1. CI
GI LICZBOWE
1.1. Definicja ciÄ…gu i ciÄ…gu liczbowego
Definicja 1.1.
" Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.
" Jeśli funkcja a jest ciągiem, to wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy przez
def
an = a(n), n " N.
" CiÄ…g o wyrazach an oznaczamy symbolem
(an) lub a1, a2, . . . .
" Zbiór wartości ciągu (an) oznaczamy przez {an}n"N.
Ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o
wyrazach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wszystkie wyrazy są funkc-
jami nazywamy ciÄ…gami funkcyjnymi.
1.2. Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywi-
stych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność
Definicja 1.2.
def

" CiÄ…g (an) jest rosnÄ…cy Ô! an+1 > an.
n"N
def

" CiÄ…g (an) jest niemalejÄ…cy Ô! an+1 an.
n"N
def

" CiÄ…g (an) jest malejÄ…cy Ô! an+1 < an.
n"N
def

" CiÄ…g (an) jest nierosnÄ…cy Ô! an+1 an.
n"N
Twierdzenie 1.3. Jeśli an > 0 dla n " N, to
an+1
ciÄ…g (an) jest rosnÄ…cy Ô! > 1.
an
n"N
Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nierosnącego.
Definicja 1.5.
def

" CiÄ…g (an) jest ograniczony z doÅ‚u Ô! an m.
m"R n"N
def

" CiÄ…g (an) jest ograniczony z góry Ô! an M.
M"R n"N
def
" CiÄ…g (an) jest ograniczony Ô! (an) jest ograniczony z doÅ‚u i z góry.
2009, E. Kotlicka
1. CI
GI LICZBOWE 2
Definicja 1.6.
" Ciąg liczbowy (an) jest zbieżny do a " R, gdy prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończoną ilością)
wyrazy ciÄ…gu (an) znajdujÄ… siÄ™ dowolnie blisko a, czyli

|an - a| < µ.
µ>0 K"N n K
" Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (an) i zapisujemy
lim an = a lub an a.
n"
Przykład 1.7. Wykazać, że zachodzą równości:
1 1
a) lim = 0; b) lim = 0.
n" n"
n n3
Definicja 1.8.
" Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do +" i zapisujemy
lim an = +",
n"
gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu (an) są większe od dowolnej liczby dodatniej, czyli

an > µ.
µ>0 K"N n K
" Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do -" i zapisujemy
lim an = -",
n"
gdy

an < -µ.
µ>0 K"N n K
" Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny, gdy nie posiada granicy (właściwej ani niewłaściwej).
Przykład 1.9. Wykazać, że lim n2 = +".
n"
Twierdzenie 1.10. Każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą).
Ćwiczenie 1.11. Wykazać, że:
1
a) lim an = Ä…" Ò! lim = 0;
n" n"
an
1
{ = 0}
Ä…"
2009, E. Kotlicka
1. CI
GI LICZBOWE 3

1
+", gdy an > 0 dla prawie wszystkich n " N,
b) lim an = 0 Ò! lim =
n" n"
an -", gdy an < 0 dla prawie wszystkich n " N.
1 1
{ = +"} { = -"}
0+ 0-
Ćwiczenie 1.12. Wykazać, że
Å„Å‚
0 dla Ä… < 0,
òÅ‚
a) lim nÄ… = 1 dla Ä… = 0,
n" ół
+" dla Ä… > 0.
Å„Å‚
nie istnieje dla q -1,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
0 dla q " (-1; 1),
b) lim qn =
n" ôÅ‚ 1 dla q = 1,
ôÅ‚
ół
+" dla q > 1.
1.3. Arytmetyka granic
Twierdzenie 1.13. Jeśli lim an = a oraz c = 0, to

n"

c · a, gdy a " R,
lim c · an=
n" Ä…", gdy a = Ä…".
W szczególności dla c > 0 mamy
{c · (+") = +"} oraz {c · (-") = -"}
Twierdzenie 1.14. Jeśli lim an = a oraz lim bn = b, to
n" n"
2009, E. Kotlicka
1. CI
GI LICZBOWE 4
Twierdzenie 1.15. Jeśli lim an = a, lim bn = b oraz bn = 0 dla n " N, to

n" n"
Twierdzenie 1.16. Jeśli lim an = a, lim bn = b oraz bn 0 dla n " N, to
n" n"
Symbole nieoznaczone:
" 0
" - " 0 · "
" 0
00 "0 1"
1.4. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych
Definicja 1.17. Podciągiem ciągu (an) nazywamy każdy ciąg (akn), gdzie (kn) jest dowolnym rosnącym
ciÄ…giem liczb naturalnych.
Np. PodciÄ…gami ciÄ…gu (an) sÄ… ciÄ…gi:
a1, a3, a5, . . . a2, a4, a6, . . . a3, a4, a5, . . .
(a2n-1)" (a2n)n"N (an)n 3
n=1
Twierdzenie 1.18. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg.
Przykład 1.19. Zbadać, czy istnieją granice:
(-1)n+n
a) lim (-1)n;
c) lim .
n+1
n"
n"
nĄ
b) lim cos ;
2
n"
Twierdzenie 1.20. Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony.
Uwaga 1.21. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.20 nie jest prawdziwe.
2009, E. Kotlicka
1. CI
GI LICZBOWE 5
Twierdzenie 1.22 (Bolzano-Weierstrassa). Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje podciąg
zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do -" lub +".
Twierdzenie 1.23. Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.
Lemat 1.24. Jeśli ciągi (an), (bn) są zbieżne oraz

an bn,
K"N n K
to lim an lim bn.
n" n"
Twierdzenie 1.25 (o trzech ciągach). Załóżmy,że

(") an bn cn,
K"N n K
a) Jeśli lim an = lim cn = a, to istnieje granica ciągu (bn), przy czym lim bn = a.
n" n" n"
b) Jeśli lim an = +", to lim bn = +".
n" n"
c) Jeśli lim cn = -", to lim bn = -".
n" n"
1.5. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e
Twierdzenie 1.26.
"
n
a) lim n = 1.
n"
"
n
b) lim a = 1, gdy a > 0.
n"
"
n
c) Jeśli an 0 dla każdego n " N oraz lim an = a > 0, to lim an = 1.
n" n"
Uwaga 1.27. Tw. 1.26 3) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +" lub a = 0.
1
Twierdzenie 1.28. CiÄ…g an = (1 + )n dla n " N jest ograniczony i monotoniczny.
n
1
Definicja 1.29. LiczbÄ… e nazywamy granicÄ™ ciÄ…gu (1 + )n, n " N.
n
Twierdzenie 1.30.
n

1
"
a) lim = e.
n"
k!
k=0
b) Liczba e jest liczbÄ… niewymiernÄ….
e = 2, 7182818284 . . .
1
Twierdzenie 1.31. Jeśli an = 0 dla każdego n " N oraz lim an = ą", to lim (1 + )an = e.

n" n"
an
Definicja 1.32. Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy sym-
bolem ln.
def
ln x = loge x dla x > 0
2009, E. Kotlicka
1. CI
GI LICZBOWE 6
1.6. Zbiory ograniczone na prostej, kres górny i dolny
Definicja 1.33. Niech E ‚" R, E = ".

" Liczbę M0 " E taką, że

x M0
x"E
nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E.
" Liczbę m0 " E taką, że

x m0
x"E
nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E.
Definicja 1.34. Niech E ‚" R, E = ".

" Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy

x M.
M"R x"E
Liczbę M nazywamy wówczas ograniczeniem górnym zbioru E.
" Liczbę będącą najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem górnym
zbioru E i oznaczamy przez sup E. Inaczej: sup E = M, gdy

(1) x M,
x"E

(2) x > M1.
M1" W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +".
Definicja 1.35. Niech E ‚" R, E = ".

" Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy

x m.
m"R x"E
LiczbÄ™ m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E.
" Liczbę będącą największym ograniczeniem dolnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem dolnym
zbioru E i oznaczamy przez inf E. Inaczej: inf E = m, gdy

(1) x m,
x"E

(2) x < m1.
m1>m
x"E
" W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E = -".
" Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy jest zbiorem ograniczonym z góry i z dołu.
Twierdzenie 1.36. Każdy niepusty zbiór E ‚" R posiada kresy górny i dolny.
Twierdzenie 1.37. a) Jeśli ciąg (an) jest niemalejący, to
sup{an : n " N} = lim an,
n"
inf{an : n " N} = a1.
2009, E. Kotlicka
1. CI
GI LICZBOWE 7
b) Jeśli ciąg (an) jest nierosnący, to
sup{an : n " N} = a1,
inf{an : n " N} = lim an.
n"
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 8
2. GRANICE FUNKCJI
2.1. Podstawowe definicje
Definicja 2.1. Niech x0 " R.
" Sąsiedztwem punktu x0 nazywamy każdy zbiór postaci
S(x0) = (a, x0) *" (x0, b),
gdzie a, b " R, a < x0 < b. Zbiory: S-(x0) = (a, x0) oraz S+(x0) = (x0, b) nazywamy odpowiednio
lewostronnym i prawostronnym sÄ…siedztwem punktu x0.
" Otoczeniem punktu x0 nazywamy każdy zbiór postaci
U(x0) = S(x0) *" {x0}.
Zbiory: U-(x0) = S-(x0) *" {x0}, U+(x0) = S+(x0) *" {x0} nazywamy odpowiednio lewostronnym i
prawostronnym otoczeniem punktu x0.
" Sąsiedztwem -" nazywamy zbiór
S(-") = (-", b), gdzie b " R.
" Sąsiedztwem +" nazywamy zbiór
S(+") = (a, +"), gdzie a " R.
Niech X ‚" R, X = ".

