Układy statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Zakres zastosowań. Dowolne układy prętowego statycznie
niewyznaczalne. Implementacje numeryczne.
Przykład zastosowania. Rama płaska.
Dane: q, l, EI.
Wyznaczyć: reakcje podpór, wykresy sił wewnętrznych i kąt obrotu
przekroju C.
X2
VC
x
l
u2
B
B
C
C
HC
u1 X1
q
q
x
EI
2EI
l
HA
HA
A
A
Rzeczywisty układ VA
VA
Podstawowy układ
prętowy
MA prętowy
MA
RozwiÄ…zanie
1. Określenie rodzaju i liczby wielkości podporowych i sformułowanie
równań równowagi
W punkcie C jest podpora przegubowa, w której występują reakcje HC
(pozioma) oraz VC (pionowa). W punkcie A rama jest utwierdzona, a
więc występują tam reakcje HA (pozioma), VA (pionowa) i moment
utwierdzenia MA. Po oswobodzeniu z więzów rama (rzeczywisty układ
prętowy) jest w równowadze pod działaniem znanego obcią\
enia
równomiernie rozło\
onego q oraz pięciu niewiadomych wielkości
podporowych HC, VC, HA, VA, MA. Tworzą one płaski układ sił, dla
którego mo\
na zapisać trzy równania równowagi statycznej:
1
VCl - HCl - ql2 + M = 0
H + HC + ql = 0 VA +VC = 0 A
A
2
2. Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności i utworzenie
podstawowego układu prętowego
Liczba niewiadomych reakcji wynosi 5, a liczba równań równowagi 3.
Rama jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalna (hiperstatyczna). Jako
wielkości hiperstatyczne przyjmujemy X1 = HC i X2 = VC. Usuwamy
więzy, które powodują powstawanie wielkości hiperstatycznych i
tworzymy w ten sposób układ podstawowy (statycznie wyznaczalny).
W przypadku rozwa\
anej ramy oznacza to umo\
liwienie swobodnego
przemieszczania siÄ™ punktu C w kierunku poziomym (odpowiadajÄ…cym
X1) oraz pionowym (odpowiadajÄ…cym X2), czyli oswobodzenie tego
punktu.
3. Określenie warunków geometrycznych oraz związków fizycznych
i sformułowanie równań kanonicznych metody sił
Układ podstawowy będzie równowa\
ny układowi rzeczywistemu ramy
przy takich wartościach X1 i X2, dla których są spełnione warunki
geometryczne:
u1 = 0, u2 = 0
Związki fizyczne, które określają przemieszczenie u1 i u2 jako liniowe
funkcje X1 i X2 oraz znanego obciÄ…\
enia równomiernie rozło\
onego q:
u1 = f11X1 + f12 X + "1F
2
u2 = f21X1 + f22 X + "2F
2
Po uwzględnieniu związków fizycznych w warunkach geometrycznych
otrzymujemy równania kanoniczne metody sił:
f11X1 + f12 X + "1F = 0
2
f21X1 + f22 X + "2F = 0
2
f11, f12  liczby wpływowe X1, X2 na przemieszczenie u1
f21, f22  liczby wpływowe X1, X2 na przemieszczenie u2
"1F, "2F  część przemieszczeń u1, u2 spowodowana działaniem
znanego obciÄ…\
enia q.
Równań kanonicznych mo\
na napisać tyle, ile jest wielkości
hiperstatycznych.
Przyczyny powstawanie reakcji więzów oraz sił wewnętrznych i
naprÄ™\
eń w przekrojach prętów układu prętowego statycznie
niewyznaczalnego:
 obciÄ…\
enia zewnętrzne
 niedokładność wymiarów  naprę\
enia monta\
owe
 zmiany temperatury  naprÄ™\
enia termiczne
4. Wyznaczenie współczynników równań kanonicznych metody sił
Liczby wpływowe f11, f12, f21, f22, określają własności sprę\
yste układu
podstawowego oraz równowa\
nego układu rzeczywistego.
Są one przemieszczeniami w statycznie wyznaczalnym układzie
podstawowym, spowodowanymi jednostkowymi siłami
hiperstatycznymi lub znanymi obciÄ…\
eniami zewnętrznymi
Mo\
na je wyznaczyć metodą Maxwella-Mohra.
Rozwa\
amy układ podstawowy obcią\
ony kolejno siłami X1 = 1, X2 = 1
oraz q.
Przypadek ogólny: liczba wariantów obcią\
eń układu podstawowego o
jeden większa od liczby wielkości hiperstatycznych.
X2 = 1
x
x x
l,EI
l,EI l,EI
X1=1 q
x x
x
l, 2EI
l, 2EI l, 2EI
MA1 MA2
MAq
HAq
HA1 HA2
VAq
VA1 VA2
Zało\
enia:
 uwzględniamy tylko energię sprę\
ystÄ… zginania
 w ka\
dym wariancie obciÄ…\
enia identyczne przedziały 1 i 2 oraz
współrzędne x określające poło\
enie przekroju pręta. Przedział 1 
pręt poziomy BC, przedział 2  pręt pionowy BA. W obydwu
0 d" x d" l
przedziałach . Przyjmujemy ponadto, \
e
 moment gnÄ…cy Mg dodatni zakrzywia, a ujemny prostuje ramÄ™.
