Jadwiga Chudzicka 1
Metoda trapezów
Metoda trapezów polega na tym, że figurę ABCD
zastępujemy figurą złożoną z trapezów wpisanych, tzn.
krzywą aproksymujemy linią łamaną w nią wpisaną. .
Przedział całkowania (a,b) dzielimy przy tym na n równych
części o długościach: h= (b  a) / n
Jadwiga Chudzicka 2
Punktami podziału (końcami części) są wówczas:
Wówczas pole figury złożonej z trapezów wynosi
Gdzie yi: = f(xi)  wartości funkcji w punktach podziału.
Jadwiga Chudzicka 3
Stąd otrzymujemy wzór przybliżony w metodzie trapezów:
Oszacowanie błędu tej metody wynosi
gdzie
PROGRAM
Jadwiga Chudzicka 4
Przedstawiony dalej program w Delphi 7
służy do całkowania funkcji f(x) w
przedziale [a, b] dla zadanej liczby
podprzedziałów m z wykorzystaniem 4
rodzajów złożonych kwadratur:
1) wzoru trapezów,
2) wzoru parabol,
3) wzoru Gaussa z dwoma węzłami,
4) wzoru Gaussa z trzema węzłami.
Jadwiga Chudzicka 5
W programie przyjęto m = 10 i obliczono 3 całki o wartościach:
2
x
+"e dx = e2 - 1 H" 6,389 056 099
0
Wg wzoru trapezów:
1
dx
+"1+ x = ln 2 H" 0.693147 181 0,693 7&
Wg wzoru Simpsona:
0
0,693 15&
1
1
1+ 2x dx = 3 - H" 1.398 717 474
+"
3
0
SIMPSON
PODSUMOWANIE
Jadwiga Chudzicka 6
Program w Delphi 7
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes,
Graphics,
Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls;
type
TForm1 = class(TForm)
Label5: TLabel; Button1: TButton; Button2: TButton;
Button3: TButton; GroupBox1: TGroupBox;
Jadwiga Chudzicka 7
SaveDialog1: TSaveDialog; LabeledEdit1: TLabeledEdit;
LabeledEdit2: TLabeledEdit; LabeledEdit3: TLabeledEdit;
RadioButton1: TRadioButton; RadioButton2: TRadioButton;
RadioButton3: TRadioButton; LabeledEdit4: TLabeledEdit;
LabeledEdit5: TLabeledEdit; LabeledEdit6: TLabeledEdit;
LabeledEdit7: TLabeledEdit;
procedure FormShow(Sender: TObject);
procedure Button1Click(Sender: TObject);
procedure Button2Click(Sender: TObject);
procedure Button3Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
function ZapiszWyniki:Boolean;
end;
Jadwiga Chudzicka 8
var
Form1: TForm1;
implementation
{$R *.dfm}
function TForm1.ZapiszWyniki:Boolean;
var
plik:TextFile;
begin
if SaveDialog1.Execute then
begin
AssignFile(plik,SaveDialog1.FileName);
Rewrite(plik);
Jadwiga Chudzicka 9
 Writeln(plik,'Program 5.1.');
Writeln(plik,'Obliczanie całki oznaczonej.');
Writeln(plik,'Funkcja podcałkowa: ');
if RadioButton1.Checked = True then
Writeln(plik,'f = Exp(x).');
3 różne
if RadioButton2.Checked = True then
funkcje
Writeln(plik,'f = 1/(1+x).');
podcałkowe
if RadioButton3.Checked = True then
Writeln(plik,'f = Sqrt(1+2*x).');
Writeln(plik,' ');
Writeln(plik,'Granice całkowania:');
Writeln(plik,' a = ',StrToFloat(LabeledEdit1.Text));
Writeln(plik,' b = ',StrToFloat(LabeledEdit2.Text));
Writeln(plik,'Liczba podprzedziałów - m = ',
StrToInt(LabeledEdit3.Text));
Writeln(plik,' ');
Jadwiga Chudzicka 10
 Writeln(plik,'Obliczone wartości całki:');
Writeln(plik,'1) wzór trapezów - I =
',StrToFloat(LabeledEdit4.Text));
Writeln(plik,'1) wzór parabol - I =
',StrToFloat(LabeledEdit5.Text));
Writeln(plik,'1) wzór Gaussa (n=2) - I =
',StrToFloat(LabeledEdit6.Text));
Writeln(plik,'1) wzór Gaussa (n=3) - I =
',StrToFloat(LabeledEdit7.Text));
CloseFile(plik);
Result:=True;
end
else Result:=False;
Koniec funkcji TForm1
end;
Jadwiga Chudzicka 11
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
m: Integer; a,b: Real;
label powt;
function f(x: Real): Real;
begin
