Inga Jędrzejewska
Elżbieta Kotlicka
Bożenna Szkopińska
Wstęp do analizy matematycznej
Wykład
A
ódz
2007
,
Rozdział 1.
Elementy logiki i teorii mnogości
1.1 Wstęp
Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć
uprzednio wprowadzonych. Własności zdefiniowanych pojęć oraz związki między nimi formułujemy w
twierdzeniach, które z kolei dowodzimy wykorzystując aksjomaty lub wcześniej udowodnione twierdzenia
(tej tematyce dokładniej poświęcony jest paragraf 1.3)
Pojęcia pierwotne to najprostsze pojęcia, których nie definiujemy. Należą do nich np.
 w logice: pojęcie zdania i wartości logicznej;
 w teorii mnogości: pojęcie zbioru, elementu zbioru, przynależności elementu do zbioru;
 w geometrii: pojęcie punktu; itd.
Aksjomaty (inaczej pewniki) to stwierdzenia, które uważamy za prawdziwe bez dowodzenia ich
prawdziwości. Przykładowo przypomnimy jeden z aksjomatów logiki i jeden z aksjomatów teorii mnogości.
" Istnieje co najmniej jedno zdanie.
" Istnieje co najmniej jeden zbiór.
Ze względu na złożony formalizm podejścia aksjomatycznego w dalszej części tego podręcznika nie bę-
dziemy bezpośrednio powoływać się na inne aksjomaty. Pozostałe pewniki wchodzące w skład powszechnie
dziś przyjmowanego układu aksjomatów E. Zermelo i A. A. Fraenkla (w skrócie ZFC) zainteresowani Czy-
telnicy mogÄ… znalez
ć w [2].
1.2 Rachunek zdań, funkcja zdaniowa
Język, którym się posługujemy w matematyce składa się ze zdań. Zadaniem logiki jest określanie
relacji między zdaniami i badanie złożonych formuł pod kątem ich budowy i wartości logicznej.
Przez zdanie w sensie logiki rozumiemy poprawnie zbudowane (tj. zgodnie z zasadami gramatyki
ustalonego języka) zdanie oznajmujące, któremu można jednoznacznie przypisać jedną z dwóch stałych
logicznych:
" prawdÄ™ (oznaczanÄ… symbolicznie przez 1) albo
" fałsz (oznaczany symbolicznie przez 0).
Zdaniami w sensie logiki są np. sformułowania:
Ä„ jest liczbÄ… naturalnÄ…. lub
Tlen jest pierwiastkiem chemicznym.
Możemy jednoznacznie stwierdzić, że pierwsze z nich jest zdaniem fałszywym, drugie zaś zdaniem praw-
dziwym. Natomiast wypowiedz
:
Jestem studentem.
jest zdaniem gramatycznym, nie jest jednak zdaniem logicznym, gdyż ocena jego prawdziwości zależy od
tego, kto je wypowiada. Podobnie jest w przypadku sformułowań: Dzisiaj jest poniedziałek, czy x jest
liczbą ujemną. Oczywiste jest także, że zdaniami w sensie logiki nie są sformułowania typu: Która jest
godzina? lub Przeczytaj to uważnie!
Definicja 1.1 Zmienną zdaniową nazywamy zmienną, w miejsce której możemy wstawić dowolne zda-
nie. Najczęściej zmienne zdaniowe oznaczamy małymi literami, np. p, q, r, . . .
4 Rozdział 1.
Każdemu zdaniu p przypisujemy jego wartość logiczną w(p) w następujący sposób:
1, gdy p jest zdaniem prawdziwym,
w(p) =
0, gdy p jest zdaniem fałszywym.
Mając dane pewne zdania możemy z nich budować zdania złożone wykorzystując tzw. funktory zda-
niotwórcze (inaczej operatory logiczne lub spójniki logiczne). Najważniejsze z nich to:
" negacja zdania
(zaprzeczenie zdania) : <" p czytamy nieprawda, że p,
" koniunkcja zdań : p '" q czytamy p i q,
" alternatywa zdań : p (" q czytamy p lub q,
" implikacja zdaÅ„ : p Ò! q czytamy jeÅ›li p, to q
lub
z p wynika q,
" równoważność zdaÅ„ : p Ô! q czytamy p jest równoważne q
lub
p zachodzi wtedy i tylko
wtedy, gdy zachodzi q
Definicja 1.2 Dla ustalonych zdaÅ„ p i q wartość logiczna zdaÅ„: <" p, p '" q, p (" q, p Ò! q, p Ô! q, zależy
jedynie od wartości logicznych zdań p i q, w sposób jaki opisuje poniższa tabela:
p q <" p p (" q p '" q p Ò! q p Ô! q
1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 1
Ćwiczenie 1.3 Niech p = (sinĄ = 0) oraz q = (e > 3), gdzie liczba e jest stałą Eulera1. Określić wartość
logicznÄ… zdaÅ„: <" q, p (" q, <" (q Ò! p), <" q Ò! p, p Ô! q, (q Ò! p) (" (p '" q).
W informatyce stosuje się również takie funktory dwuargumentowe jak:
" alternatywa wykluczajÄ…ca: p •" q czytamy p albo q,
" alternatywa załączająca: p q,
" kreska Sheffera: p | q.
Definicje tych funktorów przedstawia poniższa tabela:
p q p •" q p q p | q
1 1 0 1 0
1 0 1 0 1
0 1 1 0 1
0 0 0 1 1
Definicja 1.4 Wyrażenie utworzone ze zmiennych zdaniowych, funktorów zdaniotwórczych i ewentualnie
nawiasów nazywamy formułą zdaniową, schematem rachunku zdań lub wyrażeniem logicznym.
FormuÅ‚y logiczne najczęściej oznaczamy literami: Ä…, ², . . .
1 1
Przypomnijmy, że e jest liczbą niewymierną zdefiniowaną jako granica ciągu o wyrazie ogólnym (1 + )n; e H" 2.71.
n
Elementy logiki i teorii mnogości 5
Definicja 1.5 Schemat rachunku zdań, który przyjmuje wartość logiczną 1 niezależnie od wartości lo-
gicznych występujących w nim zmiennych zdaniowych, nazywamy tautologią lub prawem rachunku
zdań.
Twierdzenie 1.6 (Prawa rachunku zdań) Dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r zachodzą na-
stępujące prawa:
(1) p (" <" p prawo wyłączonego środka,
(2) <" (p '" <" p) prawo niesprzeczności,
(3) p Ô! <" (<" p) prawo podwójnego zaprzeczenia,
(p (" q) Ô! (q (" p)
(4) prawa przemienności,
(p '" q) Ô! (q '" p)
(p (" (q (" r)) Ô! ((p (" q) (" r)
(5) prawa łączności,
(p '" (q '" r)) Ô! ((p '" q) '" r)
(p (" (q '" r)) Ô! ((p (" q) '" (p (" r))
(6) prawa rozdzielności,
(p '" (q (" r)) Ô! ((p '" q) (" (p '" r))
<" (p (" q) Ô! (<" p '" <" q)
(7) prawa de Morgana,
<" (p '" q) Ô! (<" p (" <" q)
(8) (p Ò! q) Ô! (<" q Ò!<" p) prawo kontrapozycji,
(9) <" (p Ò! q) Ô! (<" q '" p) prawo zaprzeczenia implikacji,
(10) ((p Ò! q) '" (q Ò! r)) Ò! (p Ò! r) prawo sylogizmu,
(11) (p Ô! q) Ô! ((p Ò! q) '" (q Ò! p)).
Ćwiczenie 1.7 Udowodnić twierdzenie 1.6.
Uwaga 1.8 Mówimy, że formuÅ‚y zdaniowe Ä…(p, q, . . . ) i ²(p, q, . . . ) sÄ… formuÅ‚ami równoważnymi, gdy
formuÅ‚a [Ä…(p, q, . . . ) Ô! ²(p, q, . . . )] jest tautologiÄ…. Np. formuÅ‚a <" (p("q) jest równoważna formule <" p '" <"
q (na mocy prawa de Morgana).
