zmianą w czasie gęstości ładunku w tym punkcie
(stąd nazywa się je równaniem ciągłości lub zasadą zachowania ładunku). Można je łatwo
wyprowadzić z równań Maxwella, biorąc dywergencję z obu stron równania (2d) i wykorzystując
równanie (2a), a także fakt, że div(rotF)a" 0 (czyli " Å"(" × F)a" 0 ) dla dowolnego pola F .
W równaniach Maxwella µ0 to staÅ‚a dielektryczna próżni (przenikalność elektryczna próżni) a staÅ‚a c to
prędkość światła w próżni. Pierwsze trzy z tych równań podają prawa, które były znane już przed
Maxwellem z badań nad elektrycznością i magnetyzmem; główna zasługa Maxwella to, jak chodzi o
szczegóły, dopisanie dodatkowego wyrazu do prawa Ampére a (prÄ…d przesuniÄ™cia, czwarte równanie),
- 54 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
podanie wszystkich równań razem i, co najważniejsze, wskazanie konsekwencji wynikających łącznie
ze wszystkich czterech równań (chodzi oczywiście o istnienie fal elektromagnetycznych). W dwóch
pierwszych podrozdziałach rozdziału 18, tom II, część 1, Feynman uzasadnia konieczność
wprowadzenia dodatkowego wyrazu w czwartym równaniu, w następnych pokazuje jak z pełnych
równań Maxwella wynika powstawanie i rozchodzenie się zaburzeń pól elektycznych i magnetycznych.
Chociaż w następnych wykładach pokażemy jak można formalnie otrzymać z równań Maxwella
równania falowe dla pól E i B , jednak dyskusja przedstawiona przez Feynmana pozwala na głębsze
fizyczne zrozumienie co siÄ™ wÅ‚aÅ›ciwie dzieje. WielkoÅ›ci Á i j , wystÄ™pujÄ…ce w równaniach Maxwella i
w równaniu ciągłości to tzw z
ródÅ‚a pól, a konkretnie Á oznacza caÅ‚kowitÄ… gÄ™stość Å‚adunku
elektrycznego, a j caÅ‚kowitÄ… gÄ™stość prÄ…du elektrycznego. W próżni wielkoÅ›ci Á i j sÄ… dobrze
określone i oznaczają po prostu gęstości ładunków swobodnych i wygenerowanych przez nie prądów
( j = Áv ), natomiast sytuacja komplikuje siÄ™ gdy mamy do czynienia z materiÄ…. Przyczyna leży w tym,
że prócz swobodnych ładunków i pochodzących od nich prądów mamy także do czynienia z  ukrytymi
w pewnym sensie ładunkami związanymi, zawartymi w samej materii, a także z pochodzącymi od nich
prądami. Dokładniejszą dyskusję i głębsze uzasadnienie podaje Feynman (tom II, część 1, rozdział 10,
Dielektryki, tom II, część 2, rozdział 36, Ferromagnetyzm); tutaj podamy w skrócie najważniejsze kroki
prowadzące do zmodyfikowanych równań Maxwella, w których uwzględnienie ładunków i prądów
związanych powoduje wystąpienie dodatkowych pól; pola wektora indukcji elektrycznej zwanego
często wektorem przesunięcia D i pola wektora natężenia pola magnetycznego H .
W materii umieszczonej w polu elektrycznym E pojawi siÄ™ wyindukowany moment dipolowy na jed-
nostkę objętości P , który będzie równy
P = Nq´ . (4)
N jest liczbą atomów (lub cząsteczek) danej substancji w jednostce objętości, q jest ładunkiem dodat-
nim jednego atomu lub cząsteczki (który, oczywiście, jest zrównoważony przez równy co do wartości
Å‚adunek ujemny), a wektor ´ przedstawia Å›redniÄ… odlegÅ‚ość na jakÄ…, pod wpÅ‚ywem pola E , rozsunÄ… siÄ™
ładunki dodatnie (+q) i ujemne (-q) w jednym atomie (cząsteczce). Wywołana w ten sposób
polaryzacja materiału jest określona wartością wektora P w każdym punkcie; wektor ten zatem często
nazywa siÄ™ wektorem polaryzacji.
Rys. 32. Przyłożone pole elektryczne wywołuje
przesunięcie rozkładów ładunków dodatnich i ujemnych
o ´ i powstanie polaryacji P. Wielkość Å‚adunku, który
 wypłynął z obszaru ograniczonego powierzchnią S1 i
znajduje się pomiędzy powierzchniami S1 i S2 (obszar
zacieniony) w pewnym wybranym punkcie powierzchni
będzie zależała od kąta pomiędzy wektorami N i P; jak
to pokazano na rys. dla dwóch punktów powierzchni (N1
i N2).
Warto zwrócić uwagę, że, jak pokazano na rys. 32,
wielkość ładunku przesuniętego przez pewną powierzchnię "S przez przyłożone pole elektryczne i
związana z tym gęstość polaryzacyjnego ładunku powierzchniowego, będzie zależała od kąta pomiędzy
wektorem P i normalnÄ… do powierzchni opisanÄ… wektorem N .
