Metoda Maxwella-Mohra
Dotychczas omówione metody w przypadku układów zło\
onych nale\
Ä…
do zbyt pracochłonnych, znaczne uproszczenie obliczeń mo\
na uzyskać
wprowadzajÄ…c modyfikacjÄ™ metody Castigliano zwanÄ… metodÄ…
Maxwella-Mohra. Do jej wyprowadzenia, załó\
my tymczasowo, \
e
energia sprÄ™\
ysta układu pochodzi tylko od momentów gnących.
Rozwa\
my belkÄ™ spoczywajÄ…cÄ… na podporze przegubowej A i podporze
przesuwnej B, obciÄ…\
oną siłami F1, F2, & ., Fi, & ., Fn.
Fi
F1 F2 Fn
A
B
RA
xi
RB
l
Energia sprÄ™\
ysta belki w przedziale i wynosi:
1
2
Vi = M dxi
gi
+"
2EI
li
gdzie:
Mgi  moment gnący w przekroju określonym współrzędną xi
belki. Symbol li przy znaku całki oznacza całkowanie na długości
przedziału xi belki
Rozpatrzmy teraz tÄ™ samÄ… belkÄ™ obciÄ…\
onÄ… w punkcie C jednostkowÄ…
siłą fikcyjną Ffik = 1. Dla tak obcią\
onej belki mo\
na łatwo wyznaczyć
wykres momentów gnących. W przekroju określonym współrzędną xi
moment gnący oznaczamy jako M gi. Dla dowolnej wartości siły Ffik
moment gnÄ…cy w przekroju xi belki wyniesie M giFfik.
Ffik = 1
A
B
C
RA
RB
xi
l
M g(x)
M gi
+
x
Je\
eli teraz do układu zasadniczego wprowadzimy w punkcie C siłę
fikcyjnÄ… Ffik, to moment gnÄ…cy, zgodnie z zasadÄ… superpozycji,
w przekroju określonym współrzędną xi belki wyniesie Mgi + M giFfik.
Wartość energii sprę\
ystej w przedziale i określi wówczas zale\
ność:
1
2
Vi = ( )
M + M Ffik 2 dxi
gi gi
+"
2EI
li
Ffik = 0
F3
F1 F2 Fn
A
B
C
u
RA
RB
xi
l
Jeśli uwzględni się, \
e energia sprÄ™\
ysta w całej belce jest sumą energii
dla wszystkich przedziałów, to ugięcie u w przekroju C belki, zgodnie
z twierdzeniem Castigliano wynosi:
l
1
2 2
u = ( )
M + M Ffik M dx
g g g
+"
EI
0
Poniewa\
w rzeczywistości siła fikcyjna Ffik jest równa zeru (Ffik = 0) to
otrzymujemy wyra\
enie zwane wzorem Maxwella-Mohra:
l
2
M M
g g
u = dx
+"
EI
0
ReasumujÄ…c, zgodnie z metodÄ… Maxwella-Mohra wyznaczenie
przemieszczenia u, sprowadza się do obliczenia całki, pod znakiem
której występuje moment gnący spowodowany rzeczywistym
obciÄ…\
eniem zewnętrznym Mg, oraz moment gnący jaki wywołałaby
jednostkowa siła fikcyjna (Ffik = 1) odpowiadającą temu
2
M
przemieszczeniu g .
Nietrudno udowodnić, \
e jeśli energia sprę\
ysta układu będzie zale\
eć
od następujących obcią\
eń zewnętrznych N, Ms, Mgy, Mgz, Ty, Tz, to
przemieszczenie u, będzie określone następującą zale\
nością:
l
ëÅ‚ 2 2 2 öÅ‚
M M M M ² TyTy ²zTzTz ÷Å‚
2 2 2
NN M M
gy gy gz gz y
S S
u = + + + dx
+"ìÅ‚ EA + GI + EI
ìÅ‚ ÷Å‚
EIZ GA GA
S y
0
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie:
2
Ty 2
2 2
M 2 Tz
2 M M
N
, , , , , ,  odpowiednie składowe sił
s gy gz
wewnętrznych przy obcią\
eniu fikcyjnym wynoszÄ…cym Ffik = 1.