Definicja 1.9 Wyrażenie zawierające zmienną, które staje się zdaniem (prawdziwym lub fałszywym),
gdy w miejsce tej zmiennej wstawimy nazwy odpowiednich obiektów (np. elementów pewnego zbioru),
nazywamy funkcjÄ… zdaniowÄ… lub formÄ… zdaniowÄ…. JeÅ›li dla funkcji zdaniowej Õ(x) okreÅ›lony jest zbiór
X, z którego wybieramy te obiekty, to zbiór ten nazywamy zakresem zmienności funkcji zdaniowej
Õ(x). Piszemy wówczas Õ(x), x " X.
Przykład 1.10 Przykłady funkcji zdaniowych:
(a) ą jest samogłoską, ą " X, gdzie X jest zbiorem liter alfabetu polskiego,
(b) x2 - 1 = 0, x " R,
1
(c) |sin x| , x " R,
2
(d) A i B są rodzeństwem,
(e) Re z + Im z > 0.
Jeśli przy funkcji zdaniowej nie jest podany jej zakres, wtedy można przyjąć, że zakresem danej fukcji
zdaniowej jest zbiór wszystkich obiektów, dla których ma ona sens. I tak np. patrząc na postać funkcji
zdaniowych z przykładów (d) i (e), można przyjąć, iż zakresem pierwszej z nich jest zbiór wszystkich ludzi,
zaś drugiej  zbiór liczb zespolonych2.
2
Zbiór liczb zespolonych jest naturalnym rozszerzeniem zbioru liczb rzeczywistych; dokładniejsze informacje na ten temat
można znalez
ć np. w [1].
6 Rozdział 1.
Definicja 1.11 Niech Õ(x) bÄ™dzie funkcjÄ… zdaniowÄ…, której zakresem zmiennoÅ›ci jest niepusty zbiór X.
JeÅ›li dla pewnego a " X wyrażenie Õ(a) jest zdaniem prawdziwym, to mówimy, że a speÅ‚nia funkcjÄ™
zdaniowÄ… Õ(x). Zbiór wszystkich elementów zbioru X, które speÅ‚niajÄ… funkcjÄ™ zdaniowÄ… Õ(x), tj. zbiór
def
{x " X : Õ(x)} = {x " X : w(Õ(x)) = 1}
nazywamy wykresem funkcji zdaniowej Õ(x).
Ćwiczenie 1.12 Wyznaczyć wykresy podanych funkcji zdaniowych:
Õ(x) = (x2 + x < 0) dla x " R, È(x) = (x2 + x < 0) dla x " N.
Uwaga 1.13 Jak pokazują przykłady 1.10 (b), 1.10 (c) oraz 1.12, funkcjami zdaniowymi są w szczególno-
ści równania i nierówności. W takim przypadku zakres funkcji zdaniowej nazywamy odpowiednio dziedziną
równania lub dziedziną nierówności, zaś jej wykres  zbiorem rozwiązań równania lub zbiorem rozwiązań
nierówności.
1.3 Twierdzenia i metody dowodzenia
Nowe twierdzenia najczęściej powstają w ten sposób, że najpierw formułujemy pewną hipotezę, a
potem staramy się ją udowodnić. W dowodach twierdzeń wykorzystujemy aksjomaty, twierdzenia wcześniej
udowodnione oraz tzw. reguły wnioskowania (patrz definicja ??) opierające się na podstawowych prawach
rachunku zdań.
Twierdzenia matematyczne na ogół formułuje się w postaci implikacji, jak ma to miejsce np. w przy-
padku twierdzenia (T1).
(T1) Jeśli 0 jest ostatnią cyfrą danej liczby, to liczba ta jest podzielna przez 5.
Z punktu widzenia logiki twierdzenia tego typu można zapisać schematycznie w postaci implikacji Z Ò!
T , gdzie Z i T mogą być pewnymi zdaniami lub funkcjami zdaniowymi. W takiej sytuacji poprzednik
implikacji Z nazywamy założeniem twierdzenia, zaś następnik T  tezą twierdzenia. (Przykładowo,
założenie twierdzenia (T1) stanowi formuła: 0 jest ostatnią cyfrą danej liczby, zaś tezę wyrażenie: liczba
jest podzielna przez 5.) Twierdzenie majÄ…ce postać implikacji Z Ò! T można również wyrazić w nastÄ™pujÄ…cy
sposób:
Z jest warunkiem wystarczającym (dostatecznym) na to, aby zachodziło T , lub
T jest warunkiem koniecznym na to, aby zachodziło Z.
Rozważane twierdzenie (T1) można więc sformułować w sposób równoważny w postaci (T1 ) lub (T1 ):
(T1 ) Fakt, że 0 jest ostatnią cyfrą danej liczby, jest warunkiem wystaczającym podzielności tej liczby
przez 5 .
(T1 ) Podzielność danej liczby przez 5 jest warunkiem koniecznym, na to aby ostatnią cyfrą tej liczby było
0.
Niektóre twierdzenia mogÄ… być również formuÅ‚owane w postaci równoważnoÅ›ci Z Ô! T (mówimy wów-
czas, że Z jest warunkiem wystarczającym i koniecznym na to, aby zachodziło T ) lub tylko w postaci
tezy T . Przykłady takich twierdzeń podajemy poniżej:
(T2) Liczba jest podzielna przez 5 wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatniÄ… cyfrÄ… jest 0 lub 5.
(T2 ) Fakt, że ostatnią cyfrą danej liczby jest 0 lub 5, jest warunkiem wystaczającym i koniecznym po-
dzielności tej liczby przez 5.
"
(T3) 2 jest liczba niewymiernÄ….
Definicja 1.14 Niech dana bÄ™dzie formuÅ‚a postaci Z Ò! T , którÄ… dalej bÄ™dziemy nazywać implikacjÄ…
prostą. Wówczas
Elementy logiki i teorii mnogości 7
T Ò! Z Z Ò! T
<" Z Ò!<" T
<" T Ò!<" Z
Rys. 1.1: Kwadrat logiczny.
(a) implikacjÄ™ T Ò! Z nazywamy implikacjÄ… odwrotnÄ… do implikacji prostej,
(b) implikacjÄ™ <" Z Ò!<" T nazywamy implikacjÄ… przeciwnÄ… do implikacji prostej,
(c) implikacjÄ™ <" T Ò!<" Z nazywamy implikacjÄ… przeciwstawnÄ… do implikacji prostej.
Bezpośrednio z prawa kontrapozycji wynika, że implikacja prosta jest równoważna implikacji przeciwstaw-
nej oraz implikacja odwrotna jest równoważna implikacji przeciwnej. Zależności te ilustruje się często przy
pomocy tzw. kwadratu logicznego, w ten sposób że przy wierzchołkach kwadratu położonych wzdłuż tej
samej przekątnej umieszcza się implikacje równoważne. W konsekwencji, aby udowodnić wszystkie cztery
rozważane implikacje, wystarczy udowodnić jakiekolwiek dwie spośród nich umieszczone wzdłuż jednego
z boków kwaratu logicznego. Jako ćwiczenie proponujemy napisać implikację odwrotną, przeciwstawną i
przeciwną do twierdzenia (T1) oraz zastanowić się, wykorzystując w tym celu również kwadrat logiczny,
które z nich są prawdziwe.
Ze względu na zastosowaną metodę dowodzenia możemy wyróżnić następujące podstawowe typy do-
wodów:
" Dowód wprost  jest to bezpośredni dowód postawionej hipotezy (patrz przykład (??)). Wyróżniamy
tutaj m.in. takie dowody jak:
dowód konstruktywny  wskazujemy lub konstruujemy obiekty spełniające tezę twierdzenia; w ten
sposób można uzasadnić (wskazując np. liczby 4 i 10) prawdziwość twierdzenia:
W zbiorze liczb naturalnych istnieją dwie liczby różniące się o 6.
dowód egzystencjonalny  wykazujemy jedynie istnienie obiektu spełniającego tezę twierdzenia;
np. aby udowodnić twierdzenie:
Jeśli wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu liczbowego należą do zbioru {1, 2, 3}, to pewne dwa wyrazy
tego ciągu są równe,
wystarczy wykazać, że w danym ciągu istnieją dwa takie same wyrazy (ich istnienie wynika bezpo-
średnio z faktu, iż istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, a zatem nieskończenie wiele spośród
wyrazów danego ciągu musi przyjąć wartość 1, 2 lub 3);
dowód indukcyjny  metoda ta będziej dokładniej omówiona w rozdziale 4; w ten sposób dowodzimy
np. twierdzenie:
Dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność: 2n > n.
dowód  w próżni  jeÅ›li Z jest zdaniem faÅ‚szywym, to twierdzenie postaci Z Ò! T jest zawsze
prawdziwe.
