WYKA
AD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ
I
dr Elżbieta Kotlicka
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
http://im0.p.lodz.pl/~ekot
A
ódz
2006
Spis treści
1. CI
GI LICZBOWE 4
1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywistych: monotoniczność,
ograniczoność, zbieżność. 4
1.2. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych. 6
1.3. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych.
Liczba e. 8
1.4. Zbiory ograniczone na prostej. Kresy górny i dolny. 9
2. GRANICE FUNKCJI 11
2.1. Podstawowe definicje. 11
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji. 14
2.3. Asymptoty funkcji. 15
3. CI
GA
OŚĆ FUNKCJI 16
3.1. Własności funkcji ciągłych. 17
3.2. Funkcje jednostajnie ciągłe 17
4. SZEREGI LICZBOWE 18
4.1. Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbowych. 20
5. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 23
5.1. Ciągi funkcyjne. 23
5.2. Szeregi funkcyjne. 24
5.3. Szeregi potęgowe. 25
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
27
6.1. Definicja pochodnej i różniczki funkcji, podstawowe własności. 27
6.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich zastosowania. 30
6.3. Ekstrema lokalne i globalne. 34
6.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty przegięcia. 35
7. CAA
KA NIEOZNACZONA 37
7.1. Funkcja pierwotna. 37
7.2. Całka nieoznaczona - podstawowe wzory. 37
7.3. Całka nieoznaczona - podstawowe własności. 39
7.4. Metody całkowania 39
7.5. Całkowanie funkcji wymiernych. 41
7.6. Całkowanie funkcji z niewymiernościami. 42
7.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych. 43
3
1. CI
GI LICZBOWE 4
1. CI
GI LICZBOWE
Definicja 1.1. Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję f określoną na zbiorze
liczb naturalnych.
Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy
an a" f(n), n " N.
Ciąg o wyrazach an zapisujemy symbolem
(an) lub a1, a2, . . . ,
zaś zbiór wartości ciągu oznaczamy przez {an}n"N.
Ciągi, których wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o
wyrazach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wyrazy są
funkcjami nazywamy ciągami funkcyjnymi.
1.1. Własności ciągów liczbowych o wyra-
zach rzeczywistych: monotoniczność, ogra-
niczoność, zbieżność.
Definicja 1.2.
def
a) Ciąg (an) jest rosnący �! an+1 > an.
n"N
def
b) Ciąg (an) jest niemalejący �! an+1 an.
n"N
def
c) Ciąg (an) jest malejący �! an+1 < an.
n"N
def
d) Ciąg (an) jest nierosnący �! an+1 an.
n"N
Twierdzenie 1.3. Jeśli an > 0 dla n " N, to
an+1
ciąg (an) jest rosnący �! > 1.
an
n"N
Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nie-
rosnącego.
Definicja 1.5.
def
a) Ciąg (an) jest ograniczony z dołu �! an m.
m"R n"N
def
b) Ciąg (an) jest ograniczony z góry �! an M.
M"R n"N
def
c) Ciąg (an) jest ograniczony �! (an) jest ograniczony z dołu i z góry.
1. CI
GI LICZBOWE 5
Ćwiczenie 1.6. Zbadać własności ciągów o wyrazach ogólnych:
"
b) an = (-3)n;
a) an = n;
1
(-1)n
c) an = ; d) an = .
n-1
n2 + 1
Definicja 1.7. Ciąg liczbowy (an) jest zbieżny do a " R, gdy
|an - a| < �,
�>0 K"N n K
czyli
a - � < an < a + �.
�>0 K"N n K
Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (an) i zapisujemy
lim an = a lub an a.
n"
1
Przykład 1.8. Wykazać, że lim = 0.
n"
n
Definicja 1.9.
a) Ciąg (an) jest rozbieżny do +", gdy
an > �.
�>0 K"N n K
b) Ciąg (an) jest rozbieżny do -", gdy
an < -�.
�>0 K"N n K
Zapisujemy odpowiednio:
lim an = +" lub lim an = -".
n" n"
Jeśli ciąg (an) nie posiada granicy (właściwej lub niewłaściwej), to mówimy, że jest rozbieżny.
Przykład 1.10. Wykazać, że lim n2 = +".
n"
Twierdzenie 1.11. Każdy ciąg posiada conajwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą).
Definicja 1.12. Podciągiem ciągu (an) nazywamy każdy ciąg (ak ), gdzie (kn) jest dowolnym
n
rosnącym ciągiem liczb naturalnych.
Np. Podciągami ciągu (an) są ciągi:
a1, a3, a5, . . . a2, a4, a6, . . . a3, a4, a5, . . .
(a2n-1)" (a2n)n"N (an)n 3
n=1
Twierdzenie 1.13. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany
ciąg.
Przykład 1.14. Wykazać, że nie istnieją granice:
nĄ
a) lim (-1)n, b) lim cos .
2
n" n"
Ćwiczenie 1.15. Wykazać, że:
1. CI
GI LICZBOWE 6
1
a) lim an = ą" �! lim = 0;
n" n"
an
1
{ = 0}
ą"
1
+", gdy an > 0 dla prawie wszystkich n " N,
b) lim an = 0 �! lim =
n" n"
an -", gdy an < 0 dla prawie wszystkich n " N.
1 1
{ = +"} { = -"}
0+ 0-
Ćwiczenie 1.16. Wykazać, że
ńł
�ł nie istnieje dla q -1,
�ł
�ł
�ł
0 dla q " (-1; 1),
a) lim qn =
n" �ł
1 dla q = 1,
�ł
�ł
ół
+" dla q > 1.
ńł
�ł
0 dla ą < 0,
�ł
b) lim ną = 1 dla ą = 0,
n" �ł
ół
+" dla ą > 0.
1.2. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i roz-
bieżnych.
Twierdzenie 1.17. Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony.
Uwaga 1.18. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.17 nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 1.19 (Bolzano-Weierstrassa). Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje
podciąg zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do -"
lub +".
Twierdzenie 1.20. Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.
Lemat 1.21. Jeśli ciągi (an), (bn) są zbieżne oraz
an bn,
K"N n K
to lim an lim bn.
n" n"
Twierdzenie 1.22 (o trzech ciągach). Załóżmy,że
(") an bn cn,
K"N n K
a) Jeśli lim an = lim cn = a, to istnieje granica ciągu (bn), przy czym lim bn = a.
n" n" n"
1. CI
GI LICZBOWE 7
b) Jeśli lim an = +", to lim bn = +".
n" n"
c) Jeśli lim cn = -", to lim bn = -".
n" n"
Twierdzenie 1.23. Jeśli lim an = a oraz c = 0, to

n"
c � a, gdy a " R,
lim c � an=
n"
ą", gdy a = ą".
W szczególności dla c > 0
{c � (+") = +"} oraz {c � (-") = -"}
Twierdzenie 1.24. Jeśli lim an = a oraz lim bn = b, to
n" n"
Twierdzenie 1.25.
Jeśli lim an = a, lim bn = b oraz bn = 0 dla n " N, to

n" n"
Twierdzenie 1.26.
Jeśli lim an = a, lim bn = b oraz bn 0 dla n " N, to
n" n"
1. CI
GI LICZBOWE 8
Symbole nieoznaczone:
" 0
" - " 0 � "
" 0
00 "0 1"
1.3. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych.
Liczba e.
Twierdzenie 1.27.
"
n
a) lim n = 1.
n"
"
n
b) lim a = 1.
n"
"
n
c) Jeśli an 0 dla każdego n " N oraz lim an = a > 0, to lim an = 1.
n" n"
Uwaga 1.28. Tw. 1.27 c) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +".
1
Twierdzenie 1.29. Ciąg an = (1 + )n dla n " N jest ograniczony i monotoniczny.
n
1
Definicja 1.30. Liczbą e nazywamy granicę ciągu (1 + )n, n " N.
n
Twierdzenie 1.31.
n
1
a)" lim = e.
n"
k!
k=0
b) Liczba e jest liczbą niewymierną.
e = 2, 7182818284 . . .
1
n
Twierdzenie 1.32. Jeśli an = 0 dla każdego n " N oraz lim an = ą", to lim (1 + )a = e.

