WYKA
AD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I
dr inż. Elżbieta Kotlicka-Dwurznik
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
http://cmf.p.lodz.pl
A
ódz
2012
1. CI
GI LICZBOWE 3
1. CI
GI LICZBOWE
1.1. Definicja ciÄ…gu i ciÄ…gu liczbowego
Definicja 1.1.
" Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.
" Jeśli funkcja a jest ciągiem, to wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy przez
def
an = a(n), n " N.
" CiÄ…g o wyrazach an oznaczamy symbolem
(an) lub a1, a2, . . . .
" Zbiór wartości ciągu (an) oznaczamy przez {an}n"N.
Ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o wy-
razach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wszystkie wyrazy są funkcjami
nazywamy ciÄ…gami funkcyjnymi.
1.2. Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywi-
stych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność
Definicja 1.2.
def

" CiÄ…g (an) jest rosnÄ…cy Ô! an+1 > an.
n"N
def

" CiÄ…g (an) jest niemalejÄ…cy Ô! an+1 an.
n"N
def

" CiÄ…g (an) jest malejÄ…cy Ô! an+1 < an.
n"N
def

" CiÄ…g (an) jest nierosnÄ…cy Ô! an+1 an.
n"N
Twierdzenie 1.3. Jeśli an > 0 dla n " N, to
an+1
ciÄ…g (an) jest rosnÄ…cy Ô! > 1.
an
n"N
Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nierosnącego.
Definicja 1.5.
def

" CiÄ…g (an) jest ograniczony z doÅ‚u Ô! an m.
m"R n"N
def

" CiÄ…g (an) jest ograniczony z góry Ô! an M.
M"R n"N
def
" CiÄ…g (an) jest ograniczony Ô! (an) jest ograniczony z doÅ‚u i z góry.
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CI
GI LICZBOWE 4
Definicja 1.6.
" Ciąg liczbowy (an) jest zbieżny do a " R, gdy prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończoną ilością)
wyrazy ciÄ…gu (an) znajdujÄ… siÄ™ dowolnie blisko a, czyli

|an - a| < µ.
µ>0 K"N n K
" Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (an) i zapisujemy
lim an = a lub an a.
n"
Przykład 1.7. Wykazać, że zachodzą równości:
1 1
a) lim = 0; b) lim = 0.
n" n"
n n3
Definicja 1.8.
" Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do +" i zapisujemy
lim an = +",
n"
gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu (an) są większe od dowolnej liczby dodatniej, czyli

an > µ.
µ>0 K"N n K
" Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do -" i zapisujemy
lim an = -",
n"
gdy

an < -µ.
µ>0 K"N n K
" Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny, gdy nie posiada granicy (właściwej ani niewłaściwej).
Przykład 1.9. Wykazać, że lim n2 = +".
n"
Twierdzenie 1.10. Każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą).
Ćwiczenie 1.11. Wykazać, że:
1
a) lim an = Ä…" Ò! lim = 0;
n" n"
an
1
{ = 0}
Ä…"
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CI
GI LICZBOWE 5

1
+", gdy an > 0 dla prawie wszystkich n " N,
b) lim an = 0 Ò! lim =
n" n"
an -", gdy an < 0 dla prawie wszystkich n " N.
1 1
{ = +"} { = -"}
0+ 0-
Ćwiczenie 1.12. Wykazać, że
Å„Å‚
0 dla Ä… < 0,
òÅ‚
a) lim nÄ… = 1 dla Ä… = 0,
n" ół
+" dla Ä… > 0.
Å„Å‚
nie istnieje dla q -1,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
0 dla q " (-1; 1),
b) lim qn =
n" ôÅ‚ 1 dla q = 1,
ôÅ‚
ół
+" dla q > 1.
1.3. Arytmetyka granic
Twierdzenie 1.13. Jeśli lim an = a oraz c = 0, to

n"