" Dowód nie wprost przez sprowadzenie do sprzeczności  wykazujemy, że z zaprzeczenia tezy
i ewentualnych założeń (czyli zdania <" T lub <" T '" Z) wynika fałsz (metodę tę stosuje się np. w
dowodzie (T3)).
" Dowód nie wprost (dla twierdzeÅ„ postaci Z Ò! T )  dowodzimy implikacji przeciwstawnej (por.
kwadrat logiczny).
Odnotujmy, że w bardziej złożnych dowodach często stosuje się kilka spośród metod przedstawionych
powyżej oraz że to samo twierdzenie może mieć kilka różnych dowodów.
8 Rozdział 1.
1.4 Rachunek zbiorów
Zbiory oznaczamy najczęściej dużymi literami, zaś ich elementy  małymi. Fakt, że a jest elementem
zbioru A, zapisujemy symbolicznie w postaci: a " A. Jeśli element a nie należy do zbioru A, to stosujemy
oznaczenie: a " A. Zatem
/
def
a " A Ô! <" (a " A).
/
Koniunkcję zdań mającą postać
a1 " A '" a2 " A '" . . . '" an " A
zapisujemy w skróconej formie: a1, a2, . . . , an " A.
Zbiory można definiować na różne sposoby. Najczęściej poprzez
" wymienienie jego elementów, np. A jest zbiorem złożonym z elementów: a, b, c, d, e  fakt ten zapisu-
jemy symbolicznie:
A = {a, b, c, d, e};
" podanie metody wyznaczenia elementów zbioru (por. definicja rekurencyjna, paragraf 5.2);
" podanie własności, jakie spełniają elementy danego zbioru, np. B jest zbiorem składającym się z
pierwszych pięciu liter alfabetu polskiego. Jeśli własności te wyrażone są przy pomocy pewnej fun-
cji zdaniowej, wówczas określany zbiór jest wykresem tej funkcji  w taki sposób definiujemy np.
przedziały na osi liczbowej.
Definicja 1.15 Niech a, b " R oraz a < b.
(a) Zbiór {x " R : x > a '" x < b} nazywamy przedziałem otwartym i oznaczamy przez (a, b).
(b) Zbiór {x " R : x a '" x b} nazywamy przedziałem domkniętym i oznaczamy przez [a, b].
(c) Podobnie definiujemy przedziały jednostronnie domknięte:
def
(a, b] = {x " R : x > a '" x b} oraz
def
[a, b) = {x " R : x a '" x < b}.
Mając dane różne zbiory możemy określać pewne zależności między tymi zbiorami (np. zawieranie
czy równość zbiorów), jak również definiować pewne działania na tych zbiorach (takie jak suma, iloczyn
czy różnica zbiorów). Tej tematyce poświęcimy dalszą część tego paragrafu.
Definicja 1.16 Jeśli każdy element zbioru A jest elememtem zbioru B, to mówimy, że A jest podzbiorem
zbioru B lub, że B jest nadzbiorem zbioru A. Mówimy wówczas również, że zbiór A jest zawarty w B
lub B zawiera A i zapisujemy odpowiednio
A ‚" B lub B ƒ" A.
Równoważnie możemy zapisać:
def
A ‚" B Ô! (dla każdego x: x " A Ò! x " B).
Symbol ‚" nazywamy znakiem inkluzji.
B
A
Rys. 1.2: A ‚" B
Elementy logiki i teorii mnogości 9
Zbiory oraz zachodzące między nimi związki będziemy ilustrować graficznie przy pomocy rysunków
zwanych diagramami Venna. Zawieranie zbiorów albo jego brak obrazują odpowiednie diagramy na
rysunkach 1.2 i 1.3.
W przypadku, gdy zbiór A nie jest podzbiorem zbioru B zapisujemy A ‚" B. Można pokazać, że
zachodzi równoważność:
A ‚" B Ô! (istnieje x: x " A '" x " B).
/
B B A
A A
B
(a) (b) (c)
Rys. 1.3: Trzy możliwe sytuacje, w których A ‚" B.
Definicja 1.17 O zbiorach A i B mówimy, że są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same
elementy. Zatem
def
A = B Ô! (dla każdego x: x " A Ô! x " B).
Twierdzenie 1.18 Dla dowolnych zbiorów A i B mamy:
A = B Ô! (A ‚" B '" B ‚" A).
Ćwiczenie 1.19 Niech A = {-1, 1}, B = {x " R : |x| = 1}, C = {x " R : |x| 1}. Ustalić relacje
(równości, zawierania, braku zawierania) między tymi zbiorami.
Definicja 1.20 Zbiór, który nie ma żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy sym-
bolem ".
Definicja 1.21 Zbiór złożony ze wszystkich podzbiorów danego niepustego zbioru A nazywamy zbiorem
potęgowym zbioru A i oznaczamy przez 2A lub P(A). Zatem
def
B " 2A Ô! B ‚" A.
A
Ćwiczenie 1.22 Wyznaczyć zbiory 2A oraz 2(2 ), jeśli
(a) A = ";
(b) A = {-1, 1}.
Ćwiczenie 1.23 Podać przykłady zbiorów będących elementami rodziny 2N i rodziny 2R.
Uwaga 1.24 A
atwo zauważyć, że dla dowolnego niepustego zbióru A zbior potęgowy 2A posiada zawsze
przynajmniej dwa różne elementy, a mianowicie
" " 2A i A " 2A.
Ćwiczenie 1.25 Uzasadnić, że jeÅ›li A ‚" B, to 2A ‚" 2B.
Definicja 1.26
10 Rozdział 1.
(a) Przez sumę zbiorów A i B rozumiemy zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i
wszystkie elementy zbioru B. Zbiór ten oznaczamy przez A *" B.
(b) Przez iloczyn (część wspólną lub przecięcie) zbiorów A i B rozumiemy zbiór zawierający tylko te
elementy, które jednocześnie należą do zbioru A i do zbioru B. Zbiór ten oznaczamy przez A )" B.
(c) Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do B.
Zbiór ten oznaczamy przez A \ B.
B B
A A
A *" B A )" B
B B
A A
A \ B B \ A
Rys. 1.4: Diagramy ilustrujące podstawowe działania na zbiorach.
Powyższe definicje możemy zapisać w sposób symboliczny:
def
x " A *" B Ô! (x " A (" x " B),
def
x " A )" B Ô! (x " A '" x " B),
def
x " A \ B Ô! (x " A '" x " B).
/
Definicja 1.27 Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, gdy A )" B = " (por. rys. 1.3 (a)).
Definicja 1.28 Załóżmy, że rozważamy zbiory zawarte w pewnym niepustym zbiorze X, który będziemy
dalej nazywać przestrzenią. Jeśli zbiór A jest podzbiorem zbioru X, to różnicę X \ A nazywamy dopeł-
nieniem zbioru A (do przestrzeni X) i oznaczamy symbolem A .
X X
A
A
Rys. 1.5: Zbiór i jego dopełnienie.
Definicja 1.29 Zbiór postaci A B, gdzie
def
A B = (A \ B) *" (B \ A),
nazywamy różnicą symetryczną zbiorów A i B.
Z definicji wynika natychmiast, że
x " A B Ô! (x " A \ B •" x " B \ A).
Elementy logiki i teorii mnogości 11
B
A
Rys. 1.6: Różnica symetryczna zbiorów A i B.
Ćwiczenie 1.30 Niech A = {1, 2}, B = [1, 2). Wyznaczyć zbiory: A*"B, A)"B, A B, A i B . Sprawdzić,
że (A *" B) = A )" B i (A )" B) = A *" B .
Twierdzenie 1.31 Niech Õ(x) i È(x) bÄ™dÄ… funkcjami zdaniowymi o zakresie X. Wówczas prawdziwe sÄ…
równości:
(1) {x " X : Õ(x) (" È(x)} = {x " X : Õ(x)} *" {x " X : È(x)},
(2) {x " X : Õ(x) '" È(x)} = {x " X : Õ(x)} )" {x " X : È(x)},
(3) {x " X : <" Õ(x)} = X \ {x " X : Õ(x)},
(4) {x " X : Õ(x) Ò! È(x)} = {x " X : Õ(x)} *" {x " X : È(x)}.