n" n"
an
Definicja 1.33. Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i ozna-
czamy symbolem ln.
def
ln x = loga x dla x > 0
1. CI
GI LICZBOWE 9
1.4. Zbiory ograniczone na prostej. Kresy gór-
ny i dolny.
Definicja 1.34. Niech E �" R, E = ".

a) Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy
(" '" x M.
M"R x"E
Lczbę M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru E.
b) Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy
(" '" x m.
m"R x"E
Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E.
c) Zbiór E jest ograniczony, gdy zbiór E jest ograniczony z góry i z dołu.
Definicja 1.35. Niech E �" R, E = ".

a) Liczbę M0 " E taką, że
'" x M0
x"E
nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E.
b) Liczbę m0 " E taką, że
'" x m0
x"E
nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E.
Definicja 1.36. Niech E �" R, E = ".

a) Jeśli zbiór E jest ograniczony z góry, to liczbę M " R taką, że
(1) '" x M,
x"E
(2) '" (" x > M1
M1nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy przez sup E.
(Liczba sup E jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E.)
W przypadku gdy E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +".
b) Jeśli zbiór E jest ograniczony z dołu, liczbę m " R taką, że
(1) '" x m,
x"E
(2) '" (" x < m1
m1>m
x"E
nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy przez inf E.
1. CI
GI LICZBOWE 10
(Liczba inf E jest największym ograniczeniem dolnym zbioru E.)
W przypadku gdy E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E = -".
Twierdzenie 1.37. Każdy niepusty zbiór E �" R posiada kresy górny i dolny, które należą do
zbioru R.
Twierdzenie 1.38.
a) Jeśli ciąg (an) jest niemalejący, to
sup{an : n " N} = lim an,
n"
inf{an : n " N} = a1.
b) Jeśli ciąg (an) jest nierosnący, to
sup{an : n " N} = a1,
inf{an : n " N} = lim an.
n"
2. GRANICE FUNKCJI 11
2. GRANICE FUNKCJI
2.1. Podstawowe definicje.
Niech X �" R, X = ".

Definicja 2.1. Niech x0 " R.
" Sąsiedztwem punktu x0 nazywamy każdy zbiór
S(x0) = (a, x0) *" (x0, b),
gdzie a, b " R, a < x0 < b.
Zbiory
S-(x0) = (a, x0), S+(x0) = (x0, b),
nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x0.
" Otoczeniem punktu x0 nazywamy zbiór
U(x0) = S(x0) *" {x0}.
Zbiory
U-(x0) = S-(x0) *" {x0}, U+(x0) = S+(x0) *" {x0}.
nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym otoczeniem punktu x0.
" Sąsiedztwem -" nazywamy zbiór
S(-") = (-", b), gdzie b " R.
" Sąsiedztwem +" nazywamy zbiór
S(+") = (a, +"), gdzie a " R.
Definicja 2.2.
" Punkt x0 " R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (xn) taki, że
{xn} �" X \ {x0} oraz lim xn = x0.
n"
" Jeśli xn < x0 dla n " N (xn > x0 dla n " N), to x0 nazywamy lewostronnym
(prawostronnym) punktem skupienia zbioru X.
" Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.
Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia) zbioru X ozna-
czamy przez Xd (Xd-, Xd+).
2. GRANICE FUNKCJI 12
Definicja 2.3 (Heinego granicy funkcji w +").
Niech f : X R, X- zbiór nieograniczony z dołu.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +", gdy
'" [n"xn = +" �! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}�"X
Zapisujemy
lim f(x) = g
x+"
b) Funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą +", gdy
'" [n"xn = +" �! lim f(xn) = +"].
lim
n"
(xn), {xn}�"X
Zapisujemy
lim f(x) = +"
x+"
Analogicznie definiujemy lim f(x) = -", lim f(x) = g oraz lim f(x) = ą".
x+" x-" x-"
Definicja 2.4 (Heinego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X R oraz x0 " Xd.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x0, gdy
'" [n"xn = x0 �! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}�"X\{x0}
Zapisujemy
lim f(x) = g
xx0
b) Funkcja f posiada w x0 granicę niewłaściwą +", gdy
'" [n"xn = x0 �! lim f(xn) = +"].
lim
n"
(xn), {xn}�"X\{x0}
Zapisujemy
lim f(x) = +"
xx0
Analogicznie definiujemy lim f(x) = -".
xx0
Definicja 2.5. Niech f : X R.
a) Niech x0 " Xd-. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie
x0, gdy
'" [n"xn = x0 �! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}�"X)"(-",x0)
Zapisujemy
2. GRANICE FUNKCJI 13
lim f(x) = g lub f(x-) = g
0
xx-
0
b) Niech x0 " Xd+. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie
x0, gdy
'" [n"xn = x0 �! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}�"X)"(x0,+")
Zapisujemy
lim f(x) = g lub f(x+) = g
0
xx+
0
Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.
Definicja 2.6 (Cauchy ego granicy funkcji w +").
Niech f : X R, X- zbiór nieograniczony z dołu.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +", gdy
'" (" '" [x > � �! |f(x) - g| < �].
�>0 �>0 x"X
b) Funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą +", gdy
'" (" '" [x > � �! f(x) > �].
�>0 �>0 x"X
c) Funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą -", gdy
'" (" '" [x > � �! f(x) < -�].
�>0 �>0 x"X
Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w +".
Definicja 2.7 (Cauchy ego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X R oraz x0 " Xd.
a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, gdy
'" (" '" [0 < |x - x0| < � �! |f(x) - g| < �].
�>0 �>0 x"X
b) Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą +", gdy
'" (" '" [0 < |x - x0| < � �! f(x) > �].
�>0 �>0 x"X
c) Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą -", gdy
'" (" '" [0 < |x - x0| < � �! f(x) < -�].
�>0 �>0 x"X
Twierdzenie 2.8. Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy ego granic funkcji są rów-
noważne.
Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy).
Jeśli x0 " Xd- )" Xd+, to
lim f(x) = g �! lim f(x) = lim f(x) = g.
xx0
xx- xx+
0 0
2. GRANICE FUNKCJI 14
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji.
Twierdzenie 2.10 (o arytmetyce granic właściwych funkcji).
Jeśli f, g : X R, lim f(x) = a oraz lim g(x) = b, to
xx0 xx0
a) lim (c � f(x)) = c � a dla dowolnego c " R;
xx0
b) lim (f(x) ą g(x) = a ą b;
xx0
c) lim (f(x) � g(x)) = a � b;
xx0
f(x)
a
d) lim = , o ile b = 0;

xx0 g(x) b
e) lim (g(x))f(x) = ba, o ile b > 0 i a = 0.

xx0
Twierdzenie 2.11 (o arytmetyce granic niewłaściwych funkcji).
a + " = +" dla -" < a +"
a � (+") = +" dla -" < a +"
a
= 0 dla -" < a < +"
"
a
= +" dla 0 < a +"
0+
b" = 0 dla 0+ b < 1, b" = +" dla 1 < b +"
"a = 0 dla -" a < 0, "a = +" dla 0 < a +"
Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji złożonej).
Niech f : X Y �" R, g : Y R. Jeśli
(1) lim f(x) = a,
xx0
(2) f(x) = a dla każdego x " S(x0),

