3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
RZECZYWISTEJ
3.1. Definicja pochodnej i różniczki funkcji, podstawowe
własności
Niech a, b " R i a < b.
Definicja 3.1. Niech f : (a, b) R oraz x0 " (a, b).
" FunkcjÄ™ Õ : (a, b) \ {x0} R danÄ… wzorem
def
f(x) - f(x0)
Õ(x) =
x - x0
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0.
" JeÅ›li granica lim Õ(x) istnieje i jest skoÅ„czona, to nazywamy jÄ… pochodnÄ… wÅ‚aÅ›ciwÄ… funkcji f w
xx0
punkcie x0 i mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0. Zapisujemy
def
f(x) - f(x0)
f (x0) = lim .
xx0
x - x0
" Jeśli x0 " Cf i powyższa granica jest niewłaściwa, to nazywamy ją pochodną niewłaściwą funkcji f
w punkcie x0.
Analogicznie definiujemy pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy je odpowiednio przez
f (x+) oraz f (x-).
0 0
Definicja 3.2. Niech f : [a, b] R.
" JeÅ›li A ‚" (a, b) oraz funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie x " A, to mówimy, że f jest
różniczkowalna na zbiorze A.
" Mówimy, że f jest różniczkowalna na [a, b], gdy f jest różniczkowalna na (a, b), prawostronnie
różniczkowalna w punkcie a i lewostronnie różniczkowalna w b.
" FunkcjÄ™
x - f (x),
określoną na zbiorze punktów, w których f jest różniczkowalna, nazywamy funkcją pochodną funkcji
f i oznaczamy przez f .
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie:
Twierdzenie 3.3 (warunek konieczny różniczkowalności funkcji). Jeśli funkcja f : (a, b) R jest
różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b), to jest ciągła w tym punkcie.
2007, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 15
Twierdzenie 3.4 (o pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu funkcji). Załóżmy, że funkcje f, g : (a, b) R
f
sÄ… różniczkowalne w punkcie x0 " (a, b). Wówczas funkcje f +g, f ·g oraz sÄ… różniczkowalne w tym punkcie
g
oraz
a) (f + g) (x0) = f (x0) + g (x0),
b) (f · g) (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0),
f f (x0)g(x0) - f(x0)g (x0)
c) ( ) (x0) = , o ile g(x0) = 0.

g g2(x0)
Twierdzenie 3.5 (o pochodnej funkcji złożonej). Załóżmy, że
(1) funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b),
(2) f[(a, b)] ‚" (c, d) oraz
(3) funkcja g : (c, d) R jest różniczkowalna w punkcie f(x0).
Wówczas funkcja g ć% f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
(g ć% f) (x0) = g (f(x0))f (x0).
Twierdzenie 3.6 (o pochodnej funkcji odwrotnej). Załóżmy, że
(1) funkcja f : (a, b) R jest różnowartościowa,
(2) f jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b), przy czym f (x0) = 0.