Ćwiczenie 1.32 Wykorzystując powyższe twierdzenie wyznaczć zbiory:
A = {x " R : x2 - x > 0 '" x2 + x = 0} oraz
B = {x " R : x2 - x > 0 Ò! x2 + x = 0}.
Twierdzenie 1.33 (Prawa rachunku zbiorów) Dla dowolnych podzbiorów A, B, C przestrzeni X praw-
dziwe są następujące prawa:
(1) (A ‚" B '" B ‚" C) Ò! A ‚" C prawo przechodnioÅ›ci inkluzji,
A *" B = B *" A
(2) prawa przemienności,
A )" B = B )" A
A *" (B *" C) = (A *" B) *" C
(3) prawa łączności,
A )" (B )" C) = (A )" B) )" C
A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C)
(4) prawa rozdzielności,
A *" (B )" C) = (A *" B) )" (A *" C)
A *" " = A,
(5)
A )" " = ",
A *" X = X,
(6)
A )" X = A,
A *" A = A
(7) prawa idempotentności,
A )" A = A
(8) A )" B ‚" A '" A )" B ‚" B,
(9) A ‚" A *" B '" B ‚" A *" B,
A ‚" B Ô! A )" B = A
(10) prawa pochłaniania,
A ‚" B Ô! A *" B = B
(11) A ‚" B Ô! A \ B = ",
(12) (A ) = A,
(A *" B) = A )" B
(13)
(A )" B) = A *" B prawa de Morgana.
Prawa rachunku zbiorów dowodzi się wykorzystując m.in. prawa rachunku zdań i prawa rachunku
kwantyfikatorów, które omówimy w kolejnym paragrafie. A
atwiejsze, choć bardziej intuicyjne i mniej for-
malne, są  dowody za pomocą diagramów Venna.
Ćwiczenie 1.34 Stosując diagramy Venna uzasadnić, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą rów-
ności:
12 Rozdział 1.
(a) A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C);
(b) A = (A )" B) *" (A \ B);
(c) A B = (A *" B) \ (A )" B);
(d) A \ (B *" C) = (A \ B) \ C.
Definicja 1.35 Parą uporządkowaną3 a, b o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór {{a}, {a, b}}.
Twierdzenie 1.36 Dla dowolnych a, b, c, d
a, b = c, d Ô! (a = c '" b = d).
Definicja 1.37 Niech A, B będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Zbiór złożony z wszystkich par uporząd-
kowanych a, b , gdzie a " A, b " B, nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B i oznaczamy
symbolem A × B. Zatem
def
a, b " A × B Ô! (a " A '" b " B).
Ćwiczenie 1.38 Niech A = [0, 2) oraz B = {1, 2}. Narysować zbiory A × A, B × B, A × B i B × A.
Twierdzenie 1.39 Dla dowolnych niepustych zbiorów A, B, C mamy:
(1) A × B = B × A Ô! A = B,
(2) (A × B) × C = A × (B × C),
(3) (A *" B) × C = (A × C) *" (B × C),
(4) (A )" B) × C = (A × C) )" (B × C).
Uwaga 1.40
(a) Jak pokazuje twierdzenie 1.39 oraz przykład 1.38, iloczyn kartezjański zachowuje prawo łączności,
natomiast nie jest przemienny.
(b) Iloczyn kartezjański można zdefiniować również dla dowolnej skończonej ilości niepustych zbiorów
(patrz przykład ??). W szczególności iloczyn kartezjański trzech niepustych zbiorów A, B, C definiu-
jeny w następujący sposób:
def
A × B × C = (A × B) × C.
(c) Iloczyn A × A × · · · × A oznaczamy krótko przez An.
n razy
(d) Iloczyn R2 będziemy utożsamiać z płaszczyzną kartezjańską Oxy, zaś R3  z przestrzenią Oxyz.
Wprowadzenie pojęcia iloczynu kartezjańskiego umożliwia m.in. rozważanie funkcji zdaniowych wielu
zmiennych, których przykłady podajemy poniżej:
Õ(x, y) = (x jest dzielnikiem y), x, y " N2,
Õ(x, y, z) = (x2 + y2 + z2 < 4), x, y, z " R3.
3
Istnieją różne sposoby definiowania pary uporządkowanej  definicja przedstawiona tutaj została zaproponowana przez
K. Kuratowskiego.
Elementy logiki i teorii mnogości 13
1.5 Kwantyfikatory
Każde zdanie jest funkcją zdaniową, natomiast odwrotnie być nie musi. Z funkcji zdaniowej można
otrzymać zdanie poprzez
" podstawienie w miejsce zmiennej dowolnego elementu należącego do zakresu zmienności tej funkcji,
" zastosowanie kwantyfikatorów wiążących wszystkie zmienne funkcji zdaniowej (por. przykład ??).
Definicja 1.41 Niech Õ(x) bÄ™dzie funkcjÄ… zdaniowÄ…, której zakresem zmiennoÅ›ci jest zbiór X.
(a) JeÅ›li {x " X : Õ(x)} = X, to mówimy, że funkcja zdaniowa Õ(x) zachodzi dla każdego x " X i
zapisujemy
Õ(x) lub "(x " X) Õ(x).
x"X
(b) JeÅ›li {x " X : Õ(x)} = ", to mówimy, że funkcja zdaniowa Õ(x) zachodzi dla pewnego x " X (inaczej:

istnieje x " X taki, że zachodzi Õ(x)) i zapisujemy
Õ(x) lub "(x " X) Õ(x).
x"X
Jeśli istnieje tylko jeden element o takiej własności, to stosujemy oznaczenia:
! Õ(x) lub "!(x " X) Õ(x).
x"X
Symbol (lub ") nazywamy kwantyfikatorem ogólnym, zaś symbol (lub ")  kwantyfikatorem
szczegółowym.
Uwaga 1.42 W rachunku zdań i kwantyfikatorów istotną rolę odgrywają nawiasy  ich brak może zmienić
sens zapisanej formuły. Dla przykładu wyrażenie
(Õ(x) Ò! È(x)) (1.1)
x"R
jest zdaniem, zaś formuła
Õ(x) Ò! È(x) (1.2)
x"R
określa pewną funkcję zdaniową zmiennej x. Wyrażenie ujęte w nawias, które bezpośrednio następuje
po znaku kwantyfikatora stanowi tzw. zasięg tego kwantyfikatora. Nawiasy zwykle pomija się, gdy w
zasięgu kwantyfikatora nie występują spójniki logiczne. A zatem zasięg formuły (1.1) stanowi wyrażenie
(Õ(x) Ò! È(x)), zaÅ› formuÅ‚y (1.2)  wyrażenie Õ(x).
Definicja 1.43 Dla ustalonych funkcji zdaniowych Õ(x), È(x) (o wspólnym zakresie X) definiujemy
kwantyfikatory o zakresie ograniczonym w następujący sposób:
def
(a) È(x) Ô! [Ć(x) Ò! È(x)],
x"X
Ć(x)
def
(b) È(x) Ô! [Ć(x) '" È(x)].
x"X
Ć(x)
Uwaga 1.44 Niech Õ(x, y), gdzie (x, y) " X×Y , bÄ™dzie funkcjÄ… zdaniowÄ…. Wówczas wyrażenia: Õ(x, y)
x"R y"R
i Õ(x, y) sÄ… zdaniami, natomiast formuÅ‚y: Õ(x, y) i Õ(x, y) sÄ… funkcjami zdaniowymi zmien-
x"R y"R x"R x"R
nej y. W takiej sytuacji zmiennÄ… x nazywamy zmiennÄ… zwiÄ…zanÄ…, zaÅ› zmiennÄ… y  zmiennÄ… wolnÄ….
Kwantyfikatory wiążą jedynie zmienne znajdujące się w ich zasięgu.
