Metody całkowania numerycznego
Za pomoc metod numerycznych mo na liczy całki oznaczone dla funkcji, które nie
dadz si rozwi za w sposób analityczny. Liczenie całek sprowadza si do
obliczenia pola pod wykresem funkcji.

a) metoda prostok tów
Mamy dan funkcj f(x) oraz przedział , w którym chcemy policzy całk
oznaczon dla tej funkcji. W metodzie prostok tów korzystamy z definicji całki
oznaczonej Riemanna, w której warto całki interpretowana jest jako suma pól
obszarów pod wykresem krzywej w zadanym przedziale całkowania . Sum
t przybli amy przy pomocy sumy pól odpowiednio dobranych prostok tów. Sposób
post powania jest nast puj cy:
Przedział całkowania dzielimy na n równo odległych punktów
x1,x2,...,xn. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:
dla i = 1,2,...,n
Obliczamy odległo mi dzy dwoma s siednimi punktami - b dzie to
podstawa ka dego prostok ta:
Dla ka dego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy warto funkcji
f(x) w tym punkcie:
fi = f(xi), dla i = 1,2,...,n
Podstawy Informatyki 2 rok akad. 2003/2004 mgr in . Paweł Myszkowski 1
Obliczamy sum iloczynów wyznaczonych warto ci funkcji przez odległo dx
mi dzy dwoma s siednimi punktami - da to sum pól poszczególnych
prostok tów ograniczonych wykresem funkcji:
S = f1 dx + f2 dx + ... + fn dx
a po wyprowadzeniu wspólnego czynnika przed nawias:
S = dx (f1 + f2 + ... + fn)
Otrzymana suma jest przybli on warto ci całki oznaczonej funkcji f(x) w
przedziale .
b) metoda trapezów
Opisana w poprzednim podpunkcie metoda prostok tów nie jest zbyt dokładna,
poniewa pola u ytych w niej prostok tów le odwzorowuj pole pod krzyw .
Du o lepszym rozwi zaniem jest zastosowanie zamiast nich trapezów o podstawie
dx i bokach równych odpowiednio warto ci funkcji w punktach kra cowych..
Sama zasada nie zmienia si .
Przedział całkowania dzielimy na n+1 równo odległych punktów
x0,x1,x2,...,xn. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:
dla i = 0,1,2,...,n
Podstawy Informatyki 2 rok akad. 2003/2004 mgr in . Paweł Myszkowski 2
Obliczamy odległo mi dzy dwoma s siednimi punktami - b dzie to
podstawa ka dego trapezu:
Dla ka dego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy warto funkcji
f(x) w tym punkcie:
dla i = 0,1,2,...,n
fi = f(xi)
Pole pod wykresem funkcji przybli ane jest polami n trapezów. Pole i-tego
trapezu obliczamy wg wzoru:
dla i=1,2,...,n
Przybli ona warto całki jest sum pól wszystkich otrzymanych w ten sposób
trapezów:
s = P1 + P2 + ... + Pn
czyli
Wyprowadzony na ko cu wzór jest podstaw przybli onego wyliczania całki
w metodzie trapezów.
Podstawy Informatyki 2 rok akad. 2003/2004 mgr in . Paweł Myszkowski 3