Wówczas funkcja f-1 jest różniczkowalna w punkcie y0 = f(x0) oraz
1
(f-1) (y0) = .
f (x0)
2007, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 16
Twierdzenie 3.7 (pochodne podstawowych funkcji). jj
Wzór Założenia
(c) = 0 c " R
(xÄ…) = Ä…xÄ…-1 Ä… " R, x " R lub x " R \ {0}
(ax) = ax ln a a " (0, 1) *" (1, +"), x " R
1
(loga x) = a " (0, 1) *" (1, +"), x > 0
x ln a
(sin x) = cos x x " R
(cos x) = - sin x x " R
1
(tg x) = x " R\{Ą + kĄ : k " Z}
2
cos2 x
1
(ctg x) = - x " R\{kĄ : k " Z}
sin2 x
1
(arc sin x) = " x " (-1, 1)
1 - x2
1
(arc cos x) = -" x " (-1, 1)
1 - x2
1
(arctg x) = x " R
1 + x2
1
(arcctg x) = - x " R
1 + x2
Definicja 3.8. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b). Funkcję liniową
h - f (x0)h
nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy przez df(x0).
Definicja 3.9. Niech f : (a, b) R oraz n " N.
" Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 " (a, b) definiujemy indukcyjnie:
def
f(n)(x0) = [f(n-1)] (x0),
def def
gdzie f(1)(x0) = f (x0) oraz f(0)(x0) = f(x0).
" FunkcjÄ™
x - f(n)(x),
określoną na zbiorze punktów, w których istnieje pochodna wlaściwa n-tego rzędu, nazywamy funkcją
pochodną n-tego rzędu funkcji f.
2007, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 17
3.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania
Twierdzenie 3.10 (Rolle a). Jeśli funkcja f : [a, b] R jest
(1) ciągła na [a, b],
(2) różniczkowalna na (a, b) oraz
(3) f(a) = f(b),
to istnieje punkt x0 " (a, b) taki, że f (x0) = 0.
Twierdzenie 3.11 (Lagrange a). Jeśli funkcja f : [a, b] R jest
(1) ciągła na [a, b] oraz
(2) różniczkowalna na (a, b),
to istnieje punkt x0 " (a, b) taki, że
f(b) - f(a)
f (x0) = .
b - a
Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).
Twierdzenie 3.12 (warunki wystarczające monotoniczości funkcji). Niech f : I R. Wówczas
a) jeśli f (x) = 0 dla każdego x " I, to f jest stała na I;
b) jeśli f (x) > 0 dla każdego x " I, to f jest rosnąca na I;
c) jeśli f (x) 0 dla każdego x " I, to f jest niemalejąca na I;
d) jeśli f (x) < 0 dla każdego x " I, to f jest malejąca na I;
e) jeśli f (x) 0 dla każdego x " I, to f jest nierosnąca na I.
Twierdzenie 3.13. Załóżmy, że funkcja f : I R jest różniczkowalna na I. Jeśli
a) f jest rosnąca na I, to f (x) 0 dla każdego x " I oraz f nie jest równa 0 na żadnym przedziale
zawartym w I;
b) f jest malejąca na I, to f (x) 0 dla każdego x " I oraz f nie jest równa 0 na żadnym przedziale
zawartym w I.
Twierdzenie 3.14. Załóżmy, że f, g : I R i x0 " I.
a) Jeśli
(1) f(x0) = g(x0) oraz

(2) f (x) = g (x),
x"I
to f(x) = g(x) dla wszystkich x " I.
b) Jeśli funkcje f, g są ciągłe na I oraz
(1) f(x0) g(x0) i

(2) f (x) g (x),
x"I)"(x0,+")
to f(x) g(x) dla wszystkich x " I )" (x0, +").
2007, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 18
Twierdzenie 3.15 (reguła de l Hospitala). Niech x0 " R oraz niech S(x0) będzie pewnym sąsiedztwem
punktu x0. Załóżmy, że funkcje f, g : S(x0) R są różniczkowalne na S(x0), przy czym g (x) = 0 dla

x " S(x0). Jeśli
lim f(x) = lim g(x) = 0
xx0 xx0
albo
lim f(x) = lim g(x) = Ä…",
xx0 xx0
f (x) f(x)
oraz istnieje granica lim = g " R, to lim = g.
xx0 xx0
g (x) g(x)
Twierdzenie zachodzi także dla granic jednostronnych w punkcie.
Uwaga 3.16. Regułę de l Hospitala można stosować również do oblicznia granic funkcji w przypadku sym-
0 "
boli nieoznaczonych innych niż i , posługując się odpowiednio niżej podanymi przekształceniami.
0 "
Symbol przed Przekształcenie Symbol po
przekształceniem przekształceniu
Å„Å‚
g
f(1
ôÅ‚ - )
"
ôÅ‚ f
"(1 - )
òÅ‚
"
1 1
" - " f - g = -
g f
ôÅ‚
0
ôÅ‚
ół 1
0
f·g
Å„Å‚
f
0
ôÅ‚
òÅ‚ 1
0
g
0 · " f · g =
g
ôÅ‚
"
ół
1
"
f
00, "0 lub 1" fg = eg ln f e0·(Ä…")
Twierdzenie 3.17 (wzór Taylora). Niech f : [a, b] R oraz n " N. Załóżmy, że pochodna f(n-1) funkcji
f istnieje i jest ciągła na [a, b], zaś pochodna f(n) istnieje wszędzie na (a, b). Niech x0 " [a, b]. Wówczas dla
każdego x " [a, x0) *" (x0, b] istnieje punkt c leżący pomiędzy x i x0 taki, że
f (x0) f(n-1)(x0) f(n)(c)
f(x) = f(x0) + (x - x0) + · · · + (x - x0)n-1 + (x - x0)n.
1! (n - 1)! n!