14 Rozdział 1.
Uwaga 1.45 Zauważmy, że w przypadku, gdy rozważamy funkcjÄ™ zdaniowÄ… Õ(x), której zakresem jest
skończony zbiór X składający się z elementów a1, a2, . . . , an, wówczas
Õ(x) Ô! (Õ(a1) '" Õ(a2) '" . . . '" Õ(an))
x"X
oraz
Õ(x) Ô! (Õ(a1) (" Õ(a2) (" . . . (" Õ(an)).
x"X
Definicja 1.46 Wyrażenie logiczne zawierające funkcje zdaniowe, których
wszystkie zmienne są związane kwantyfikatorami, i przyjmujące wartość logiczną 1 niezależnie od wy-
boru tych funkcji nazywamy prawem rachunku kwantyfikatorów.
Dla dowolnej funkcji zdaniowej Õ(x) o zakresie X, bezpoÅ›rednio z definicji kwantyfikatorów wynika
następujące prawo rachunku kwantyfikatorów:
Õ(x) Ò! Õ(x).
x"X x"X
Twierdzenie 1.47 (Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów) Niech
Õ(x) bÄ™dzie funkcjÄ… zdaniowÄ…, której zakresem zmiennoÅ›ci jest zbiór X. Wówczas
(1) <" Õ(x) Ô! [<" Õ(x)] ,
x"X x"X
(2) <" Õ(x) Ô! [<" Õ(x)].
x"X x"X
Twierdzenie 1.48 (Prawa rozdzielności kwantyfikatorów względem
funktorów zdaniotwórczych) Niech Õ(x) i È(x) bÄ™dÄ… funkcjami zdaniowymi o zakresie X oraz niech
S będzie zmienną zdaniową lub funkcją zdaniową, która nie zależy w sposób efektywny od zmiennej x.
Wówczas
(1) [Õ(x) '" È(x)] Ô! Õ(x) '" È(x) ,
x"X x"X x"X
(2) [Õ(x) (" È(x)] Ô! Õ(x) (" È(x) ,
x"X x"X x"X
(3) [Õ(x) '" È(x)] Ò! Õ(x) '" È(x) ,
x"X x"X x"X
(4) [Õ(x) (" È(x)] Ð! Õ(x) (" È(x) ,
x"X x"X x"X
(5) [Õ(x) Ò! È(x)] Ò! Õ(x) Ò! È(x) ,
x"X x"X x"X
(6) [Õ(x) Ò! È(x)] Ò! Õ(x) Ò! È(x) ,
x"X x"X x"X
(7) [Õ(x) '" S] Ô! Õ(x) '" S ,
x"X x"X
(8) [Õ(x) (" S] Ô! Õ(x) (" S ,
x"X x"X
(9) [Õ(x) (" S] Ô! Õ(x) (" S ,
x"X x"X
(10) [Õ(x) '" S] Ô! Õ(x) '" S .
x"X x"X
Twierdzenie 1.49 Niech Õ(x, y) bÄ™dzie funkcjÄ… zdaniowÄ…, której zakresem zmiennoÅ›ci jest zbiór X × Y .
Wówczas
Elementy logiki i teorii mnogości 15
(1) Õ(x, y) Ô! Õ(x, y),
x"Xy"Y y"Y x"X
(2) Õ(x, y) Ô! Õ(x, y),
x"Xy"Y y"Y x"X
(3) Õ(x, y) Ò! Õ(x, y).
y"Y x"X x"Xy"Y
1.6 Działania uogólnione na zbiorach
W teorii mnogości często pojawiają się zbiory, których elementami są inne zbiory  mówimy wówczas
o rodzinie zbiorów. I tak np. zbiór {N, Z, Q, R} stanowi przykład czteroelementowej rodziny zbiorów,
zaś zbiór {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, . . . }  przykład nieskończonej rodziny zbiorów.
Definicja 1.50 Niech T będzie zbiorem niepustym, który dalej nazywać będziemy zbiorem indeksów, zaś
X będzie dowolnym zbiorem. Każdemu elementowi t " T przyporządkujmy pewien podzbiór zbioru X
i oznaczmy go przez At. Otrzymaną w ten sposób rodzinę {At : t " T }podzbiorów zbioru X nazywamy
indeksowaną rodziną zbiorów i oznaczamy przez {At}t"T .
Definicja 1.51 Niech {At}t"T będzie indeksowaną rodziną podzbiorów ustalonego zbioru X.
(a) Uogólnioną sumą rodziny {At}t"T nazywamy zbiór
def
At = {x " X : x " At}.
t"T t"T
(b) Uogólnionym iloczynem rodziny {At}t"T nazywamy zbiór
def
At = {x " X : x " At}.
t"T t"T
W analogiczny sposób można zdefiniować działania uogólnione dla dowolnej rodziny zbiorów. W przy-
padku, gdy rodzina indeksów jest dwuelementowa powyższa definicja pokrywa się z definicją 1.26.
Ćwiczenie 1.52 wyznaczyć sumę i iloczyn uogólniony podanej rodziny zbiorów:
1 1
(a) An = [1 + , 4 + ) dla n " N,
n n
1
(b) At = (0, ) dla t " R.
t2+1
Twierdzenie 1.53 (Prawa de Morgana dla działań uogólnionych)
Dla dowolnej indeksowanej rodziny {At}t"T podzbiorów ustalonego zbioru X mamy:
(1) At = A t,
t"T t"T
(2) At = A t.
t"T t"T
Rozdział 2.
Relacje
2.1 Podstawowe własności relacji
Definicja 2.1 Relacją między elementami niepustych zbiorów X i Y nazywamy każdy podzbiór ilo-
czynu kartezjaÅ„skiego X × Y. W szczególnoÅ›ci może to być relacja pusta, tzn. = ", jak również relacja
peÅ‚na tj. = X × Y . JeÅ›li x, y " , to mówimy, że element x jest w relacji z elementem y i najczęściej
zapisujemy x y.
JeÅ›li X i Y sÄ… zbiorami niepustymi i skoÅ„czonymi, to dowolnÄ… relacjÄ™ ‚" X × Y można opisać
przy pomocy tabeli relacji lub grafu skierowanego, który nazywamy w takiej sytuacji grafem relacji. Jak
skonstruować taką tabelę lub graf wyjaśnimy na poniższym przykładzie.
PrzykÅ‚ad 2.2 Niech X = {as, ba, ce, da, e}, Y = {a, b, c, d, e}. W zbiorze X × Y okreÅ›lamy relacjÄ™ w
następujący sposób:
[x y Ô! (sylaba x zawiera literÄ™ y)].
x"X y"Y
Tabelę relacji budujemy w ten sposób, że na odpowiednich pozycjach stawiamy znaki: 1 albo 0 (lub
inne umowne znaki), w zależności od tego czy odpowiednie elementy są ze sobą w relacji czy nie. Np.
sylaba ba jest w relacji z literÄ… a i z literÄ… b, co symbolizujÄ… jedynki postawione na pozycjach 2, 1 i
2, 2 w tabeli przedstawionej na rysunku ??. Z kolei sylaba ba nie jest w relacji z literą c, a więc na
pozycji 2, 3 stawiamy znak 0.
Graf relacji obrazuje rysunek składający się z węzłów symbolizujących elementy zbiorów X i Y oraz
strzałek poprowadzonych zgodnie z zasadą: strzałka prowadzi od elementu x do elementu y wtedy i tylko
wtedy, gdy x y. A zatem tym razem fakt, że ba, a " oraz ba, b " obrazują na rysunku ?? strzałki
a
ba b
poprowadzone z węzła do węzłów i .
as a
a b c d e
ba b
as 1 0 0 0 0
ba 1 1 0 0 0
ce c
ce 0 0 1 0 1
da 1 0 0 1 0
da d
e 0 0 0 0 1
e
Rys. 2.1: Tabela relacji .
Rys. 2.2: Graf relacji .
Ćwiczenie 2.3 Niech X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Skonstruować tabelÄ™ oraz graf relacji ‚" X ×Y zdefiniowanej
w następujący sposób:
[x y Ô! x | y],
x"X y"X
Relacje 17
gdzie symbol x | y oznacza, że x jest dzielnikiem liczby y.
W przypadku gdy jest podzbiorem X × X bÄ™dziemy mówić, że jest relacjÄ… okreÅ›lonÄ… w zbiorze X.
Poniżej podajemy kilka najważniejszych własności tego typu relacji.