"Qpol Å" "S = P Å" N Å" "S (5)
- 55 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
Zatem całkowity ładunek, który wypłynął z pewnej objętości V wskutek spolaryzowania jej
zewnętrznym polem elektrycznym, można obliczyć całkując prawą stronę wyrażenia (5) po powierzchni
S ograniczającej objętość V:
Qpol = Å" NdS . (6)
+"P
S
Oczywiście całkowity ładunek polaryzacyjny w objętości V będzie równy całce po tej objętości z
gęstości objętościowej ładunku polaryzacyjnego. Zastosujemy także twierdzenie Gaussa do prawej
strony wyrażenia (6) i otrzymamy:
- Qpol = - dV = Å" PdV , (7)
pol
+"Á +""
V V
gdzie znak minus wynika z faktu, że polaryzacja  wypycha poza powierzchnię S ładunek dodatni
(zatem wewnÄ…trz zostaje Å‚adunek ujemny).
Ostatecznie otrzymujemy:
Ápol = -" Å" P (8)
Jest oczywiste, że jeśli P = const , to przesunięte ładunki związane kompensują się dokładnie w całej
objÄ™toÅ›ci (z wyjÄ…tkiem warstwy przypowierzchniowej o gruboÅ›ci ´), nie dajÄ…c wobec tego żadnego
wkÅ‚adu do caÅ‚kowitej przestrzennej gÄ™stoÅ›ci Å‚adunku Á wystÄ™pujÄ…cej w równaniach Maxwella. W
przypadku niejednorodnej polaryzacji P , sytuacja jest jednak odmienna, niejednorodność ta prowadzić
może do pojawienia się w materiale pewnej wyindukowanej gęstości ładunku zgodnie ze wzorem (8),
która stanowić bÄ™dzie część caÅ‚kowitego Å‚adunku Á w pierwszym równaniu Maxwella:
Áswob + Ápol
" Å" E = . (9)
µ0
PodstawiajÄ…c za Ápol dywergencjÄ™ z P i grupujÄ…c odpowiednio wyrazy otrzymamy:
ëÅ‚ öÅ‚ Áswob
P
ìÅ‚ ÷Å‚
" Å" E + (10)
ìÅ‚ ÷Å‚ = µ0 .
µ0
íÅ‚ Å‚Å‚
Jeśli wprowadzimy nowy wektor:
D = µ0E + P , (11)
to równanie (10) możemy zapisać w prostszej (i nadal zupełnie ścisłej) postaci:
" Å" D = Áswob , (12)
gdzie jednak uproszczenie jest do pewnego stopnia pozorne; problem ładunków związanych nie został
bowiem rozwiązany, tylko  ukryty w wektorze indukcji D . Warto zwrócić uwagę, że także ładunki
swobodne, np elektrony, mogą pochodzić z atomów czy cząsteczek materiału (jak w przewodnikach
czy półprzewodnikach prądu), choć ich obecność musi być, w takim przypadku, skompensowana
obecnością pewnego dodatniego ładunku przestrzennego. Praktycznie rozwiązanie tego równania nie
jest wcale łatwe, jest bowiem oczywiste, że polaryzacja P może w skomplikowany sposób zależeć od
pola E . W najprostszym przypadku będziemy mieli:
P = ÇeE , (13)
- 56 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
gdzie Çe jest staÅ‚Ä… materiaÅ‚owÄ… zwanÄ… podatnoÅ›ciÄ… elektrycznÄ… danego materiaÅ‚u. Mamy wówczas:
D = µ0E + ÇeE = µµ0E , (14)
gdzie staÅ‚a µ = 1 + Çe µ0 nazywa siÄ™ staÅ‚Ä… dielektrycznÄ… albo przenikalnoÅ›ciÄ… elektrycznÄ… danego
materiału. Ostatnie dwa równania mają charakter przybliżony; są one bowiem próbą opisu pewnych
własności materiałów, które, jak można podejrzewać, mogą być bardzo różne. W szczególności
liniowa zależność polaryzacji od pola elektrycznego, a także skalarny charakter podatności elektrycznej
i stałej dielektrycznej są pewnymi przybliżeniami, które w konkretnej sytuacji mogą być spełnione
lepiej lub gorzej, czasami może nawet bardzo niedobrze (do tego stopnia, że nie można tego dłużej
lekceważyć, bo możemy  zgubić potencjalne wytłumaczenie obserwowalnych efektów fizycznych).
