ANALIZA MATEMATYCZNA II (Funkcje zespolone)
Parametryczne postacie zespolone:
a) prostej przechodzÄ…cej przez punkt z0 o kierunku a " C -{0}: z(t) = z0 + at dlat " R b)
odcinka o końcach z1 i z2 : z(t) = z1 + (z2 - z1)t dla t "[0,1]
c) okręgu o środku w punkcie z0 i promieniu r : z(t) = z0 + reit dlat "[0,2Ą ]
2
d) stycznej do krzywej z(t) dlat " I w punkcie z(t0 ) : z(s) = z(t0) + z (t0)s dla s " R .
CaÅ‚ka funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej z(t) = x(t) + iy(t) dla t "[Ä… , ² ]
² ² ²
a) gdy funkcje x(t) i y(t) sÄ… caÅ‚kowalne w przedziale[Ä… , ² ],to
+"z(t)dt = +"x(t)dt +i+"y(t)dt;
Ä… Ä… Ä…
²
b)gdy w(t) jest funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji ciÄ…gÅ‚ej z(t) dlat "[Ä… , ² ],to = w(²) - w(Ä…)
+"z(t)dt
Ä…
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej:
1
a) funkcja liniowa f (z) = az + b dla a `" 0 ; b) inwersja f (z) = dla z `" 0 ;
z
m m-1
c) wielomian m-tego stopnia Pm (z) = am z + am-1z + ... + a1z + a0 dla am `" 0 ;d) funkcja
Pm (z)
wymierna f (z) = gdzie Pm (z) i Qn (z) wielomiany stopnia m i n;e)funkcja wykładnicza
Qn (z)
eiz - e-iz ;
x
ez = e (cos y + i sin y) dla z " C c) funkcje trygonometryczne: sin z =
2i
sin z cos z
eiz + e-iz ;
cos z = tgz = ; ctgz = ;d)logarytm główny: ln z = ln z + i arg z dla
2 cos z sin z
arg z arg z
n
n
z `" 0 i arg z " (-Ą ;Ą ] ;h) pierwiastek stopnia n e" 2 główny z = z (cos + i sin )
n n
dla arg z " (-Ä„ ;Ä„ ] .
Pochodna funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej
a) Jeśli funkcjazespolona f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodną w punkcie z0 = x0 + iy0 , to
część rzeczywista i urojona funkcji f (z) ma pochodne cząstkowe rzędu pierwszegow
Å„Å‚
x
ôÅ‚u (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 ) b)
punkcie z0 = (x0 , y0 ) spełniające warunki Cauchyego-Riemanna
òÅ‚u (x0 , y0 ) = -vx (x0 , y0 )
ôÅ‚
y
ół
Jeśli pochodne cząstkowe rzędupierwszego funkcji u(x, y) i v(x, y) są ciągłe w punkcie
z0 = (x0 , y0 ) ispełniają w nim warunki Cauchyego-Riemanna, to funkcja f (z) =u(x, y)+iv(x, y)
2
ma w punkcie z0 = x0 + iy0 pochodnÄ…oraz f (z0) =ux(x0, y0) +iv(x0, y0) = vy(x0, y0) -iuy(x0, y0)
.Całka funkcji zespolonej zmiennej zespolonejpo łuku regularnyma)Gdy funkcja f (z) jest
ciÄ…gÅ‚a na Å‚uku regularnym L zorientowanym L+ o opisie parametrycznym z(t) dlat "[Ä… , ² ]
²
2
zgodnym z orientacjÄ…, to f (z)dz = f (z(t))z (t)dt b) Gdy funkcja
+" +"
Ä…
L+
zespolona f (z) ma funkcję pierwotną F(z) w obszarze D ,to całka po dowolnym łuku
Lz z2 ‚" D wyraża siÄ™ wzorem f (z)dz = F(z2 ) - F(z1) c) JeÅ›li
1 +"
Lz1z2
funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D i krzywa regularna Jordana "D
jest brzegiem obszaru D ‚" C , to f (z)dz = 0 .d) JeÅ›li brzegiem obszaru ograniczonego
+"
"D+
D ‚" C jest krzywa regularna Jordana "D i funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze D , to
f (z) f (z)dz 2Ä„ Å" i
(n)
zachodzą wzory całkowe Cauchyego dz = 2Ąif (z0 ) oraz = f (z0 )
+" +"
z
+ - z0 (z - z0 )n+1 n!
