JC WSEZ w A
odzi
Wykład 11
Treść wykładu
Klasyczny rachunek zdań
1) Język klasycznego rachunku zdań
2) Klasyczne wartości logiczne
3) Tabelki prawdziwościowe
4) Pojęcie tautologii klasycznego rachunku zdań
1
JC WSEZ w A
odzi
Wartości logiczne
Przez termin zdanie, rozumieć będziemy zdanie w sensie
logiki, tj. zdanie, o którym można powiedzieć, że jest albo
prawdziwe, albo fałszywe (i które nie może być
jednocześnie prawdziwe, i fałszywe).
Zdanie, o którym możemy powiedzieć, że jest prawdziwe
(ewentualnie fałszywe) podlega ocenie logicznej.
Prawda i fałsz nazywane są wartościami logicznymi.
Pytanie. Które z podanych poniżej zdań są zdaniami w
sensie logiki?
1) Kraków jest stolicą Polski.
2) Każdy pies jest kotem.
3) Co wy tu robicie?
4) Studenci mają trudności ze zdaniem egzaminu z logiki.
5) Wez
cie siÄ™ do pracy!
Zdaniami w sensie logiki są zdania 1), 2) oraz 3), ponieważ
podlegajÄ… ocenie logicznej (sÄ… prawdziwe, bÄ…dz
fałszywe).
Zdania 3) i 5) nie sÄ… zdaniami w sensie logiki, nie podlegajÄ…
bowiem ocenie logicznej.
2
JC WSEZ w A
odzi
Pojęcie języka
Przez język o słowniku SA
rozumiemy dowolny niepusty
zbiór skończonych ciągów symboli z SA
.
Dowolny ciąg symboli należący do języka nazywamy
wyrażeniem tego języka.
Słownik jest to dowolny niepusty zbiór symboli.
Język polski jest pewnym zbiorem skończonych ciągów
symboli. Symbolem jest tu pojedynczy wyraz, zaÅ›
słownikiem  zbiór wszystkich wyrazów.
Język klasycznego rachunku zdań
Rolę słownika pełni zbiór następujących symboli:
zmiennych zdaniowych: p , p , p , . . . (dla uproszczenie
1 2 3
przyjmuje się zwykle: p, q, r, ...). Jest to zbiór niepusty,
przeliczalny i nieskończony. Zmienne zdaniowe są
najprostszymi wyrażeniami języka klasycznego rachunku
zdań (są to tzw. wyrażenia atomowe).
3
JC WSEZ w A
odzi
spójników zdaniowych:
<" ... (negacja)
Negację czytamy zwykle jako  nieprawda, że ... ,
ewentualnie jako  ... nie ...
... (" ... (alternatywa Å‚Ä…czna)
AlternatywÄ™ Å‚Ä…cznÄ… czytamy zwykle jako  ... lub ...
... '" ... (koniunkcja)
Koniunkcję czytamy z reguły jako  ... i ... lub  ... oraz ...
... ... (implikacja materialna)
Implikację czytamy zwykle jako  jeśli ..., to ... lub
 jeżeli ..., to ...
... "! ... (równoważność)
Równoważność czytamy z reguły jako  ... wtedy i tylko
wtedy, gdy ...
nawiasów: (, ).
4
JC WSEZ w A
odzi
Reguły składni
Definicja standardowego języka zdaniowego podaje, jakie
skończone ciągi symboli ze słownika są wyrażeniami tego
języka (tzw. formułami):
1) każda zmienna zdaniowa (traktowana jako 1-wyrazowy
ciąg) jest formułą
2) jeśli skończony ciąg symboli ą jest formułą, to ciąg
postaci: <"ą, także jest formułą
3) jeżeli ciÄ…gi Ä…, ² sÄ… formuÅ‚ami, to ciÄ…gi postaci: (Ä…("²),
(Ä…'"²), ( oraz (Ä…"!²) również sÄ… formuÅ‚ami
4) żadne inne wyrażenie, poza tymi z punktów 1), 2) i 3)
nie jest formułą.