(3) limg(x) = b,
xa
to lim g(f(x)) = b.
xx0
2. GRANICE FUNKCJI 15
Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach). Jeśli funkcje f, g, h : X R spełniają warunki
(1) '" f(x) g(x) h(x),
x"S(x0)
(2) lim f(x) = lim h(x) = a,
xx0 xx0
to lim g(x) = a.
xx0
Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach). Niech f, g : X R oraz
'" f(x) g(x).
x"S(x0)
Jeśli lim f(x) = +", to lim g(x) = +".
xx0 xx0
Jeśli lim g(x) = -", to lim f(x) = -".
xx0 xx0
Powyższe twierdzenia o granicach funkcji zachodzą zarówno dla granic w punkcie, jak i dla
granic jednostronnych oraz granic w ą".
sin x
Twierdzenie 2.15. lim = 1.
x
x0
1
x
Twierdzenie 2.16. lim(1 + x) = e.
x0
2.3. Asymptoty funkcji.
Definicja 2.17. Niech f : X R, x0 " Xd.
a) Prosta x = x0 jest lewostronną (prawostronną) asymtotą pionową wykresu funkcji
f, jeśli
lim f(x) = ą" ( lim f(x) = ą").
xx- xx+
0 0
b) Prosta x = x0 jest obustronną asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli jest jedno-
cześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Definicja 2.18. Niech f : X R, X- zbiór nieograniczony z dołu. Prosta y = ax + b jest
asymptotą ukośną wykresu funkcji f w -", gdy
lim [f(x) - (ax + b)] = 0.
x-"
Analogicznie definiujemy asymptotę ukośną w +".
Przykład 2.19. Wykazać, że prosta y = x - 1 jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f(x) =
x2
.
x+1
Twierdzenie 2.20.
a) Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w -" �!
f(x)
a = lim oraz b = lim (f(x) - ax).
x-" x-"
x
b) Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +" �!
f(x)
A = lim oraz B = lim (f(x) - Ax).
x+" x+"
x
3. CI
GA
OŚĆ FUNKCJI 16
3. CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
Niech X �" R, X = ".

Definicja 3.1. Niech f : X R, x0 " X.
" Funkcja f jest ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd lub lim f(x) = f(x0).
/
xx0
" Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd- lub lim f(x) = f(x0).
/
xx-
0
" Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd+ lub lim f(x) = f(x0).
/
xx+
0
Zbiór punktów ciągłości funkcji f (punktów lewostronnej, prawostronnej ciągłości) oznaczamy
- +
przez Cf (Cf , Cf ).
Twierdzenie 3.2. Niech f : X R, x0 " X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 �! f jest
lewostronnnie i prawostronnie ciągła w punkcie x0.
Definicja 3.3. Niech f : X R, A �" X. Funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła
w każdym punkcie tego zbioru.
Przykład 3.4. Zbadać ciągłość funkcji
ńł
sin x
�ł dla x < 0,
�ł
x
�ł
�ł
1 dla x = 0,
a) f(x) =
2
�ł
dla x " (0, 1),
�ł
x
�ł
ół
2x dla x " [1, 2] *" {3}.
1 dla x " Q,
b) f(x) =
0 dla x " Q.
/
Definicja 3.5 (rodzaje nieciągłości).
Niech f : X R, x0 " X \ Cf.
" x0 jest punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne
lim f(x) oraz lim f(x) istnieją i są skończone.
xx- xx+
0 0
" x0 jest punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z
granic jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.
Twierdzenie 3.6. Jeśli funkcje f, g : X R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje
f
|f| , f + g, f � g oraz (o ile g(x) = 0 dla x " X).

g
Twierdzenie 3.7. Jeśli funkcje f : X Y, g : Y R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ć% f.
3. CI
GA
OŚĆ FUNKCJI 17
Twierdzenie 3.8. Jeśli funkcja f : X R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna
f-1 jest ciągła.
Twierdzenie 3.9. Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach.
3.1. Własności funkcji ciągłych.
Niech a, b " R, a < b.
Twierdzenie 3.10 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła oraz f(x0) > 0 dla pewnego x0 " [a; b], to
(" '" f(x) > 0.
U(x0) x"U(x0)
Twierdzenie 3.11 (Weierstrassa  o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła, to jest ograniczona na [a; b], przy czym istnieją punkty
c1, c2 " [a; b] takie, że
'" f(c1) f(x) f(c2).
x"[a;b]
Twierdzenie 3.12 (Darboux  o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech m = inf f[[a; b]] oraz M = sup f[[a; b]].
Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła, to
'" (" y = f(x).
y"[m;M] x"[a;b]
Wniosek 3.13.
Przykład 3.14. Wykazać, że równanie
x3 = 2x
posiada rozwiązanie w przedziale [0; 2].
3.2. Funkcje jednostajnie ciągłe
Definicja 3.15. Niech f : X R oraz A �" X.
Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze A, gdy
'" (" '" [ |x1 - x2| < � �! |f(x1) - f(x2)| < � ].
�>0 �>0 x1,x2"A
Twierdzenie 3.16. Jeśli funkcja f jest jednostajnie ciągła w A �" X, to jest ciągła w tym
zbiorze.
Uwaga 3.17.
Twierdzenie 3.18. Niech a, b " R, a < b oraz [a; b] �" X. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a; b]
to jest jednostajnie ciągła w tym przedziale.
4. SZEREGI LICZBOWE 18
4. SZEREGI LICZBOWE
Definicja 4.1. Niech (an) będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.
" Liczbę Sn, gdzie
def
Sn = a1 + a2 + � � � + an,
nazywamy n-tą sumą częściową wyrazów ciągu (an).
" Ciąg (Sn) sum częściowych nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym an.
Definicja 4.2.
" Jeśli istnieje skończona granica
S = lim Sn,
n"
to mówimy, że dany szereg jest zbieżny.
"
Liczbę S nazywamy sumą szeregu i oznaczamy symbolem an.
n=1
" Mówimy, że szereg jest rozbieżny, w przypadku gdy nie jest zbieżny.
"
Uwaga 4.3. Symbolem an (lub krótko an) oznaczać dalej będziemy zarówno szereg o
n=1
wyrazie an, jak i jego sumę.
Przykład 4.4. Zbadać zbieżność podanych szeregów:
" " "
1
a) n, b) (-1)n, c) .
n(n+1)
n=1 n=1 n=1
Definicja 4.5. Szereg postaci
"
qn, gdzie q " R,
n=1
nazywamy szeregiem geometrycznym o podstawie q.
Twierdzenie 4.6.
Szereg geometryczny jest zbieżny �! |q| < 1.
Definicja 4.7. Szereg postaci
"
1
, gdzie ą " R,
ną
n=1
nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu ą.
Twierdzenie 4.8.
Szereg harmoniczny jest zbieżny �! ą > 1.
4. SZEREGI LICZBOWE 19
Twierdzenie 4.9. Niech n0 " N. Wówczas
" "
szereg an jest zbieżny �! szereg an jest zbieżny.
n=n0
n=1
" "
Twierdzenie 4.10. Jeśli szeregi an i bn są zbieżne, to
n=1 n=1
"
a) szereg (an + bn) jest zbieżny oraz
n=1
" " "
(an + bn) = an + bn,
n=1 n=1 n=1
"
b) szereg can, gdzie c " R, jest zbieżny oraz
n=1
" "
can = c an.
n=1 n=1
Twierdzenie 4.11 (warunek konieczny zbieżności szeregu).
"
Jeśli szereg an jest zbieżny, to lim an = 0.
n"
n=1
Uwaga 4.12. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Wniosek 4.13.
Twierdzenie 4.14.
"
Szereg an jest zbieżny �! spełnia warunek Cauchy ego, tzn.
n=1
'" (" '" [m > n K �! |an+1 + an+2 + � � � + am| < �].
�>0 K"N m,n"N
Twierdzenie 4.15 (o zagęszczaniu).
Załóżmy, że (an) jest nierosnącym ciągiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas
" "
n
szereg an jest zbieżny �! szereg 2na2 jest zbieżny.
n=1 n=1
"
Definicja 4.16. Niech an będzie szeregiem zbieżnym.
n=1
" "
" Mówimy, że szereg an jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg |an| .
n=1 n=1
"
" Mówimy, że szereg an jest warunkowo zbieżny, gdy jest zbieżny, ale nie jest bez-
n=1
względnie zbieżny.
"
Twierdzenie 4.17. Jeśli szereg an jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.
n=1
4. SZEREGI LICZBOWE 20
Uwaga 4.18. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
"
Twierdzenie 4.19. Każdy szereg an bezwzględnie zbieżny jest przemienny, tzn. dla dowolnej
n=1
"
permutacji (kn) liczb naturalnych szereg ak jest zbieżny i ma taką samą sumę jak dany szereg.
n
n=1
"
Twierdzenie 4.20 (Riemanna). Jeśli szereg an jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego
n=1
S " R istnieje permutacja (kn) liczb naturalnych taka, że
"
S = ak .
n
n=1
4.1. Kryteria zbieżności i rozbieżności szere-
gów liczbowych.
Twierdzenie 4.21 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach nieujemnych).
Załóżmy, że
'" 0 an bn.
n"N
" "
a) Jeśli bn jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny.
n=1 n=1
" "
b) Jeśli an jest rozbieżny, to szereg bn jest rozbieżny.
n=1 n=1
Wniosek 4.22 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach dowolnych). Jeśli
'" |an| bn
n"N
" "
oraz szereg bn jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny bezwzględnie.
n=1 n=1
Twierdzenie 4.23 (kryterium ilorazowe). Niech an, bn 0 dla n " N oraz
an
lim = c " (0, +").
n"
bn
Wówczas
" "
szereg an jest zbieżny �! szereg bn jest zbieżny.
n=1 n=1
Przykład 4.24. Zbadać zbieżność szeregu
" "
2n2-1 1
a) ; c) sin(n).
n3-n+2
n=1 n=1
"
sin(2n)
b) .
n2
n=1
4. SZEREGI LICZBOWE 21
Twierdzenie 4.25 (kryterium Cauchy ego).
n
Niech g = lim |an|. Wówczas
n"
"
a) jeśli g < 1, to szereg an jest bezwzględnie zbieżny,
n=1
"
b) jeśli 1 < g ", to szereg an jest rozbieżny.
n=1
Twierdzenie 4.26 (kryterium d Alamberta).
an+1
Załóżmy, że an = 0 dla n " N oraz g = lim . Wówczas