Definicja 2.2.
" Mówimy, że punkt x0 " R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (xn) taki, że
{xn} ‚" X \ {x0} oraz lim xn = x0.
n"
" Jeśli dodatkowo wiadomo, że xn > x0 dla n " N (xn < x0 dla n " N), to x0 nazywamy prawostronnym
(lewostronnym) punktem skupienia zbioru X.
" Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.
Zbiór punktów skupienia zbioru X oznaczamy przez Xd. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów
skupienia zbioru X oznaczamy przez Xd+ (Xd-).
Definicja 2.3 (definicja Heinego granicy funkcji w +"). Niech f : X R, zaś X będzie zbiorem nieogranic-
zonym z góry.
" Mówimy, że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +", gdy

[n"xn = +" Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X
Zapisujemy
lim f(x) = g
x+"
" Mówimy, że funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą +", gdy

[n"xn = +" Ò! lim f(xn) = +"].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X
Zapisujemy
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 9
lim f(x) = +"
x+"
" Mówimy, że funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą -", gdy

[n"xn = +" Ò! lim f(xn) = -"].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X
Zapisujemy
lim f(x) = -"
x+"
Analogicznie definiujemy granice: lim f(x) = g, lim f(x) = +" oraz lim f(x) = -".
x-" x-" x-"
Definicja 2.4 (definicja Heinego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x0 " Xd.
" Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x0, gdy

[n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X\{x0}
Zapisujemy
lim f(x) = g
xx0
" Funkcja f posiada w x0 granicę niewłaściwą +", gdy

[n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = +"].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X\{x0}
Zapisujemy
lim f(x) = +"
xx0
Analogicznie definiujemy granicÄ™: lim f(x) = -".
xx0
Definicja 2.5. Niech f : X R.
" Niech x0 " Xd-. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, gdy

[n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X)"(-",x0)
Zapisujemy
lim f(x) = g lub f(x-) = g
0
xx-
0
" Niech x0 " Xd+. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, gdy

[n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X)"(x0,+")
Zapisujemy
lim f(x) = g lub f(x+) = g
0
xx+
0
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 10
Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.
Definicja 2.6 (definicja Cauchy ego granicy funkcji w +"). Niech f : X R oraz niech X będzie zbiorem
nieograniczonym z góry.
" Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +", gdy

[x > ´ Ò! |f(x) - g| < µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą +", gdy

[x > ´ Ò! f(x) > µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą -", gdy

[x > ´ Ò! f(x) < -µ].
µ>0 ´>0 x"X
Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w -".
Definicja 2.7 (definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x0 " Xd.
" Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, gdy

[0 < |x - x0| < ´ Ò! |f(x) - g| < µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą +", gdy

[0 < |x - x0| < ´ Ò! f(x) > µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą -", gdy

[0 < |x - x0| < ´ Ò! f(x) < -µ].
µ>0 ´>0 x"X
Twierdzenie 2.8. Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy ego granic funkcji są równoważne.
Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji w punkcie). Jeśli
x0 " Xd- )" Xd+, to
lim f(x) = g Ô! lim f(x) = lim f(x) = g.
xx0
xx- xx+
0 0
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji
Przedstawione poniżej twierdzenia o granicach funkcji (tzn. twierdzenia 2.10 - 2.14) zachodzą zarówno
dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w +" i -".
Twierdzenie 2.10 (arytmetyka granic właściwych funkcji). Jeśli f, g : X R, lim f(x) = a oraz
xx0
lim g(x) = b, to
xx0
a) lim (c · f(x)) = c · a dla dowolnego c " R;
xx0
b) lim (f(x) Ä… g(x) = a Ä… b;
xx0
c) lim (f(x) · g(x)) = a · b;
xx0
f(x)
a
d) lim = , o ile b = 0;

xx0 g(x) b
e) lim (g(x))f(x) = ba, o ile b > 0 i a = 0.

xx0
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 11
Twierdzenie 2.11 (arytmetyka granic niewłaściwych funkcji).
a + " = +" dla -" < a +"
a · (+") = +" dla 0 < a +" a · (+") = -"
dla -" a < 0
a
= 0 dla -" < a < +"
"
a a
= +" dla 0 < a +" = -" dla
0+ 0+
-" a < 0
b" = 0 dla 0+ b < 1, b" = +" dla 1 < b
+"
"a = 0 dla -" a < 0, "a = +" dla
0 < a +"
Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji zÅ‚ożonej). Niech f : X Y ‚" R, g : Y R. JeÅ›li speÅ‚nione sÄ…
warunki:
(1) lim f(x) = a,
xx0
(2) f(x) = a dla każdego x " S(x0),

(3) limg(t) = b,
ta
to lim g(f(x)) = b.
xx0
Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach). Jeśli funkcje f, g, h : X R spełniają warunki:

(1) f(x) g(x) h(x),
x"S(x0)
(2) lim f(x) = lim h(x) = a,
xx0 xx0
to lim g(x) = a.
xx0
Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach). Niech f, g : X R oraz

f(x) g(x).
x"S(x0)
a) Jeśli lim f(x) = +", to lim g(x) = +".
xx0 xx0
b) Jeśli lim g(x) = -", to lim f(x) = -".
xx0 xx0
sin x
Twierdzenie 2.15. lim = 1.
x
x0
1
Twierdzenie 2.16. lim(1 + x)x = e.
x0
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 12
2.3. Asymptoty funkcji
Definicja 2.17. Niech f : X R, x0 " Xd.
" Prostą o równaniu x = x0 nazywamy prawostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeśli
lim f(x) = -" albo lim f(x) = +".
xx+ xx+
0 0
" Prostą o równaniu x = x0 nazywamy lewostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeśli
lim f(x) = -" albo lim f(x) = +".
xx- xx-
0 0
" Prostą o równaniu x = x0 nazywamy obustronną asymptotą pionową wykresu funkcji f (lub krótko
asymptotą pionową), jeśli jest jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Definicja 2.18. Niech f : X R.
" Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z góry. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą
ukośną wykresu funkcji f w +", gdy
lim [f(x) - (ax + b)] = 0.
x+"
" Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z dołu. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą
ukośną wykresu funkcji f w -", gdy
lim [f(x) - (ax + b)] = 0.
x-"
" Jeśli a = 0 to odpowiednią asymptotę ukośną nazywamy asymptotą poziomą.
Uwaga Prosta o równaniu y = b jest asymptotÄ… poziomÄ… wykresu funkcji f w +" Ô! lim f(x) = b.
x+"
Prosta o równaniu y = b jest asymptotÄ… poziomÄ… wykresu funkcji f w -" Ô! lim f(x) = b.
x-"
Twierdzenie 2.19.
a) Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotÄ… ukoÅ›nÄ… wykresu funkcji f w +" Ô!
f(x)
a = lim oraz b = lim (f(x) - ax).
x+" x+"
x
b) Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotÄ… ukoÅ›nÄ… wykresu funkcji f w -" Ô!
f(x)
a = lim oraz b = lim (f(x) - ax).
x-" x-"
x
2.4. Ciągłość funkcji
Definicja 2.20. Niech f : X R, x0 " X.
" Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd albo (istnieje lim f(x) i lim f(x) = f(x0)).
/
xx0 xx0
" Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd- albo (istnieje lim f(x) i lim f(x) = f(x0)).
/
xx- xx-
0 0
" Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd+ albo (istnieje lim f(x) i lim f(x) = f(x0)).
/
xx+ xx+
0 0
Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy przez Cf . Zbiór punktów prawostronnej (lewostronnej)
+ -
ciągłości funkcji f oznaczamy przez Cf (Cf ).
2009, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 13
Twierdzenie 2.21 (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji). Niech f : X R oraz
x0 " X. Funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a w punkcie x0 Ô! f jest lewostronnnie i prawostronnie ciÄ…gÅ‚a w punkcie x0.
Definicja 2.22. Niech f : X R, A ‚" X. Mówimy, że funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a w zbiorze A, gdy jest ciÄ…gÅ‚a
w każdym punkcie tego zbioru. Jeśli A = Df , to krótko mówimy, że f jest ciągła.
Definicja 2.23 (rodzaje nieciągłości).
Niech f : X R, x0 " X \ Cf .
" x0 nazywamy punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne:
lim f(x) oraz lim f(x), istnieją i są skończone.
xx- xx+
0 0
" x0 nazywamy punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic
jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.
Twierdzenie 2.24. Jeśli funkcje f, g : X R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje
f
|f| , f + g, f · g oraz (o ile g(x) = 0 dla x " X).

g
Twierdzenie 2.25. Jeśli funkcje f : X Y, g : Y R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ć% f.
Twierdzenie 2.26. Jeśli funkcja f : X R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f-1 jest
ciągła.
Twierdzenie 2.27. Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe.
2.5. Własności funkcji ciągłych
Niech a, b " R, a < b.
Twierdzenie 2.28 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła oraz f(x0) > 0 dla pewnego x0 " [a, b], to

f(x) > 0.
U(x0) x"U(x0)
Twierdzenie 2.29 (Weierstrassa  o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła, to jest ograniczona na [a, b], przy czym istnieją punkty c1, c2 " [a, b]
takie, że

f(c1) f(x) f(c2).
x"[a,b]
Twierdzenie 2.30 (Darboux  o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech m = min f[[a, b]] oraz M = max f[[a, b]]. Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła, to

y = f(x).
y"[m,M] x"[a,b]
Ile jest tych rozwiązań?
Jak je wyznaczyć? - metody numeryczne
2.6. Funkcje jednostajnie ciągłe
Definicja 2.31. Niech f : X R. Mówimy, że Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze X, gdy