Podobnie jak obecność materii powoduje, że część ładunku, określającego pole E , jest związana z ato-
mami czy cząsteczkami materiału, możemy także oczekiwać, że część prądów, określających poprzez
czwarte równanie pole magnetyczne B , będzie pochodzenia atomowego (czy cząsteczkowego). W
szczególności spodziewamy się takiego wkładu do całkowitego prądu od ładunków polaryzacyjnych
Ápol . Znajdziemy ten wkÅ‚ad korzystajÄ…c z równania ciÄ…gÅ‚oÅ›ci dla Å‚adunków polaryzacyjnych:
"Ápol
" Å" jpol = - . (15)
"t
PodstawiajÄ…c Ápol = " Å" P i zamieniajÄ…c kolejność różniczkowania po współrzÄ™dnych przestrzennych i
czasie, otrzymamy:
"P
jpol = . (16)
"t
W substancjach magnetycznych, w których zewnętrzne pole magnetyczne wywołuje silne namagneso-
wanie M , zdefiniowane jako moment magnetyczny na jednostkę objętości spodziewamy się także
istnienia pewnych wewnÄ™trznych prÄ…dów odpowiedzialnych za istnienie momentów magnetycznych, µ ,
związanych z pojedynczymi atomami czy cząsteczkami materiału (podobnie jak dla polaryzacji
dielektrycznej mamy także w tym przypadku zwiÄ…zek M = Nµ ). Można pokazać (Feynman, tom II,
część 2, str. 282-289, podrozdział 36-1), że prądy te, które oznaczymy symbolem jmag , wiążą się z
wektorem M w następujący sposób:
jmag = " × M . (17)
Podstawiając do czwartego równania Maxwella (2d) za całkowity prąd j = jpol + jmag + jswob ,
odpowiednie uzyskane wyżej wyrażenia opisujące poszczególne wkłady do j , otrzymamy:
ëÅ‚ öÅ‚
1 "P "E 1 1 "P "E
ìÅ‚ ÷Å‚
c2" × B = jswob + + " × M + = ( jswob + " × M)+ + . (18)
÷Å‚
µ0 ìÅ‚ "t "t µ0 µ0 "t "t
íÅ‚ Å‚Å‚
Grupując odpowiednie wyrazy i wykorzystując podaną wyżej definicję wektora D (11), otrzymamy
dalej:
"D
" ×(µ0c2B - M) = jswob + . (19)
"t
- 57 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
A
atwo zgadnąć nasz nastęny krok; oczywiście wprowadzimy nowe pole, H , które będzie równe:
H = µ0c2B - M , (20)
co pozwoli nam zapisać czwarte równanie w następującej uproszczonej postaci:
"D
" × H = jswob + . (21)
"t
Pole H nazywamy natężeniem pola magnetycznego. Podobnie jak w przypadku równania  elektrycz-
nego , powyższe równanie  magnetyczne jest zupełnie ścisłe i, na pierwszy rzut oka, dość proste;
kłopot jednak jest, polega on na tym, że nie znamy namagnesowania M , a dokładniej związku M z
H . Przyjmując, że
M = ÇmH , (22)
gdzie Çm nazwiemy podatnoÅ›ciÄ… magnetycznÄ… danego materiaÅ‚u, a także wprowadzajÄ…c nowÄ… staÅ‚Ä…,
µ0 , zwanÄ… przenikalnoÅ›ciÄ… magnetycznÄ… próżni
1
µ0 = , (23)
µ0c2
możemy zapisać:
B = µ0(H + M) = µ0(1 + Çm )H = µµ0H . (24)
Przenikalność magnetyczna materiaÅ‚u µ, zdefiniowana powyższym wzorem, bÄ™dzie równa:
µ = 1 + Çm . (25)
Skoro już przy tym jesteśmy, warto zwrócić uwagę, że związek pomiędzy przenikalnością magnetyczną
i elektryczną próżni pozwala wyliczyć stałą c (obie przenikalności można wyznaczyć z pewnych
pomiarów elektrycznych i magnetycznych). Jak zobaczymy póżniej, stała c odpowiada prędkości
rozchodzenia się zaburzeń pól elektromagnetycznych w próżni, zaburzeń, których istnienie wynika z
analizy równań Maxwella. Możemy sobie wyobrazić, jak przejęty musiał być Maxwell i jemu współ-
cześni, gdy okazało się, że wyliczona stała c odpowiada z niezłą dokładnością wyznaczonej ekspery-
mentalnie prędkości światła! To był naprawdę wielki moment w historii fizyki i, chyba można tak
powiedzieć, jeden z ważniejszych w historii naszej cywilizacji.
Podsumowując, pełny opis pól elektromagnetycznych w dowolnym materiale wymaga wprowadzenia
czterech pól wektorowych, E, D, H i B , a także znajomości rozkładu gęstości i prędkości ładunków
swobodnych. Równania Maxwella będą miały postać następującą:
" Å" D = Áswob (26a)
"B
" × E = - (26b)
"t
" Å" B = 0 (26c)
"D
" × H = jswob + . (26d)
"t
Do rozwiązania tych równań potrzebne są także związki materiałowe:
- 58 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
D = µµ0E
(27)
B = µµ0H
w których wystÄ™pujÄ… staÅ‚e materiaÅ‚owe µ i µ (przenikalność elektryczna i magnetyczna danego mate-
riaÅ‚u) a także µ0 i µ0 (przenikalność elektryczna i magnetyczna próżni). W ogólnoÅ›ci staÅ‚e µ i µ nie
muszą być skalarami (tzn mogą być tensorami, co oznacza, że kierunek wektorów D i B nie musi
pokrywać się z kierunkami wektorów E i H ), a równania, wiążące ze sobą składowe czterech pól, nie
muszą być koniecznie i w każdym przypadku liniowe.