Uwaga! Symbole Ä… oraz ² peÅ‚niÄ… funkcjÄ™ metaformuÅ‚, tj.
takich wyrażeń, za które możemy podstawić dowolne
zmienne zdaniowe lub wyrażenia zbudowane ze zmiennych
zdaniowych i spójników zdaniowych.
5
JC WSEZ w A
odzi
Reguły znaczeniowe
(rozumienie spójników klasycznego rachunku zdań)
Wszystkie spójniki klasycznego rachunku zdań są
spójnikami ekstensjonalnymi. Oznacza to, że wartość
logiczna spójnika zależy wyłącznie od wartości logicznej
jego zdań składowych.
Negacja
Niech ą oznacza dowolne zdanie, wówczas nie-ą oznacza
dowolnÄ… negacjÄ™ zdania Ä… (symbolicznie: <"Ä…).
Tabelka prawdziwościowa dla negacji:
Ä… <" Ä…
prawda fałsz
fałsz prawda
W tabelce mówi się tylko tyle, że:
1) Jeśli zdanie ą jest prawdziwe, wtedy negacja zdania ą
jest fałszywa.
2) Jeśli zdanie ą jest fałszywe, to negacja zdania ą jest
prawdziwa.
6
JC WSEZ w A
odzi
Tabelę można także czytać  z prawa do lewa , wówczas:
1) Jeśli negacja danego zdania jest fałszywa, to ono samo
jest prawdziwe.
2) Jeśli negacja danego zdania jest prawdziwa, to to zdanie
jest fałszywe.
Uwaga! Jeśli chcemy podać negację zdania: A
ódz
jest
stolicą Polski, to otrzymamy dwa równoważne sobie
zdania: Nieprawda, że A
ódz
jest stolicÄ… Polski oraz A
ódz

nie jest stolicą Polski. Jeśli zaś pragniemy napisać negację
zdania JakiÅ› Polak jest bogaty (rozumianego jako Co
najmniej jeden Polak jest bogaty), to uzyskamy zdanie
Nieprawda, że jakiś Polak jest bogaty. Zdanie Jakiś Polak
nie jest bogaty nie jest negacjÄ… zdania JakiÅ› Polak jest
bogaty. Chociaż wpisaliśmy słowo  nie , otrzymaliśmy
zdanie prawdziwe, więc na pewno mówi ono co innego niż
negacja. Negacja zdania wyjściowego musi być fałszywa.
7
JC WSEZ w A
odzi
Koniunkcja
Niech Ä… oraz ² oznaczajÄ… dowolne zdania, wówczas Ä…'"²
oznacza koniunkcjÄ™ zdaÅ„ Ä… i ².
Tabelka prawdziwościowa dla koniunkcji:
Ä… ² Ä… '" ²
prawda prawda prawda
prawda fałsz fałsz
fałsz prawda fałsz
fałsz fałsz fałsz
W tabelce mówi się tylko tyle, że:
1) JeÅ›li zdania Ä… i ² sÄ… prawdziwe, wtedy koniunkcja zdaÅ„
Ä… i ² jest także prawdziwa.
2) Wystarczy, że chociaż jedno ze zdań jest fałszywe, aby
koniunkcja zdaÅ„ Ä… i ² byÅ‚a również faÅ‚szywa.
Uwaga! Występujące w języku potocznym słówko  i nie
zawsze da się scharakteryzować tabelką prawdziwościową
dla koniunkcji.
8
JC WSEZ w A
odzi
Alternatywa (Å‚Ä…czna)
Niech Ä… oraz ² oznaczajÄ… dowolne zdania, wówczas Ä…("²
oznacza alternatywÄ™ (Å‚Ä…cznÄ…) zdaÅ„ Ä… i ².
Tabelka prawdziwościowa dla alternatywy:
Ä… ² Ä… (" ²
prawda prawda prawda
prawda fałsz prawda
fałsz prawda prawda
fałsz fałsz fałsz
W tabelce mówi się tylko tyle, że:
1) JeÅ›li zdania Ä… i ² sÄ… faÅ‚szywe, wtedy alternatywa zdaÅ„ Ä…
i ² jest także faÅ‚szywa.