K L+
dla z0 " D n " N Punkty osobliwe funkcji zespolonej
i
Punkt z0 " D nazywamy punktem osobliwym funkcji f (z) Ô! gdy funkcja jest
f
holomorficzna w sÄ…siedztwie tego punku z0 .
Jeśli funkcja jest holomorficzna w sąsiedztwie tego punku z0 , to można ją przedstawić w tym
sąsiedztwie w postaci szeregu Laurenta (części regularnej i części osobliwej)
" "
c-n 1 f (z)
f(z)= (z-z0)n +
"cn "(z-z )n dla0< z-z0 +"
n=0 n=1
0
"K+(z0,r)
Klasyfikacja punktów osobliwych. Punkt osobliwy z0 " D funkcji f (z) nazywamy
f
a) pozornie osobliwym funkcji Ô! gdy część osobliwa szeregu Laurenta jest równa zeru, a
więc c-n = 0 dla n " N .
b) biegunem k-krotnym Ô! gdy część osobliwa szeregu Laurenta zawiera skoÅ„czonÄ… liczbÄ™
składników, a więc c-k `" 0 i c-n = 0 dla n > k
c) istotnie osobliwym Ô! gdyczęść osobliwa szeregu Laurenta zawiera nieskoÅ„czonÄ… liczbÄ™
składników.
Twierdzenie. Punkt osobliwy z0 " D funkcji f (z) jest
f
a)pozornie osobliwyfunkcji f (z) Ô! gdy granica lim f (z) jest wÅ‚aÅ›ciwa
z z0
b)biegunem k-krotnym Ô! gdy granica lim f (z) = " lim[z - z0 ]k f (z) `" 0
i
z z0 zz0
c)istotnie osobliwym Ô! gdy granica lim f (z) nie istnieje.
z z0
Residuum funkcji f (z) w punkcie osobliwym z0 " D nazywamy liczbÄ™
f
1
resz f (z) = c-1 = f (z)dz dla 0 < r < R Twierdzenie(obliczanie residuum) Jeśli punkt
0 +"
2Ä„i
+
"K ( z0 ,r )
osobliwy z0 " D funkcji f (z) jest
f
a)pozornie osobliwym, to resz f (z) = 0 b)biegunem jednokrotnym, to
0
resz f (z) = lim[(z - z0 ) f (z)] c) biegunem k-krotnym, to
0
zz0
k -1
1 d
resz f (z) = lim [(z - z0 )k f (z)] d))istotnie osobliwym, to resz f (z) = c-1
0 0
zz0
(k -1)! dzk-1
Twierdzenie (o residuach)) JeÅ›li brzegiem obszaru ograniczonego D ‚" C jest krzywa
regularna Jordana "D i funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze D -{z1, z2 ,..., zn},
n
dla z1, z2 ,..., zn " D to zachodzi wzór f (z)dz = 2Ąi f (z) 1. Na płaszczyz
nie
"reszk
+"
k =1
"D+
Ä„
zespolonej Cnaszkicować krzywą : a) z(t) = 2t + it dlat "[-1,2] b) z(t) = isin t dlat "[0, )
2
2
c) z(t) = t + it dlat "[0,"]d) z(t) = 1- 2i + cost + 2i sin t
2.Znależć parametryczną postać zespoloną:
a) odcinka łączącego punkty z1 = 1 + 3i i z2 = -2 + i ;b) okręgu o środku z0 = 1+ 3i i
promieniu r = 2 ; c) paraboli