an
n"
"
a) jeśli g < 1, to szereg an jest bezwzględnie zbieżny,
n=1
"
b) jeśli 1 < g ", to szereg an jest rozbieżny.
n=1
Uwaga 4.27.
Twierdzenie 4.28 (kryterium Raabego). Załóżmy, że an > 0 dla n " N oraz g =
n
lim n(aa - 1). Wówczas
n+1
n"
"
a) jeśli g > 1, to szereg an jest zbieżny,
n=1
"
b) jeśli g < 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
Przykład 4.29. Zbadać zbieżność szeregu
"
n!
dla x > 0.
(x + 1)(x + 2) . . . (x + n)
n=1
Twierdzenie 4.30 (kryterium Dirichleta). Jeśli
(1) ciąg (an) jest monotonicznie zbieżny do 0,
"
(2) ciąg (Sn) sum częściowych szeregu bn jest ograniczony,
n=1
"
to szereg anbn jest zbieżny.
n=1
Wniosek 4.31 (kryterium Leibniza).
4. SZEREGI LICZBOWE 22
Twierdzenie 4.32 (kryterium Abela). Jeśli
(1) ciąg (an) jest monotoniczny i ograniczony,
"
(2) szereg bn jest zbieżny,
n=1
"
to szereg anbn jest zbieżny.
n=1
Przykład 4.33. Zbadać zbieżność szeregów:
" "
(-1)n
sin n
a) ; d) ;
n n
n=1 n=1
"
"
(-1)n arc tg n 2
n
b) ;
e) (-1)n(n-1)n .
n
n=1
n=1
"
(-1)n
"
c) ;
n
2 ln n
n=1
Przykład 4.34. Wiedząc, że
"
(-1)n+1
Ą = 4
2n - 1
n=1
wyznaczyć Ą z dokładnością do � = 0, 5 (� = 0, 001).
5. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 23
5. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE
5.1. Ciągi funkcyjne.
Niech X �" R i X = ".

Definicja 5.1.
" Ciąg (fn) funkcji fn : X R, n " N, nazywamy ciągiem funkcyjnym.
" Zbiór {x " X : ciąg liczbowy (fn(x)) jest zbieżny} nazywamy obszarem zbieżności ciągu
(fn).
Załóżmy dalej, że fn : X R dla n " N, f : X R oraz E �" X.
Definicja 5.2.
" Mówimy, że ciąg funkcyjny (fn) jest punktowo zbieżny na zbiorze E do funkcji f i
piszemy
E
fn f,
gdy
'" lim fn(x) = f(x).
n"
x"E
Funkcję f nazywamy granicą punktową ciągu (fn) na zbiorze E.
" Mówimy, że ciąg funkcyjny (fn) jest jednostajnie zbieżny na zbiorze E do funkcji f i
piszemy
E
fn �! f,
gdy
'" (" '" '" |fn(x) - f(x)| < �.
�>0 K"N n K x"E
Funkcję f nazywamy granicą jednostajną ciągu (fn) na zbiorze E.
E
E
Twierdzenie 5.3. Jeśli fn �! f, to fn f.
Twierdzenie 5.4. Niech Mn = sup{|fn(x) - f(x)| : x " E} dla n " N. Wówczas
E
fn �! f �! lim Mn = 0.
n"
E
Twierdzenie 5.5. Jeśli funkcje fn, gdzie n " N, są ciągłe na E oraz fn �! f, to f jest również
ciągła na tym zbiorze.
5. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 24
Przykład 5.6. Wyznaczyć granice oraz obszary zbieżności podanych ciągów funkcyjnych.
Określić rodzaj zbieżności na tych zbiorach.
a) fn(x) = xn; d) fn(x) = (-1)nx;
"
x
n
b) fn(x) = ; e) fn(x) = x;
n
1 x
c) fn(x) = x + ; f) fn(x) = (1 + )n.
n
n
Twierdzenie 5.7 (aproksymacyjne Weierstrassa). Dla każdej funkcji ciągłej f : [a, b] R
istnieje ciąg wielomianów (Wn) taki, że
[a,b]
Wn �! f.
5.2. Szeregi funkcyjne.
Niech X �" R i X = ". Załóżmy, że fn : X R dla n " N, f : X R oraz E �" X.

Definicja 5.8. Niech (fn) będzie ciągiem funkcyjnym oraz niech
def
'" Sn(x) = f1(x) + f2(x) + � � � + fn(x).
x"X
" Ciąg funkcyjny (Sn) nazywamy szeregiem funkcyjnym o wyrazie ogólnym fn i ozna-
"
czamy przez fn.
n=1
"
" Zbiór {x " X : szereg liczbowy fn(x) jest zbieżny} nazywamy obszarem zbieżności
n=1
danego szeregu funkcyjnego.
"
Definicja 5.9. Mówimy, że szereg fn jest
n=1
"
" bezwzględnie zbieżny na E, gdy szereg |fn(x)| jest zbieżny dla x " E,
n=1
" punktowo zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (Sn) jest punktowo zbieżny na E (tzn. gdy
"
szereg fn(x) jest zbieżny dla x " E),
n=1
" jednostajnie zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (Sn) jest jednostajnie zbieżny na E.
"
Granicę punktową ciągu (Sn) nazywamy sumą szeregu i oznaczamy przez fn.
n=1
Przykład 5.10. Wyznaczyć sumy (w a) i c)) oraz obszary zbieżności szeregów:
" "
1
a) xn; c) (x)n;
n=1 n=1
" "
(-3x)n (x-1)n
b) ; d) .
n! n
n=1 n=1
5. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 25
Twierdzenie 5.11 (kryterium Weierstrassa).
Niech fn : X R, n " N. Załóżmy, że
'" '" |fn(x)| an
n"N x"X
" "
oraz szereg liczbowy an jest zbieżny. Wówczas szereg funkcyjny fn jest bezwzględnie i
n=1 n=1
jednostajnie zbieżny na X.
Przykład 5.12. Zbadać zbieżność podanych szeregów na X:
" "
sin(n2x) ln(nx)
a) , X = R; c) , X = (M; +"], M > 1;
n2 xn
n=1 n=1
" "
(-3x)n
1 1
b) , X = [-M; M], M > 0; d) sin , X = [1; +").
n! nx nx
n=1 n=1
5.3. Szeregi potęgowe.
Definicja 5.13. Niech x0 " R oraz niech (an)" będzie ciągiem liczbowym o wartościach
n=0
rzeczywistych. Szereg funkcyjny postaci
"
a0 + an(x - x0)n, x " R,
n=1
nazywamy szeregiem potęgowym o środku x0 i współczynnikach an, n " N.
Twierdzenie 5.14 (Abela).
"
Jeśli szereg anxn jest zbieżny w punkcie x1 = 0, to jest bezwzględnie zbieżny w przedziale