Definicja 2.4 Mówimy, że relacja określona w dowolnym niepustym zbiorze X jest
(a) zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy
x x,
x"X
(b) przeciwzwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy
<" (x x),
x"X
(c) symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
[x y Ò! y x],
x"X y"X
(d) przeciwsymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
[x y Ò!<" (y x)],
x"X y"X
(e) antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy
[(x y '" y x) Ò! x = y],
x"X y"X
(f) przechodnia wtedy i tylko wtedy, gdy
[(x y '" y z) Ò! x z],
x"X y"Xz"X
(g) spójna wtedy i tylko wtedy, gdy
[x y (" y x (" x = y].
x"X y"X
Definicja 2.5
(a) Relację zwrotną, symetryczną i przechodnią nazywamy relacją równoważności.
(b) Relację zwrotną, antysymetryczną i przechodnią nazywamy relacją częściowego porządku lub
relacją porządkującą. Jeśli relacja porządkująca dodatkowo jest spójna, to mówimy, że jest relacją
liniowego porzÄ…dku.
Ćwiczenie 2.6 Zbadać własności relacji zdefiniowanej w ćwiczeniu ??.
18 Rozdział 2.
2.2 Relacje równoważności i zasada abstrakcji
Definicja 2.7 Niech będzie relacją równoważności określoną w niepustym zbiorze X. Dla ustalonego
elementu a " X zbiór
{x " X : x a}
nazywamy klasą abstrakcji elementu a i oznaczamy przez [a]. O elemencie a mówimy wtedy, że jest
reprezentantem klasy [a].
Ćwiczenie 2.8 Uzasadnić, że podane relacje są relacjami równoważności i wyznaczyć ich wszystkie klasy
abstrakcji:
(a) [n m Ô! 2 | (n - m)],
n"Z m"Z
(b) [x y Ô! (x - y) " Z].
x"R y"R
Twierdzenie 2.9 Niech będzie relacją równoważności określoną w niepustym zbiorze X. Wówczas
(1) x " [x],
x"X
(2) (y " [x] Ô! [x] = [y]),
x"X y"X
(3) ([x] = [y] (" [x] )" [y] = "),
x"X y"X
(4) X = [x].
x"X
Twierdzenie 2.10 Niech {At}t"T będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów zbioru X taką, że
At = X oraz [t = s Ò! At )" As = "].

t,s"T
t"T
Wówczas w zbiorze X istnieje relacja równoważności taka, że {[x]}x"X = {At}t"T .
Ćwiczenie 2.11 Uzsadnić, że jeśli spełnione są założenia twierdzenia ??, to określona poniżej relacja
realizuje tezÄ™ tego twierdzenia:
x y Ô! {x, y} ‚" At .
x"X y"X t"T
Ćwiczenie 2.12 Podać przykład zbioru X i dwóch relacji określonych w tym zbiorze, które wyznaczają
różne podziały zbioru X.
Przykład 2.13 Niech P oznacza zbiór prostych w R2, zaś będzie relacją określoną w P w następujący
sposób:
[l k Ô! l k].
l"P k"P
Wowczas klasę abstrakcji dowolnej prostej l, tj. zbiór [l] = {k " P : k l}, nazywamy kierunkiem
prostej l.
Ćwiczenie 2.14 Zdefiniować relację między wektorami w R2 w taki sposób, by jej klasy abstrakcji można
było utożsamiać z wektorami swobodnymi w R2.
Relacje 19
2.3 Relacje porzÄ…dkujÄ…ce
Niech X będzie dowolnym niepustym zbiorem, w którym określona jest relacja porządkująca (patrz
definicja ??). Relację taką będziemy najczęściej oznaczać symbolem . Zbiór X wraz z częściowym
porządkiem (a dokładniej: parę (X, )) nazywamy wówczas zbiorem częściowo uporządkowanym
(lub zbiorem liniowo uporządkowanym jeśli jest liniowym porządkiem).
JeÅ›li (X, ) jest zbiorem częściowo uporzÄ…dkowanym (liniowo uporzÄ…dkowanym) oraz A ‚" X, to (A, )
jest także zbiorem częściowo uporządkowanym (liniowo uporządkowanym).
W każdym zbiorze częściowo uporządkowanym (X, ) możemy zdefiniować relację przeciwzwrotną z"
w następujący sposób:
[x z" y Ô! (x y '" x = y)].

x"X y"X
Z kolei, jeśli z" jest relacją przeciwzwrotną, antysymetryczną i przechodnią w zbiorze X, to relację
określoną jak poniżej nazywamy relacją częściowego porządku indukowaną przez relację z"
[x y Ô! (x z" y (" x = y)].
x"X y"X
Niech x, y " X. Jeśli x y, to mówimy, że element x jest niewiększy od elementu y lub, że element
y jest niemniejszy od x lub, że element y poprzedza x. Jeśli x z" y, to mówimy, że element x jest
mniejszy od elementu y lub, że element y jest większy od x.
Definicja 2.15 Niech (X, ) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym.
(a) Element a należący do zbioru X nazywamy elementem największym (zapisujemy a = max X)
wtedy i tylko wtedy, gdy
x a.
x"X
(b) Element b należący do zbioru X nazywamy elementem najmniejszym (zapisujemy b = min X)
wtedy i tylko wtedy, gdy
b x.
x"X
Definicja 2.16 RelacjÄ… dobrego porzÄ…dku w zbiorze X nazywamy relacjÄ™ liniowego porzÄ…dku o tej
własności, że każdy niepusty podzbiór zbioru X ma element najmniejszy. Zbiór X wraz z dobrym porząd-
kiem nazywamy zbiorem dobrze uporzÄ…dkowanym.
Uwaga 2.17 Załóżmy, że X jest zbiorem niepustym i skończonym z określonym w nim liniowym porząd-
kiem . Wówczas w zbiorze X istnieją elementy najmniejszy i największy. Ponieważ dowolny podzbiór
zbioru skończonego jest zbiorem skończonym, zatem (X, ) jest zbiorem dobrze uporządkowanym.
Definicja 2.18 Niech (X, ) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym.
(a) Element a należący do zbioru X nazywamy elementem maksymalnym wtedy i tylko wtedy, gdy
(a x Ò! a = x).
x"X
(b) Element b należący do zbioru X nazywamy elementem minimalnym wtedy i tylko wtedy, gdy
(x b Ò! b = x).
x"X
20 Rozdział 2.
Zbiór częściowo uporządkowany może posiadać więcej niż jeden element maksymalny oraz więcej niż
jeden element minimalny. Można natomiast pokazać, że w zbiorze liniowo uporządkowanym istnieje co
najwyżej jeden element maksymalny i co najwyżej jeden element minimalny.
Ćwiczenie 2.19 Uzasadnić, że jeśli a jest elementem największym (najmniejszym) w zbiorze częściowo
uporzÄ…dkowanym (X, ), to a jest elementem maksymalnym (minimalnym).
Ćwiczenie 2.20 Wyznaczyć elementy maksymalne i minimalne oraz element największy i najmniejszy
(o ile istnieją) w zbiorze częściowo uporządkowanym zdefiniowanym w ćwiczeniu ??. Czy jest to zbiór
liniowo (dobrze) uporzÄ…dkowany?
Definicja 2.21 Niech (X, ) bÄ™dzie zbiorem częściowo uporzÄ…dkowanym oraz A ‚" X i A = ".

(a) Element a należący do zbioru X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy
x a.
x"X
Element najmniejszy spośród wszystkich ograniczeń górnych zbioru A (o ile istnieje) nazywamy kre-
sem górnym zbioru A i oznaczamy symbolem sup A.
(b) Element b należący do zbioru X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A wtedy i tylko wtedy,
gdy
b x.
x"X
Element największy spośród wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A
(o ile istnieje) nazywamy kresem dolnym zbioru A i oznaczamy symbolem inf A.
Rozdział 3.
Funkcje jako relacje
Definicja 3.1 RelacjÄ™ f bÄ™dÄ…cÄ… podzbiorem niepustego zbioru X × Y i speÅ‚niajÄ…cÄ… nastÄ™pujÄ…ce warunki:
(a) x, y " f,
x"X y"Y
(b) [( x, y1 " f '" x, y2 " f) Ò! y1 = y2],
x"X y1"Y y2"Y
nazywamy funkcją określoną w zbiorze X o wartościach w zbiorze Y.