[ |x1 - x2| < ´ Ò! |f(x1) - f(x2)| < µ ].
µ>0 ´>0 x1"X x2"X
Twierdzenie 2.32. Jeśli funkcja f : X R jest jednostajnie ciągła w X, to jest ciągła w tym zbiorze.
Twierdzenie 2.33. Niech a, b " R, a < b oraz f : [a, b] R. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a, b] to jest
jednostajnie ciągła w tym przedziale.
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 14
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
RZECZYWISTEJ
3.1. Definicja pochodnej i różniczki funkcji, podstawowe
własności
Niech a, b " R i a < b.
Definicja 3.1. Niech f : (a, b) R oraz x0 " (a, b).
" FunkcjÄ™ Õ : (a, b) \ {x0} R danÄ… wzorem
def
f(x) - f(x0)
Õ(x) =
x - x0
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0.
" JeÅ›li granica lim Õ(x) istnieje i jest skoÅ„czona, to nazywamy jÄ… pochodnÄ… wÅ‚aÅ›ciwÄ… funkcji f w
xx0
punkcie x0 i mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0. Zapisujemy
def
f(x) - f(x0)
f (x0) = lim .
xx0
x - x0
" Jeśli x0 " Cf i powyższa granica jest niewłaściwa, to nazywamy ją pochodną niewłaściwą funkcji f
w punkcie x0.
Analogicznie definiujemy pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy je odpowiednio przez
f (x+) oraz f (x-).
0 0
Definicja 3.2. Niech f : [a, b] R.
" JeÅ›li A ‚" (a, b) oraz funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie x " A, to mówimy, że f jest
różniczkowalna na zbiorze A.
" Mówimy, że f jest różniczkowalna na [a, b], gdy f jest różniczkowalna na (a, b), prawostronnie
różniczkowalna w punkcie a i lewostronnie różniczkowalna w b.
" FunkcjÄ™
x - f (x),
określoną na zbiorze punktów, w których f jest różniczkowalna, nazywamy funkcją pochodną funkcji
f i oznaczamy przez f .
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie www
Twierdzenie 3.3 (warunek konieczny różniczkowalności funkcji). Jeśli funkcja f : (a, b) R jest
różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b), to jest ciągła w tym punkcie.
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 15
Twierdzenie 3.4 (o pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu funkcji). Załóżmy, że funkcje f, g : (a, b) R
f
sÄ… różniczkowalne w punkcie x0 " (a, b). Wówczas funkcje f +g, f ·g oraz sÄ… różniczkowalne w tym punkcie
g
oraz
a) (f + g) (x0) = f (x0) + g (x0),
b) (f · g) (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0),
f f (x0)g(x0) - f(x0)g (x0)
c) ( ) (x0) = , o ile g(x0) = 0.

g g2(x0)
Twierdzenie 3.5 (o pochodnej funkcji złożonej). Załóżmy, że
(1) funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b),
(2) f[(a, b)] ‚" (c, d) oraz
(3) funkcja g : (c, d) R jest różniczkowalna w punkcie f(x0).
Wówczas funkcja g ć% f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
(g ć% f) (x0) = g (f(x0))f (x0).
Twierdzenie 3.6 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Załóżmy, że
(1) funkcja f : (a, b) R jest różnowartościowa,
(2) f jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b), przy czym f (x0) = 0.

Wówczas funkcja f-1 jest różniczkowalna w punkcie y0 = f(x0) oraz
1
(f-1) (y0) = .
f (x0)
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 16
Twierdzenie 3.7 (pochodne podstawowych funkcji). jj
Wzór Założenia
(c) = 0 c " R
(xÄ…) = Ä…xÄ…-1 Ä… " R, x " R lub x " R \ {0}
(ax) = ax ln a a " (0, 1) *" (1, +"), x " R
1
(loga x) = a " (0, 1) *" (1, +"), x > 0
x ln a
(sin x) = cos x x " R
(cos x) = - sin x x " R
1
(tg x) = x " R\{Ą + kĄ : k " Z}
2
cos2 x
1
(ctg x) = - x " R\{kĄ : k " Z}
sin2 x
1
(arc sin x) = " x " (-1, 1)
1 - x2
1
(arc cos x) = -" x " (-1, 1)
1 - x2
1
(arctg x) = x " R
1 + x2
1
(arcctg x) = - x " R
1 + x2
Definicja 3.8. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b). Funkcję liniową
h - f (x0)h
nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy przez df(x0).
Definicja 3.9. Niech f : (a, b) R oraz n " N.
" Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 " (a, b) definiujemy indukcyjnie:
def
f(n)(x0) = [f(n-1)] (x0),
def def
gdzie f(1)(x0) = f (x0) oraz f(0)(x0) = f(x0).
" FunkcjÄ™
x - f(n)(x),
określoną na zbiorze punktów, w których istnieje pochodna wlaściwa n-tego rzędu, nazywamy funkcją
pochodną n-tego rzędu funkcji f.
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 17
3.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania
Twierdzenie 3.10 (Rolle a). Jeśli funkcja f : [a, b] R jest
(1) ciągła na [a, b],
(2) różniczkowalna na (a, b) oraz
(3) f(a) = f(b),
to istnieje punkt x0 " (a, b) taki, że f (x0) = 0.
Twierdzenie 3.11 (Lagrange a). Jeśli funkcja f : [a, b] R jest
(1) ciągła na [a, b] oraz
(2) różniczkowalna na (a, b),
to istnieje punkt x0 " (a, b) taki, że
f(b) - f(a)
f (x0) = .
b - a
Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).
Twierdzenie 3.12 (warunki wystarczające monotoniczości funkcji). Niech f : I R. Wówczas
a) jeśli f (x) = 0 dla każdego x " I, to f jest stała na I;
b) jeśli f (x) > 0 dla każdego x " I, to f jest rosnąca na I;
c) jeśli f (x) 0 dla każdego x " I, to f jest niemalejąca na I;
d) jeśli f (x) < 0 dla każdego x " I, to f jest malejąca na I;
e) jeśli f (x) 0 dla każdego x " I, to f jest nierosnąca na I.
Twierdzenie 3.13. Załóżmy, że funkcja f : I R jest różniczkowalna na I. Jeśli
a) f jest rosnąca na I, to f (x) 0 dla każdego x " I oraz f nie jest równa 0 na żadnym przedziale
zawartym w I;
b) f jest malejąca na I, to f (x) 0 dla każdego x " I oraz f nie jest równa 0 na żadnym przedziale
zawartym w I.
Twierdzenie 3.14. Załóżmy, że f, g : I R i x0 " I.
a) Jeśli
(1) f(x0) = g(x0) oraz

(2) f (x) = g (x),
x"I
to f(x) = g(x) dla wszystkich x " I.
b) Jeśli funkcje f, g są ciągłe na I oraz
(1) f(x0) g(x0) i

(2) f (x) g (x),
x"I)"(x0,+")
to f(x) g(x) dla wszystkich x " I )" (x0, +").
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 18
Twierdzenie 3.15 (reguła de l Hospitala). Niech x0 " R oraz niech S(x0) będzie pewnym sąsiedztwem
punktu x0. Załóżmy, że funkcje f, g : S(x0) R są różniczkowalne na S(x0), przy czym g (x) = 0 dla

x " S(x0). Jeśli
lim f(x) = lim g(x) = 0
xx0 xx0
albo
lim f(x) = lim g(x) = Ä…",
xx0 xx0
f (x) f(x)
oraz istnieje granica lim = g " R, to lim = g.
xx0 xx0
g (x) g(x)
Twierdzenie zachodzi także dla granic jednostronnych w punkcie.
Uwaga 3.16. Regułę de l Hospitala można stosować również do oblicznia granic funkcji w przypadku sym-
0 "
boli nieoznaczonych innych niż i , posługując się odpowiednio niżej podanymi przekształceniami.
0 "
Symbol przed Przekształcenie Symbol po
przekształceniem przekształceniu
Å„Å‚
g
f(1
ôÅ‚ - )
"
ôÅ‚ f
"(1 - )
òÅ‚
"
1 1
" - " f - g = -
g f
ôÅ‚
0
ôÅ‚
ół 1
0
f·g
Å„Å‚
f
0
ôÅ‚
òÅ‚ 1
0
g
0 · " f · g =
g
ôÅ‚
"
ół
1
"
f
00, "0 lub 1" fg = eg ln f e0·(Ä…")
Twierdzenie 3.17 (wzór Taylora). Niech f : [a, b] R oraz n " N. Załóżmy, że pochodna f(n-1) funkcji
f istnieje i jest ciągła na [a, b], zaś pochodna f(n) istnieje wszędzie na (a, b). Niech x0 " [a, b]. Wówczas dla
każdego x " [a, x0) *" (x0, b] istnieje punkt c leżący pomiędzy x i x0 taki, że
f (x0) f(n-1)(x0) f(n)(c)
f(x) = f(x0) + (x - x0) + · · · + (x - x0)n-1 + (x - x0)n.
1! (n - 1)! n!


Rn(x) - reszta w postaci Lagrange a
Pn-1(x) - wielomian Taylora
Uwaga 3.18.
(1) Jeśli x0 = 0, to powyższy wzór przyjmuje postać
f (0) f(n-1)(0) f(n)(c)
f(x) = f(0) + x + · · · + xn-1 + xn
1! (n - 1)! n!

