Przykład 2.1 Belka wieloprzęsłowa I.
Dla statycznie wyznaczalnej belki wieloprzęsłowej o stałej sztywności EJ, obciążonej jak
na rysunku poniżej, wyznaczyć ugięcie w punkcie D i kąt ugięcia w punkcie G.
Rys. 1. Schemat statyczny belki
I. Wyznaczenie przemieszczenia pionowego v punktu D.
Przemieszczenie pionowe wyznaczymy stosujÄ…c metodÄ™ Maxwella-Mohra, ze wzoru
li 1 li
5 5
M M dsi 1
zi zi 1
vD = = (1)
" " zi zi
+" +"M M dx
Ei J EJ
i=1 i=1
zi
0 0
gdzie: vD - pionowe przemieszczenie punktu D,
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
zi
1
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od pionowej siły jednostkowej, przy-
zi
łożonej w punkcie D, odpowiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu,
li - długość i-tego przedziału belki.
Możemy zastąpić całkowanie analityczne metodą całkowania graficznego. Objaśniono to
poniżej.
Rys. 2. Wykresy funkcji f (x) i g(x)
Całkowanie wykonujemy korzystając ze wzoru
l
f (x)Å" g(x)dx = AÅ"· (2)
+"
0
gdzie: A - pole wykresu nieliniowego,
1
· - rzÄ™dna wykresu liniowego dla odciÄ™tej odpowiadajÄ…cej Å›rodkowi ciężkoÅ›ci figury
pierwszego wykresu.
Uwaga: Bierzemy zawsze pole wykresu krzywoliniowego, jeżeli wykres od obciążenia
zewnętrznego jest nieliniowy.
Na wstępie ustalamy znak iloczynu funkcji f (x)i g(x).
Wzór (2) jest również słuszny, gdy oba wykresy są liniowe.
Jeżeli funkcja momentu jest wielomianem, to każdy składnik wielomianu całkujemy osobno.
Rys. 3. Pola i środki ciężkości wybranych figur
Można także skorzystać wprost z odpowiednich tablic z wartościami całek.
1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od obciążenia
zewnętrznego.
Z warunków równowagi dla belki wyznaczamy reakcje podpór
M
DG
= 0 - M + RF Å" l = 0 RF = = ql
"M D
l
BG
= 0 - RC - RF + P = 0 RC = P - RF = ql
"Piy
AB
= 0 -VA + q Å" l = 0 VA = ql
"Piy
5 5 3
AD 2 2
= 0 -VA Å" 3l + M - RC Å" l + ql Å" l = 0 M = 3VAl + RCl - ql = ql
"M D A A
2 2 2
= 0 H = 0
"Pix A
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia zewnętrznego.
Rys. 4. Wykres momentów gnących od obciążenia zewnętrznego.
2
2. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od pionowej siły
jednostkowej przyłożonej w punkcie D.
Rys. 5. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
1DG 1 1
= 0 RF Å" l = 0 RF = 0
"M D
1BG 1 1 1
= 0 - RC - RF +1 = 0 RC = 1
"Piy
1 AB 1
= 0 VA = 0
"Piy
1AD 1 1 1 1 1
= 0 -VA Å"3l + M - RC Å"l = 0 M = 3VAl + RCl = l
"M D A A
1 1
= 0 H = 0
"Pix A
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 6. Wykres momentów gnących od pionowej siły jednostkowej, przyłożonej w punkcie D
3. Obliczenie przemieszczenia pionowego v punktu D.
Zauważmy, że pole figury wykresu M w przedziale 1 można przedstawić jako sumę
g
prostokąta i pola ograniczonego parabolą, dla których znamy pola powierzchni i położenie
środków ciężkości. Całkę w przedziale 1 obliczymy jako sumę iloczynów pól składowych
1
figury wykresu M przez rzędne w wykresie M odpowiadające środkom ciężkości w
g g
wykresie M . Pola powierzchni i odpowiadające im rzędne drugiego wykresu dla odciętej
g
odpowiadającej środkowi ciężkości figury pierwszego wykresu przedstawiono poniżej (patrz
rysunek 7).
1 1 1
2 2
A1 = ql Å" l = ql3 A2 = Å" ql Å" l = ql3 ·1 = ·2 = l
3 2 6
3
Rys. 7. Wykresy momentów gnących w przedziale 1
W przedziale 2 całkę obliczymy mnożąc pole figury wykresu M w przedziale 2 przez
g
1
rzędną w wykresie M odpowiadającą środkowi ciężkości figury wykresu M w przedziale
g g
2. Podobnie w przedziale 3. A
atwo dostrzec, że całki w przedziałach 4 i 5 są równe zeru.
Ostatecznie wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy
4
1 1 1 1 2 5ql
ëÅ‚ql 2 l Å" l + Å" Å" ql 2 l Å" l + ql 2 l Å" l + Å" ql 2 l Å" l öÅ‚
vD = Å" Å" Å" Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚
EJ 3 2 2 3 2EJ
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że zwrot wektora przemieszczenia
jest zgodny ze zwrotem założonej siły jednostkowej (Rys. 5).
II. Wyznaczenie kąta ugięcia w punkcie G.
Kąt ugięcia wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, ze wzoru
li 1 li
5 5
M M dsi 1
zi zi 1
¸G = = (3)
" " zi zi
+" +"M M dx
Ei J EJ
i=1 i=1
zi
0 0
gdzie: ¸G - kÄ…t ugiÄ™cia w punkcie G,
M - moment gnący w i-tym przedziale belki od obciążenia zewnętrznego,
zi
1
M - moment gnÄ…cy w i-tym przedziale belki od momentu jednostkowego, odpo-
zi
wiadającego poszukiwanemu kątowi ugięcia, przyłożonemu w punkcie G,
li - długość i-tego przedziału belki.
4
1. Obliczenie reakcji i sporządzenie wykresu momentów gnących od momentu jednostko-
wego, przyłożonego w węz
le G.
Rys. 8. Schemat statyczny
Wyznaczamy reakcje podpór
1
1DG 1 1
= 0 RF Å" l +1 = 0 RF = -
"M D
l
1
1BG 1 1 1 1
= 0 - RC - RF = 0 RC = -RF =
"Piy
l
1 AB 1
= 0 VA = 0
"Piy
1AD 1 1 1 1 1
= 0 -VA Å" 3l + M - RC Å" l = 0 M = 3VAl + RCl = 1
"M D A A
1 1
= 0 H = 0
"Pix A
Wykorzystując przeprowadzone obliczenia sporządzamy wykres momentów gnących od
obciążenia jednostkowego.
Rys. 9. Wykres momentów gnących od momentu jednostkowego, przyłożonego w węz
le G.
2. Obliczenie kÄ…ta ugiÄ™cia ¸G w punkcie G.
Ostatecznie wykorzystując wzór (3) i wyniki przeprowadzonych obliczeń otrzymujemy
1 1 1 1 2 2 13ql3
ëÅ‚ql 2 l Å"1+ Å" Å" ql 2 l Å"1+ ql 2 l Å"1+ Å" ql 2 l Å" - 1
öÅ‚
2
¸G = Å" Å" Å" Å" Å" ql Å" l Å" =
ìÅ‚ ÷Å‚
EJ 3 2 2 3 2 3 6EJ
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, że kąt ugięcia jest zgodny z
założonym momentem jednostkowym (Rys. 8).
5