Energia i moc w polu elektromagnetycznym
Jeśli na pewną cząstkę poruszającą się z prędkością v działa siła F , to moc chwilowa, przekazana
przez pole siły F cząstce wyniesie:
P = F Å" v . (28)
Tak więc moc chwilowa, tracona przez pole elektromagnetyczne na rzecz układu dyskretnych ładunków
swobodnych wyniesie:
P = Å" vi , (29)
i
"F
i
gdzie suma przebiega po wszystkich (swobodnych) ładunkach układu. W przypadku układu, którego
opis wymaga wprowadzenia ciągłego rozkładu ładunku:
P = Å" vdÄ , (30)
+"f
V
gdzie V jest objÄ™toÅ›ciÄ… zajmowanÄ… przez ukÅ‚ad, a f gÄ™stoÅ›ciÄ… siÅ‚y; F = q(E + v × B) zatem
f = Á(E + v × B), gdzie Á jest gÄ™stoÅ›ciÄ… Å‚adunku. PodstawiajÄ…c za f wyrażenie na siÅ‚Ä™ Lorentza, a
także biorÄ…c pod uwagÄ™, że pole B nie pracuje, v Å"(v × B)= 0 , mamy:
P = Å" EdÄ = j Å" EdÄ . (31)
+"Áv +"
VV
Skorzystamy teraz z dwóch równań  z rotacją , które pomnożymy skalarnie odpowiednio przez wektor
E i H :
"D
E Å"(" × H) = j Å" E + E Å"
"t
(32)
"B
H Å"(" × E) = - H Å" .
"t
Po odjęciu stronami i wykorzystaniu następujących związków:
" Å"(A × B) = B Å"(" × A)- A Å"(" × B) ;
(33)
"D 1 " 1 " "B 1 " 1 "
E Å" = (µµ0E Å" E) = (E Å" D) ; H Å" = (µµ0H Å" H) = (H Å" B) ,
"t 2 "t 2 "t "t 2 "t 2 "t
otrzymamy:
- 59 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
" 1
îÅ‚
- " Å"(E × H) = j Å" E + (E Å" D + H Å" B)Å‚Å‚ . (34)
ïÅ‚ śł
"t 2
ðÅ‚ ûÅ‚
Po uwzględnieniu twierdzenia Gaussa (całka po pewnej objętości V z dywergencji dowolnego wektora
jest równa całce ze składowej normalnej tego wektora po powierzchni S ograniczającej tę objętość;
wektor n jest skierowany  na zewnÄ…trz ):
(35)
+"(" Å" A)dÄ = +"(A Å" n)dà ,
V S
otrzymujemy następujące równanie:
" 1
- × H) dà = Å" E)dÄ + (E Å" D + H Å" B)dÄ , (36)
n
+"(E +"(j "t +"
2
S V V
w sposób oczywisty przedstawiające bilans energetyczny układu fizycznego (oczywisty, ze względu na
wystÄ™powanie wyrazu j Å" E , o którym już powiedzieliÅ›my, że przedstawia chwilowÄ… moc straconÄ… na
rzecz układu ładunków). Z całą pewnością można byłoby dokładniej się przyjrzeć poszczególnym
wyrazom, ale i bez tego można już teraz odgadnąć, że wyraz po lewej stronie przedstawia moc
 wpływającą do układu (ze względu na znak minus), która, jak wskazuje strona prawa, może zostać
 zużyta na wykonanie pracy nad układem ładunków swobodnych lub  przyczynić się do wzrostu
pewnej wielkości, która musi być energią pola elektromagnetycznego zawartego w objętości V.
Tak więc wektor S , zwany wektorem Poyntinga i równy:
S = E × H , (37)
przedstawia gęstość mocy (czyli energię na sekundę i na metr kwadratowy) wpływającej do (lub wy-
pływającej z, zależnie od znaku całki) układu fizycznego, a wielkość u:
1
u = (E Å" D + H Å" B) (38)
2
przedstawia gęstość energii pola elektromagnetycznego. Cały bilans zatem przedstawia po prostu za-
sadę zachowania energii dla układu oddziałujących ładunków i pól elektromagnetycznych.
Dla próżni:
1
S = E × B = µ0c2E Å" B (39)
µ0
1
u = (µ0E2 + µ0c2B2), (40)
2
a dla pewnego ośrodka materialnego
S = E × H (41a)
1
u = [E Å"(µ0E + P)+ H Å"(µ0(H + M))] (42b)
2
gdzie za wektory D i B podstawiliśmy wyrażenia z polaryzacją P i namagnesowaniem M . Widać, że
po przemnożeniu wyrażenie na gęstość energii zawierać będzie cztery różne wyrazy; sprawdz
my, czy
rozumiemy ich sens fizyczny:
- 60 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
1
2
u = (µ0E2 + µ0H + E Å" P + µ0H Å" M). (43)
2
Znaczenie pierwszych dwóch wyrazów jest oczywiste; przedstawiają one gęstość energii pola elektro-
magnetycznego w próżni. Oczywiście, w naszym przypadku oprócz tych dwóch wyrazów spodziewa-
my siÄ™ także wkÅ‚adu od wyindukowanych w oÅ›rodku, dziÄ™ki polom w próżni, E i B0 = µ0H , dipoli
elektrycznych i momentów magnetycznych. Ponieważ energia potencjalna każdego elementarnego
dipola ( q´ i µ , jak je oznaczaliÅ›my poprzednio) jest równa iloczynowi skalarnemu tego momentu i
pola, z którym ten dipol oddziałuje (jeśli ktoś nie pamięta tych wzorów, to na pewno znajdzie je w
Feynmanie), zatem całkowita energia potencjalna całego układu dipoli wyrazi się poprzez średni
moment dipolowy tego układu, a gęstość energii potencjalnej wyrazi się poprzez moment dipolowy na
jednostkę objętości, czyli polaryzację lub namagnesowanie. Dokładnie taką właśnie postać mają
pozostałe dwa wyrazy w naszym wyrażeniu na całkowitą gęstość energii pola elektromagnetycznego w
ośrodku materialnym.