c · a, gdy a " R,
lim c · an=
n" Ä…", gdy a = Ä…".
W szczególności dla c > 0 mamy
{c · (+") = +"} oraz {c · (-") = -"}
Twierdzenie 1.14. Jeśli lim an = a oraz lim bn = b, to
n" n"
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CI
GI LICZBOWE 6
Twierdzenie 1.15. Jeśli lim an = a, lim bn = b oraz bn = 0 dla n " N, to

n" n"
Twierdzenie 1.16. Jeśli lim an = a, lim bn = b oraz bn 0 dla n " N, to
n" n"
Symbole nieoznaczone:
" 0
" - " 0 · "
" 0
00 "0 1"
1.4. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych
Definicja 1.17. Podciągiem ciągu (an) nazywamy każdy ciąg (akn), gdzie (kn) jest dowolnym rosnącym
ciÄ…giem liczb naturalnych.
Np. PodciÄ…gami ciÄ…gu (an) sÄ… ciÄ…gi:
a1, a3, a5, . . . a2, a4, a6, . . . a3, a4, a5, . . .
(a2n-1)" (a2n)n"N (an)n 3
n=1
Twierdzenie 1.18. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg.
Przykład 1.19. Zbadać, czy istnieją granice:
(-1)n+n
a) lim (-1)n;
c) lim .
n+1
n"
n"
nĄ
b) lim cos ;
2
n"
Twierdzenie 1.20. Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony.
Uwaga 1.21. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.20 nie jest prawdziwe.
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CI
GI LICZBOWE 7
Twierdzenie 1.22 (Bolzano-Weierstrassa). Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje podciąg
zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do -" lub +".
Twierdzenie 1.23. Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.
Lemat 1.24. Jeśli ciągi (an), (bn) są zbieżne oraz

an bn,
K"N n K
to lim an lim bn.
n" n"
Twierdzenie 1.25 (o trzech ciągach). Załóżmy,że

(") an bn cn,
K"N n K
a) Jeśli lim an = lim cn = a, to istnieje granica ciągu (bn), przy czym lim bn = a.
n" n" n"
b) Jeśli lim an = +", to lim bn = +".
n" n"
c) Jeśli lim cn = -", to lim bn = -".
n" n"
1.5. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e
Twierdzenie 1.26.
"
n
a) lim n = 1.
n"
"
n
b) lim a = 1, gdy a > 0.
n"
"
n
c) Jeśli an 0 dla każdego n " N oraz lim an = a > 0, to lim an = 1.
n" n"
Uwaga 1.27. Tw. 1.26 3) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +" lub a = 0.
1
Twierdzenie 1.28. CiÄ…g an = (1 + )n dla n " N jest ograniczony i monotoniczny.
n
1
Definicja 1.29. LiczbÄ… e nazywamy granicÄ™ ciÄ…gu (1 + )n, n " N.
n
Twierdzenie 1.30.
n

1
"
a) lim = e.
n"
k!
k=0
b) Liczba e jest liczbÄ… niewymiernÄ….
e = 2, 7182818284 . . .
1
Twierdzenie 1.31. Jeśli an = 0 dla każdego n " N oraz lim an = ą", to lim (1 + )an = e.

n" n"
an
Definicja 1.32. Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy sym-
bolem ln.
def
ln x = loge x dla x > 0
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CI
GI LICZBOWE 8
1.6. Zbiory ograniczone na prostej, kres górny i dolny
Definicja 1.33. Niech E ‚" R, E = ".

" Liczbę M0 " E taką, że

x M0
x"E
nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E.
" Liczbę m0 " E taką, że

x m0
x"E
nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E.
Definicja 1.34. Niech E ‚" R, E = ".

" Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy

x M.
M"R x"E
Liczbę M nazywamy wówczas ograniczeniem górnym zbioru E.
" Liczbę będącą najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem górnym
zbioru E i oznaczamy przez sup E. Inaczej: sup E = M, gdy

(1) x M,
x"E

(2) x > M1.
M1" W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +".
Definicja 1.35. Niech E ‚" R, E = ".

" Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy

x m.
m"R x"E
LiczbÄ™ m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E.
" Liczbę będącą największym ograniczeniem dolnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem dolnym
zbioru E i oznaczamy przez inf E. Inaczej: inf E = m, gdy

(1) x m,
x"E

(2) x < m1.
m1>m
x"E
" W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E = -".
" Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy jest zbiorem ograniczonym z góry i z dołu.
Twierdzenie 1.36. Każdy niepusty zbiór E ‚" R posiada kresy górny i dolny.
Twierdzenie 1.37. a) Jeśli ciąg (an) jest niemalejący, to
sup{an : n " N} = lim an,
n"
inf{an : n " N} = a1.
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CI
GI LICZBOWE 9
b) Jeśli ciąg (an) jest nierosnący, to
sup{an : n " N} = a1,
inf{an : n " N} = lim an.
n"
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI 10
2. GRANICE FUNKCJI
2.1. Podstawowe definicje
Definicja 2.1. Niech x0 " R.
" Sąsiedztwem punktu x0 nazywamy każdy zbiór postaci
S(x0) = (a, x0) *" (x0, b),
gdzie a, b " R, a < x0 < b. Zbiory: S-(x0) = (a, x0) oraz S+(x0) = (x0, b) nazywamy odpowiednio
lewostronnym i prawostronnym sÄ…siedztwem punktu x0.
" Otoczeniem punktu x0 nazywamy każdy zbiór postaci
U(x0) = S(x0) *" {x0}.
Zbiory: U-(x0) = S-(x0) *" {x0} oraz U+(x0) = S+(x0) *" {x0} nazywamy odpowiednio lewostronnym
i prawostronnym otoczeniem punktu x0.
Definicja 2.2.
" Sąsiedztwem -" nazywamy każdy przedział
S(-") = (-", b),
gdzie b " R.
" Sąsiedztwem +" nazywamy każdy przedział
S(+") = (a, +"),
gdzie a " R.
Niech X ‚" R, X = ".

Definicja 2.3.
" Mówimy, że punkt x0 " R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (xn) taki, że
{xn} ‚" X \ {x0} oraz lim xn = x0.
n"
" Jeśli dodatkowo wiadomo, że xn > x0 dla n " N (xn < x0 dla n " N), to x0 nazywamy prawostronnym
(lewostronnym) punktem skupienia zbioru X.
" Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.
Zbiór punktów skupienia zbioru X oznaczamy przez Xd. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów
skupienia zbioru X oznaczamy przez Xd+ (Xd-).
Definicja 2.4 (definicja Heinego granicy funkcji w +"). Niech f : X R, zaś X będzie zbiorem nieogra-
niczonym z góry.
" Mówimy, że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +", gdy

[n"xn = +" Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X
Zapisujemy
lim f(x) = g
x+"
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI 11
" Mówimy, że funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą +", gdy

[n"xn = +" Ò! lim f(xn) = +"].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X
Zapisujemy
lim f(x) = +"
x+"
" Mówimy, że funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą -", gdy

[n"xn = +" Ò! lim f(xn) = -"].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X
Zapisujemy
lim f(x) = -"
x+"
Analogicznie definiujemy granice: lim f(x) = g, lim f(x) = +" oraz lim f(x) = -".
x-" x-" x-"
Definicja 2.5 (definicja Heinego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x0 " Xd.
" Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x0, gdy

[n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X\{x0}
Zapisujemy
lim f(x) = g
xx0
" Funkcja f posiada w x0 granicę niewłaściwą +", gdy

[n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = +"].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X\{x0}
Zapisujemy
lim f(x) = +"
xx0
Analogicznie definiujemy granicÄ™: lim f(x) = -".
xx0
Definicja 2.6. Niech f : X R.
" Niech x0 " Xd-. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, gdy

[n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X)"(-",x0)
Zapisujemy
lim f(x) = g lub f(x-) = g
0
xx-
0
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI 12
" Niech x0 " Xd+. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, gdy

[n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X)"(x0,+")
Zapisujemy
lim f(x) = g lub f(x+) = g
0
xx+
0
Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.
Definicja 2.7 (definicja Cauchy ego granicy funkcji w +"). Niech f : X R oraz niech X będzie zbiorem
nieograniczonym z góry.
" Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +", gdy

