2. GRANICE FUNKCJI
2.1. Podstawowe definicje
Niech X ‚" R, X = ".

Definicja 2.1. Niech x0 " R.
" Sąsiedztwem punktu x0 nazywamy każdy zbiór postaci
S(x0) = (a, x0) *" (x0, b),
gdzie a, b " R, a < x0 < b. Zbiory: S-(x0) = (a, x0) oraz S+(x0) = (x0, b) nazywamy odpowiednio
lewostronnym i prawostronnym sÄ…siedztwem punktu x0.
" Otoczeniem punktu x0 nazywamy każdy zbiór postaci
U(x0) = S(x0) *" {x0}.
Zbiory: U-(x0) = S-(x0) *" {x0}, U+(x0) = S+(x0) *" {x0} nazywamy odpowiednio lewostronnym i
prawostronnym otoczeniem punktu x0.
" Sąsiedztwem -" nazywamy zbiór
S(-") = (-", b), gdzie b " R.
" Sąsiedztwem +" nazywamy zbiór
S(+") = (a, +"), gdzie a " R.
Definicja 2.2.
" Mówimy, że punkt x0 " R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (xn) taki, że
{xn} ‚" X \ {x0} oraz lim xn = x0.
n"
" Jeśli dodatkowo wiadomo, że xn > x0 dla n " N (xn < x0 dla n " N), to x0 nazywamy prawostronnym
(lewostronnym) punktem skupienia zbioru X.
" Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.
Zbiór punktów skupienia zbioru X oznaczamy przez Xd. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów
skupienia zbioru X oznaczamy przez Xd+ (Xd-).
Definicja 2.3 (definicja Heinego granicy funkcji w +"). Niech f : X R, zaś X będzie zbiorem
nieograniczonym z dołu.
" Mówimy, że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +", gdy
'" [n"xn = +" Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X
Zapisujemy
lim f(x) = g
x+"
" Mówimy, że funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą +", gdy
'" [n"xn = +" Ò! lim f(xn) = +"].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X
Zapisujemy
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 9
lim f(x) = +"
x+"
" Mówimy, że funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą -", gdy
'" [n"xn = +" Ò! lim f(xn) = -"].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X
Zapisujemy
lim f(x) = -"
x+"
Analogicznie definiujemy granice: lim f(x) = g, lim f(x) = +" oraz lim f(x) = -".
x-" x-" x-"
Definicja 2.4 (definicja Heinego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x0 " Xd.
" Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x0, gdy
'" [n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X\{x0}
Zapisujemy
lim f(x) = g
xx0
" Funkcja f posiada w x0 granicę niewłaściwą +", gdy
'" [n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = +"].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X\{x0}
Zapisujemy
lim f(x) = +"
xx0
Analogicznie definiujemy granicÄ™: lim f(x) = -".
xx0
Definicja 2.5. Niech f : X R.
" Niech x0 " Xd-. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, gdy
'" [n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X)"(-",x0)
Zapisujemy
lim f(x) = g lub f(x-) = g
0
xx-
0
" Niech x0 " Xd+. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, gdy
'" [n"xn = x0 Ò! lim f(xn) = g].
lim
n"
(xn), {xn}‚"X)"(x0,+")
Zapisujemy
lim f(x) = g lub f(x+) = g
0
xx+
0
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 10
Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.
Definicja 2.6 (definicja Cauchy ego granicy funkcji w +"). Niech f : X R oraz niech X będzie zbiorem
nieograniczonym z góry.
" Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +", gdy
'" (" '" [x > ´ Ò! |f(x) - g| < µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą +", gdy
'" (" '" [x > ´ Ò! f(x) > µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w +" granicę niewłaściwą -", gdy
'" (" '" [x > ´ Ò! f(x) < -µ].
µ>0 ´>0 x"X
Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w -".
Definicja 2.7 (definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x0 " Xd.
" Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, gdy
'" (" '" [0 < |x - x0| < ´ Ò! |f(x) - g| < µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą +", gdy
'" (" '" [0 < |x - x0| < ´ Ò! f(x) > µ].
µ>0 ´>0 x"X
" Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą -", gdy
'" (" '" [0 < |x - x0| < ´ Ò! f(x) < -µ].
µ>0 ´>0 x"X
Twierdzenie 2.8. Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy ego granic funkcji są równoważne.
Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji w punkcie). Jeśli
x0 " Xd- )" Xd+, to
lim f(x) = g Ô! lim f(x) = lim f(x) = g.
xx0
xx- xx+
0 0
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji
Przedstawione poniżej twierdzenia o granicach funkcji (tzn. twierdzenia 2.10 - 2.14) zachodzą zarówno
dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w +" i -".
Twierdzenie 2.10 (arytmetyka granic właściwych funkcji). Jeśli f, g : X R, lim f(x) = a oraz
xx0
lim g(x) = b, to
xx0
a) lim (c · f(x)) = c · a dla dowolnego c " R;
xx0
b) lim (f(x) Ä… g(x) = a Ä… b;
xx0
c) lim (f(x) · g(x)) = a · b;
xx0
f(x)
a
d) lim = , o ile b = 0;

xx0 g(x) b
e) lim (g(x))f(x) = ba, o ile b > 0 i a = 0.

xx0
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 11
Twierdzenie 2.11 (arytmetyka granic niewłaściwych funkcji).
a + " = +" dla -" < a +"
a · (+") = +" dla -" < a +"
a
= 0 dla -" < a < +"
"
a
= +" dla 0 < a +"
0+
b" = 0 dla 0+ b < 1, b" = +" dla 1 < b
+"
"a = 0 dla -" a < 0, "a = +" dla
0 < a +"
Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji zÅ‚ożonej). Niech f : X Y ‚" R, g : Y R. JeÅ›li speÅ‚nione sÄ…
warunki:
(1) lim f(x) = a,
xx0
(2) f(x) = a dla każdego x " S(x0),