Fale elektromagnetyczne w próżni
Zaczniemy od przypadku najprostszego, od próżni. W próżni nie ma ładunków ani prądów, a więc:
" Å" D = µ0" Å" E = 0 (44a)
"B
" × E = - (44b)
"t
" Å" B = 0 (44c)
1 "D "E
" × H = " × B = = µ0 . (44d)
µ0 "t "t
Z równań tych wyeliminujemy najpierw wektory D i H tak, żeby otrzymać równania na pola E i B ;
w następnym kroku postaramy się uzyskać dwa niezależne równania, jedno z E , a drugie z B .
Bierzemy rotację z obu stron równania drugiego, zmieniamy kolejność różniczkowania i wykorzystu-
jemy równanie czwarte:
ëÅ‚ öÅ‚
" " "E "2E
(45)
" ×(" × E) = - (" × B) = - ìÅ‚
ìÅ‚µ0µ0 ÷Å‚ "t .
÷Å‚ = µ0µ0
2
"t "t "t
íÅ‚ Å‚Å‚
Ze względu na tożsamość: rot(rotF)= grad(divF)- "2F , zachodzącą dla dowolnego pola wektorowego
F mamy dalej:
"2E
"(" Å" E)- "2E = µ0µ0 2 , (46)
"t
(zwróćcie uwagę na różnicę pomiędzy gradientem z dywergencji pola, a laplasjanem z tegoż pola). W
ostatnim kroku wykorzystamy pierwsze równanie Maxwella ( divE = 0 ) by otrzymać równanie:
"2E
"2E = µ0µ0 , (47)
"t2
w którym rozpoznajemy równanie falowe, przy czym prÄ™dkość fali v bÄ™dzie równa 1 µ0µ0 1 czyli,
- 61 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
zgodnie z naszymi wcześniejszymi definicjami, pewnej stałej, którą oznaczyliśmy jako c.
Zupełnie analogicznie, biorąc rotację z obu stron równania czwartego, następnie wykorzystując rów-
nanie drugie (rotację z pola E zastępujemy pochodną po czasie z pola B ) uzyskujemy równanie:
2
" B "2H
"2B = µ0µ0 2 , lub "2H = µ0µ0 , (48)
"t "t2
podobnie jak dla pola elektrycznego. W próżni oba pola, B i H , różnią się tylko stałą numeryczną
(przenikalnoÅ›ciÄ… magnetycznÄ… próżni µ0 ), zatem powinniÅ›my tylko pamiÄ™tać, że siÅ‚a Lorentza wyraża
się poprzez pole B , a do opisu fali używać możemy któregolwiek z tych dwóch pól. Podobnie w
oÅ›rodkach niemagnetycznych, dla których µ = 1 (co oznacza, że Çm = 0 , zatem namagnesowanie M
jest równe zero) różnica między polami B i H jest mało istotna. Sytuacja zmienia się, gdy
namagnesowanie jest znaczące i w istotny sposób wnosi wkład zarówno do całkowitej gęstości energii
pola elektromagnetycznego w danym ośrodku materialnym jak i, być może, do transportu całkowitej
energii układu poprzez ośrodek. Należy jednak pamiętać, że wektor Poyntinga, opisujący strumień
mocy pola elektromagnetycznego, wyraża się poprzez wektor H a nie B . Rozróżnienie to, jak już
wspominaliśmy, przestaje być ważne dla ośrodków niemagnetycznych (więkoszość ważnych ośrodków
rozpatrywanych w optyce to ośrodki niemagnetyczne). Dla wszystkich ośrodków najczęściej (choć nie
wyłącznie) używać będziemy pola B co ułatwia opis oddziaływania fali elektromagnetycznej z materią
ze względu, jak już wspominaliśmy, na postać wyrażenia na siłę Lorentza.
Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych
Rozpatrywać będziemy rozchodzenie się monochromatycznych (a więc harmonicznych, czyli o okreś-
lonej częstości) fal elektromagnetycznych w ośrodkach jednorodnych. Ośrodki jednorodne to takie
oÅ›rodki, w których wszystkie staÅ‚e materiaÅ‚owe, µ, µ, Çe i Çm , a także dodatkowa staÅ‚a Ã, o której
więcej za chwilę, nie zależą od współrzędnych przestrzennych. Dla przykładu, dzięki założeniu o
jednorodnoÅ›ci materiaÅ‚u możemy np z równania divD = div(µµ0E)= 0 wywnioskować, że divE = 0 .