Przykład. Belka o długości 3l i sztywności EI, podparta przegubowo na
obu końcach, obcią\
ona jest siłami skupionymi F i 2F. Wyznaczyć
przemieszczenie u w punkcie C przyło\
enia siły 2F .
x
x
x
2F
F
A
B
C
RA
RB
l l l
1. Równania równowagi dla układu zasadniczego
"F = 0; F + 2F - RA - RB = 0
y
"M = 0; Fl + 2F 2l - RB3l = 0
( A)
stÄ…d
4
RA = F
3
5
RB = F
3
2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego
Przedział nr 1 dla układu zasadniczego
0 d" x d" l
4
M (x) = RAx = Fx
g1
3
Przedział nr 2 dla układu zasadniczego
l d" x d" 2l
1
M (x) = RAx - F(x - l) = Fx + Fl
g 2
3
Przedział 3 dla układu zasadniczego
2l d" x d" 3l
5
M (x) = RAx - F(x - l)- 2F(x - 2l) = - Fx + 5Fl
g 3
3
3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1
2 2
Fy = 0; Ffik - RA - RB = 0
"
"M = 0; Ffik 2l - RB '3l = 0
( A)
x
Ffik = 1
x
A
B
C
R A
R B
l l l
stÄ…d
1
2
RA =
3
2
2
RB =
3
4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1
Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną
0 d" x d" 2l
1
2 2 2
M (x)= M (x)= RAx = x
g1 g 2
3
Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną
2l d" x d" 3l
2
2 3 2
M (x) = RAx - Ffik (x - 2l) = - x + 2l
g
3
5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra przemieszczenie uC w punkcie C
wynosi:
l 2l 3l
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
2 1 2 2 3
uC = M (x)M (x)dx + M (x)M (x)dx + M (x)M (x)dx
g1 g g 2 g 2 g 3 g
+" +" +"
ìÅ‚ ÷Å‚
EI
íÅ‚ 0 l 2l Å‚Å‚
czyli
l 2l
ëÅ‚
1 4 1 1 10 20
ëÅ‚ öÅ‚dx 3l ëÅ‚ öÅ‚dx öÅ‚
2 2 2 2
ìÅ‚
uC = Fx dx +
+" +"ìÅ‚ 9 Fx + 3 Flx ÷Å‚ + +"ìÅ‚ 9 Fx - 3 Flx + 10Fl ÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
EI 9
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ 0 l 2l Å‚Å‚
po scałkowaniu i wstawieniu granic całkowania:
1 4 8 4 1 1
ëÅ‚
ëÅ‚
uC = Fl3 + Fl3 + Fl3 - Fl3 - Fl3 öÅ‚ +
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
EI 24 27 6 27 6
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚
270 180 80 80
öÅ‚
ëÅ‚
+ Fl3 - Fl3 + 30Fl3 - Fl3 + Fl3 - 20Fl3 öÅ‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
27 6 27 6
íÅ‚ Å‚Å‚
Å‚Å‚
stÄ…d
23Fl3
uC =
18EI
Przykład. Rama ABC o sztywności EI jest podparta na podporze
przegubowej w punkcie A i podporze przesuwnej w punkcie C oraz
obciÄ…\
ona równomiernie na długości 2r obcią\
eniem q. Wyznaczyć
metodą Maxwella-Mohra kąt obrotu u przekroju C pręta ramy.