[x > ´ Ò! |f(x) - g| < µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą +", gdy

[x > ´ Ò! f(x) > µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą -", gdy

[x > ´ Ò! f(x) < -µ].
µ>0 ´>0 x"X
Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w -".
Definicja 2.8 (definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz niech x0 " Xd.
" Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, gdy

[0 < |x - x0| < ´ Ò! |f(x) - g| < µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą +", gdy

[0 < |x - x0| < ´ Ò! f(x) > µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą -", gdy

[0 < |x - x0| < ´ Ò! f(x) < -µ].
µ>0 ´>0 x"X
Twierdzenie 2.9. Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy ego granic funkcji są równoważne.
Twierdzenie 2.10 (warunek konieczny i wystarczajÄ…cy istnienia granicy funkcji w punkcie).
Jeśli x0 " Xd- )" Xd+, to
lim f(x) = g Ô! lim f(x) = lim f(x) = g.
xx0
xx- xx+
0 0
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji
Przedstawione poniżej twierdzenia o granicach funkcji (tzn. twierdzenia 2.11 - 2.15) zachodzą zarówno
dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w +" i -".
Twierdzenie 2.11 (arytmetyka granic właściwych funkcji). Jeśli f, g : X R, lim f(x) = a oraz
xx0
lim g(x) = b, to
xx0
a) lim (c · f(x)) = c · a dla dowolnego c " R;
xx0
b) lim (f(x) Ä… g(x) = a Ä… b;
xx0
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI 13
c) lim (f(x) · g(x)) = a · b;
xx0
f(x)
a
d) lim = , o ile b = 0;

xx0 g(x) b
e) lim (g(x))f(x) = ba, o ile b > 0 i a = 0.

xx0
Twierdzenie 2.12 (arytmetyka granic niewłaściwych funkcji).
a + " = +" dla -" < a +"
a · (+") = +" dla 0 < a +" a · (+") = -"
dla -" a < 0
a
= 0 dla -" < a < +"
"
a a
= +" dla 0 < a +" = -" dla
0+ 0+
-" a < 0
b" = 0 dla 0+ b < 1, b" = +" dla 1 < b
+"
"a = 0 dla -" a < 0, "a = +" dla
0 < a +"
Twierdzenie 2.13 (o granicy funkcji zÅ‚ożonej). Niech f : X Y ‚" R, g : Y R. JeÅ›li speÅ‚nione sÄ…
warunki:
(1) lim f(x) = a,
xx0
(2) f(x) = a dla każdego x " S(x0),

(3) limg(t) = b,
ta
to lim g(f(x)) = b.
xx0
Twierdzenie 2.14 (o trzech funkcjach). Jeśli funkcje f, g, h : X R spełniają warunki:

(1) f(x) g(x) h(x),
x"S(x0)
(2) lim f(x) = lim h(x) = a,
xx0 xx0
to lim g(x) = a.
xx0
Twierdzenie 2.15 (o dwóch funkcjach). Niech f, g : X R oraz