y = x2 zawartej między punktami z1 = -1+ i i z2 = 1+ i ;
2i
2
d) stycznej do krzywej z(t) = t + dla t0 = 1;e) stycznej do krzywej z(t) = t + i sin t dla
t
Ä„
t0 = . 3) Obliczyć całki funkcji
3
zespolonej zmiennej rzeczywistej
Ä„ Ä„
2
2 2
-it
a) + 2it)dt b) (1+ i)t2]dt c) dt
+"(cost +"[1+ +"e
0 0 0
4. Obliczyć a) sin(-2i) b cos(1 + i) )c) ln( 3 +i) d) ln(-2) 5. Wyznaczyć część rzeczywista
2
u(x, y) i część urojoną v(x, y) funkcji zespolonej f (z) a) f (z) = iz + z ;b)
1
i
z
f (z) = ;c) f (z) = e d) f (z) = sin z 6. Wyznaczyć obszaryholomorficzności funkcji
z
2
zespolonej: a) f (z) = iz + z ;
2
1
z
z 2
b) f (z) = ; c) f (z) = e d) f (z) = sin z e) f (z) = z Re z ; f) f (z) = ze ;g)
z
2
f (z) = z eRe z ;7. Znalez
ć funkcję holomorficzną f (z) = u(x, y) + iv(x, y) wiedząc, że
- y
a) u(x, y) = 2xy + y ; b) v(x, y) = ; c)u(x, y) = e- y cos x - 2x ;d) v(x, y) = ex sin y + 2y
2
x2 + y
8.Obliczyć podane całki po zadanych łukach regularnych:
a) ez zdz gdzie L+ odcinek o początku z1 = -i i końcu z2 = 1;b) +1)zdz gdzie L+
+" +"(3z
L+ L+
półokrąg z = 1 Re z e" 0 o początku z1 = -i i końcu z2 = i ;c) - z)dz gdzie L+ łuk paraboli
+"(z
L+
iz
y = x2 o początku z1 = 1+ i i końcu z2 = 0 d) dz gdzie L+ dowolny łuk o początku z1 = i i
+"e
L+
Ä„ Ä„
końcu z2 = 0 ;e) cos(iz2 )dz gdzie L+ dowolny łuk o początku z1 = i końcu z2 = i ;
+"2z
2 2
L+
Ä„
f) z sin zdz gdzie L+ dowolny łuk o początku z1 = 0 i końcu z2 = i ;
+"
2
L+
9. Wyznaczyć punkty osobliwe funkcji zespolonej f (z) oraz określić ich rodzaj. W
przypadku biegunów określić ich krotność:
z z sin z 1
a) f (z) = ; b) f (z) = ; c) f (z) = ; d) f (z) = z sin .
2
(z2 -1)(z2 - 4)3 sin z (z2 - Ä„ ) z
f (z)dz f (z)dz 2Ä„i
(n)
10.Stosując wzór całkowy Cauchyego = 2Ąif (z0 ) lub = f (z0 )
+" +"
z - z0 (z - z0 )n+1 n!
L+ L+
obliczyćcałkę
ez
a) dz gdzie L+ okrąg z - 3i = 2 zorientowany dodatnio względem wnętrza.b)
+"
z(z - 2i)
L+
ze2Ä„z
dz gdzie L+ trójkąt o wierzchołkach 0,1+ 2i,-1+ 2i zorientowany dodatnio.c)
+" 2
z +1
L+
dz
gdzie L+ okrąg z - 2i = 2 zorientowany dodatnio względem wnętrza.d)
+"
(z2 + 9)2
L+
ezdz
gdzie L+ okrąg z - Ąi = 1 zorientowany dodatnio względem wnętrza
+"
z(z - Ä„i)3
L+
11.Wyznaczyć residua funkcji f (z) w punktach osobliwych:
z +1 z2 1 1
a) f (z) = ; b) f (z) = ; c) f (z) = ; d) f (z) = .