Pn-1(x) - wielomian Maclaurina
i nosi nazwÄ™ wzoru Maclaurina.
(2) Jeśli założymy, że



f(n)(x) M,

M>0 n"N x"(a,b)
to lim Rn(x) = 0 dla x " (a, b).
n"
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 19
(3)
Wzór Maclaurina dla wybranych funkcji
x x2 xn-1 xn
ex = 1 + + + · · · + + ec
1! 2! (n - 1)! n!
x x3 x5 x2n-1 x2n+1
sin x = - + - · · · + (-1)n-1 + (-1)n sin c
1! 3! 5! (2n - 1)! (2n + 1)!
x2 x4 x2n-2 x2n
cos x = 1 - + - · · · + (-1)n-1 + (-1)n cos c
2! 4! (2n - 2)! (2n)!
x2 x3 xn xn+1
ln(1 + x) = x - + - · · · + (-1)n-1 + (-1)n
2 3 n (n + 1)(1 + c)n+1
3ż 4ż 3ż
3.3. Ekstrema globalne i lokalne funkcji
Niech X ‚" R, X = ".

Definicja 3.19. Mówimy, że funkcja f : X R ma w punkcie x0 " X
" maksimum globalne na X, gdy

f(x) f(x0),
x"X
" minimum globalne na X, gdy

f(x) f(x0).
x"X
Definicja 3.20. Mówimy, że funkcja f : X R ma w punkcie x0 " X
" maksimum lokalne, gdy

f(x) f(x0),
S(x0) x"S(x0))"X
" minimum lokalne, gdy

f(x) f(x0).
S(x0) x"S(x0))"X
Jeśli w powyższych definicjach nierówności   i   zastąpić odpowiednio przez  < i  > , to otrzymamy
definicje ekstremów globalnych i lokalnych właściwych.
Twierdzenie 3.21 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego - tw. Fermata).
Jeśli funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w x0 " (a, b) oraz ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to
f (x0) = 0.
Twierdzenie 3.22. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b]. Niech
A = {x " (a, b) : f (x) = 0} oraz B = {x " (a, b) : f (x) nie istnieje}.
Wówczas
sup{f(x) : x " [a, b]} = max{f(x) : x " {a, b} *" A *" B},
inf{f(x) : x " [a, b]} = min{f(x) : x " {a, b} *" A *" B}.
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 20
Twierdzenie 3.23 (I warunek wystarczajÄ…cy istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu U(x0) = S(x0) *" {x0} ‚" (a, b).
Jeśli
(1) f (x0) = 0,

(2) f (x) > 0 i f (x) < 0
x"S-(x0) x"S+(x0)

(albo f (x) < 0 i f (x) > 0),
x"S-(x0) x"S+(x0)
to f ma w x0 maksimum lokalne właściwe (albo odpowiednio, minimum lokalne właściwe).
-2ż 1ż
Uwaga 3.24.
(1) Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku, gdy f jest różniczowalna tylko w pewnym sąsiedztwie
S(x0) i ciągła w punkcie x0.
(2) Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
3ż
Twierdzenie 3.25 (II warunek wystarczajÄ…cy istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x0 " (a, b).
Jeśli
(1) f (x0) = 0,
(2) f jest ciągła w x0,
(3) f (x0) = 0,

to f ma w x0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to
" maksimum lokalne w przypadku, gdy f (x0) < 0,
" minimum lokalne w przypadku, gdy f (x0) > 0.
3.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji, punkty przegięcia
Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).
Definicja 3.26. Niech f : I R. Dla dowolnych x1, x2 " I oznaczmy przez lx1,x2 funkcję, której wykresem
jest prosta przechodzÄ…ca przez punkty (x1, f(x1)) i (x2, f(x2)).
Mówimy, że funkcja f jest
" wypukła na I, gdy

f(x) lx1,x2(x),
x1,x2"I, x1" wklęsła na I, gdy

f(x) lx1,x2(x).
x1,x2"I, x1x"(x1,x2)
Jeśli w powyższych warunkach nierówności   i   zastąpić odpowiednio przez  < i  > , to otrzymamy
definicje ścisłej wypukłości i ścisłej wklęsłości funkcji f na przedziale I.
Twierdzenie 3.27. Niech f : I R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas

a) f jest wypukÅ‚a na I Ô! f(x) f (x0)(x - x0) + f(x0);
x0"I
x"I\{x0}

b) f jest wklÄ™sÅ‚a na I Ô! f(x) f (x0)(x - x0) + f(x0).
x0"I
x"I\{x0}
Analogiczne stwierdzenia zachodzą dla funkcji ściśle wypukłych i ściśle wklęsłych.
2009, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 21
Twierdzenie 3.28 (warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości funkcji).
Niech f : I R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas
a) jeśli f (x) > 0 dla każdego x " I, to f jest ściśle wypukła na I;
b) jeśli f (x) < 0 dla każdego x " I, to f jest ściśle wklęsła na I.
Definicja 3.29. Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x0 " (a, b). Mówimy, że x0
jest punktem przegiÄ™cia funkcji f, gdy istnieje sÄ…siedztwo S(x0) ‚" (a, b) takie, że
f jest ściśle wypukła na S-(x0) i ściśle wklęsła na S+(x0)
albo
f jest ściśle wklęsła na S-(x0) i ściśle wypukła na S+(x0).
Twierdzenie 3.30 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia).
Jeśli funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna na (a, b) oraz x0 jest punktem przegięcia funkcji
f, to f (x0) = 0.
Uwaga 3.31. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie 3.32 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sÄ…siedztwie S(x0) ‚" (a, b)
punktu x0. Jeśli
(1) f jest różniczkowalna w x0,

(2) f (x) > 0 i f (x) < 0
x"S-(x0) x"S+(x0)

albo f (x) < 0 i f (x) > 0,
x"S-(x0) x"S+(x0)
to x0 jest punktem przegięcia funkcji f.
Twierdzenie 3.33. Niech n " N \ {1}. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest n-krotnie różniczkowalna na
pewnym otoczeniu punktu x0 " (a, b). Jeśli

(1) f(k)(x0) = 0,
k"{1,...,n-1}
(2) f(n) jest ciągła w x0,
(3) f(n)(x0) = 0,

to f ma w x0
a) punkt przegięcia, gdy n jest liczbą nieparzystą;
b) ekstremum lokalne właściwe, gdy n jest liczbą parzystą, przy czym jest to
" maksimum lokalne w przypadku, gdy f(n)(x0) < 0,
" minimum lokalne w przypadku, gdy f(n)(x0) > 0.
2009, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 22
4. CAA
KA NIEOZNACZONA
W całym rozdziale niech I oznacza dowolny przedział (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).
4.1. Funkcja pierwotna
Definicja 4.1. Niech f : I R. FunkcjÄ™ F : I R nazywamy funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f na przedziale
I, gdy


F (x) = f(x).
x"I
Twierdzenie 4.2. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, to
a) funkcja F + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f,
b) każdą funkcję pierwotną funkcji f można przedstawić w postaci F +C0, gdzie C0 jest odpowiednio dobraną
stałą.
Wniosek 4.3. Dla dowolnego punktu (x0, y0), gdzie x0 " I, istnieje dokładnie jedna funkcja pierwotna,
której wykres przechodzi przez ten punkt.
Definicja 4.4. Niech f : I R. Zbiór wszystkich funkcji piewotnych funkcji f na przedziale I (o ile jest
niepusty) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I i oznaczamy przez

f(x) dx lub f.
Jeśli funkcja F : I R jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f, to piszemy

f(x) dx = F (x) + C, gdzie C " R.
Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej i wzorów na pochodne odpowiednich funkcji wynikają wzory na
podstawowe całki nieoznaczone (patrz tabela w paragrafie 5.4).
4.2. Własności całki nieoznaczonej
Twierdzenie 4.5. Niech f : I R.


a) Jeśli istnieje całka f, to f = f.

b) Jeśli istnieje całka (f ), to (f ) = f + C, gdzie C " R.

Twierdzenie 4.6 (liniowość całki nieoznaczonej). Niech f, g : I R. Jeśli istnieją całki f i g,
to

a) istnieje całka (f + g) oraz

(f + g) = f + g;

b) dla dowolnej liczby rzeczywistej k istnieje całka (kf) oraz


(kf) = k f .
2009, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 23
Twierdzenie 4.7 (warunek wystarczający istnienia całki nieoznczonej). Jeśli funkcja f : I R
jest ciągła, to istnieje całka nieoznaczona funkcji f na przedziale I.
Uwaga 4.8.
(1) O ile pochodne funkcji elementarnych sÄ… funkcjami elementarnymi, to funkcje pierwotne funkcji elemen-
tarnych nie muszą być funkcjami elementarnymi. W konsekwencji istnieją funkcje elementarne, których
całki nieoznaczone nie wyrażają się przy pomocy funkcji elementarnych,

cosx
2
np. e-x dx, sin(x2) dx, dx.
x
(2) Istnieją funkcje nieciągłe, które posiadają całkę nieoznaczoną. Np. można sprawdzić, że funkcja f
określona wzorem

1 1
2x sin - cos , gdy x = 0,

x x
f(x) =
0, gdy x = 0,

nie jest ciągła w punkcie 0, zaś f(x) dx = g(x) + C, gdzie C " R oraz

1
x2 sin , gdy x = 0,

x
g(x) =
0, gdy x = 0.
4.3. Metody całkowania
Twierdzenie 4.9 (o całkowaniu przez części). Załóżmy, że
(1) funkcje f, g : I R są różniczkowalne na przedziale I,
(2) istnieje całka nieoznaczona z funkcji f g na przedziale I.
Wówczas istnieje całka nieoznaczona z funkcji fg na przedziale I oraz zachodzi wzór

fg = fg - f g.
Twierdzenie 4.10 (o całkowaniu przez podstawienie). Załóżmy, że I, J są przedziałami oraz
(1) funkcja g : I J jest różniczkowalna na I,
(2) funkcja f : J R ma na przedziale J funkcjÄ™ pierwotnÄ… F .
Wówczas funkcja (f ć% g)g ma całkę nieoznaczoną na I oraz zachodzi wzór