Rezultat: momenty gnÄ…ce zale\
ą wyłącznie od X1 = 1, X2 = 1 albo q.
Nie ma potrzeby wyliczania pozostałych reakcji
Dla siły hiperstatycznej X1 = 1 momenty gnące wynoszą:
M = 0, M = x
g11 g 21
Dla siły hiperstatycznej X2 = 1:
M = -x, M = -l
g12 g 22
Dla obciÄ…\
enia zewnętrznego q:
1
M = 0, M = qx2
g1F g 2F
2
Siły X1 = 1, X2 = 1
 przyczyna wywołująca moment gnący
 uogólniona siła jednostkowa odpowiadająca przemieszczeniu
Współczynniki równań kanonicznych.
f12  siła X2 = 1  przyczyna powodująca przemieszczenie (momenty
gnÄ…ce Mg12, Mg22)
 siła X1 = 1  siła jednostkowa odpowiadającą przemieszczeniu
(momenty gnÄ…ce Mg11, Mg21).
l l
1 1 l3
f12 =
g12 g11 g 22 g 21
+"M M dx + 2EI +"M M dx = - 4EI = f21
EI
0 0
Pozostałe współczynniki równań kanonicznych:
l l
1 1 l3
2 2
f11 =
g11 g 21
+"M dx + 2EI +"M dx = 6EI
EI
0 0
l l
1 1 ql4
"1F =
g1F g11 g 2F g 21
+"M M dx + 2EI +"M M dx = 16EI
EI
0 0
l l
1 1 5l3
2 2
f22 =
g12 g 22
+"M dx + 2EI +"M dx = 6EI
EI
0 0
l l
1 1 ql4
"2F =
g1F g12 g 2F g 22
+"M M dx + 2EI +"M M dx = -12EI
EI
0 0
5. Wyznaczenie z równań kanonicznych metody sił wielkości
hiperstatycznych
Po uwzględnieniu znanych ju\
współczynników w równaniach
kanonicznych mo\
na wyznaczyć z nich wielkości hiperstatyczne X1 i X2:
l3 l3 ql4 9
X1 - X + = 0 X1 = - ql E" -0,409ql = HC
2
6EI 4EI 16EI 22
Ò!
1
l3 5l3 ql4
X = - ql E" -0,023ql = VC
- X1 + X - = 0
2
2
44
4EI 6EI 12EI
Równanie kanoniczne metody sił w zapisie rachunku macierzowego
FX + "F = 0 Ò! X = -F-1"F
f11 f12
îÅ‚ Å‚Å‚
F =
ïÅ‚
 macierz podatności układu podstawowego
f21 f22 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
obciÄ…\
onego tylko siłami X1, X2
X = [X1 X2]T  jednokolumnowa macierz wielkości hiperstatycznych
"F = ["1F "2F]T  jednokolumnowa macierz przemieszczeń
spowodowanych obciÄ…\
eniem rzeczywistym,
odpowiadających wielkościom hiperstatycznym.
6. Wyznaczenie pozostałych sił niewiadomych, na podstawie równań
równowagi statycznej.
H = -HC - ql = -0,591ql
A
VA = -VC = 0,023ql
1
M = -VCl + HCl + ql2 = 0,114ql2
A
2
7. Sformułowanie równań i narysowanie wykresów sił wewnętrznych.
0 d" x d" l
Przedział 1 ( )
M = -X2x = 0,023qlx
g1
M = 0,023ql2
g1
dla x = 0, Mg1 = 0, dla x = l,
T1 = -X = 0,023ql
2
N1 = X1 = -0,409ql
0 d" x d" l
Przedział 2 ( )
1 9 1 1
M = X1x - X2l + qx2 = - qlx + ql2 + qx2
g 2
2 22 44 2
M = 0,023ql2 , dla x = l, M = 0,114ql2
g 2 g 2
dla x = 0,
dM
9
g 2
= - ql + qx = 0 Ò! xekstr = 0,409l
dx 22
2
d M
g 2
= q > 0
Poniewa\
, jest to minimum lokalne
dx2
x = xekstr = 0,409l, M = M = -0,061ql2
g 2 g 2min
Dla
T2 = X1 + qx = -0,409ql + qx
dla x = 0, T = -0,409ql
2
dla x = l, T = 0,591ql
2
N2 = X2 = 0,023ql2
0,023ql
-0,409ql
0,023ql2
-0,409ql
0,409l
-0,061ql2
-0,023ql
Wykres T
Wykres Mg
Wykres N
0,114ql2
0,591ql
8. Wyznaczenie przemieszczeń
Aby wyznaczyć metodą Maxwella-Mohra kąt obrotu końcowego
prawego przekroju pręta BC, nale\
y w punkcie C przyło\
yć moment
jednostkowy i określić spowodowane nim momenty gnące M g1 M g2 w
obydwu przedziałach.