2 2
z +1 (z -1)2 z3 - z5 z cos z
12.Korzystając twierdzenia całkowego o residuachobliczyć całki:
zdz
a) gdzie L+ okrąg z = 2 zorientowany dodatnio względem wnętrza.b)
+"
z2 + 2z + 2
L+
dz
z3dz
2
gdzie L+ okrÄ…g x2 + y = 2x + 2y zorientowany dodatnioc) gdzie
+" +" 4
(z2 -1)2 (z2 +1) z -1
L+ L+
ezdz
L+ okrąg z = 2 zorientowany dodatnio względem wnętrza.d) gdzie L+ okrąg
+" 2 2
z (z + 1)
L+
z = 2 zorientowany dodatnio względem wnętrza
13.Zastosować twierdzenie całkowe o residuach do obliczenia całki niewłaściwej
+" +" +" +"
x2 +1 1 1 1
a) dx ; b) dx ; c) dx ; d) dx
+" +" +" +"
x4 +1 x4 + 1 (x2 +1)3 (x2 + 2)(x2 + 5)
-" -" -" -"
Przekształcenie Laplaceaa) f (t) = 0 dlat < 0 ; b) na każdym przedziale [0,T]dlaT > 0 funkcja
f (t) ma skończoną liczbę punktów Df. Oryginałem Laplacea nazywamy funkcję zespoloną
zmiennej rzeczywistej f (t) dla t " R taką, że nieciągłości pierwszego rodzaju; c) funkcja f (t)
jest rzędu wykładniczegoą e" 0 co oznacza, że istnieją stałe M > 0 i ą e" 0 takie
f (t) d" MeÄ…t dlat e" 0 .Df. ProstÄ… transformatÄ… Laplacea funkcji oryginalnej f (t)
"
rzęduwykładniczegoą e" 0 nazywamy funkcję zespoloną F(z) = L[ f (t)] = f (t)e-zt dt dla
+"
0
rez e" ą Można wykazać, że funkcja ta jest
holomorficzna. FunkcjÄ™ postaci
0 t < 0
Å„Å‚ dla
1(t) =
òÅ‚1 t e" 0 nazywamy funkcjÄ… jednostkowÄ… (Hevisidea) jest to funkcja oryginalna
dla
ół
1
rzędu wykładniczego1(t) ą = 0 i jej transformata wynosi L[1(t)] = . Tabela
z
podstawowych transformat funkcji oryginalnych takich, że f (t) = 0 dla t < 0
n n
f (t) 1(t) sinÉt cosÉt
t et t et et sin Ét et cosÉt
 n! É z
1 n! 1 É z
2 2 2 2 2 2
L[ f (t)]
z zn+1 z -  z + É z + É (z - )n+1 (z - )2 + É (z - )2 + É
Własności transformaty Laplacea.
Dla dowolnych funkcji oryginalnych f (t) i g(t) zachodzÄ… wzory;
1) L[af (t) + bg(t)] = aL[ f (t)] + bL[g(t)] dla a,b " R (liniowość)
1 z
2) L[ f (Ét)] = L[ f (t)]( ) dla É " C (zmiana skali)
É É
3) L[1(t - t0 ) f (t - t0 )] = e- zt0 L[ f (t)](z) dla to > 0 (przesunięcie argumentów oryginału)
4) L[et f (t)] = L[ f (t)](z - ) dla  "C (przesunięcie argumentów transformaty)
n
5) L(n)[ f (t)](z) = (-1)n L[t f (t)](z) dla n " N (pochodne transformaty)
t
1
6) L[ f (s)ds](z) = L[ f (t)](z) (transformata całki)
+"
z
0
(n) (n-2) (n-1)
2
7) L[ f (t)](z) = znL[ f (t)](z) - zn-1 f (0+ ) - zn-2 f (0+ ) -...- zf (0+ ) - f (0+ ) dla n " N
(k )
(transformata pochodnej oryginału) przy czym funkcje f (t) dla k = 1,2,..., n są oryginałami
Laplacea
Df. Splotem funkcji oryginalnych f (t) i g(t) nazywamy funkcję oryginalną określoną wzorem
t
( f " g)(t) = (g " f )(t) = f (Ä )g(t -Ä )dÄ dla t > 0 Tw. Borela:JeÅ›li funkcje f (t) i g(t) sÄ…
+"
0
oryginaÅ‚ami Laplacea to L[( f " g)(t)] = L[ f (t)]Å" L[g(t)] Df. TransformatÄ… odwrotnÄ… funkcji
zespolonej holomorficznej F(z) , która jest transformatą prostą funkcji oryginalnej f (t) rzędu
wykładniczego ą e" 0 nazywamy funkcję określoną wzorem
x+i"
1
zt
f (t) = L-1[F(z)] =
+"F(z)e dz dla x e" Ä…
2Ä„i
x-i"
Odwrotna transformata Laplacea jestoperatorem liniowym co oznacza, że
L-1[aF (z) + bG(z)] = aL-1[F(z)] + bL-1[G(z)] dla a,b " R gdy L-1[F(z)]i L-1[G(z)] istniejÄ….