x
q
RC
B
C
2r
Ä…
r
A RAy
RAx
1. Równania równowagi dla układu zasadniczego
Fx = 0; RAx = 0
"
"F = 0; 2qr - RAy - RC = 0
y
"M = 0; (2qr)r - RC 2r = 0
( A)
stÄ…d
RAx = 0
RAy = qr
RC = qr
2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego
Przedział nr 1 dla układu zasadniczego
0 d" x d" 2r
1
M (x) = RC x - (qx)x = - qx2 + qrx
g1
2 2
Przedział nr 2 dla układu zasadniczego
0 d" Ä… d" Ä„
M (Ä…)= -RAyr sinÄ… = -qr2 sinÄ…
g 2
3. Równania równowagi dla układu z momentem fikcyjnym Mfik = 1
Fx = 0; RAx '= 0
"
"F = 0; RAy '-RC '= 0
y
"M = 0; M - RC '2r = 0
( A) fik
stÄ…d
RAx '= 0
1
RAy '=
2r
1
RC '=
2r
x
RC
C Mfik = 1
B
2r
Ä…
r
A
RAx
RAy
4. Równania momentów gnących dla układu z momentem fikcyjnym
Mfik = 1
Przedział nr 1 dla układu z momentem fikcyjnym
0 d" x d" 2r
1
2 2
M (x)= RC x - M = x -1
g1 fik
2r
Przedział nr 2 dla układu z momentem fikcyjnym
0 d" Ä… d" Ä„
1
2 2
M (Ä… ) = RAyr sin Ä… = sin Ä…
g 2
2
5. Zgodnie z wzorem Maxwella-Mohra kÄ…t obrotu uC w punkcie C
wynosi:
2r Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚
uC =
g1 g1 g 2 g 2
+"M (x)M 2 (x)dx + +"M (Ä… )M 2 (Ä… )dÄ… ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
EI
íÅ‚ 0 0 Å‚Å‚
czyli
2r Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
ìÅ‚
uC =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+"ëÅ‚ qx2 - qrx - 4r qx3 öÅ‚dx + +"ëÅ‚ - 2 qr3 sin2(Ä… )öÅ‚dÄ… ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
EI
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
0 0
stÄ…d
qr3 ëÅ‚ 1 Ä„
öÅ‚
uC = - +
ìÅ‚ ÷Å‚
EI 3 4
íÅ‚ Å‚Å‚
Znak minus oznacza, \
e przekrój C obróci się w stronę przeciwną
w stosunku do przyjętego zwrotu jednostkowego momentu fikcyjnego.
Uproszczona metoda obliczania całek we wzorze Maxwella-Mohra
Mo\
na udowodnić, \
e całki występujące we wzorze Maxwella-Mohra
dla typowych przypadków obcią\
eń łatwo obliczać przez zastąpienie ich
iloczynem dwóch prostych czynników. I tak, w przypadku zginania jest
to iloczyn &! pola wykresu momentów gnących Mg od obcią\
enia
zasadniczego oraz rzędnej M gc wykresu momentów gnących M g od
obciÄ…\
enia fikcyjnego, odpowiadającej współrzędnej xc środka
geometrycznego C pola &!, czyli:
l
2 2
M M dx = &!M
g g gc
+"
0
Wykres momentów gnących Mg
C
Mg
&! - pole
x
wykresu Mg
xc
Mgc = axc + b
Mg
prosta y = ax + b
Wykres Mg dla uogólnionej siły jednostkowej
Wzór ten podany przez Wereszczagina znacznie upraszcza obliczenia.
Wówczas korzysta się z gotowych wzorów podanych w tabeli.
Lp. Mg
l l
l l
Mg
Lp. 1 2 3 4 5
1 1 1
adl adl adl (a + b)dl
1
l
2 2 2
1 1 1 1
2
adl adl adl (2a + b)dl
l
2 3 6 6
1 1 1 1
adl adl adl (a + 2b)dl
3
l
2 6 3 6
1 1 1
1
l[a(2d + e)+ b(d + e)]
a(d + e)l a(2d + e)l a(d + 2e)l
4
6
l
2 6 6
1 1 1
adl adl adl (a + b)dl
5
l/2 l/2
4 4 4
b
a
a
a
a
d
d
d
e
d
d
b c
Lp. Mg
l
l
l l
Mg
Lp. 1 6 7 8 9
1 2 1 2
adl adl adl adl
1
l
2 3 3 3
1 1
1 1
2
ad(l + c)
adl adl adl
l
6 4 4
3
1 1 1 5
3
ad(l + b) adl adl adl
l
6 3 12 12
1 1 1
1
a[d(l + c)+ e(l + b)]
4
a(d + e)l al(3d + e) al(3d + 5e)
6
l
3 3 3
1 1 1
1 adl l 2b2
-
5
adl adl adl
2 c 2 3l
l/2 l/2
2 6 2
a
a
a
a
d
d
d
e
d
d
Przykład. Belka o długości 3l i sztywności EI, podparta na podporze
przegubowej A i podporze przesuwnej B, obciÄ…\
ona jest siłami
skupionymi F i 2F. Wyznaczyć przemieszczenie u w punkcie C
przyło\
enia siły 2F .