Rozwa\
amy statycznie wyznaczalny układ podstawowy.
x
B
u
C
l,EI
x
1
l, 2EI
H A
A
M A
V A
Momenty gnÄ…ce spowodowane obciÄ…\
eniem q i znanymi siłami X1, X2
(Mg1 Mg2) oraz momentem jednostkowym, odpowiadajÄ…cym kÄ…towi
obrotu u przekroju C (M g1 M g2) wynoszÄ…:
1
2
M = qlx, M =1
g1 g1
44
9 1 1
2
M = - qlx + ql2 + qx2, M =1
g 2 g 2
22 44 2
Przemieszczenie uogólnione u (kąt obrotu w punkcie C) wyznaczone
metodÄ… Maxwella-Mohra:
l l
1 1 ql3
u =
g1 g1 g 2 g 2
+"M M 2 dx + 2EI +"M M 2 dx = 264EI
EI
0 0
Przykład 1.
Rama płaska jest obcią\
ona dwoma równymi, przeciwnie zwróconymi i
le\
ącymi na jednej prostej siłami F. Narysować wykresy sił
wewnętrznych, jeśli wszystkie pręty mają długość l, a sztywność na
zginanie prętów poziomych oraz pionowych wynoszą odpowiednio EI
oraz 2EI.
X1
1
l/2
Fl/24
Mg
x
x F/2
F
F 2
l/2
-11Fl/24
X1 = 1
M
l/2
? 1
N
2
F/2
x -F/2
T
x
?
F
F
T = 0
l/2
F/2
Przedziały w -F/2
ćwiartce ramy
1
l/2
F/2
F/2
2
x
x
X
M
F M
F
N
l/2
F/2
M
M
Rozwiązanie.  Przecinamy ramy pionową płaszczyzną symetrii
Z warunków równowagi:
N = F/2
T = 0
Moment gnący M  wielkość hiperstatyczna X1.
Układ podstawowy  swobodny wzajemny obrót lewej i prawej strony
rozwa\
anego przekroju.
Warunek geometryczny: przy obciÄ…\
eniu siłami X1 i F wzajemny kąt
obrotu u1 lewej i prawej strony przekroju jest równy zeru
Równanie kanoniczne metody sił:
X1 f11 + "1F = u1 = 0
Metoda Maxwella-Mohra  energia dla ćwiartki ramy i wynik mno\
ymy
przez cztery. Równania momentów gnących wywołanych siłą X1 = 1
oraz obciÄ…\
eniem F w przedziałach 1, 2
Dla 0< x< l/2
M = 1, M = 1
g11 g 21
F
M = 0, M = - x
g1F g 2F
2
czyli:
l 2 l 2
4 4 3l
2 2
f11 =
g11 g 21
+"M dx + 2EI +"M dx = EI
EI
0 0
l 2 l 2
4 4 - Fl2
"1F =
g1F g11 g 2F g 21
+"M M dx + 2EI +"M M dx = 8EI
EI
0 0
Z równania kanonicznego:
3lX1 - Fl2 Fl
- = 0 Ò! X1 = M =
EI 8EI 24
Równania momentów gnących Mg sił poprzecznych T i normalnych N
mają postać:
Fl Fl F
M = , M = - x
g1 g 2
24 24 2
F
T1 = 0, T2 = -
2
F
N1 = , N2 = 0
2
Przykład 2. Wałek o długości l i średnicy d, wykonany z materiału o
współczynniku sprę\
ystości podłu\
nej E, jest osadzony w trzech
Å‚o\
yskach. Obliczyć maksymalne naprę\
enie normalne w wałku po jego
zmontowaniu, jeśli oś ło\
yska Å›rodkowego jest przesuniÄ™ta o ´
względem osi dwóch pozostałych ło\
ysk.
Rozwiązanie. Wałek modelowany jako belka na trzech podporach.
WystÄ…piÄ… reakcje RA, RB, RC.
Å‚o\
ysko
d
l/2
l/2
RA RC
A
C
´
B
RB = X1
Warunek równowagi: RA = RC = RB/2
Zadanie jednokrotnie statycznie niewyznaczalne.
Wielkość hiperstatyczna: RB = X1
Równanie kanoniczne metody sił:
X1 f11 + "1F = u1 = ´
Warunek geometryczny, aby mo\
na było zmontować wałek.
Liczba wpływowa f11  ugięcie belki o rozpiętości l i sztywności EI
podpartej swobodnie na końcach i obcią\
onej w środku siłą X1 = 1
l3
f11 =
.
48EI
Przemieszczenie "1F = 0  nie ma obciÄ…\
enia zewnętrznego:
X1l3 48EI´ 24EI´
= ´ Ò! X1 = = RB, RA = RC =
48EI l3 l3
Moment gnący osiąga wartość maksymalną w przekroju środkowym
wałka i wynosi:
l 12EI´
M = RA =
g max
2 l2
Maksymalne monta\
owe naprÄ™\
enie normalne w wałku wynosi:
M M d
6E´d
g max g max
Ãmax = = =
W 2I l2