Jadwiga Chudzicka
1
OPIS METODY
Całkowanie numeryczne  metoda numeryczna polegająca
na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych.
Proste metody całkowania numerycznego polegają na
przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej
wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać
dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania
na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumÄ…
oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach.
Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały,
ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać
krok do szybkości zmienności funkcji.
Jadwiga Chudzicka
2
Metoda prostokątów
Metoda ta polega na przybliżeniu całki sumą pól prostokątów
utworzonych przez podział przedziału całkowania na pewną
liczbę równych części.
Jadwiga Chudzicka
3
Prawdopodobnie najprostszym wzorem
jest metoda punktu środkowego
Jeśli funkcja f(x) zmienia się w niewielkim
stopniu w przedziale (x * ,x * + h), reguła
taka da dobre przybliżenie całki.
Jadwiga Chudzicka
4
Przykład  metoda prostokątów
Spróbujmy scałkować funkcję cos(x) na przedziale od 0 do 1.
Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny
wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych
metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych
prawidłowy wynik wynosi:
Jadwiga Chudzicka
5
Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu
środkowego da nam wynik (h = 1 - 0, punkt
Å›rodkowy w przedziale [0,1] to ½):
co daje błąd 0,0361115771 (błąd względny 4,3%) 
niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście
niezadowalający do wielu zastosowań.
Jadwiga Chudzicka
6
Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy
podzielić przedział całkowania na dwie części:
Z błędem bezwzględnym 0,0088296604 lub względnym 1%.
Jadwiga Chudzicka
7
Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów
możemy uzyskać lepsze przybliżenie:
Liczba części Wynik Błąd
bezwzględny względny
1 0,8775825619 0,0361115771 4,29%
2 0,8503006452 0,0088296604 1,05%
4 0,8436663168 0,0021953320 0,26%
8 0,8420190672 0,0005480824 0,07%
Jadwiga Chudzicka
8
Przedstawiony zostanie schemat blokowy metody
prostokątów dla zadania:
Wyznaczyć całkę oznaczoną funkcji f(x) w przedziale [a, b]
z dokładnością do eps.
Opis metody:
Zagadnienie to można rozwiązać jedynie metodami
całkowania numerycznego, ponieważ funkcja podcałkowa
f(x) nie jest wyspecyfikowana.
Rozwiązując metoda prostokątów podzielimy przedział
całkowania na pewną liczbę równych części.
Jadwiga Chudzicka
9
Algorytm polega na wyznaczeniu ciÄ…gu kolejnych
przybliżeń wartości całki w następujący sposób:
1. Przybliżenie początkowe jest polem prostokąta o
bokach h = b  a i f(a + h/2), tzn. jeden bok jest
długością przedziału całkowania, a drugi wartością
funkcji podcałkowej w środku tego przedziału.
Zatem przybliżenie początkowe (oznaczymy go przez
S0) jest przybliżeniem osiągniętym przy liczbie
podziałów przedziału całkowania n = 1 (pole pod
funkcją podcałkową zastąpione polem jednego
prostokÄ…ta).
Jadwiga Chudzicka
10
2. Przybliżenie k-te Sk (k = 1, 2, & , ) wyznaczamy
podwajając liczbę podziałów przedziału całkowania w
stosunku do przybliżenia poprzedniego (k  1)  szego,
tzn. n = 2*n.
Wartość całki przybliżamy sumą pól prostokątów o
bokach:
b - a
h'= i wartości funkcji podcałkowej f(x) w punkcie
n'
h'
+
, gdzie xi  początek odcinka będącego
x
i
2
podstawÄ… i  tego prostokÄ…ta.
Jadwiga Chudzicka
11
Przedział całkowania dzielimy na jednakowe części,
dlatego długość jednego z boków jest wspólna dla
wszystkich prostokątów.
W każdym kolejnym przybliżeniu podwajamy liczbę
podziałów, to długość tego boku jest o połowę mniejsza w
stosunku do tej z przybliżenia poprzedniego:
h
Przybliżenie k  te można więc wyznaczyć wg wzoru
h'=
2
n
Sk = h yi , gdzie yi  wartość f. podcałkowej w środku
"
i-tego przedziału, h  długość przedziału
i= 1
elementarnego, tzn.
b - a
, jeżeli przedział [a, b] został podzielony na
h =
n części.
n
Jadwiga Chudzicka
12
3. W sposób opisany w punktach 1. i 2. tworzymy ciąg
kolejnych przybliżeń S0, S1, S2, & , do momentu, aż
będzie spełniony warunek:
| Sj + 1 - Sj | < eps
Ostatnie przybliżenie Sj + 1 jest wartością całki z dokładnością
do eps.
W algorytmie w kolejnym k-tym kroku iteracyjnym potrzebna
jest znajomość tylko dwóch sąsiednich przybliżeń Sk - 1
(oznaczenie w schemacie S0) i Sk (oznaczenie w schemacie
S1) (k = 1,2, & ,).
Jadwiga Chudzicka
13
START
n  liczba podziałów
CZYTAJ: a,b,eps
przedziału [a,b]
h  długość przedziału
n := 1
elementarnego
h := b - a
S0  przybliżenie
początkowe całki
S0 := h * f(a + h/2)
Str. 1
x  wartość środka
elementarnego
przedziału
n := 2 * n
h := h/2
i  zmienna potrzebna
S1 := 0
przy wyznaczaniu sumy
i := 1
yi dla i = 1, 2, & , n
x :+ a + h/2
Str. 2
Jadwiga Chudzicka
14
Str. 2 wyznaczanie sumy yi dla
i = 1, 2, & , n, gdzie yi
jest wartością funkcji
S1 := S1 + f(x)
podcałkowej w środku i-
tego przedziału
elementarnego
NIE TAK
i = n
wyznaczanie
kolejnego
przybliżenia
S1 := S1 * h
x := x + h
i := i + 1
TAK
NIE
abs (S1  S0) >= eps
S0 := S1
Druk: S1
KONIEC
Str. 1
Jadwiga Chudzicka
15