Metoda Maxwella-Mohra
1. Dla belki obciążonej jak na rysunku wyznacz kąt obrotu i ugięcie kooca swobodnego belki.
q0
q(x)
Sc
x
A
B
x
l, E I
y
Metoda całkowania analitycznego
Do wyznaczenia ugięcia jak i kątu obrotu będzie potrzebny nam moment :
Moment liczymy dla danego x należącego do naszego przedziału, na rysunku zaznaczony na
czerwono.
1 5�e�
5�@� 5�e�, 5�^�0 = - 5�T� 5�e� " 5�e� "
2 3
Gdzie:
�� Pole trójkąta
�� Ramię
Nie znamy q(x) wyznaczymy z podobieostwa trójkątów:
5�^�0 5�^�(5�e�)
=
5�Y� 5�e�
5�^�0 " 5�e�
5�^�(5�e�) =
5�Y�
Podstawiamy q(x) do momentu:
5�^�0 " 5�e�3
5�@� 5�e�, 5�^�0 = -
65�Y�
1 | S t r o n a
Liczymy kąt obrotu:
Mamy taki wzorek:
1
5��5�V� = 5�@� " 5�Z� 5�Q�5�e�
5�8�5�<�
5�?�
Gdzie:
�� M  moment dla belki danej w zadaniu (to co policzyliśmy na początku)
�� m  moment dla belki w której dodajemy moment M=1 i nie uwzględniamy sił danych w
zadaniu
M=1
A
B
l, E I
Liczymy moment:
Działa tylko nasz dodany moment o wartości 1 czyli:
m(x)=1 co obrazuje wykres:
1 +
Mamy to co potrzebujemy podstawiamy do wzoru:
5�Y�
1 5�^�0 " 5�e�3 5�^�0 5�Y� 5�^�0 5�Y�4 04 5�ł�5���5�ć�5�Ń�
5��5�V� = (- ) " 1 5�Q�5�e� = - 5�e�3 = - - = -
5�8�5�<� 65�Y� 65�Y�5�8�5�<� 65�Y�5�8�5�<� 4 4 5���5���5�l�5�p�
0 0
2 | S t r o n a
Liczymy ugięcie:
Mamy taki wzorek:
1
5�S�5�V� = 5�@� " 5�Z� 5�Q�5�e�
5�8�5�<�
5�?�
Gdzie:
�� M  moment dla belki danej w zadaniu (to co policzyliśmy na początku)
�� m  moment dla belki w której dodajemy siłę P=1 i nie uwzględniamy sił danych w zadaniu
P=1
l, E I
Liczymy moment:
5�Z� 5�e� = -5�C� " 5�e� = -5�e�
co obrazuje wykres:
_
x
Mamy to co potrzebujemy podstawiamy do wzoru:
5�Y�
1 5�^�0 " 5�e�3 5�^�0 5�Y� 5�^�0 5�Y�5 05 5�ł�5���5�ć�5���
5�S�5�V� = - " -5�e� 5�Q�5�e� = 5�e�4 = - =
5�8�5�<� 65�Y� 65�Y�5�8�5�<� 65�Y�5�8�5�<� 5 5 5��5���5�l�5�p�
0 0
3 | S t r o n a
Metoda graficzna (Wereszczagina)
1 1 1
5�S�5�V� = Ś5�V� = 5�@� " 5�Z� 5�Q�5�e� = �M " ym = �m " yM
5�8�5�<� 5�8�5�<� 5�8�5�<�
5�?�
Całka z metody całkowania analitycznego jest równa iloczynowi pola(z wykresu) i rzędnej(z wykresu)
momentu.
M  moment liczony z podanej w zadaniu belki,
m  moment liczony po dodaniu P=1 lub M=1, tak jak to było przy metodzie całkowej
Liczymy ugięcie:
�� Jak wiemy z wcześniejszych obliczeo M(x) wynosi: (jak nie liczyliśmy momentu to liczymy
oczywiście teraz)
5�^�0 " 5�e�3
5�@� 5�e�, 5�^�0 = -
65�Y�
�� Dla ugięcia m(x) to moment z dodanym P=1, ten moment także już liczyliśmy wynosi:
5�Z� 5�e� = -5�C� " 5�e� = -5�e�
Podstawiamy dolną i górną granice przedziału czyli 0 i l następnie rysujemy wykresy:
ż� Warto pamiętad o tym, że wykresy mają byd równo jeden pod drugim.
ż� Najlepiej rysowad wykres dla którego liczymy pole powyżej a pod nim wykres z którego
bierzmy rzędną.
4 | S t r o n a
Pole bierzemy dla wykresu o funkcji wyższego stopnia czyli u M(x), bo jest to funkcja trzeciego
5�^�05ؙ�5�Ń�
stopnia(- ), natomiast m(x) jest stopnia pierwszego (-5ؙ�).
65�Y�
Na wykresie dla którego liczymy pole
zaznaczamy środek ciężkości.
5�^�05�Y�2
M(x)
6
Sc
-
4
5�Y�
5
Opuszczamy środek ciężkości na
wykres i mamy rzędną której
m(x)
poszukujemy.
5�Y�
5�f�5�Z�
-
4
5�Y�
5
Z podobieostwa trójkątów wyliczamy 5�f�5�Z� :
5�f�5�Z� -5�Y�
=
4
5�Y�
5�Y�
5
4
5�f�5�Z� = - 5�Y�
5
5 | S t r o n a
Liczymy ugięcie ze wzoru podanego na początku metody graficznej:
5�^�05�Y�2 5�ł�5���5�ć�5���
1 1 4
5�S�5�4� = " l " - " (- l) =
5�8�5�<� 4 6 5 5��5���5�l�5�p�
1
Ze wzoru na pole funkcji 3 stopnia: � = L " a
4
5�N�
5�?�
Liczymy kąt obrotu:
Wykres M(x) jest taki sam jak przy ugięciu. Natomiast wykres m(x) jest dla belki z dodanym M=1, m(x)
dla tej belki już liczyliśmy przy metodzie całkowej m(x)=1. Wiec rysujemy wykresy:
5�^�05�Y�2
M(x)
6
Sc
Czynności te same co przy ugięciu,
-
czyli środek ciężkości rzutujemy na
drugi wykres i mamy rzędną.
4
5�Y�
5
m(x)
5�f�5�Z�
+
1
5�f�5�Z� = 1
6 | S t r o n a
Liczymy kąt obrotu ze wzoru podanego na początku metody graficznej:
1 1 5�^�05�Y�2 5�ł�5���5�ć�5�Ń�
Ś5�4� = " l " (- ) " 1 = -
5�8�5�<� 4 6 5���5���5�l�5�p�
Mam nadzieje, że pomogłem, Czerwiec.
7 | S t r o n a