Z powyższej definicji wynika, że dla danego elementu x zbioru X (który nazywamy argumentem
funkcji f) istnieje dokładnie jeden element y w zbiorze Y taki, że x, y " f. Element y nazywamy
wówczas wartością funkcji f w x i zapisujemy y = f(x). Jeśli f jest funkcją określoną w zbiorze X o
wartościach w zbiorze Y (inaczej: f działa ze zbioru X w zbiór Y ), to piszemy krótko f : X Y. Zbiór
X nazywamy dziedziną (polem lub zbiorem argumentów) funkcji f.
Uwaga 3.2 Przypomnijmy, że funkcję f : X Y można również zdefniować jako odwzorowanie1 przy-
porządkowujące każdemu elementowi x zbioru X dokładnie jeden element y ze zbioru Y . Piszemy wówczas
x - y lub y = f(x), zaÅ› zbiór { x, y " X × Y : y = f(x)} nazywamy wykresem funkcji f. A
atwo
widać, że funkcję zdefiniowaną jako relacja możemy utożsamiać z wykresem funkcji zdefiniowanej jako
odzorowanie. Te różne koncepcje definicji funkcji zazwyczaj nie prowadzą jednak do nieporozumień.
Twierdzenie 3.3 Jeśli f : X Z oraz g : Y Z, to
f = g Ô! X = Y '" f(x) = g(x) .
x"X
W konsekwencji dwie funkcje (o wartościach w tym samym zbiorze) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy
majÄ… take same wykresy.
Szczególnym przypadkiem funkcji jest ciąg, którego definicję przypominamy poniżej.
Definicja 3.4 Ciągiem nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze N0 (lub ogólniej: zbiorze postaci
{n " N0 : n k0}, gdzie k0 " N0). Jeśli wartości tej funkcji (które nazywamy wyrazami ciągu) są
liczbami rzeczywistymi, to dany ciąg nazywamy ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.
Funkcja a określona wzorem: a(n) = 2n dla n " N0, stanowi przykład ciągu liczbowego o wartościach rze-
czywistych. Najczęściej zamiast a(n) piszemy an. Wówczas rozważany ciąg oznaczamy symbolem (an)n"N0.
Przykłady innych ciągów (niekoniecznie liczbowych) znajdują się w paragrafie 5.2.
Definicja 3.5 Obcięciem funkcji f : X Y do podzbioru A zbioru X nazywamy funkcję f |A: A Y
określoną wzorem
def
f |A (x) = f(x).
x"A
FunkcjÄ™ g : B Y , gdzie B ƒ" X, nazywamy przedÅ‚użeniem funkcji f, gdy f = g |X .
1
Taką mniej sformalizowaną definicję funkcji stosuje się powszechnie w szkole podstawowej i średniej, gdyż nie wymaga
ona znajomości pojęcia relacji.
22 Rozdział 3.
Definicja 3.6 Niech f : X Y , A ‚" X oraz B ‚" Y.
(a) Obrazem zbioru A wyznaczonym przez funkcję f nazywamy zbiór f[A], gdzie
def
f[A] = {y " Y : y = f(x)}.
x"A
W szczególności zbiór f[X] nazywamy zbiorem wartości lub przeciwdziedziną funkcji f.
(b) Przeciwobrazem zbioru B wyznaczonym przez funkcję f nazywamy zbiór f-1[B], gdzie
def
f-1[B] = {x " X : f(x) " B}.
W dalszej części tego paragrafu przedstawimy podstawowe własności funkcji.
Definicja 3.7 Funkcję f : X Y nazywamy funkcją odwzorowujacą zbiór X na zbiór Y (lub inaczej
na
surjekcją) i zapisujemy f : X Y wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru Y jest wartością
funkcji f, tzn.
y = f(x).
y"Y x"X
na
Uwaga 3.8 Funkcja f : X Y wtedy i tylko wtedy, gdy f[X] = Y.
Definicja 3.9 Funkcję f : X Y nazywamy funkcją różnowartościową (lub inaczej injekcją) wtedy
i tylko wtedy, gdy różnym argumentom odpowiadają różne wartości funkcji, tzn.
[(x1 = x2) Ò! (f(x1) = f(x2))] . (3.1)

x1"X x2"X
Do wykazywania różnowartościowości funkcji wygodniejszy jest jednak warunek (2.2), równoważny
warunkowi (2.1) na mocy prawa kontrapozycji.
[(f(x1) = f(x2)) Ò! (x1 = x2)] . (3.2)
x1"X x2"X
Definicja 3.10 FunkcjÄ™ f : X Y nazywamy funkcjÄ… wzajemnie jednoznacznÄ… (lub inaczej bi-
jekcją) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona różnowartościowa i odwzorowuje X na Y . Mówimy wtedy, że
w.j.
funkcja f przekształca wzajemnie jednoznacznie zbiór X na zbiór Y i zapisujemy f : X Y.
"
Ćwiczenie 3.11 Wykazać, ze funkcja f : [-2, +"] R określona wzorem: f(x) = x - 2 dla x "
[-2, +"], jest funkcją różnowartościową. Zmodyfikować jej definicję (o ile to konieczne) w taki sposób,
aby otrzymać bijekcję. Wyznaczyć zbiory f[[0, 1]] oraz f-1[(0, 2)].
Twierdzenie 3.12 Dla dowolnej funkcji f : X Y oraz zbiorów A, B ‚" X speÅ‚nione sÄ… zależnoÅ›ci:
(1) A ‚" f-1[f[A]],
(2) A ‚" B Ò! f[A] ‚" f[B],
(3) f[A *" B] = f[A] *" f[B],
(4) f[A )" B] ‚" f[A] )" f[B],
(5) f[A] \ f[B] ‚" f[A \ B].
Jeśli f jest funkcją różnowartościową, to inkluzje w punktach (1), (4) i (5) można zastąpić równościami.
Nie można tego jednak uczynić bez dodatkowych założeń, o czym świadczy przykład ??.
Funkcje jako relacje 23
Ä„ Ä„
Ćwiczenie 3.13 Niech f : [-Ą, Ą] R i f(x) = sin x dla x " [-Ą, Ą]. Przyjmijmy A = 0, , B = , Ą
2 2
oraz C = [0, 2]. Sprawdzić, że nie zachodzą równości f-1[f[A]] = A, f[f-1[C]] = C, f[A)"B] = f[A])"f[B].
Wskazać zbiory D i E, dla których nie zachodzi równość f[D \ E] = f[D] \ f[E].
Twierdzenie 3.14 Dla dowolnej funkcji f : X Y oraz zbiorów C, D ‚" Y speÅ‚nione sÄ… zależnoÅ›ci:
(1) f[f-1[C]] = C )" f[X],
(2) C ‚" D Ò! f-1[C] ‚" f-1[D],
(3) f-1[C *" D] = f-1[C] *" f-1[D],
(4) f-1[C )" D] = f-1[C] )" f-1[D],
(5) f-1[C] \ f-1[D] = f-1[C \ D].
Definicja 3.15 Niech f : X Y oraz g : Y Z. Funkcją złożoną lub superpozycją funkcji f i g
nazywamy funkcję g ć% f taką, że g ć% f : X Z oraz
def
(g ć% f)(x) = g(f(x)) dla x " X.
Funkcję f nazywamy wówczas funkcją wewnętrzną, zaś funkcję g  funkcją zewnętrzną.
X f Y g Z
y
x z
g ć% f
Rys. 3.1: Diagram ilustrujący złożenie funkcji f i g.
Uwaga 3.16 Składanie funkcji jest działaniem łącznym tzn. dla dowolnych funkcji f : X Y, g : Y Z
oraz h : Z U zachodzi równość
h ć% (g ć% f) = (h ć% g) ć% f,
nie jest natomiast działaniem przemiennym.
w.j. w.j. w.j.
Ćwiczenie 3.17 Wykazać, że jeśli f : X Y oraz g : Y Z, to g ć% f : X Z.
Twierdzenie 3.18 JeÅ›li funkcja f : X Y oraz g : Y Z, to dla dowolnego zbioru A ‚" X mamy
(g ć% f)[A] = g[f[A]].