Warto zwrócić uwagę, że założenie o jednorodności nie jest spełnione na granicach pomiędzy różnymi
ośrodkami, a więc rozpatrując takie zjawiska jak odbicie czy załamanie światła musimy tę niejedno-
rodność wziąć pod uwagę (co nie jest znowu takie zaskakujące; raczej spodziewamy się, że skok
własności fizycznych na granicy pomiędzy ośrodkami jest istotny dla tych zjawisk).
Do wprowadzonych już przedtem równań materiałowych dołączymy jeszcze jedno równanie o charak-
terze empirycznym, znane powszechnie jako prawo Ohma (chociaż prawo to jest dobrze znane, to
jednak jego uzasadnienie nie jest wcale takie proste; poznacie je na wykładach z fizyki ciała stałego):
j = Ã E , (49)
wiążące gÄ™stość prÄ…du j z natężeniem pola elektrycznego E . StaÅ‚a à nosi nazwÄ™ przewodnictwa
właściwego.
Nasze rozważania rozpoczniemy od ośrodka jednorodnego i izotropowego z prądami i ładunkami.
Równania Maxwella dla takiego ośrodka przyjmą następującą postać:
" Å" D = Á (50a)
"B
" × E = - (50b)
"t
- 62 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
" Å" B = 0 (50c)
"D
" × H = j + (50d)
"t
gdzie Á i j oznaczajÄ… odpowiednio gÄ™stość Å‚adunku i prÄ…dy pochodzÄ…ce od Å‚adunków swobodnych
(upraszczamy oznaczenia; po to w końcu wprowadzono wektory D i H , żeby nie trzeba było pamiętać
o różnych możliwych rodzajach ładunków i prądów).
Ponieważ rozpatrujemy fale monochromatyczne, szukamy rozwiązań w postaci:
E = Ese-iÉt , P = Pse-iÉt , M = Mse-iÉt , H = Hse-iÉt , j = jse-iÉt (51)
gdzie indeks dolny s oznacza część przestrzenną fali. Oscylacyjny charakter prądu wynika z założenia
o oscylacyjnym charakterze pola elektrycznego i z prawa Ohma. Równanie ciągłości natomiast
możemy wykorzystać, żeby znależć zależność czasową ładunku. Mamy bowiem:
"Á
e-iÉtdivjs = - , (52)
"t
1
a po scaÅ‚kowaniu otrzymujemy: e-iÉt" Å" js = Á(t), a wiÄ™c:
iÉ
Á = Áse-iÉt , (53)
gdzie:
i i
Ás = - " Å" js = - " Å"(ÃEs). (54)
É É
Mamy także następujące zależności:
Ds = µµ0Es , Bs = µµ0Hs , (55)
a więc razem już wszystko co potrzeba aby, po wykonaniu różniczkowania po czasie i podzieleniu
przez czynnik e-iÉt , z równaÅ„ Maxwella otrzymać równania na Es i Hs :
iÃ
ëÅ‚µµ öÅ‚ E
" Å" + = 0 (56a)
ìÅ‚ ÷Å‚
0 s
É
íÅ‚ Å‚Å‚
" × Es = iɵµ0Hs (56b)
" Å" µµ0Hs = 0 (56c)
Ã
öÅ‚ E
" × Hs = (à - iɵµ0 ) Es = - iÉëÅ‚µµ0 + i . (56d)
ìÅ‚ ÷Å‚
s
É
íÅ‚ Å‚Å‚
W oÅ›rodku jednorodnym µ, µ i à nie zależą od współrzÄ™dnych przestrzennych a wiÄ™c dwa równania z
dywergencją przyjmą prostszą postać:
" Å" Es = 0
. (57)
" Å" Hs = 0
Ponieważ szukamy rozwiązań w postaci fali płaskich przyjmujemy:
- 63 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
Es = E0 exp (ikz Å" r), oraz Hs = H0 exp (ikz Å" r), (58)
gdzie kz oznacza zespolony wektor falowy. Część rzeczywista tego wektora odpowiada wektorowi
falowemu k , a nad znaczeniem części zespolonej (o ile się takowa pojawi), zastanowimy się póżniej.
Stałe wektory E0 i H0 przedstawiają zespolone amplitudy oscylacji wektorów pola E i H
(występowanie części urojonej w amplitudzie oscylacji, jak pamiętamy, oznacza polaryzację
eliptycznÄ…).
Ponieważ kz r = kzx x + kzy y + kzz z , działanie operatora " na przestrzenną część harmonicznej fali
płaskiej będzie równoważne mnożeniu przez odpowiednie składowe wektora kz :
" " "
"x a" ikzx ; "y a" ikzy; "z a" ikzz
"x "y "z
(59)
" ikz.