n=1
(- |x1| ; |x1|).
"
Definicja 5.15. Promieniem zbieżności szeregu anxn nazywamy
n=1
" liczbę R > 0, gdy szereg potęgowy jest zbieżny w przedziale (-R; R), zaś rozbieżny w
zbiorze (-"; R) *" (R; +"),
" liczbę R = 0, gdy dany szereg jest zbieżny tylko dla x = 0,
" +", gdy szereg jest zbieżny dla wszystkich x " R.
Przedział (-R; R) nazywamy przedziałem zbieżności szeregu potęgowego.
Twierdzenie 5.16 (Cauchy ego-Hadamarda).
"
n
Jeśli istnieje granica lim |an| = g, to szereg potęgowy anxn ma promień zbieżności
n"
n=1
ńł
�ł
1/g, gdy 0 < g < +",
�ł
R = 0, gdy g = +",
�ł
ół
+", gdy g = 0.
5. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 26
Twierdzenie 5.17 (d Alemberta).
"
an+1
Jeśli an = 0 dla n " N oraz istnieje granica lim = g, to szereg potęgowy anxn ma

an
n"
n=1
promień zbieżności
ńł
�ł
1/g, gdy 0 < g < +",
�ł
R = 0, gdy g = +",
�ł
ół
+", gdy g = 0.
"
Twierdzenie 5.18. Szereg potęgowy anxn jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny w każdym
n=1
przedziale domkniętym zawartym w przedziale zbieżnosci tego szeregu.
Przykład 5.19. Wyznaczyć przedziały i obszary zbieżności podanych szeregów:
"
a) n!xn;
n=1
"
(x - 2)n
b) ;
n
n=1
"
(-1)n-1x2n-1
c) .
2n - 1
n=1
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 27
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
RZECZYWISTEJ
6.1. Definicja pochodnej i różniczki funkcji,
podstawowe własności.
Niech a, b " R i a < b.
Definicja 6.1. Niech f : (a, b) R oraz x0 " (a, b).
" Funkcję � : (a, b) \ {x0} R daną wzorem
def - f(x0)
f(x)
�(x) =
x - x0
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0.
" Jeśli granica lim �(x) istnieje i jest skończona, to nazywamy ją pochodną właściwą
xx0
funkcji f w punkcie x0 i mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie x0. Zapisujemy
def
f(x) - f(x0)
f (x0) = lim .
xx0
x - x0
" Jeśli x0 " Cf i powyższa granica jest niewłaściwa, to nazywamy ją pochodną niewłaściwą
funkcji f w punkcie x0.
Analogicznie definiujemy pochodne jednostronne funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy je odpo-
wiednio przez f (x+) oraz f (x-).
0 0
Definicja 6.2. Niech f : [a, b] R.
" Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie x " A �" (a, b), to mówimy, że f jest
różniczkowalna na zbiorze A.
" Mówimy, że f jest różniczkowalna na [a, b], gdy f jest różniczkowalna na (a, b), prawo-
stronnie różniczkowalna w punkcie a i lewostronnie różniczkowalna w b.
" Funkcję
x - f (x),
określoną na zbiorze punktów, w których f jest różniczkowalna, nazywamy funkcją po-
chodną funkcji f i oznaczamy przez f .
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie:
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 28
Przykład 6.3. Zbadać różniczkowalność funkcji f w punkcie x0 i wyznaczyć (o ile to możliwe)
równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)), jeśli
"
a) f(x) = x, x0 = 0, x0 = 1;
b) f(x) = |x| , x0 = 0;
sin x, x 0,
c) f(x) = x0 = 0;
x, x > 0,
-x2, x 1,
d) f(x) = x0 = 1.
ln(x - 1), x > 1,
Twierdzenie 6.4 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji).
Jeśli funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b), to jest ciągła w tym
punkcie.
Wniosek 6.5.
Twierdzenie 6.6 (O pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu funkcji). Załóżmy, że funkcje
f
f, g : (a, b) R są różniczkowalne w punkcie x0 " (a, b). Wówczas funkcje f + g, f � g oraz
g
są różniczkowalne w tym punkcie oraz
a) (f + g) (x0) = f (x0) + g (x0),
b) (f � g) (x0) = f (x0)g(x0) + f(x0)g (x0),
f f (x0)g(x0) - f(x0)g (x0)
c) ( ) (x0) = , o ile g(x0) = 0.

g g2(x0)
Twierdzenie 6.7 (O pochodnej funkcji złożonej).
Załóżmy, że
(1) funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b),
(2) f[(a, b)] �" (c, d) oraz
(3) funkcja g : (c, d) R jest różniczkowalna w punkcie f(x0).
Wówczas funkcja g ć% f jest różniczkowalna w punkcie x0 oraz
(g ć% f) (x0) = g (f(x0))f (x0).
Twierdzenie 6.8 (O pochodnej funkcji odwrotnej). Załóżmy, że
(1) funkcja f : (a, b) R jest różnowartościowa,
(2) f jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b), przy czym f (x0) = 0.