(f ć% g)g = F ć% g + C, gdzie C " R.
2009, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 24
4.4. Podstawowe wzory na całki nieoznaczone
Wzór Założenia

(1) 0 dx = C x " R

xÄ…+1
(2) xÄ… dx = + C Ä… " R \ {1}, x " R lub x " R \ {0}
Ä…+1

1
(3) dx = ln |x| + C x = 0

x

ax
(4) ax dx = + C a " (0, 1) *" (1, +"), x " R
ln a

(5) sin x dx = - cos x + C x " R

(6) cos x dx = sin x + C x " R

1
(7) dx = - ctg x + C x " (kĄ, (k + 1)Ą), k " Z
sin2 x

1
(8) dx = tg x + C x " ((2k - 1)Ä„ , (2k + 1)Ä„ ), k " Z
2 2
cos2 x

1
(9) dx = arctg x + C x " R
1 + x2

1
(10) " dx = arc sin x + C x " (-1, 1)
1 - x2

f (x)
(11) dx = ln |f(x)| + C f(x) = 0

f(x)


f (x)

(12) dx = 2 f(x) + C f(x) > 0
f(x)
2009, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 25
4.5. Całkowanie funkcji wymiernych.
V (x)
(A) Każdą funkcję wymierną postaci , gdzie V i Q są wielomianami niezerowymi można jednozncznie
Q(x)
przedstawić w postaci
P (x)
W (x) + ,
Q(x)
gdzie W i P są wielomianami, przy czym stopień wielomianu P jest mniejszy niż stopień wielomianu Q.
P (x)
(B) Każdą funkcję wymierną postaci , gdzie P jest wielomianem stopnia mniejszego niż stopień wielo-
Q(x)
mianu Q, można jednoznacznie przedstawić jako skończoną sumę ułamków prostych pierwszego lub
drugiego rodzaju, tzn. funkcji postaci
A
(I) ,
(x - p)n
Ax + B
(II) ,
((x - p)2 + k)n
gdzie n " N, A, B, p " R, k > 0.
(C) Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju:

A 1
t = x - p
dx = = A dt = . . .
dt = dx
(x - p)n tn
(W przypadku n = 1 można zastosować wzór (11)).
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju:


t = x - p
Ax + B A(t + p) + B

dx = = dt =

((x - p)2 + k)n (t2 + k)n
dt = dx

At 1
= dt + (pA + B) dt = . . .
(t2 + k)n (t2 + k)n

Jn In
Wzór Założenia

1 1 x
" "
(13) I1 = dx = arc tg + C k > 0, x " R
x2 + k
k k


1 1 x
(14) In = dx = + (2n - 3)In-1 n = 2, 3, . . . , k > 0, x " R
(x2 + k)n k(2n - 2) (x2 + k)n-1
Wskazówki:
Å„Å‚
òÅ‚
gdy n = 1 stosujemy wzór (11),
Jn =
ół
gdy n > 1 stosujemy podstawienie s = t2 + k
x
"
s =

k

I1 = = . . .

dx
"
ds =

k
2009, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 26
4.6. Całkowanie funkcji z niewymiernościami.
Niech R : R2 R będzie funkcją wymierną.
"

n
tn-b

"
t = ax + b x =
n
a
(A) R(x, ax + b ) dx = lub = . . . , a = 0



dt = . . . dx = . . .



ax + b t = ax+b

cx+d
(B) R x, dx = lub jw. . . . ,

cx + d

dt = . . .
Niech Wn : R R będzie wielomianem n-tego stopnia, n " N *" {0}.

Wn(x)

(C) dx, k, p " R, a = 0

k + a(x - p)2
" n = 0


t = x - p
A


dx = = . . . (stosujemy wzór (15) lub (16)),
k + a(x - p)2 dt = dx

Wzór Założenia

1 x
"
(15) " dx = arc sin + C k > 0, k - x2 > 0
k - x2 k


"
1

(16) " dx = ln x + k + x2 + C k = 0, k + x2 > 0

k + x2
Wskazówki:
x
"
"
t =

k x = k sin t

ad. (15) lub
"

dx
"
dt =

dx = k cos tdt
k
"
t = x + k + x2


"
ad. (16)

x+ k+x2 dt dx
" "
dt = dx Ò! =

t
k+x2 k+x2
" n > 0  stosujemy tzw. metodę współczynników nieoznaczonych:


Wn(x) 1
dx = Qn-1(x) k + a(x - p)2 + ² dx,
k + a(x - p)2 k + a(x - p)2
gdzie Qn-1 oznacza wielomian stopnia n - 1, zaÅ› ² jest pewnÄ… staÅ‚Ä….
2009, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 27
4.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.
Niech R : R2 R będzie funkcją wymierną.
(A) R(-u, v) = -R(u, v)


t = cos x

R(sin x, cos x) dx = = . . .

dt =
- sin xdx


np. sinn x cosm x dx, gdzie n, m " Z, n- liczba nieparzysta, m- liczba . . . . . . . . . . . . .
(B) R(u, -v) = -R(u, v)


t = sin x

R(sin x, cos x) dx = = . . .

dt = cos xdx

np. sinn x cosm x dx, gdzie n, m " Z, n- liczba . . . . . . . . . . . . . m- liczba . . . . . . . . . . . . .
(C) R(-u, -v) = R(u, v)

t = tg x Ò! x = arc tg t


R(sin x, cos x) dx = = . . . ,
dt
dx =

t2+1
t2 1 t
(sin2 x = , cos2 x = , sin x cos x = ),
1 + t2 1 + t2 1 + t2

np. sinn x cosm x dx, gdzie n, m " Z, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(D) R  dowolna funkcja
x

t = tg Ò! x = 2 arc tg t

2

R(sin x, cos x) dx = = . . . ,

2dt
dx =

t2+1
2t 1 - t2
(sin x = , cos x = ).
1 + t2 1 + t2
Wzór Założenia

1 n-1
(17) sinn x dx = - cos x sinn-1 x + sinn-2 x dx n = 2, 3, . . . , x " R
n n

1 n-1
(18) cosn x dx = sin x cosn-1 x + cosn-2 x dx n = 2, 3, . . . , x " R
n n
Wskazówka: wykorzystać wzór na całkowanie przez części.
2009, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 28
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I
CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA
5.1. Definicja całki oznaczonej Riemanna
Niech a, b " R i a < b.
Definicja 5.1 (Oznaczenia stosowane w definicji całki oznaczonej).
" Podziałem przedziału [a, b] nazywamy zbiór Pn = {x0, x1, . . . , xn}, gdzie n " N, punktów spełniają-
cych warunek:
a = x0 < x1 < . . . < xn-1 < xn = b.
" Średnicą podziału Pn przedziału [a, b] nazywamy liczbę
def
´(Pn) = max{"xi : i = 1, 2, . . . , n},
gdzie "xi = xi - xi-1.
" Układem punktów pośrednich podziału Pn przedziału [a, b] nazywamy dowolny zbiór Tn = {t1, . . . , tn}
taki, że
ti " [xi-1, xi] dla i = 1, . . . , n.
Definicja 5.2. Niech f : [a, b] R będzie funkcją ograniczoną, zaś Pn- dowolnym podziałem przedziału
[a, b]. Sumą całkową odpowiadającą podziałowi Pn i układowi punktów pośrednich Tn nazywamy liczbę
n