if RadioButton1.Checked = True then f:=Exp(x);
if RadioButton2.Checked = True then f:=1/(1+x);
if RadioButton3.Checked = True then f:=Sqrt(1+2*x);
end;
Jadwiga Chudzicka 12
function Calka1(a,b: Real; m: Integer): Real;
{złożony wzór trapezów}
var
i: Integer; h,s,x: Real;
begin
h:=(b-a)/m;
s:=(f(a)+f(b))/2;
for i:=1 to m-1 do begin
m  liczba
x:=a+i*h;
podprzedziałów
s:=s+f(x);
end;
Calka1:=s*h;
end;
Jadwiga Chudzicka 13
function Calka2(a,b: Real; m: Integer): Real;
{złożony wzór parabol}
m  liczba
var
podprzedziałów
k,q: Integer; h,s1,s2,x1,x2: Real;
begin
h:=(b-a)/m; q:=m div 2; s1:=0; s2:=0;
for k:=1 to q do begin
s1  suma w
x1:=a+(2*k -1)*h; s1:=s1+f(x1); punktach
nieparzystych
end;
s2  suma
for k:=1 to q -1 do begin
w punktach
x2:=a+2*k*h; s2:=s2+f(x2);
parzystych
end;
Calka2:=h*(f(a)+f(b)+4*s1+2*s2)/3;
end;
Jadwiga Chudzicka 14
function Calka3(a,b: Real; m: Integer): Real;
{złożony wzór Gaussa z dwoma węzłami}
var
i: Integer; h,s,t0,t1,x0,x1,xp: Real;
begin
s:=0;
h:=(b-a)/m;
t0:=-1/Sqrt(3);
t1:=1/Sqrt(3);
for i:=1 to m do begin
xp:=a+(i-1)*h+h/2;
x0:=xp+h*t0/2;
x1:=xp+h*t1/2;
s:=s+(f(x0)+f(x1));
end;
Calka3:=s*h/2;
end;
Jadwiga Chudzicka 15
function Calka4(a,b: Real; m: Integer): Real;
{złożony wzór Gaussa z trzema węzłami}
var
i: Integer; h,s,t0,t1,t2,x0,x1,x2,xp: Real;
begin
s:=0; h:=(b-a)/m;
t0:=-Sqrt(3/5); t1:=0;
t2:=Sqrt(3/5);
for i:=1 to m do begin
xp:=a+(i-1)*h+h/2;
x0:=xp+h*t0/2;
x1:=xp+h*t1/2;
x2:=xp+h*t2/2;
s:=s+(5*f(x0)+8*f(x1)+5*f(x2));
end;
Calka4:=s*h/18;
end;
Jadwiga Chudzicka 16
begin
a:=StrToFloat(LabeledEdit1.Text);
b:=StrToFloat(LabeledEdit2.Text);
m:=StrToInt(LabeledEdit3.Text);
if (m div 2)*2<>m then begin
m:=m+1;
end;
LabeledEdit4.Text:=FloatToStrF(Calka1(a,b,m),ffExponent,12,12);
LabeledEdit5.Text:=FloatToStrF(Calka2(a,b,m),ffExponent,12,12);
LabeledEdit6.Text:=FloatToStrF(Calka3(a,b,m),ffExponent,12,12);
LabeledEdit7.Text:=FloatToStrF(Calka4(a,b,m),ffExponent,12,12);
end;
Jadwiga Chudzicka 17
procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);
begin
ZapiszWyniki;
end;
procedure TForm1.Button3Click(Sender: TObject);
begin
Close;
end;
procedure TForm1.FormShow(Sender: TObject);
begin
RadioButton1.Checked:=True;
LabeledEdit1.Text:='0';
LabeledEdit2.Text:='2';
LabeledEdit3.Text:='10';
SaveDialog1.InitialDir:=ExtractFilePath(Application.ExeName);
end;
end.
Koniec programu
Jadwiga Chudzicka 18
Metoda parabol (Simpsona)
Wymaga podzielenia przedziału całkowania na parzystą liczbę
podprzedziałów, tzn.
Jadwiga Chudzicka 19
dla uproszczenia oznaczamy: xi = a + ih oraz fi = f(xi)
Wykonując całkowanie wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a
z 3 kolejnych punktów otrzymujemy wzór Simpsona:
Zamiast trapezami zastępujemy f. podcałkową na danym
odcinku parabolą opartą na 3 p-ktach: w wierzchołku i na
końcach odcinka. Stąd 2 podprzedziały na każdym odcinku.
Jadwiga Chudzicka 20
Dla całego przedziału (a,b) otrzymujemy:
PROGRAM
Jadwiga Chudzicka 21
Złożony wzór trapezów i złożony wzór parabol
są szczególnymi przypadkami złożonych
kwadratur Newtona-Cotesa. Są to kwadratury
otrzymane przez całkowanie wielomianów
interpolacyjnych opartych na równoodległych
węzłach:
x0 = a, x1 = a + h, & , xn = a + nh = b.
Kwadratury Newtona-Cotesa mają więc ustalone
węzły. Natomiast w kwadraturach Gaussa
dobierane są współczynniki i węzły xi w taki sposób,
aby kwadratura była dokładna dla możliwie
najwyższego stopnia wielomianu.
Jadwiga Chudzicka 22