x
x
x
2F
F
A
B
C
RA
RB
l l l
1. Równania równowagi dla układu zasadniczego
"F = 0; F + 2F - RA - RB = 0
y
"M = 0; Fl + 2F 2l - RB3l = 0
( A)
stÄ…d
4
RA = F
3
5
RB = F
3
2. Równania momentów gnących dla układu zasadniczego
Przedział nr 1 dla układu zasadniczego
0 d" x d" l
4
M (x) = RAx = Fx
g1
3
Przedział nr 2 dla układu zasadniczego
l d" x d" 2l
1
M (x) = RAx - F(x - l) = Fx + Fl
g 2
3
Przedział 3 dla układu zasadniczego
2l d" x d" 3l
5
M (x) = RAx - F(x - l)- 2F(x - 2l) = - Fx + 5Fl
g 3
3
x
x
x
2F
F
A
B
C
RA
RB
l l l
5
Fl
Mg(x)
3
4
Fl
3
+
x
3. Równania równowagi dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1
"F = 0; Ffik - RA'-RB '= 0
y
"M = 0; Ffik 2l - RB '3l = 0
( A)
x
Ffik = 1
x
A
B
C
RA
RB
l l l
stÄ…d
1
RA'=
3
2
RB '=
3
4. Równania momentów gnących dla układu z siłą fikcyjną Ffik = 1
Przedział nr 1 i 2 dla układu z siłą fikcyjną
0 d" x d" 2l
1
M '(x) = M '(x) = RA' x = x
g1 g 2
3
Przedział nr 3 dla układu z siłą fikcyjną
2l d" x d" 3l
2
M '(x) = RA ' x - Ffik (x - 2l) = - x + 2l
g 3
3
x
Ffik = 1
x
A
B
C
RA
RB
l l l
2
Mg (x)
l
3
1
l
+
3
x
5. Wyznaczenie przemieszczenia uC
Na podstawie wykresów momentów gnących dla układu zasadniczego
i układu z siłą fikcyjną przy pomocy tabeli mo\
na określić ugięcie
w punkcie C:
Przedział nr 1 zgodnie z pozycją 3 i kolumną 4 z tabeli:
1 1 4 1 4
C1 = adl = Å" Fl Å" l Å" l = Fl3
3 3 3 3 27
Przedział nr 2 zgodnie z pozycją 4 i kolumną 5 z tabeli:
1 1 4 1 2 5 1 2
Å‚Å‚
öÅ‚ öÅ‚
C2 = l[a(2d + e)+ b(d + 2e)]= lîÅ‚ FlëÅ‚ 2 l + l + FlëÅ‚ l + 2 l =
÷łśł
ïÅ‚3 ìÅ‚ 3 3 ÷Å‚ 3 ìÅ‚ 3
6 6 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
41
= Fl3
54
Przedział nr 3 zgodnie z pozycją 2 i kolumną 3 z tabeli:
1 1 5 2 10
C3 = adl = Å" Fl Å" l Å" l = Fl3
3 3 3 3 27
stÄ…d
1 Fl3 ëÅ‚ 4 41 10 69Fl3 23Fl3
öÅ‚
uC = (C1 + C2 + C3) = + + = =
ìÅ‚ ÷Å‚
EI EI 27 54 27 54EI 18EI
íÅ‚ Å‚Å‚