f(x) g(x).
x"S(x0)
a) Jeśli lim f(x) = +", to lim g(x) = +".
xx0 xx0
b) Jeśli lim g(x) = -", to lim f(x) = -".
xx0 xx0
sin x
Twierdzenie 2.16. lim = 1.
x
x0
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI 14
1
Twierdzenie 2.17. lim(1 + x)x = e.
x0
2.3. Asymptoty funkcji
Definicja 2.18. Niech f : X R oraz niech x0 " Xd.
" Prostą o równaniu x = x0 nazywamy prawostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeśli
lim f(x) = -" albo lim f(x) = +".
xx+ xx+
0 0
" Prostą o równaniu x = x0 nazywamy lewostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeśli
lim f(x) = -" albo lim f(x) = +".
xx- xx-
0 0
" Prostą o równaniu x = x0 nazywamy obustronną asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeśli jest
jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Definicja 2.19. Niech X będzie zbiorem nieograniczonym z góry oraz f : X R.
" Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +", gdy
lim [f(x) - (ax + b)] = 0.
x+"
" Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji f w +", gdy
lim f(x) = b.
x+"
Definicja 2.20. Niech X będzie zbiorem nieograniczonym z dołu oraz f : X R.
" Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji f w -", gdy
lim [f(x) - (ax + b)] = 0.
x-"
" Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji f w -", gdy
lim f(x) = b.
x-"
Twierdzenie 2.21. Niech X będzie zbiorem nieograniczonym z góry oraz f : X R. Prosta o równaniu
y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +" wtedy i tylko wtedy, gdy
f(x)
a = lim oraz b = lim (f(x) - ax).
x+" x+"
x
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla asymptoty ukośnej w -".
2.4. Ciągłość funkcji
Definicja 2.22. Niech f : X R, x0 " X.
" Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd albo (istnieje lim f(x) i lim f(x) = f(x0)).
/
xx0 xx0
" Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd- albo (istnieje lim f(x) i lim f(x) = f(x0)).
/
xx- xx-
0 0
" Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd+ albo (istnieje lim f(x) i lim f(x) = f(x0)).
/
xx+ xx+
0 0
Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy przez Cf . Zbiór punktów prawostronnej (lewostronnej) cią-
+ -
głości funkcji f oznaczamy przez Cf (Cf ).
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI 15
Twierdzenie 2.23 (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji). Niech f : X R oraz
x0 " X. Funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a w punkcie x0 Ô! f jest lewostronnnie i prawostronnie ciÄ…gÅ‚a w punkcie x0.
Definicja 2.24. Niech f : X R, A ‚" X. Mówimy, że funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a w zbiorze A, gdy jest ciÄ…gÅ‚a
w każdym punkcie tego zbioru. Jeśli A = Df , to krótko mówimy, że f jest ciągła.
Definicja 2.25 (rodzaje nieciągłości).
Niech f : X R, x0 " X \ Cf .
" x0 nazywamy punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne:
lim f(x) oraz lim f(x), istnieją i są skończone.
xx- xx+
0 0
" x0 nazywamy punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic
jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.
Twierdzenie 2.26. Jeśli funkcje f, g : X R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje
f
|f| , f + g, f · g oraz (o ile g(x) = 0 dla x " X).

g
Twierdzenie 2.27. Jeśli funkcje f : X Y, g : Y R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ć% f.
Twierdzenie 2.28. Jeśli funkcja f : X R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f-1 jest
ciągła.
Twierdzenie 2.29. Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe.
2.5. Własności funkcji ciągłych
Niech a, b " R, a < b.
Twierdzenie 2.30 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła oraz f(x0) > 0 dla pewnego x0 " [a, b], to

f(x) > 0.
U(x0) x"U(x0)
Twierdzenie 2.31 (Weierstrassa  o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła, to jest ograniczona na [a, b], przy czym istnieją punkty c1, c2 " [a, b]
takie, że

f(c1) f(x) f(c2).
x"[a,b]
Twierdzenie 2.32 (Darboux  o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech m = min f[[a, b]] oraz M = max f[[a, b]]. Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła, to

y = f(x).
y"[m,M] x"[a,b]
Ile jest tych rozwiązań?
Jak je wyznaczyć? - metody numeryczne
2.6. Funkcje jednostajnie ciągłe
Definicja 2.33. Niech f : X R. Mówimy, że Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze X, gdy

[ |x1 - x2| < ´ Ò! |f(x1) - f(x2)| < µ ].
µ>0 ´>0 x1"X x2"X
Twierdzenie 2.34. Jeśli funkcja f : X R jest jednostajnie ciągła w X, to jest ciągła w tym zbiorze.
Twierdzenie 2.35. Niech a, b " R, a < b oraz f : [a, b] R. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a, b] to jest
jednostajnie ciągła w tym przedziale.
2012, E. Kotlicka-Dwurznik