Wówczas funkcja f-1 jest różniczkowalna w punkcie y0 = f(x0) oraz
1
(f-1) (y0) = .
f (x0)
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 29
Twierdzenie 6.9 (Pochodne podstawowych funkcji).
Wzór Założenia
(c) = 0 c " R
(xą) = ąxą-1 ą " R, x " R lub x " R \ {0}
(ax) = ax ln a a " (0, 1) *" (1, +"), x " R
1
(loga x) = a " (0, 1) *" (1, +"), x > 0
x ln a
(sin x) = cos x x " R
(cos x) = - sin x x " R
1
(tg x) = x " R\{Ą + kĄ : k " Z}
2
cos2 x
1
(ctg x) = - x " R\{kĄ : k " Z}
sin2 x
1
"
(arc sin x) = x " (-1, 1)
1 - x2
1
(arc cos x) = -"
x " (-1, 1)
1 - x2
1
(arctg x) = x " R
1 + x2
1
(arcctg x) = - x " R
1 + x2
Definicja 6.10. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b).
Funkcję liniową
h - f (x0)h
nazywamy różniczką funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy przez df(x0).
Przykład 6.11. Korzystając z różniczki funkcji wyznaczyć przybliżone wartości:
"
c) ln 1.001;
a) 4.01;
d) e-0.001.
b) arctg 1.05;
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 30
Definicja 6.12. Niech f : (a, b) R oraz n " N.
" Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie x0 " (a, b) definiujemy induk-
cyjnie:
def
f(n)(x0) = [f(n-1)] (x0),
def def
gdzie f(1)(x0) = f (x0) oraz f(0)(x0) = f(x0).
" Funkcję
x - f(n)(x),
określoną na zbiorze punktów, w których istnieje pochodna wlaściwa n-tego rzędu, nazy-
wamy funkcją pochodną n-tego rzędu funkcji f.
6.2. Twierdzenia o wartości średniej i ich za-
stosowania.
Lemat 6.13 (Fermata). Jeśli funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w punkcie x0 " (a, b)
oraz
'" f(x) f(x0) (lub '" f(x) f(x0)),
x"(a,b) x"(a,b)
to f (x0) = 0.
Twierdzenie 6.14 (Rolle a).
Jeśli funkcja f : [a, b] R jest
(1) ciągła na [a, b],
(2) różniczkowalna na (a, b) oraz
(3) f(a) = f(b),
to istnieje punkt x0 " (a, b) taki, że f (x0) = 0.
Twierdzenie 6.15 (Cauchy ego).
Jeśli funkcje f, g : [a, b] R są
(1) ciągłe na [a, b],
(2) różniczkowalne na (a, b),
to istnieje punkt x0 " (a, b) taki, że
(f(b) - f(a))g (x0) = (g(b) - g(a))f (x0).
Twierdzenie 6.16 (Lagrange a).
Jeśli funkcja f : [a, b] R jest
(1) ciągła na [a, b] oraz
(2) różniczkowalna na (a, b),
to istnieje punkt x0 " (a, b) taki, że
f(b) - f(a)
f (x0) = .
b - a
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 31
Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie
domknięty).
Twierdzenie 6.17 (warunki wystarczające monotoniczości funkcji). Niech f : I R.
Wówczas
a) jeśli f (x) = 0 dla każdego x " I, to f jest stała na I;
b) jeśli f (x) > 0 dla każdego x " I, to f jest rosnąca na I;
c) jeśli f (x) 0 dla każdego x " I, to f jest niemalejąca na I;
d) jeśli f (x) < 0 dla każdego x " I, to f jest malejąca na I;
e) jeśli f (x) 0 dla każdego x " I, to f jest nierosnąca na I.
Twierdzenie 6.18. Załóżmy, że funkcja f : I R jest różniczkowalna na I. Jeśli
a) f jest rosnąca na I, to f (x) 0 dla każdego x " I oraz f nie jest równa 0 na żadnym
przedziale zawartym w I;
b) f jest malejąca na I, to f (x) 0 dla każdego x " I oraz f nie jest równa 0 na żadnym
przedziale zawartym w I.
Twierdzenie 6.19. Niech f, g : I R oraz niech x0 " I.
a) Jeśli
(1) f(x0) = g(x0),
(2) '" f (x) = g (x),
x"I
to f(x) = g(x) dla wszystkich x " I.
b) Jeśli funkcje f, g są ciągłe na I oraz
(1) f(x0) g(x0),
(2) '" f (x) g (x),
x"I)"(x0,+")
to f(x) g(x) dla wszystkich x " I )" (x0, +").
Przykład 6.20. Wykazać, że
Ą
a) '" arc sin x + arc cos x = ; c) '" sin x < x;
2
x"[-1,1] x"(0,+")
Ą
x-1
b) '" arctg x + arcctg x = ;
d) '" < ln x < x.
2
x+1
x"[0,+")
x"(1,+")
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 32
Twierdzenie 6.21 (reguła de l Hospitala). Niech x0 " R oraz niech S(x0) będzie pewnym
sąsiedztwem punktu x0. Załóżmy, że funkcje f, g : S(x0) R są różniczkowalne na S(x0), przy
czym g (x) = 0 dla x " S(x0). Jeśli

lim f(x) = lim g(x) = 0
xx0 xx0
albo
lim f(x) = lim g(x) = ą",
xx0 xx0
f (x) f(x)
oraz istnieje granica lim = g " R, to lim = g.
xx0 xx0
g (x) g(x)
Twierdzenie zachodzi także dla granic jednostronnych w punkcie.
Uwaga 6.22.
Regułę de l Hospitala można stosować również do oblicznia granic funkcji w przypadku symboli
0 "
nieoznaczonych innych niż i , posługując się odpowiednio niżej podanymi przekształceniami.
0 "
Symbol przed Przekształcenie Symbol po
przekształceniem przekształceniu
ńł
g
�ł - )
f(1
�ł "
f
�ł
"(1 - )
�ł
"
1 1
" - " f - g = -
g f
�ł
�ł 0
�ł
1
ół
0
f�g
ńł
f
0
�ł
1
�ł
0
g
0 � " f � g =
g
�ł
ół "
1
f "
00, "0 lub 1" fg = eg ln f e0�(ą")
Przykład 6.23. Obliczyć granice funkcji:
2
1 1
ex
d) lim ( - );
a) lim ;
x0+ sin x x
x+"
x
x
e) lim x ln x;
b) lim ;
x0+
x0
arc tg x
2 f) lim xx.
c) lim (ex - x);
x0+
x+"
Twierdzenie 6.24 (wzór Taylora). Niech f : [a, b] R oraz n " N. Załóżmy, że pochodna
f(n-1) funkcji f istnieje i jest ciągła na [a, b], zaś pochodna f(n) istnieje wszędzie na (a, b). Niech
x0 " [a, b]. Wówczas dla każdego x " [a, x0) *" (x0, b] istnieje punkt c leżący pomiędzy x i x0 taki,
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 33
że
f (x0) f(n-1)(x0) f(n)(c)
f(x) = f(x0) + (x - x0) + � � � + (x - x0)n-1 + (x - x0)n.
1! (n - 1)! n!
Rn(x) - reszta w postaci Lagrange a
Pn-1(x) - wielomian Taylora
Uwaga 6.25.
1. Jeśli x0 = 0, to powyższy wzór przyjmuje postać
f (0) f(n-1)(0) f(n)(c)
f(x) = f(0) + x + � � � + xn-1 + xn
1! (n - 1)! n!
Pn-1(x) - wielomian Maclaurina
i nosi nazwę wzoru Maclaurina.
2. Jeśli założymy, że
(" '" '" f(n)(x) M,
M>0 n"N x"(a,b)
to lim Rn(x) = 0 dla x " (a, b).
n"
3.
Wzór Maclaurina dla wybranych funkcji
x x2 xn-1 xn
ex = 1 + + + � � � + + ec
1! 2! (n - 1)! n!
x x3 x5 x2n-1 x2n+1
sin x = - + - � � � + (-1)n-1 + (-1)n sin c
1! 3! 5! (2n - 1)! (2n + 1)!
x2 x4 x2n-2 x2n
cos x = 1 - + - � � � + (-1)n-1 + (-1)n cos c
2! 4! (2n - 2)! (2n)!
x2 x3 xn xn+1
ln(1 + x) = x - + - � � � + (-1)n-1 + (-1)n
2 3 n (n + 1)(1 + c)n+1
Przykład 6.26. Wykazać, że
x2 b) '" sin x < x.
x"(0,+")
a) '" ex > 1 + x + ;
x"(0,+")
2
Przykład 6.27. Na jakim przedziale funkcję f(x) = ex można aproksymować jej wielomianem
Maclaurina stopnia drugiego z błędem nieprzekraczającym
a) � = 0, 004; b) � = 0, 0001.
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 34
6.3. Ekstrema lokalne i globalne.
Niech X �" R, X = ".