Rn(x) - reszta w postaci Lagrange a
Pn-1(x) - wielomian Taylora
Uwaga 3.18.
(1) Jeśli x0 = 0, to powyższy wzór przyjmuje postać
f (0) f(n-1)(0) f(n)(c)
f(x) = f(0) + x + · · · + xn-1 + xn
1! (n - 1)! n!

Pn-1(x) - wielomian Maclaurina
i nosi nazwÄ™ wzoru Maclaurina.
(2) Jeśli założymy, że



f(n)(x) M,

M>0 n"N x"(a,b)
to lim Rn(x) = 0 dla x " (a, b).
n"
2007, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 19
(3)
Wzór Maclaurina dla wybranych funkcji
x x2 xn-1 xn
ex = 1 + + + · · · + + ec
1! 2! (n - 1)! n!
x x3 x5 x2n-1 x2n+1
sin x = - + - · · · + (-1)n-1 + (-1)n sin c
1! 3! 5! (2n - 1)! (2n + 1)!
x2 x4 x2n-2 x2n
cos x = 1 - + - · · · + (-1)n-1 + (-1)n cos c
2! 4! (2n - 2)! (2n)!
x2 x3 xn xn+1
ln(1 + x) = x - + - · · · + (-1)n-1 + (-1)n
2 3 n (n + 1)(1 + c)n+1
3.3. Ekstrema globalne i lokalne funkcji
Niech X ‚" R, X = ".

Definicja 3.19. Mówimy, że funkcja f : X R ma w punkcie x0 " X
" maksimum globalne na X, gdy

f(x) f(x0),
x"X
" minimum globalne na X, gdy

f(x) f(x0).
x"X
Definicja 3.20. Mówimy, że funkcja f : X R ma w punkcie x0 " X
" maksimum lokalne, gdy

f(x) f(x0),
S(x0) x"S(x0))"X
" minimum lokalne, gdy

f(x) f(x0).
S(x0) x"S(x0))"X
Jeśli w powyższych definicjach nierówności   i   zastąpić odpowiednio przez  < i  > , to otrzymamy
definicje ekstremów globalnych i lokalnych właściwych.
Twierdzenie 3.21 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego - tw. Fermata).
Jeśli funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w x0 " (a, b) oraz ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to
f (x0) = 0.
Twierdzenie 3.22. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b]. Niech
A = {x " (a, b) : f (x) = 0} oraz B = {x " (a, b) : f (x) nie istnieje}.
Wówczas
sup{f(x) : x " [a, b]} = max{f(x) : x " {a, b} *" A *" B},
inf{f(x) : x " [a, b]} = min{f(x) : x " {a, b} *" A *" B}.
2007, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 20
Twierdzenie 3.23 (I warunek wystarczajÄ…cy istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu U(x0) = S(x0) *" {x0} ‚" (a, b).
Jeśli
(1) f (x0) = 0,

(2) f (x) > 0 i f (x) < 0
x"S-(x0) x"S+(x0)