def
S(f, Pn, Tn) = f(ti)"xi.
i=1
Definicja 5.3. Mówimy, że ograniczona funkcja f : [a, b] R jest całkowalna w sensie Riemanna na
przedziale [a, b], gdy istnieje granica lim S(f, Pn, Tn) (przyjmujemy, że lim S(f, Pn, Tn) = A wtedy i
´(Pn)0 ´(Pn)0
tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciÄ…gu (Pn) podziałów przedziaÅ‚u [a, b] takiego, że lim ´(Pn) = 0, i dowol-
n"
nego ciągu (Tn) układów punktów pośrednich zachodzi równość A = lim S(f, Pn, Tn)). Rozważaną granicę
n"
nazywamy wówczas całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i zapisujemy
b
def
f(x) dx = lim S(f, Pn, Tn).
´(Pn)0
a
Ponadto przyjmujemy, że
a a
b
def def
f(x) dx = 0 oraz f(x) dx = - f(x) dx.
a a
b
Rodzinę funkcji całkowalnych na przedziale [a, b] oznaczamy przez R[a, b].
Uwaga 5.4. Jeśli funkcja jest całkowalna na przedziale, to jest tam ograniczona, ale odwrotnie nie musi
być.
2009, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 29
5.2. Własności całki oznaczonej
Twierdzenie 5.5 (warunki wystarczające całkowalności funkcji). Niech f : [a, b] R będzie funkcją
ograniczonÄ….
a) Jeśli f ma na przedziale [a, b] skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to f " R[a, b].
b) Jeśli f jest monotoniczna na przedziale [a, b], to f " R[a, b].
Twierdzenie 5.6 (liniowość całki oznaczonej). Jeśli funkcje f, g " R[a, b], to
a) f + g " R[a, b] oraz
b b b
(f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx;
a a a
b) kf " R[a, b] dla dowolnej liczby rzeczywistej k oraz
b b
kf(x) dx = k f(x) dx.
a a
Twierdzenie 5.7. a) Jeśli funkcje f, g " R[a, b], to fg " R[a, b].
b) Jeśli funkcja g " R[a, b] oraz f jest funkcją ciągłą na g[[a, b]], to f ć% g " R[a, b]. W szczególności, jeśli
g " R[a, b], to |g| " R[a, b].
Twierdzenie 5.8 (monotoniczność całki oznaczonej). Jeśli funkcje f, g " R[a, b] oraz f(x) g(x) dla
każdego x " [a, b], to
b b
f(x) dx g(x) dx.
a a
Twierdzenie 5.9 (addytywność całki względem przedziałów całkowania).
Jeśli f " R[a, b], to dla dowolnego c " (a, b) funkcja f " R[a, c] )" R[c, b] oraz
b c b
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx.
a a c
Twierdzenie 5.10. Jeśli f " R[a, b] oraz funkcja g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów
b b
przedziału [a, b], to g " R[a, b] oraz g(x) dx = f(x) dx.
a a
Twierdzenie 5.11 (całkowe o wartości średniej). Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła na przedziale
[a, b], to
b
1
f(c) = f(x) dx.
b - a
c"(a,b)
a
Twierdzenie 5.12. Niech f : [a, b] R będzie funkcją ciągłą na przedziale [a, b] oraz niech D oznacza
figurę ograniczoną wykresem funkcji f i prostymi o równaniach x = a, x = b, y = 0.
b
a) Jeśli f(x) 0 dla każdego x " [a, b], to |D| = f(x) dx.
a
b
b) Jeśli f(x) 0 dla każdego x " [a, b], to |D| = - f(x) dx.
a
2009, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 30
5.3. Funkcja górnej granicy całkowania, wzór Newtona-
Leibniza
Definicja 5.13. Niech f " R[a, b]. Funkcję F : [a, b] R określoną wzorem
x

def
F (x) = f(t) dt
a
nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
Twierdzenie 5.14. Jeśli funkcja f : [a, b] R jest całkowalna na [a, b], to funkcja górnej granicy całkowa-
nia F jest ciągła na [a, b]. Ponadto jeśli f jest ciągła w punkcie x0 " [a, b], to funkcja F jest różniczkowalna
w x0 oraz

F (x0) = f(x0).
Twierdzenie 5.15 (Newtona-Leibniza). Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b], to
b
f(x) dx = G(b) - G(a),
a
gdzie G jest dowolnÄ… funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f na przedziale [a, b].
Uwaga 5.16.
(1) Zamiast G(b) - G(a) piszemy najczęściej [G(x)]b lub G(x)|b .
a a
(2) Powyższy wzór pozostaje nadal prawdziwy, gdy zamiast ciągłości założymy całkowalność funkcji f oraz
istnienie funkcji pierwotnej funkcji f na przedziale [a, b].
5.4. Metody obliczania całek oznaczonych
Twierdzenie 5.17 (o całkowaniu przez części). Niech f, g : [a, b] R. Jeśli funkcje f, g mają ciągłe
pochodne na przedziale [a, b], to zachodzi wzór
b b
f(x)g (x) dx = [f(x)g(x)]b - f (x)g(x) dx.
a
a a
Twierdzenie 5.18 (o całkowaniu przez podstawienie). Załóżmy, że
na
(1) funkcja g : [a, b] [Ä…, ²] ma ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… na [a, b],
(2) g(a) = Ä…, g(b) = ²,
(3) funkcja f : [Ä…, ²] R jest ciÄ…gÅ‚a na [Ä…, ²].
Wówczas zachodzi wzór
²
b
f(g(x))g (x) dx = f(t) dt.
a Ä…
Twierdzenie 5.19 (całka funkcji parzystej i nieparzystej). Niech a " (0, +") oraz f " R[-a, a].
a) Jeśli f jest parzysta na [-a, a], to
a a

f(x) dx = 2 f(x) dx;
-a 0
b) Jeśli f jest nieparzysta na [-a, a], to
a

f(x) dx = 0.
-a
2009, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 31
5.5. Całki niewłaściwe
W paragrafie tym podamy definicje całki oznaczonej na przedziale nieograniczonym i całki z funkcji
nieograniczonej.
Definicja 5.20 (całka niewłaściwa pierwszego rodzaju). Niech f : [a, +") R będzie funkcją całkowalną
²

na każdym przedziale postaci [a, ²], gdzie ² > a. GranicÄ™ lim f(x) dx nazywamy caÅ‚kÄ… niewÅ‚aÅ›ciwÄ…
²+"
a
"

funkcji f na przedziale [a, +") i oznaczamy przez f(x) dx. Zatem
a
²
"

def
f(x) dx = lim f(x) dx.
²+"
a a
Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Gdy rozważana granica
jest niewłaściwa lub nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (-", b] :
b b
def
f(x) dx = lim f(x) dx.
Ä…-"
-" Ä…
Ponadto przyjmujemy, że
" "
c
def
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx,
-" -" c
gdzie c jest dowolną stałą. Tak zdefiniowana całka jest zbieżna, gdy obie całki niewłaściwe po prawej stronie
są zbieżne.
Definicja 5.21 (całka niewłaściwa drugiego rodzaju). Niech f : [a, b) R będzie funkcją całkowalną na
każdym przedziale postaci [a, ²], gdzie a < ² < b, oraz nieograniczonÄ… w każdym lewostronnym sÄ…siedztwie
²

punktu b. Granicę lim f(x) dx nazywamy całką niewłaściwą nieograniczonej funkcji f na przedziale
²b-
a
b
[a, b) i oznaczamy przez f(x) dx. Zatem
a
²
b
def
f(x) dx = lim f(x) dx.
²b-
a a
Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka jest zbieżna, jeśli zaś granica jest niewłaściwa
lub nie istnieje, to całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f : (a, b] R nieograniczonej w każdym prawostronnym
sÄ…siedztwie punktu a:
b b
def
f(x) dx = lim f(x) dx.
Ä…a+
a Ä…
2009, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 32
" Jeśli f jest jednocześnie nieograniczona w każdym lewostronnym sąsiedztwie punktu b i w każdym
prawostronnym sÄ…siedztwie punktu a, to przyjmujemy
b c b
def
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx,
a a c
gdzie c jest dowolną stałą z przedziału (a, b).
" Jeśli f jest nieograniczona w każdym sąsiedztwie punktu x0 " (a, b), to
x
b 0 b
def
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx.
a a x0
W obu przypadkach mówimy, że tak zdefniowane całki są zbieżne, gdy obie całki niewłaściwe po prawej
stronie są zbieżne.
W przypadku gdy funkcja pierwotna funkcji podcałkowej jest trudna do znalezienia, można stosować
przybliżone metody całkowania. Wymaga to jednak uprzedniego stwierdzenia, czy dana całka niewłaściwa
jest zbieżna. Służą do tego tzw. kryteria zbieżności całek niewłaściwych.
Twierdzenie 5.22 (kryterium porównawcze zbieżności całek niewłaściwych). Załóżmy, że funkcje
f, g : [a, b) R sÄ… caÅ‚kowalne na każdym przedziale postaci [a, ²], gdzie a < ² < b, przy czym b = +" lub
f i g są nieograniczone w każdym lewostronnym sąsiedztwie punktu b.
a) Jeśli

|f(x)| g(x)
x"[a,b)
b b
i całka g(x) dx jest zbieżna, to całka f(x) dx jest bezwzględnie zbieżna (tzn. zbieżna jest również
a a
b
całka |f(x)| dx).
a
b) Jeśli

f(x) g(x) 0
x"[a,b)
b b
i całka g(x) dx jest rozbieżna, to całka f(x) dx jest rozbieżna.
a a
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla całek niewłaściwych funkcji określonych na przedziale (a, b].
Uwaga 5.23. Jeśli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto zachodzi
nierówność

b

b


f(x) dx |f(x)| dx.


a a
Twierdzenie 5.24 (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych). Niech n0 " N. Jeśli funkcja
f : [n0, +") (0, +") jest nierosnÄ…ca, to
"

"

f(n) jest zbieżny Ô! f(x) dx jest zbieżna.
n=n0
n0
2009, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 33
5.6. Zastosowania całki oznaczonej w geometrii
A. POLE OBSZARU
" Pole trapezu krzywoliniowego (opis parametryczny). Niech dana krzywa będzie określona rów-
naniami w postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²],
gdzie x(t) jest funkcjÄ… Å›ciÅ›le monotonicznÄ… i posiadajÄ…cÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… na przedziale [Ä…, ²], zaÅ› y(t)
jest funkcją ciągłą na w tym przedziale. Niech D oznacza obszar ograniczony łukiem danej krzywej oraz
prostymi x = x(Ä…), x = x(²) i y = 0. Wówczas pole |D| tego obszaru wyraża siÄ™ wzorem
²



|D| = y(t)x (t) dt.
Ä…
" Pole obszaru normalnego. W przypadku, gdy D jest obszarem normalnym względem osi Ox, tzn.
D = {(x, y) " R2 : a x b '" f(x) y g(x)},
gdzie f, g są funkcjami ciągłymi na [a, b], to
b
|D| = (g(x) - f(x)) dx.
a
Jeśli natomiast D jest obszarem normalnym względem osi Oy, tzn.
D = {(x, y) " R2 : c y d '" l(y) x p(y)},
gdzie l, p są funkcjami ciągłymi na [c, d], to
d

|D| = (p(y) - l(y)) dy.
c
" Pole wycinka krzywoliniowego. Niech dana krzywa będzie określona we współrzędnych biegunowych
równaniem
r = f(¸), ¸ " [Ä…, ²],
gdzie f jest funkcjÄ… nieujemnÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na przedziale [Ä…, ²] (0 < ² - Ä… < 2Ä„). Wówczas pole obszaru D
ograniczonego Å‚ukiem danej krzywej oraz promieniami wodzÄ…cymi rÄ… i r² wyraża siÄ™ wzorem
²