(3) limg(t) = b,
ta
to lim g(f(x)) = b.
xx0
Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach). Jeśli funkcje f, g, h : X R spełniają warunki:
(1) '" f(x) g(x) h(x),
x"S(x0)
(2) lim f(x) = lim h(x) = a,
xx0 xx0
to lim g(x) = a.
xx0
Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach). Niech f, g : X R oraz
'" f(x) g(x).
x"S(x0)
a) Jeśli lim f(x) = +", to lim g(x) = +".
xx0 xx0
b) Jeśli lim g(x) = -", to lim f(x) = -".
xx0 xx0
sin x
Twierdzenie 2.15. lim = 1.
x
x0
1
Twierdzenie 2.16. lim(1 + x)x = e.
x0
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 12
2.3. Asymptoty funkcji
Definicja 2.17. Niech f : X R, x0 " Xd.
" Prostą o równaniu x = x0 nazywamy prawostronną asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli
lim f(x) = -" albo lim f(x) = +".
xx+ xx+
0 0
" Prostą o równaniu x = x0 nazywamy lewostronną asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli
lim f(x) = -" albo lim f(x) = +".
xx- xx-
0 0
" Prostą o równaniu x = x0 nazywamy obustronną asymtotą pionową wykresu funkcji f (lub krótko
asymptotą pionową), jeśli jest jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Definicja 2.18. Niech f : X R.
" Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z góry. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą
ukośną wykresu funkcji f w +", gdy
lim [f(x) - (ax + b)] = 0.
x+"
" Załóżmy, że X jest zbiorem nieograniczonym z dołu. Prostą o równaniu y = ax+b nazywamy asymptotą
ukośną wykresu funkcji f w -", gdy
lim [f(x) - (ax + b)] = 0.
x-"
" Jeśli a = 0 to odpowiednią asymptotę ukośną nazywamy asymptotą poziomą.
Twierdzenie 2.19.
a) Prosta o równaniu y = Ax + B jest asymptotÄ… ukoÅ›nÄ… wykresu funkcji f w +" Ô!
f(x)
A = lim oraz B = lim (f(x) - Ax).
x+" x+"
x
b) Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotÄ… ukoÅ›nÄ… wykresu funkcji f w -" Ô!
f(x)
a = lim oraz b = lim (f(x) - ax).
x-" x-"
x
2.4. Ciągłość funkcji
Definicja 2.20. Niech f : X R, x0 " X.
" Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd albo lim f(x) = f(x0).
/
xx0
" Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd- albo lim f(x) = f(x0).
/
xx-
0
" Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x0, gdy
x0 " Xd+ albo lim f(x) = f(x0).
/
xx+
0
Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy przez Cf . Zbiór punktów prawostronnej (lewostronnej)
+ -
ciągłości funkcji f oznaczamy przez Cf (Cf ).
Twierdzenie 2.21 (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji). Niech f : X R oraz
x0 " X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy f jest lewostronnnie i prawostronnie
ciągła w punkcie x0.
2007, E. Kotlicka
2. GRANICE FUNKCJI 13
Definicja 2.22. Niech f : X R, A ‚" X. Mówimy, że funkcja f jest ciÄ…gÅ‚a w zbiorze A, gdy jest ciÄ…gÅ‚a
w każdym punkcie tego zbioru. Jeśli A = Df , to krótko mówimy, że f jest ciągła.
Definicja 2.23 (rodzaje nieciągłości).
Niech f : X R, x0 " X \ Cf .
" x0 nazywamy punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne:
lim f(x) oraz lim f(x), istnieją i są skończone.
xx- xx+
0 0
" x0 nazywamy punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic
jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.
Twierdzenie 2.24. Jeśli funkcje f, g : X R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje
f
|f| , f + g, f · g oraz (o ile g(x) = 0 dla x " X).

g
Twierdzenie 2.25. Jeśli funkcje f : X Y, g : Y R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ć% f.
Twierdzenie 2.26. Jeśli funkcja f : X R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f-1 jest
ciągła.
Twierdzenie 2.27. Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe.
2.5. Własności funkcji ciągłych.
Niech a, b " R, a < b.
Twierdzenie 2.28 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła oraz f(x0) > 0 dla pewnego x0 " [a, b], to
(" '" f(x) > 0.
U(x0) x"U(x0)
Twierdzenie 2.29 (Weierstrassa  o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła, to jest ograniczona na [a, b], przy czym istnieją punkty c1, c2 " [a, b]
takie, że
'" f(c1) f(x) f(c2).
x"[a,b]
Twierdzenie 2.30 (Darboux  o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech m = min[[a, b]] oraz M = max f[[a, b]]. Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła, to
'" (" y = f(x).
y"[m,M] x"[a,b]
2.6. Funkcje jednostajnie ciągłe
Definicja 2.31. Niech f : X R. Mówimy, że Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze X, gdy
'" (" '" [ |x1 - x2| < ´ Ò! |f(x1) - f(x2)| < µ ].
µ>0 ´>0 x1,x2"X
Twierdzenie 2.32. Jeśli funkcja f : X R jest jednostajnie ciągła w X, to jest ciągła w tym zbiorze.
Twierdzenie 2.33. Niech a, b " R, a < b oraz f : [a, b] R. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a, b] to jest
jednostajnie ciągła w tym przedziale.
2007, E. Kotlicka