Definicja 6.28. Mówimy, że funkcja f : X R ma w punkcie x0 " X
" maksimum lokalne, gdy
(" '" f(x) f(x0),
S(x0) x"S(x0))"X
" minimum lokalne, gdy
(" '" f(x) f(x0).
S(x0) x"S(x0))"X
Definicja 6.29. Mówimy, że funkcja f : X R ma w punkcie x0 " X
" maksimum globalne na X, gdy
'" f(x) f(x0),
x"X
" minimum globalne na X, gdy
'" f(x) f(x0).
x"X
Jeśli w powyższych definicjach nierówności   i   zastąpić odpowiednio przez  < i  > ,
to otrzymamy definicje ekstremów lokalnych i globalnych właściwych.
Twierdzenie 6.30 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego - tw. Ferma-
ta). Jeśli funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna w x0 " (a, b) oraz ma w tym punkcie
ekstremum lokalne, to f (x0) = 0.
Twierdzenie 6.31. Załóżmy, że funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b]. Niech A = {x "
(a, b) : f (x) = 0}, B = {x " (a, b) : f (x) nie istnieje}. Wówczas
sup{f(x) : x " [a, b]} = max{f(x) : x " {a, b} *" A *" B},
inf{f(x) : x " [a, b]} = min{f(x) : x " {a, b} *" A *" B}.
Przykład 6.32. Wyznaczyć ekstrema globalne (największą i najmniejszą wartość) funkcji f
na zbiorze X, jeśli
3
Ą
c) f(x) = 3 cos x - 2 cos3 x, X = [-Ą , ];
a) f(x) = ex -3x, X = [0, 2];
2 2
d) f(x) = 3 cos x - 2 cos3 x, X = [0, Ą].
b) f(x) = x |x - 2| , X = [-1, 3];
Twierdzenie 6.33 (I warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest różniczkowalna na pewnym otoczeniu U(x0) = S(x0) *"
{x0 �" (a, b). Jeśli
(1) f (x0) = 0,
(2) '" f (x) > 0 i '" f (x) < 0
x"S-(x0) x"S+(x0)
(albo '" f (x) < 0 i '" f (x) > 0),
x"S-(x0) x"S+(x0)
to f ma w x0 maksimum lokalne właściwe (albo odpowiednio, minimum lokalne właściwe).
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 35
Uwaga 6.34.
1. Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku, gdy f jest różniczowalna tylko w pewnym
sąsiedztwie S(x0) i ciągła w punkcie x0.
2. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie 6.35 (II warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego).
Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu
x0 " (a, b). Jeśli
(1) f (x0) = 0,
(2) f jest ciągła w x0,
(3) f (x0) = 0,

to f ma w x0 ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum lokalne, gdy f (x0) < 0,
oraz minimum lokalne, gdy f (x0) > 0.
Przykład 6.36. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji z przykładu 6.32.
6.4. Wypukłość i wklęsłość funkcji. Punkty
przegięcia.
Niech I oznacza dowolny przedział o końcach a i b (otwarty, domknięty lub jednostronnie
domknięty).
Definicja 6.37. Niech f : I R. Dla dowolnych x1, x2 " I oznaczmy przez lx ,x2 funkcję,
1
której wykresem jest prosta przechodząca przez punkty (x1, f(x1)) i (x2, f(x2)).
Mówimy, że funkcja f jest
" wypukła na I, gdy
'" '" f(x) lx ,x2(x),
1
x1,x2"I, x1x"(x1,x2)
" wklęsła na I, gdy
'" '" f(x) lx ,x2(x).
1
x1,x2"I, x1Jeśli w powyższych warunkach nierówności   i   zastąpić odpowiednio przez  < i  > ,
to otrzymamy definicje ścisłej wypukłości i ścisłej wklęsłości funkcji f na przedziale I.
Twierdzenie 6.38. Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną na (a, b). Wówczas
a) f jest wypukła na (a, b) �!
'" '" f(x) f (x0)(x - x0) + f(x0);
x0"(a,b) x"(a,b)\{x0}
b) f jest wklęsła na (a, b) �!
'" '" f(x) f (x0)(x - x0) + f(x0).
x0"(a,b) x"(a,b)\{x0}
Analogiczne stwierdzenia zachodzą dla funkcji ściśle wypukłych i ściśle wklęsłych.
6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 36
Twierdzenie 6.39 (warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości funkcji).
Niech f : (a, b) R będzie funkcją dwukrotnie różniczkowalną na (a, b). Wówczas jeśli dla
każdego x " (a, b)
a) f (x) > 0, to f jest ściśle wypukła na (a, b);
b) f (x) < 0, to f jest ściśle wklęsła na (a, b).
Definicja 6.40. Niech f : (a, b) R będzie funkcją różniczkowalną w punkcie x0 " (a, b).
Mówimy, że x0 jest punktem przegięcia funkcji f, gdy istnieje sąsiedztwo S(x0) �" (a, b) takie,
że
f jest ściśle wypukła na S-(x0) i ściśle wklęsła na S+(x0)
albo
f jest ściśle wklęsła na S-(x0) i ściśle wypukła na S+(x0).
Twierdzenie 6.41 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia). Jeśli funkcja
f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna na (a, b) oraz x0 jest punktem przegięcia funk-
cji f, to f (x0) = 0.
Uwaga 6.42. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe.
Twierdzenie 6.43 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia). Załóżmy,
że funkcja f : (a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie S(x0) �" (a, b)
punktu x0. Jeśli
(1) f jest różniczkowalna w x0,
(2) '" f (x) > 0 i '" f (x) < 0
x"S-(x0) x"S+(x0)
albo '" f (x) < 0 i '" f (x) > 0,
x"S-(x0) x"S+(x0)
to x0 jest punktem przegięcia funkcji f.
Twierdzenie 6.44. Niech n " N \ {1}. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R jest n-krotnie
różniczkowalna na pewnym otoczeniu punktu x0 " (a, b). Jeśli
(1) '" f(k)(x0) = 0,
k=1,... ,n-1
(2) f(n) jest ciągła w x0,
(3) f(n)(x0) = 0,

to f ma w x0
a) punkt przegięcia, gdy n jest liczbą nieparzystą,
b) ekstremum lokalne właściwe, gdy n jest liczbą parzystą, przy czym jest to maksimum lokalne,
gdy f(n)(x0) < 0, oraz minimum lokalne, gdy f(n)(x0) > 0.
Przykład 6.45. Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji
3
f(x) = x5 - x4 + 2x - 1, x " R.
5
7. CAA
KA NIEOZNACZONA 37
7. CAA
KA NIEOZNACZONA
W całym rozdziale niech I oznacza dowolny przedział (otwarty, domknięty lub jednostronnie
domknięty).
7.1. Funkcja pierwotna.
Niech f : I R.
Definicja 7.1. Funkcję F : I R nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I,
gdy
'" F (x) = f(x).
x"I
Przykład 7.2. Wyznaczyć funkcje pierwotne funkcji
a) f(x) = sin x, x " R; b) f(x) = |x| , x " R.
Przykład 7.3. Wykazać, że funkcja f(x) = sgn x nie posiada funkcji pierwotnej na przedziale
[-1, 1].
Twierdzenie 7.4. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, to
a) funkcja F + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f,
b) każdą funkcję pierwotną funkcji f można przedstawić w postaci F + C0, gdzie C0 jest od-
powiednio dobraną stałą.
Wniosek 7.5. Dla dowolnego punktu (x0, y0), gdzie x0 " I, istnieje dokładnie jedna funkcja
pierwotna, której wykres przechodzi przez ten punkt.
7.2. Całka nieoznaczona - podstawowe wzory.
Niech f : I R.
Definicja 7.6. Zbiór wszystkich funkcji piewotnych funkcji f na przedziale I (o ile jest niepu-
sty) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I i oznaczamy przez
f(x)dx lub f.
Jeśli funkcja F : I R jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f, to piszemy
f(x)dx = F (x) + C, gdzie C " R.
7. CAA
KA NIEOZNACZONA 38
Podstawowe wzory na całki nieoznaczone
(Wzory, te wynikają bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej i wzorów na pochodne odpo-
wiednich funkcji.)
Wzór Założenia
(1) 0dx = C x " R
xą+1
(2) xądx = + C ą " R \ {1}, x " R lub x " R \ {0}
ą+1
1
(3) dx = ln |x| + C x = 0

x
ax
(4) axdx = + C a " (0, 1) *" (1, +"), x " R
ln a
(5) sin xdx = - cos x + C x " R
(6) cos xdx = sin x + C x " R
1
(7) dx = - ctg x + C x " (kĄ, (k + 1)Ą), k " Z
sin2 x
1
(8) dx = tg x + C x " ((2k - 1)Ą , (2k + 1)Ą ), k " Z
2 2
cos2 x
1
(9) dx = arctg x + C x " R
1 + x2
1
"
(10) dx = arc sin x + C x " (-1, 1)
1 - x2
f (x)
(11) dx = ln |f(x)| + C f(x) = 0