1
|D| = (f(¸))2 d¸.
2
Ä…
B. DA
UGOŚĆ A
UKU
" Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²],
przy czym funkcje x(t), y(t) majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne na przedziale [Ä…, ²], oraz Å‚uk nie ma punktów
wielokrotnych, to jego długość |l| wyraża się wzorem
²


|l| = (x (t))2 + (y (t))2 dt.
Ä…
" W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym
l : y = f(x), x " [a, b],
2009, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 34
gdzie f jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to
b

|l| = 1 + (f (x))2 dx.
a
" Jeśli łuk l dany jest równaniem we współrzędnych biegunowych
r = f(¸), ¸ " [Ä…, ²],
przy czym funkcja f ma ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… na przedziale [Ä…, ²], oraz Å‚uk nie ma punktów wielokrotnych,
to jego długość |l| wyraża się wzorem
²


|l| = (f(¸))2 + (f (¸))2 d¸.
Ä…
C. OBJ
TOŚĆ I POLE POWIERZGNI BOCZNEJ BRYA
Y OBROTOWEJ
Niech D oznacza obszar ograniczony Å‚ukiem l danej krzywej oraz prostymi x = a, x = b i y = 0. Niech
V będzie bryłą powstałą z obrotu obszaru D dookoła osi Ox, zaś S  powierzchnią boczną tej bryły.
" Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²],
przy czym funkcje x(t), y(t) majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne na przedziale [Ä…, ²], funkcja x(t) jest Å›ciÅ›le monoton-
iczna, zaÅ› funkcja y(t)  nieujemna na przedziale [Ä…, ²], to objÄ™tość |V | bryÅ‚y V oraz pole |S| powierzchni
S wyrażają się wzorami
²



|V | = Ä„ (y(t))2 x (t) dt,
Ä…
²


|S| = 2Ä„ y(t) (x (t))2 + (y (t))2 dt.
Ä…
" W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym
l : y = f(x), x " [a, b],
gdzie f jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to
b
|V | = Ä„ (f(x))2 dx,
a
b

|S| = 2Ä„ f(x) 1 + (f (x))2 dx.
a
2009, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE 35
6. SZEREGI LICZBOWE
6.1. Szeregi liczbowe - podstawowe definicje
Definicja 6.1. Niech (an) będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.
" LiczbÄ™ Sn, gdzie
def
Sn = a1 + a2 + · · · + an,
nazywamy n-tą sumą częściową wyrazów ciągu (an).
" Ciąg (Sn) sum częściowych nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym an.
Definicja 6.2.
" Jeśli istnieje skończona granica
S = lim Sn,
n"
to mówimy, że dany szereg jest zbieżny.
"

LiczbÄ™ S nazywamy sumÄ… szeregu i oznaczamy symbolem an.
n=1
" Mówimy, że szereg jest rozbieżny, w przypadku gdy nie jest zbieżny.
"

Uwaga 6.3. Symbolem an (lub krótko an) oznaczać dalej będziemy zarówno szereg o wyrazie an, jak
n=1
i jego sumÄ™.
Definicja 6.4. Niech q " R. Szereg postaci
"

qn
n=1
nazywamy szeregiem geometrycznym o podstawie q.
Twierdzenie 6.5. Szereg geometryczny jest zbieżny Ô! |q| < 1.
Definicja 6.6. Niech Ä… " R. Szereg postaci
"

1
nÄ…
n=1
nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu ą.
Twierdzenie 6.7. Szereg harmoniczny jest zbieżny Ô! Ä… > 1.
Twierdzenie 6.8. Niech n0 " N. Wówczas
" "

szereg an jest zbieżny Ô! szereg an jest zbieżny.
n=n0
n=1
2009, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE 36
" "

Twierdzenie 6.9. Jeśli szeregi an i bn są zbieżne, to
n=1 n=1
"

a) szereg (an + bn) jest zbieżny oraz
n=1
" " "

(an + bn) = an + bn,
n=1 n=1 n=1
"

b) szereg can, gdzie c " R, jest zbieżny oraz
n=1
" "

can = c an.
n=1 n=1
Twierdzenie 6.10 (warunek konieczny zbieżności szeregu). .
"

Jeśli szereg an jest zbieżny, to lim an = 0.
n"
n=1
Uwaga 6.11. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
"

Twierdzenie 6.12. Szereg an jest zbieżny Ô! speÅ‚nia warunek Cauchy ego, tzn.
n=1

[m > n K Ò! |an+1 + an+2 + · · · + am| < µ].
µ>0 K"N m,n"N
Twierdzenie 6.13 (o zagęszczaniu). .
Załóżmy, że (an) jest nierosnącym ciągiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas
" "

n
szereg an jest zbieżny Ô! szereg 2na2 jest zbieżny.
n=1 n=1
6.2. Zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregów liczbowych
"

Twierdzenie 6.14 (kryterium bezwzględnej zbieżności). Jeśli szereg |an| jest zbieżny, to zbieżny
n=1
"

jest szereg an.
n=1
Uwaga 6.15. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Definicja 6.16.
" "

" Mówimy, że szereg an jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg |an| .
n=1 n=1
"

" Mówimy, że szereg an jest warunkowo zbieżny, gdy jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.
n=1
"

Twierdzenie 6.17. Każdy szereg an bezwzględnie zbieżny jest przemienny, tzn. dla dowolnej permutacji
n=1
"

(kn) liczb naturalnych szereg akn jest zbieżny i ma taką samą sumę jak dany szereg.
n=1
2009, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE 37
"

Twierdzenie 6.18 (Riemanna). Jeśli szereg an jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego S " R
n=1
istnieje permutacja (kn) liczb naturalnych taka, że
"

S = akn.
n=1
6.3. Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbo-
wych
Twierdzenie 6.19 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach nieujemnych). Załóżmy, że

0 an bn.
n"N
" "

a) Jeśli bn jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny.
n=1 n=1
" "

b) Jeśli an jest rozbieżny, to szereg bn jest rozbieżny.
n=1 n=1
Wniosek 6.20 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach dowolnych). Jeśli

|an| bn
n"N
" "

oraz szereg bn jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny bezwzględnie.
n=1 n=1
Twierdzenie 6.21 (kryterium ilorazowe). Załóżmy, że an, bn > 0 dla n " N, ciąg (an ) jest zbieżny oraz
bn
an
lim > 0. Wówczas
bn
n"
" "

szereg an jest zbieżny Ô! szereg bn jest zbieżny.
n=1 n=1

n
Twierdzenie 6.22 (kryterium Cauchy ego). Niech g = lim |an|. Wówczas
n"
"

a) jeśli g < 1, to szereg an jest bezwzględnie zbieżny,
n=1
"

b) jeśli 1 < g ", to szereg an jest rozbieżny.
n=1


an+1
Twierdzenie 6.23 (kryterium d Alamberta). Załóżmy, że an = 0 dla n " N oraz g = lim .

an
n"
Wówczas
"

a) jeśli g < 1, to szereg an jest bezwzględnie zbieżny,
n=1
"

b) jeśli 1 < g ", to szereg an jest rozbieżny.
n=1
2009, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE 38
an
Twierdzenie 6.24 (kryterium Raabego). Załóżmy, że an > 0 dla n " N oraz g = lim n(an+1 - 1).
n"
Wówczas
"

a) jeśli g > 1, to szereg an jest zbieżny,
n=1
"

b) jeśli g < 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
Twierdzenie 6.25 (kryterium Dirichleta). Jeśli
a) ciąg (an) jest monotonicznie zbieżny do 0,
"

b) ciąg (Sn) sum częściowych szeregu bn jest ograniczony,
n=1
"

to szereg anbn jest zbieżny.
n=1
Wniosek 6.26 (kryterium Leibniza).
Twierdzenie 6.27 (kryterium Abela). Jeśli
a) ciÄ…g (an) jest monotoniczny i ograniczony,
"

b) szereg bn jest zbieżny,
n=1
"

to szereg anbn jest zbieżny.
n=1
2009, E. Kotlicka
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 39
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE
7.1. CiÄ…gi funkcyjne
Niech X ‚" R i X = ". W rozdziale tym zakÅ‚adamy, że fn : X R dla n " N, f : X R oraz E ‚" X.

Definicja 7.1.
" Ciąg (fn), którego wyrazami są funkcje fn, nazywamy ciągiem funkcyjnym.
" Zbiór {x " X : ciąg liczbowy (fn(x)) jest zbieżny} nazywamy obszarem zbieżności ciągu (fn).
Definicja 7.2.
" Mówimy, że ciąg funkcyjny (fn) jest punktowo zbieżny na zbiorze E do funkcji f i piszemy
E
fn f,
gdy

lim fn(x) = f(x).
n"
x"E
FunkcjÄ™ f nazywamy granicÄ… punktowÄ… ciÄ…gu (fn) na zbiorze E.
" Mówimy, że ciąg funkcyjny (fn) jest jednostajnie zbieżny na zbiorze E do funkcji f i piszemy
E
fn Ò! f,
gdy

|fn(x) - f(x)| < µ.
µ>0 K"N n K x"E
FunkcjÄ™ f nazywamy granicÄ… jednostajnÄ… ciÄ…gu (fn) na zbiorze E.
E
E
Twierdzenie 7.3. JeÅ›li fn Ò! f, to fn f.
Twierdzenie 7.4. Niech Mn = sup{|fn(x) - f(x)| : x " E} dla n " N. Wówczas
E
fn Ò! f Ô! lim Mn = 0.
n"
7.2. Szeregi funkcyjne
Niech X ‚" R i X = ". Załóżmy, że fn : X R dla n " N, f : X R oraz E ‚" X.