Można zatem łatwo wykazać, że równania z dywergencją przyjmą postać z iloczynami skalarnymi, jak
niżej:
kz Å" E0 = 0, kz Å" H0 = 0, (60)
podczas gdy równania, w których występuje rotacja, będą zawierały człony z iloczynami wektorowymi
wektorów kz i E0 bądż H0 (eksponenty z częścą przestrzenną skróciły się, podobnie jak wcześniej
eksponenty z częścią czasową):
É
kz × E0 = µµ0ÉH = µµ0c H (61)
0 0
c
Ãc É
ëÅ‚µµ c + i öÅ‚
kz × H0 = - ìÅ‚ ÷Å‚
E0 . (62)
0
É c
íÅ‚ Å‚Å‚
A
atwo zauważyć, że równania te to nie są już równania różniczkowe, tylko algebraiczne, a więc
znacznie łatwiejsze do rozwiązania. Spróbujemy najpierw otrzymać równanie na amplitudę E0 . Do
równania (62) z iloczynem wektorowym podstawiamy amplitudę H0 wyliczoną z równania (61) i
otrzymujemy w ten sposób równanie na E0 :
Ãc É2
öÅ‚
kz ×(kz × E0) = - µµ0cëÅ‚µµ0c + i E0 . (63)
ìÅ‚ ÷Å‚
É
íÅ‚ Å‚Å‚
c2
Po uporzÄ…dkowaniu prawej strony i skorzystaniu z tożsamoÅ›ci A ×(B × C)a" (AC)B - (AB)C mamy:
ëÅ‚ öÅ‚
µÃ É2
(kz Å" E0)kz -(kz Å" kz)E0 = - ìÅ‚ (64)
ìÅ‚µµ + i ɵ0 ÷Å‚ c2 E0
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
i dalej, ponieważ kz E0 = 0 ,
ëÅ‚ öÅ‚
µÃ
2
- k2E0 = - ìÅ‚ (65)
z
ìÅ‚µµ + i ɵ0 ÷Å‚
÷Å‚k0E0
íÅ‚ Å‚Å‚
- 64 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
gdzie za (É c)2 podstawiliÅ›my k2 , wprowadzajÄ…c w ten sposób oznaczenie k0 na wektor falowy w
0
próżni. Równanie to będzie spełnione gdy:
2
k2 = k0n2 , (66)
z z
gdzie
ëÅ‚ öÅ‚
Ã
ìÅ‚ ÷Å‚
n2 = µìÅ‚µ + i , (67)
z
ɵ0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
a nz nazwiemy zespolonym współczynnikiem załamania.
Niech nz = n + iº i kz = k + ia , gdzie, jak siÄ™ przekonamy za chwilÄ™, n to dobrze nam już znany
(zwykÅ‚y) współczynnik zaÅ‚amania, staÅ‚Ä… º (kappa) nazwiemy współczynnikiem ekstynkcji (wygasza-
nia), k będzie wektorem falowym, a a wektorem ekstynkcji albo wygaszania. Mamy wówczas:
2 2
k2 - a + 2(k Å" a)i = k0(n2 - º2 + 2nºi) (68)
skÄ…d wynikajÄ… nastÄ™pujÄ…ce równania, które muszÄ… być speÅ‚nione przez cztery staÅ‚e n, º, k i a:
2 2
k2 - a = k0(n2 - º2 )
(69)
2
k Å" a = k0nº.
Ponieważ liczba zespolona n2 ma zawsze dodatniÄ… część urojonÄ… (wynoszÄ…cÄ… µÃ ɵ0 , ewentualny
z
wkÅ‚ad do części urojonej od µ, choć może być ujemny jednak jest znacznie mniejszy), charakteryzujÄ…cy
ją na płaszczyżnie liczb zespolonych kąt ą musi być zawarty pomiędzy zerem i Ą. Zatem kąt liczby
zespolonej nz nz, który będzie równy ą 2 , musi być zawarty pomiędzy zerem i Ą/2, co oznacza, że
zarówno część rzeczywista jak i urojona nz musi być nieujemna, czyli współczynniki załamania n i
ekstynkcji º sÄ… zawsze dodatnie lub równe zeru. StÄ…d wnioskujemy, że także iloczyn skalarny k Å" a
musi być nieujemny, czyli kąt pomiędzy wektorami k i a nie może być większy od Ą/2.
Rozumowanie to dopuszcza dwa rozwiÄ…zania (poza trywialnymi i niefizycznymi, gdy n = 0 ), jedno
bardzo specjalne ( º = 0 ), a drugie ( n, º > 0 ), o charakterze ogólnym.
W pierwszym przypadku mamy:
2 2
k2 - a = k0n2 , oraz k Å" a = 0 (70)
co oznacza, że albo wektor ekstynkcji a jest prostopadły do k (przypadek, który pomijamy, nie wi-
dzimy w tej chwili dla niego zastosowania fizycznego), albo a = 0 . W drugim przypadku (nosi on
nazwÄ™ rozwiÄ…zania jednorodnego) mamy:
kz = k ; k = k0n (71)
i rozwiązanie dla pola elektrycznego w postaci fali płaskiej będzie miało następującą postać:
(kÅ"r-Ét).