Metody wyznaczania transformaty odwrotnej:
a) Metoda rozkładu na ułamki proste. Gdy funkcja zespolona F(z) jest funkcją wymierną
Pm (z)
właściwą F(z) = dla m < n gdzie wielomiany Pm (z) iQn (z) są wielomianami stopnia
Qn (z)
m i n o współczynnikach rzeczywistych oraz pierwiastki zespolone wielomianuQn (z) są
pojedyncze, to transformatę odwrotną funkcji F(z) łatwo odczytać z rozkładu tej funkcji na
ułamki proste.
b) Z twierdzenia Borela. Gdy funkcje F(z) i G(z) majÄ… transformaty odwrotne, to
L-1[F(z) Å" G(z)] = L-1[F(z)]" L-1[G(z)] c) Z twierdzenia o residuach. JeÅ›li funkcja F(z) jest
transformatą oryginału f (t) oraz jest holomorficzna w płaszczyz
nie zespolonej z wyjÄ…tkiem
skończonej liczby punktów osobliwych z1, z2 ,..., zn " C oraz lim F(z) = 0 , to
z"
n
L-1[F(z)] = [F(z)ezt ]. 1.ZnajÄ…c transformatÄ™ funkcji
"reszk
k =1
jednostkowej znalez
ć transformaty funkcji oryginalnych a) f (t) = e-t
1 2
Odp: ; b) f (t) = sin2t Odp: c)
z +1 z2 + 4
2 4z
f (t) = e-t sin 2t Odp: d) f (t) = t sin2t Odp:
(z +1)2 + 4 (z2 + 4)2
z2 + 2 2
e) f (t) = cos2 t Odp: f) f (t) = sin2 t Odp:
z(z2 + 4) z(z2 + 4)
1
2 6
2. Obliczyć sploty funkcji oryginalnycha) t "t3 Odp: t ; b)t " cost
60
1
Odp:1 - cos t c) sin t " sin t Odp: (sin t - t cost) d)
2
t "et Odp: et - t -1 Sprawdzić twierdzenie Borela o splocie dla tych
funkcji3.Metodą rozkładu na ułamki proste wyznaczyć transformaty odwrotne funkcji
1 1 1
2
a) F(z) = Odp: L-1[F(z)] = t + (cos2t -1)
z3(z2 + 4) 8 16
2
z3 - 3z2 - 7z - 8 4z + 20z + 26
b) F(z) = Odp: L-1[F(z)] = -te-t + cos2t - 2sin 2t c) F(z) =
(z +1)2 (z2 + 4) z(z2 + 6z +13)
Odp: L-1[F(z)] = 2 + e-3t sin 2t + 2e-3t cos2t 4.Metodą residuów wyznaczyć transformaty
z
odwrotne funkcji a) F(z) = Odp:
(z2 +1)2
1 z2 - 4 z
L-1[F(z)] = t sint F(z) = Odp: L-1[F(z)] = t cos2t c) F(z) =
b)
2 (z2 + 4)2 (z -1)2 (z2 +1)
1 1
Odp: L-1[F(z)] = tet - sint 5.Korzystając z twierdzenia Borela o splocie wyznaczyć
2 2
5z 5
transformaty odwrotne funkcji a) F(z) = Odp: L-1[F(z)] = (et - cost + sint)
(z2 +1)(z -1) 2
1 z 1
b) F(z) = Odp: L-1[F(z)] = t - sint c) F(z) = Odp: L-1[F(z)] = t sin 2t
z2 (z2 +1) (z2 + 4)2 4
2 2
6.Metodą transformaty Laplacearozwiązać równanie różniczkowea) y + 4y = sin2t WP:
5 1
2 2 2 2 2
y(0) = 0 i y (0) =1Odp: y(t) = sin 2t - t cos2t y - y = tet WP: y(0) =1 i y (0) = 0
b)
8 4
1
2
2 2 2 2
Odp: y(t) = et ( t - t +1) y - y - 6y = 2 WP: y(0) =1 i y (0) = 0Odp:
c)
2
1 8 4
2 2 2
y(t) = - + e3t + e-2t d) y + 4y +13y = 2e-t WP: y(0) = 0 i
3 15 5
1
2 2 2 2
y (0) = -1O: y(t) = (e-t - e-2t cos3t - 2e-2t sin3t) y - 2y + y = 1 WP: y(0) = 0 i
e)
5
2 2
y (0) =1Odp: y(t) = et (2t -1) +1f) y + y = sint WP: y(0) = 0Odp:
1
y(t) = (e-t - cost + sint) Pytania z teorii
2
1.Podać warunekkonieczny i dostateczny na istnienie pochodnej funkcji zespolonej zmiennej
zespolonej.