f(x)
f (x)
(12) dx = 2 f(x) + C f(x) > 0
f(x)
7. CAA
KA NIEOZNACZONA 39
7.3. Całka nieoznaczona - podstawowe wła-
sności.
Twierdzenie 7.7. Niech f : I R.
a) Jeśli istnieje całka f, to
( f) = f.
b) Jeśli istnieje całka (f ), to
(f ) = f + C, C " R.
Twierdzenie 7.8 (liniowość całki nieoznaczonej). Niech f, g : I R. Jeśli istnieją całki
f i g, to
a) istnieje całka (f + g) oraz
(f + g) = f + g;
b) dla dowolnej liczby k " R istnieje całka (kf) oraz
(kf) = k( f).
Twierdzenie 7.9 (warunek wystarczający istnienia całki nieoznczonej). Jeśli funkcja
f : I R jest ciągła, to istnieje całka nieoznaczona funkcji f na przedziale I.
Uwaga 7.10.
1. O ile pochodne funkcji elementarnych są funkcjami elementarnymi, to funkcje pierwotne
funkcji elementarnych nie muszą być funkcjami elementarnymi. W konsekwencji istnieją
funkcje elementarne, których całki nieoznaczone nie wyrażają się przy pomocy funkcji ele-
mentarnych,
cosx
2
np. e-x dx, sin(x2)dx, dx.
x
2. Istnieją funkcje nieciągłe, które posiadają całkę nieoznaczoną.
7.4. Metody całkowania
Twierdzenie 7.11 (o całkowaniu przez części). Załóżmy, że
(1) funkcje f, g : I R są różniczkowalne na przedziale I,
(2) istnieje całka nieoznaczona z funkcji f g na przedziale I.
Wówczas istnieje całka nieoznaczona z funkcji fg na przedziale I oraz zachodzi wzór
fg = fg - f g.
7. CAA
KA NIEOZNACZONA 40
Przykład 7.12. Obliczyć całki:
a) xe-xdx; c) x3 ln(2x)dx;
b) x2e-xdx; d) arc sin xdx.
Twierdzenie 7.13 (o całkowaniu przez podstawienie). Załóżmy, że I, J są przedziałami
oraz
(1) funkcja g : I J jest różniczkowalna na I,
(2) funkcja f : J R ma całkę nieoznaczoną na J .
Wówczas funkcja (f ć% g)g ma całkę nieoznaczoną na I oraz zachodzi wzór
(f ć% g)g = ( f) ć% g.
Przykład 7.14. Obliczyć całki:
1+ln2 x
a) dx; c) sin3 x cos xdx;
x
1
1 x
x "
b) e dx; d) dx.
x2 1-x
7. CAA
KA NIEOZNACZONA 41
7.5. Całkowanie funkcji wymiernych.
V (x)
(A) Każdą funkcję wymierną postaci , gdzie V i Q są wielomianami niezerowymi można
Q(x)
jednoznacznie przedstawić w postaci
P (x)
W (x) + ,
Q(x)
gdzie W i P są wielomianami, przy czym stopień wielomianu P jest mniejszy niż stopień
wielomianu Q.
P (x)
(B) Każdą funkcję wymierną postaci , gdzie P jest wielomianem stopnia mniejszego niż
Q(x)
stopień wielomianu Q, można jednoznacznie przedstawić jako skończoną sumę ułamków
prostych pierwszego lub drugiego rodzaju, tzn. funkcji postaci
A
(I) ,
(x - p)n
Ax + B
(II) ,
((x - p)2 + k)n
gdzie n " N, A, B, p " R, k > 0.
(C) Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju:
ńł
�ł
gdy n = 1 stosujemy wzór (11),
�ł
�ł
�ł
A
dx =
(x - p)n �ł gdy n > 1 t = x - p = A 1 dt = . . .
�ł
�ł
ół
tn
dt = dx
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju:
t = x - p
Ax + B A(t + p) + B
dx = = dt =
((x - p)2 + k)n (t2 + k)n
dt = dx
At 1
= dt + (pA + B) dt = . . . ,
(t2 + k)n (t2 + k)n
Jn In
Wzór Założenia
1 1 x
" "
(13) I1 = dx = arc tg + C k > 0, x " R
x2 + k
k k
1 1 x
(14) In = dx = ( + (2n - 3)In-1) n = 2, 3, . . . , k > 0, x " R
(x2 + k)n k(2n - 2) (x2 + k)n-1
Wskazówki:
ńł
x
"
s =
�ł
gdy n = 1 stosujemy wzór (11),
�ł
k
�ł
�ł
I1 = = . . .
dx
"
Jn = ds =
s = t2 + k
�ł k
�ł
gdy n > 1 = . . . ,
�ł
ół
ds = 2tdt
7. CAA
KA NIEOZNACZONA 42
7.6. Całkowanie funkcji z niewymiernościami.
Niech R : R2 R będzie funkcją wymierną.
"
n tn-b
"
t = ax + b x =
n
a = . . . , a = 0
(A) R(x, ax + b )dx = lub
dt = . . . dx = . . .
ax+b
ax + b
t =
cx+d
(B) R(x, )dx = lub jw. . . . ,
cx + d
dt = . . .
Niech Wn : R R będzie wielomianem n-tego stopnia, n " N *" {0}.
Wn(x)
(C) dx, k, p " R, a = 0

k + a(x - p)2
" n = 0
t = x - p
A
dx = = . . . (stosujemy wzór (15) lub (16)),
dt = dx
k + a(x - p)2
Wzór Założenia
1 x
" "
(15) dx = arc sin + C k > 0, k - x2 > 0
k - x2 k
"
1
"
(16) dx = ln x + k + x2 + C k = 0, k + x2 > 0

k + x2
Wskazówki:
"
x "
"
t =
t = x + k + x2
k x = k sin t
"
ad. (15) lub ad. (16)
"
dx x+ k+x2 dt dx
" " "
dt = dt = dx �! =
dx = k cos tdt
t
k k+x2 k+x2
" n > 0  stosujemy tzw. metodę współczynników nieoznaczonych:
Wn(x) 1
dx = Qn-1(x) k + a(x - p)2 + � dx,
k + a(x - p)2 k + a(x - p)2
gdzie Qn-1 oznacza wielomian stopnia n - 1, zaś � jest pewną stałą.
7. CAA
KA NIEOZNACZONA 43
7.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.
Niech R : R2 R będzie funkcją wymierną.
(A) R(-u, v) = -R(u, v)
t = cos x
R(sin x, cos x)dx = = . . . ,
dt = - sin xdx
np. sinn x cosm xdx, gdzie n, m " Z, n- liczba nieparzysta, m- liczba . . . . . . . . . . . . .
(B) R(u, -v) = -R(u, v)
t = sin x
R(sin x, cos x)dx = = . . . ,
dt = cos xdx
np. sinn x cosm xdx, gdzie n, m " Z, n- liczba . . . . . . . . . . . . . m- liczba . . . . . . . . . . . . .
(C) R(-u, -v) = R(u, v)
t = tg x �! x = arc tg t
R(sin x, cos x)dx = = . . . ,
dt
dx =
t2+1
t2 1 t
(sin2 x = , cos2 x = , sin x cos x = ),
1 + t2 1 + t2 1 + t2
np. sinn x cosm xdx, gdzie n, m " Z, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(D) R  dowolna funkcja
x
t = tg �! x = 2 arc tg t
2
R(sin x, cos x)dx = = . . . ,
2dt
dx =
t2+1
2t 1 - t2
(sin x = , cos x = ).
1 + t2 1 + t2
Wzór Założenia
1 n-1
(17) sinn xdx = -n cos x sinn-1 x + sinn-2 xdx n = 2, 3, . . . , x " R
n
1 n-1
(18) cosn xdx = sin x cosn-1 x + cosn-2 xdx n = 2, 3, . . . , x " R
n n
Wskazówka: wykorzystać wzór na całkowanie przez części.