E = Ese-iÉt = E0ei (72)
Ponieważ k Å" E0 = k Å" B0 = 0 , wnioskujemy, że oba wektory E i B sÄ… prostopadÅ‚e do wektora
falowego k . Z drugiej strony, ponieważ:
- 65 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
1
B0 = k × E0 (73)
É
zatem B0 musi być także prostopadłe do E0 . Stąd wniosek, że trzy wektory E, B i k są do siebie
wzajemnie prostopadÅ‚e. Ponieważ k = k0n , a k0 = É c mamy k = Én c zatem 2Ä„  = 2Ä„ (T Å" c n) i
dalej  T = v = c n , gdzie v jest prędkością fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym. Mamy
także:
n 1
B = E = E . (74)
c v
W drugim przypadku, gdy n, º > 0 , możliwe rozwiÄ…zanie równaÅ„ z k, a, n i º bÄ™dzie miaÅ‚o postać:
k = nk0 , a = ºk0 , kz = nz k0 , (75)
co z kolei narzuca następujące rozwiązanie na szukane pole elektryczne harmonicznej fali płaskiej:
(nk0Å"r
E = E0 exp[ i(nz k0 Å" r - Ét)] = E0e-ºk0Å"r ei -Ét). (76)
Jest to rozwiązanie podobne do poprzedniego (także zwane jednorodnym); przedstawia ono falę płaską
i harmonicznÄ…, ale o tÅ‚umionej amplitudzie, E0 exp(- a Å" r). A
atwo można udowodnić, że także w tym
przypadku B = E v .
Pokazaliśmy, że własności ośrodka materialnego ważne dla zjawiska rozchodzenia się w tym ośrodku
fal elektromagnetycznych zależą od zespolonego współczynnika załamania nz , który z kolei określony
jest przez trzy staÅ‚e materiaÅ‚owe; µ (przenikalność elektryczna), µ (przenikalność magnetyczna) i Ã
(przewodnictwo właściwe). W takim razie bliższe zrozumienie tego zjawiska wymaga modelu ośrodka
materialnego, który pozwoliłby powiązać parametry materiałowe z jakimiś bardziej elementarnymi
stałymi czy parametrami, charakteryzującymi dany materiał lub raczej tworzące go atomy czy
czÄ…steczki.
Podsumowanie
1. Pełny opis pól elektrycznych i magnetycznych w ośrodkach materialnych, w tym fal
elektromagnetycznych rozchodzących się w takich ośrodkach, wymaga wprowadzenia czterech pól
wektorowych, E, D, H i B . Pole elektryczne E i magnetyczne H wywołują w ośrodku
materialnym polaryzacjÄ™ P (podatność elektryczna Çe ) i namagnesowanie M (podatność
magnetyczna Çm ); które wzmacniajÄ… pola E i H prowadzÄ…c do pól D i B .
2. Dzięki zapisowi zespolonemu różniczkowe równania Maxwella dla fal harmonicznych opisanych
czÄ™stoÅ›ciÄ… É i zespolonym wektorem falowym kz stajÄ… siÄ™ równaniami algebraicznymi. Z równaÅ„
tych wynika, że kwadrat zespolonego wektora falowego k2 wyraża się iloczynem kwadratu
z
wektora falowego w próżni k2 ( k0 = É c ) i kwadratu zespolonego współczynnika zaÅ‚amania n2 .
0 z
Zespolony współczynnik zaÅ‚amania nz jest okreÅ›lony przez trzy staÅ‚e materiaÅ‚owe; µ
(przenikalność elektrycznÄ…), µ (przenikalność magnetycznÄ…) i à (przewodnictwo wÅ‚aÅ›ciwe).
- 66 -
Andrzej J. Wojtowicz
wykład z fizyki ogólnej B
IF UMK, Toruń
semestr letni  01
Problemy do dyskusji, zadania
ëÅ‚ ëÅ‚
1. Pokaż, że " Å" Aeikr öÅ‚ = ik Å" Aeikr i że " × Aeikr öÅ‚ = ik × Aeikr . Użyj reprezentacji
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
kartezjańskiej.
(kr-Ét), k (kr-Ét),
2. Rozważ pÅ‚askÄ… falÄ™ elektromagnetycznÄ…: E = (C + iD)e i B = ×(C + iD)e i gdzie
É
C i D są pewnymi wektorami prostopadłymi do k . Pokaż, że fala ta spełnia równania Maxwella
w próżni.
3. Pokaż, że Å›rednia w czasie wartość kwadratu oscylujÄ…cej harmonicznie wielkoÅ›ci f ( f = f0 cos Ét )
1
*
jest równa fz Å" fz , gdzie fz = f0 exp(- iÉt) jest reprezentacjÄ… zespolonÄ… wielkoÅ›ci f, a symbol
2
 * oznacza wielkość zespoloną sprzężoną.
4. Wykorzystaj rozwiązania poprzednich problemów i pokaż, że średnia w czasie z wektora
Poyntinga fali elektromagnetycznej opisanej wzorami z problemu 1, jest równa
1 k
S = µ0c2(C2 + D2) .
2 É
- 67 -