1
2
Wyznaczyć obszary holomorficzności funkcji zespolonej: a) f (z) = b) f (z) = z Re z
z
.Znalez
ć funkcję holomorficzną f (z) wiedząc, że a) u(x, y) = 2xy + y b) v(x, y) = ex sin y + 2y
2.Podać wzory na obliczanie całki krzywoliniowej funkcji zespolonej zmiennej zespolonej po
łuku regularnym. Obliczyć podane całki po zadanych łukach regularnych:
iz
a) - z)dz gdzie L+ łuk paraboli y = x2 o początku z1 = 1+ i i końcu z2 = 0 b) dz
+"(z +"e
L+ L+
gdzie L+ dowolny łuk o początku z1 = i i końcu z2 = 0 ;3.Podać wzory całkowe Cauchyego i
ze2Ä„z
korzystając z tych wzorów obliczyć całki a) dz gdzie L+
+" 2
z +1
L+
dz
trójkąt o wierzchołkach 0,1+ 2i,-1+ 2i zorientowany dodatnio.b) gdzie L+ okrąg
+"
(z2 + 9)2
L+
z - 2i = 2 zorientowany dodatnio względem wnętrza.4.Podać definicję punktów osobliwych
funkcji zespolonej oraz ich klasyfikacjÄ™.
Wyznaczyć punkty osobliwe funkcji zespolonej f (z) oraz określić ich rodzaj. W przypadku
biegunów określić ich krotność:
z sin z 1
a) f (z) = ; c) f (z) = ; c) f (z) = z sin .5.Podać definicję residuum funkcji
2
sin z (z2 - Ä„ ) z
i wyznaczyć residua funkcji f (z) w punktach osobliwych:
z2 1
a) f (z) = ; b) f (z) = .
2
(z -1)2 z cos z
6.Podać twierdzenia całkowe o residuach i korzystając z tego twierdzenia obliczyć całki:
z3dz
c) gdzie L+ okrąg z = 2 zorientowany dodatnio względem wnętrza.d)
+" 4
z -1
L+
ezdz
gdzie L+ okrąg z = 2 zorientowany dodatnio względem wnętrza
+" 2
z2 (z + 1)
L+
7.Podać definicję oryginału i definicję transformatyLaplaceaoraz wyznaczyć transformatę
0 t < 0
Å„Å‚ dla
Laplacea funkcji jednostkowej 1(t) =
òÅ‚1 t e" 0 .
dla
ół
8.Podać własności transformaty Laplacea i w oparciu o te własności i znajomość transformaty
funkcji jednostkowej wyznaczyć transformaty funkcji a)
f (t) = e-t sin2t b) f (t) = t sin 2t
9.Podać definicję splotu funkcji oraz twierdzenie Borela o splocie. Obliczyć splot funkcji i
sprawdzić twierdzenie Borela dla tych funkcji a) sin t " sin t b) t "et . 10.Metodą rozkładu
na ułamki proste wyznaczyć transformaty odwrotne funkcji a)
1 1 1
2
F(z) = Odp: L-1[F(z)] = t + (cos2t -1) b)
z3(z2 + 4) 8 16
z3 - 3z2 - 7z - 8
F(z) = Odp: L-1[F(z)] = -te-t + cos2t - 2sin 2t 11.Metodą residuów
(z +1)2 (z2 + 4)
wyznaczyć transformaty odwrotne funkcji
z 1
a) F(z) = Odp: L-1[F(z)] = t sint c)
(z2 +1)2 2
z 1 1
F(z) = Odp: L-1[F(z)] = tet - sint 12.KorzystajÄ…c z twierdzenia Borela o
(z -1)2 (z2 +1) 2 2
5z
splocie wyznaczyć transformaty odwrotne funkcji a) F(z) =
(z2 +1)(z -1)
5 1
Odp: L-1[F(z)] = (et - cost + sint) b) F(z) =
2 z2 (z2 +1)
z 1
Odp: L-1[F(z)] = t - sint c) F(z) = Odp: L-1[F(z)] = t sin 2t
(z2 + 4)2 4