Definicja 7.5. Niech (fn) będzie ciągiem funkcyjnym oraz niech
def

Sn(x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x).
x"X
" Ciąg funkcyjny (Sn) nazywamy szeregiem funkcyjnym o wyrazie ogólnym fn i oznaczamy przez
"

fn.
n=1
"

" Zbiór {x " X : szereg liczbowy fn(x) jest zbieżny} nazywamy obszarem zbieżności danego szeregu
n=1
funkcyjnego.
2009, E. Kotlicka
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 40
"

Definicja 7.6. Mówimy, że szereg fn jest
n=1
"

" bezwzględnie zbieżny na E, gdy szereg |fn(x)| jest zbieżny dla x " E,
n=1
"

" punktowo zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (Sn) jest punktowo zbieżny na E (tzn. gdy szereg fn(x)
n=1
jest zbieżny dla x " E),
" jednostajnie zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (Sn) jest jednostajnie zbieżny na E.
"

GranicÄ™ punktowÄ… ciÄ…gu (Sn) nazywamy sumÄ… szeregu i oznaczamy przez fn.
n=1
Twierdzenie 7.7 (kryterium Weierstrassa). Niech fn : X R dla n " N. Załóżmy, że

|fn(x)| an
n"N x"X
" "

oraz szereg liczbowy an jest zbieżny. Wówczas szereg funkcyjny fn jest bezwzględnie i jednostajnie
n=1 n=1
zbieżny na X.
7.3. Szeregi potęgowe.
Definicja 7.8. Niech x0 " R oraz niech (an)" będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.
n=0
Szereg funkcyjny postaci
"

a0 + an(x - x0)n, x " R,
n=1
nazywamy szeregiem potęgowym o środku x0 i współczynnikach an.
"

Twierdzenie 7.9 (Abela). Jeśli szereg anxn jest zbieżny w punkcie x1 = 0, to jest bezwzględnie zbieżny

n=1
w przedziale (- |x1| , |x1|).
Definicja 7.10.
"

" Promieniem zbieżności szeregu anxn nazywamy liczbę R > 0 taką, że szereg potęgowy jest zbieżny
n=1
w przedziale (-R, R), zaś rozbieżny w zbiorze (-", R) *" (R, +").
" Przyjmujemy, że R = 0, gdy dany szereg jest zbieżny tylko dla x = 0 oraz R = +", gdy szereg jest
zbieżny dla wszystkich x " R.
" Przedział (-R, R) nazywamy przedziałem zbieżności szeregu potęgowego.

n
Twierdzenie 7.11 (Cauchy ego-Hadamarda). Jeśli istnieje granica lim |an| = g, to szereg potęgowy
n"
"

anxn ma promień zbieżności
n=1
Å„Å‚
1/g, gdy 0 < g < +",
òÅ‚
R = 0, gdy g = +",
ół
+", gdy g = 0.
2009, E. Kotlicka
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 41


an+1
Twierdzenie 7.12 (d Alemberta). Jeśli an = 0 dla n " N oraz istnieje granica lim = g, to szereg

an
n"
"

potęgowy anxn ma promień zbieżności
n=1
Å„Å‚
1/g, gdy 0 < g < +",
òÅ‚
R = 0, gdy g = +",
ół
+", gdy g = 0.
"

Twierdzenie 7.13. Szereg potęgowy anxn jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny w każdym przedziale
n=1
domkniętym zawartym w przedziale zbieżnosci tego szeregu.
7.4. Pewne operacje na szeregach funkcyjnych
"

Twierdzenie 7.14. Niech fn : [a, b] R będą funkcjami ciągłymi na [a, b]. Jeśli fn jest zbieżny jednos-
n=1
tajnie na [a, b], to
a) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją ciągłą na [a, b] i dla dowolnego x0 " [a, b] zachodzi równość
" "

lim fn(x) = lim fn(x);
xx0 xx0
n=1 n=1
b) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją całkowalną na [a, b] oraz
b b
" "
fn(x) dx = fn(x)dx.
n=1 n=1
a a
"

Twierdzenie 7.15. Niech fn : [a, b] R, n " N, będą funkcjami różniczkowalnymi na [a, b]. Jeśli fn
n=1
"

jest zbieżny, zaś szereg (fn) jest jednostajnie zbieżny na [a, b], to suma szeregu funkcyjnego jest funkcją
n=1
różniczkowalną na [a, b] i dla dowolnego x " [a, b] zachodzi równość
"
"


fn(x) = fn(x).
n=1 n=1
"

Wniosek 7.16. Niech (an) będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeśli szereg potęgowy anxn ma promień
n=1
zbieżności R, to dla dowolnego x " (-R, R) mamy

x

" "

an
antn dt = xn+1
n + 1
n=1 n=1
0
oraz
"
"

anxn = annxn-1,
n=1 n=1
przy czym szeregi występujące po prawej stronie powyższych wzorów mają taki sam promień zbieżności jak
dany szereg.
2009, E. Kotlicka
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 42
7.5. Szereg Taylora i Maclaurina
Definicja 7.17. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie x0 " (a, b).
Szereg potęgowy postaci
"

f(n)(x0)
f(x0) + (x - x0)n, x " (a, b),
n!
n=1
nazywamy szeregiem Taylora odpowiadającym funkcji f w punkcie x0. Jeśli x0 = 0, to szereg ten nazy-
wamy szeregiem Maclaurina odpowiadajÄ…cym funkcji f.
Twierdzenie 7.18. Jeśli funkcja f : (a, b) R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie x0 " (a, b) oraz
(1) lim Rn(x) = 0 dla x " (a, b),
n"
gdzie Rn(x) oznacza resztÄ™ we wzorze Taylora odpowiadajÄ…cym funkcji f, to szereg Taylora odpowiadajÄ…cy
funkcji f jest zbieżny na (a, b) i zachodzi równość
"

f(n)(x0)
f(x) = f(x0) + (x - x0)n dla x " (a, b).
n!
n=1
Mówimy wówczas, że funkcja f jest rozwijalna w szereg Taylora (lub Maclaurina, gdy x0 = 0).
Uwaga 7.19. Warunek (1) zachodzi w przypadku, gdy wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone
na przedziale (a, b).
Rozwinięcie Maclaurina dla wybranych funkcji
"

xn
ex = , x " R
n!
n=0
"

x2n+1
sin x = (-1)n , x " R
(2n + 1)!
n=0
"

x2n
cos x = (-1)n , x " R
(2n)!
n=0
"

1
= xn, x " (-1, 1)
1 - x
n=0
7.6. Szereg Fouriera
Niech T oznacza dowolnÄ… liczbÄ™ dodatniÄ….
Definicja 7.20. Niech (an)" , (bn)" będą ciągami liczb rzeczywistych. Szeregiem trygonometrycznym
n=0 n=1
nazywamy szereg postaci
"
a0 nĄx nĄx
+ (an cos + bn sin ), x " R.
2 T T
n=1
Uwaga 7.21. Wszystkie składniki szeregu trygonometrycznego są funkcjami okresowymi o okresie 2T , więc
jeśli szereg ten jest zbieżny na przedziale [-T, T ], to jego suma ma również okres 2T i szereg jest zbieżny do
niej na R.
2009, E. Kotlicka
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 43
Twierdzenie 7.22 (wzory Eulera-Fouriera). Jeśli szereg trygonometryczny jest jednostajnie zbieżny na
przedziale [-T, T ] i f jest jego sumÄ…, to
T

1 nĄx
an = f(x) cos dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
T T
-T
T

1 nĄx
bn = f(x) sin dx, n = 1, 2, . . . .
T T
-T
Definicja 7.23. Załóżmy, że f : [-T, T ] R jest funkcją całkowalną na przedziale [-T, T ]. Szereg try-
gonometryczny, w którym współczynniki an, bn są określone powyższymi wzorami nazywamy szeregiem
Fouriera odpowiadajÄ…cym funkcji f.
Definicja 7.24. Mówimy, że funkcja f : [-T, T ] R spełnia na przedziale [-T, T ] warunki Dirichleta,
gdy
+ -
f(-T ) + f(T )
(1) f(-T ) = f(T ) = ,
2
(2) f ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju i w każdym punkcie nieciągłości
x0 " (-T, T ) zachodzi warunek:
f(x-) + f(x+)
0 0
f(x0) = ,
2
(3) istnieje podział przedziału [-T, T ]
-T = t0 < t1 < · · · < tk-1 < tk = T, k " N,
taki, że f jest ciągła i monotoniczna na każdym przedziale (ti-1, ti), i = 1, ..., k.
Twierdzenie 7.25. Jeśli funkcja f : [-T, T ] R spełnia na przedziale [-T, T ] warunki Dirichleta, to
"
a0 nĄx nĄx
f(x) = + (an cos + bn sin ), x " [-T, T ],
2 T T
n=1
gdzie współczynniki an, bn są określone wzorami Eulera-Fouriera. Mówimy wtedy, że f jest rozwijalna w
szereg Fouriera na przedziale [-T, T ].
2009, E. Kotlicka