(albo f (x) < 0 i f (x) > 0),
x"S-(x0) x"S+(x0)
to f ma w x0 maksimum lokalne właściwe (albo odpowiednio, minimum lokalne właściwe).
Uwaga 3.24.
(1) Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku, gdy f jest różniczowalna tylko w pewnym sąsiedztwie
S(x0) i ciągła w punkcie x0.
(2) Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie 3.25 (II warunek wystarczajÄ…cy istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x0 " (a, b).
Jeśli
(1) f (x0) = 0,
(2) f jest ciągła w x0,
(3) f (x0) = 0,

to f ma w x0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to
" maksimum lokalne w przypadku, gdy f (x0) < 0,
" minimum lokalne w przypadku, gdy f (x0) > 0.
3.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji, punkty przegięcia
Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).
Definicja 3.26. Niech f : I R. Dla dowolnych x1, x2 " I oznaczmy przez lx1,x2 funkcję, której wykresem
jest prosta przechodzÄ…ca przez punkty (x1, f(x1)) i (x2, f(x2)).
Mówimy, że funkcja f jest
" wypukła na I, gdy

f(x) lx1,x2(x),
x1,x2"I, x1x"(x1,x2)
" wklęsła na I, gdy

f(x) lx1,x2(x).
x1,x2"I, x1x"(x1,x2)
Jeśli w powyższych warunkach nierówności   i   zastąpić odpowiednio przez  < i  > , to otrzymamy
definicje ścisłej wypukłości i ścisłej wklęsłości funkcji f na przedziale I.
Twierdzenie 3.27. Niech f : I R będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas

a) f jest wypukÅ‚a na I Ô! f(x) f (x0)(x - x0) + f(x0);
x0"I x"I\{x0}

b) f jest wklÄ™sÅ‚a na I Ô! f(x) f (x0)(x - x0) + f(x0).
x0"I
x"I\{x0}
Analogiczne stwierdzenia zachodzą dla funkcji ściśle wypukłych i ściśle wklęsłych.
2007, E. Kotlicka
3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 21
Twierdzenie 3.28 (warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości funkcji).
Niech f : I R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną. Wówczas
a) jeśli f (x) > 0 dla każdego x " I, to f jest ściśle wypukła na I;
b) jeśli f (x) < 0 dla każdego x " I, to f jest ściśle wklęsła na I.
Definicja 3.29. Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x0 " (a, b). Mówimy, że x0
jest punktem przegiÄ™cia funkcji f, gdy istnieje sÄ…siedztwo S(x0) ‚" (a, b) takie, że
f jest ściśle wypukła na S-(x0) i ściśle wklęsła na S+(x0)
albo
f jest ściśle wklęsła na S-(x0) i ściśle wypukła na S+(x0).
Twierdzenie 3.30 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia).
Jeśli funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna na (a, b) oraz x0 jest punktem przegięcia funkcji
f, to f (x0) = 0.
Uwaga 3.31. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie 3.32 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sÄ…siedztwie S(x0) ‚" (a, b)
punktu x0. Jeśli
(1) f jest różniczkowalna w x0,

(2) f (x) > 0 i f (x) < 0
x"S-(x0) x"S+(x0)

albo f (x) < 0 i f (x) > 0,
x"S-(x0) x"S+(x0)
to x0 jest punktem przegięcia funkcji f.
Twierdzenie 3.33. Niech n " N \ {1}. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest n-krotnie różniczkowalna na
pewnym otoczeniu punktu x0 " (a, b). Jeśli

(1) f(k)(x0) = 0,
k"{1,...,n-1}
(2) f(n) jest ciągła w x0,
(3) f(n)(x0) = 0,

to f ma w x0
a) punkt przegięcia, gdy n jest liczbą nieparzystą;
b) ekstremum lokalne właściwe, gdy n jest liczbą parzystą, przy czym jest to
" maksimum lokalne w przypadku, gdy f(n)(x0) < 0,
" minimum lokalne w przypadku, gdy f(n)(x0) > 0.
2007, E. Kotlicka