2) Wystarczy, że chociaż jedno ze zdań jest prawdziwe, aby
alternatywa zdaÅ„ Ä… i ² byÅ‚a również prawdziwa.
9
JC WSEZ w A
odzi
Implikacja
Niech Ä… oraz ² oznaczajÄ… dowolne zdania, wówczas Ä…²
oznacza implikacjÄ™ (zdanie: jeÅ›li Ä… to ²).
Tabelka prawdziwościowa dla implikacji:
Ä… ² Ä… ²
prawda prawda prawda
prawda fałsz fałsz
fałsz prawda prawda
fałsz fałsz prawda
W tabelce mówi się tylko tyle, że:
1) JeÅ›li zdania Ä… i ² sÄ… jednoczeÅ›nie faÅ‚szywe lub
jednoczeÅ›nie prawdziwe, wtedy implikacja Ä…² (podobnie
jak i ²Ä…) jest także prawdziwa.
2) JeÅ›li znanie Ä… jest prawdziwe, zaÅ› zdanie ² faÅ‚szywe,
wówczas implikacja Ä…² jest faÅ‚szywa.
10
JC WSEZ w A
odzi
3) JeÅ›li znanie ² jest prawdziwe, to niezależnie, czy zdanie
Ä… jest prawdziwe czy faÅ‚szywe, implikacja Ä…² jest
prawdziwa.
4) JeÅ›li znanie Ä… jest faÅ‚szywe, to niezależnie, czy zdanie ²
jest prawdziwe czy faÅ‚szywe, implikacja Ä…² jest
prawdziwa.
Uwaga! Zdanie Ä… wystÄ™pujÄ…ce w implikacji Ä…²
nazywane jest poprzednikiem, zaÅ› zdanie ² nastÄ™pnikiem
implikacji.
11
JC WSEZ w A
odzi
Równoważność
Niech Ä… oraz ² oznaczajÄ… dowolne zdania, wówczas Ä…"!²
oznacza równoważność zdaÅ„ Ä… i ².
Tabelka prawdziwościowa dla równoważności:
Ä… ² Ä… "! ²
prawda prawda prawda
prawda fałsz fałsz
fałsz prawda fałsz
fałsz fałsz prawda
W tabelce mówi tylko tyle, że:
1) JeÅ›li zdania Ä… i ² sÄ… jednoczeÅ›nie faÅ‚szywe lub
jednoczeÅ›nie prawdziwe, wtedy implikacja Ä…"!² jest
prawdziwa.
2) Jeśli znania mają różne wartości logiczne (jedno jest
prawdziwe, a drugie fałszywe), to równoważność tych zdań
jest fałszywa.
12
JC WSEZ w A
odzi
Tabelki zero-jedynkowe
Przyjmijmy cyfrÄ™ 1 na oznaczenie prawdy (tj. zdania
prawdziwego), zaś 0 fałszu (tj. zdania fałszywego).
1 i 0 to tzw. wartości logiczne.
Tabelka prawdziwościowa dla negacji
Ä… <" Ä…
1 0
0 1
Tabelka prawdziwościowa dla koniunkcji
Ä… ² Ä… '" ²
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
13
JC WSEZ w A
odzi
Tabelka prawdziwościowa dla alternatywy (łącznej)
Ä… ² Ä… (" ²
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Tabelka prawdziwościowa dla implikacji
Ä… ² Ä… ²
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Tabelka prawdziwościowa dla równoważności
Ä… ² Ä… "! ²
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
14
JC WSEZ w A
odzi
Tautologie klasycznego rachunku zdań
Formuły, które są schematami wyłącznie zdań
prawdziwych nazywane sÄ… tautologiami (klasycznego
rachunku zdań).
Zbiór tautologii klasycznego rachunku zdań jest zbiorem
tych wszystkich formuł, które przy dowolnym
wartościowaniu przyjmują wyróżnioną wartość 1.
15