Ćwiczenie 3.19 Niech h będzie funkcją określoną wzorem:
h(x) = log x - 1 dla x " [1, +").
Wskazać funkcje p, g, f takie, że h = pć%gć%f. Wykorzystując twierdzenie 2.19, wyznaczyć przeciwdziedzinę
funkcji h.
-1
Definicja 3.20 Niech bÄ™dzie dowolnÄ… relacjÄ… w iloczynie X × Y . RelacjÄ™ ‚" Y × X takÄ…, że
-1
[ y, x " Ô! x, y " ],
x"X y"Y
nazywamy relacjÄ… odwrotnÄ… do relacji .
24 Rozdział 3.
Relacja odwrotna istnieje dla dowolnej relacji, w szczególności dla relacji, która jest funkcją. Relacja
odwrotna do funkcji nie musi być jednak funkcją (wskazać odpowiedni przykład).
na
Definicja 3.21 Niech f : X Y będzie dowolną funkcją. Jeśli istnieje relacja odwrotna do relacji f i
jest ona funkcjÄ…, to nazywamy jÄ… funkcjÄ… odwrotnÄ… do f i oznaczamy przez f-1.
na
A zatem f-1 : Y X oraz
[y = f-1(x) Ô! x = f(y)] (por. rys ??).
y"X x"Y
f
X Y
x
y
f-1
Rys. 3.2: Diagram ilustrujÄ…cy operacjÄ™ odwracania funkcji.
Twierdzenie 3.22 Funkcja f : X Y ma funkcjÄ™ odwrotnÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy f jest funkcjÄ…
wzajemnie jednoznacznÄ….
Uwaga 3.23 Oznaczmy symbolem idX funkcję identycznościową w zbiorze X, tzn. funkcję określoną
wzorem
def
idX(x) = x dla x " X.
Wówczas id-1 = idX . Ponadto dla dowolnej bijekcji f : X Y mamy
X
f-1 ć% f = idX oraz f ć% f-1 = idY .
Ćwiczenie 3.24 Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji h takiej, że
w.j.
h : [1, +") [-1, +") oraz h(x) = log x - 1
w.j. w.j.
Ćwiczenie 3.25 Wykazać, że jeśli f : X Y i g : Y Z, to istnieje funkcja odwrotna do funkcji g ć% f
oraz
(g ć% f)-1(x) = f-1(g-1(x)) dla x " Z.
Kolejne definicje dotyczą jedynie funkcji o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych (zob. też rozdział
3).
Definicja 3.26 FunkcjÄ™ f : X R nazywamy funkcjÄ… ograniczonÄ… w zbiorze A ‚" X wtedy i tylko
wtedy, gdy
m f(x) M.
M"R m"R x"A
Definicja 3.27 Niech f : X R oraz A ‚" X ‚" R. FunkcjÄ™ f nazywamy funkcjÄ…
(a) rosnącą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji,
tzn.
[x1 < x2 Ò! f(x1) < f(x2)] ,
x1"A x2"A
Funkcje jako relacje 25
(b) niemalejÄ…cÄ… w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy
[x1 < x2 Ò! f(x1) f(x2)] ,
x1"A x2"A
(c) malejącą w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości
funkcji, tzn.
[x1 < x2 Ò! f(x1) > f(x2)] ,
x1"A x2"A
(d) nierosnÄ…cÄ… w zbiorze A wtedy i tylko wtedy, gdy
[x1 < x2 Ò! f(x1) f(x2)] .
x1"A x2"A
Jeśli funkcja jest rosnąca (niemalejąca, malejąca, nierosnąca) w całej dziedzinie, to mówimy krótko, że
jest rosnąca (odpowiednio  niemalejąca, malejąca lub nierosnąca). Funkcje zdefiniowane powyżej nazy-
wamy funkcjami monotonicznymi, zaś funkcje zdefiniowane w punktach (a) i (c)  funkcjami ściśle
monotonicznymi.
Ćwiczenie 3.28 Wykazać, że
(a) każda funkcja ściśle monotoniczna jest różnowartościowa;
(b) złożenie funkcji ściśle monotonicznych jest funkcją ściśle monotoniczną;
(c) funkcja odwrotna do funkcji rosnÄ…cej (malejÄ…cej) jest rosnÄ…ca (malejÄ…ca).
Definicja 3.29 Niech f : X R oraz X ‚" R. FunkcjÄ™ f nazywamy funkcjÄ…
(a) parzystÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy
[(-x) " X '" f(-x) = f(x)] ,
x"X
(b) nieparzystÄ… wtedy i tylko wtedy, gdy
[(-x) " X '" f(-x) = -f(x)] .
x"X
Ćwiczenie 3.30 Niech f będzie funkcją określoną wzorem:
x, gdy x " [0, 1],
f(x) =
1, gdy x " [1, +"].
Wyznaczyć funkcje parzystą fp i nieparzystą fn, tak aby otrzymane funkcje były przedłużeniami funkcji
f. Która spośród otrzymanych funkcji jest monotoniczna?
Definicja 3.31 Niech f : X R oraz X ‚" R. FunkcjÄ™ f nazywamy funkcjÄ… okresowÄ… o okresie
T > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy
[(x + T ) " X '" (x - T ) " X '" f(x + T ) = f(x)] .
x"X
Liczbę T0 będącą najmniejszym okresem funkcji f (o ile istnieje) nazywamy jej okresem podstawowym.
26 Rozdział 3.
Ćwiczenie 3.32 Rozważmy funkcje zdefiniowane wzorami
def
x = max{k " Z : k x} dla x " R,
def
x = min{k " Z : k x} dla x " R.
Pierwszą z nich nazywamy podłogą (częścią całkowitą lub cechą), zaś drugą  sufitem. Przykładowo:
2.4 = 2, 2.4 = 3, 2 = 2 = 2. Naszkicować wykresy tych funkcji i wskazać ich okres podstawowy.
Czy są to funkcje różnowartościowe, monotoniczne, parzyste, nieparzyste?
Ćwiczenie 3.33 Podać przykład funkcji, która w całej swojej dziedzinie jest
(a) jednocześnie parzysta i nieparzysta;
(b) jednocześnie parzysta i okresowa;
(c) jednocześnie nieparzysta i malejąca;
(d) okresowa o okresie podstawowym T0 = 2.
Ćwiczenie 3.34 Uzasadnić, że funkcja parzysta (określona na pewnym przedziale) lub okresowa nie może
być różnowartościowa.
Rozdział 4.
Funkcje rzeczywiste zmiennej
rzeczywistej
4.1 Funkcje elementarne
Definicja 4.1 KażdÄ… funkcjÄ™ f : X R, gdzie X ‚" R, nazywamy funkcjÄ… rzeczywistÄ… zmiennej
rzeczywistej.
Wśród funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej wyróżniamy funkcje elementarne podstawowe,
do których zaliczamy:
" wszystkie funkcje stałe, tj. funkcje określone wzorem f(x) = c dla x " R, gdzie c jest dowolną liczbą
rzeczywistÄ…,
" funkcję identycznościową idR,
" funkcję wykładniczą określoną wzorem f(x) = ex dla x " R,
" funkcjÄ™ sinus.
Definicja 4.2
(a) Funkcją elementarną nazywamy każdą funkcję rzeczywistą zmiennej rzeczywistej powstałą z funkcji
elementarnych podstawowych poprzez zastosowanie skończonej ilości działań algebraicznych, takich
jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie funkcji, oraz operacji składania, odwracania i ob-
cinania funkcji.
(b) Funkcje rzeczywiste, które nie są elementarne nazywamy funkcjami nieelementarnymi.
Uzasadnić, że do funkcji elementarnych należą funkcje:
f1(x) = x2 dla x " R,
f2(x) = 1 - sin x dla x " R,
f3(x) = esin x dla x " R,
f4(x) = ln x dla x " (0, +"),
f5(x) = sin x dla x " [0, Ä„].
Istotnie. Funkcja f1 powstaje w wyniku mnożenia funkcji identycznościowej przez siebie, f2  w wyniku
odejmowania funkcji stałej i funkcji sinus, f3  w wyniku złożenia funkcji sinus i funkcji wykładniczej. Z
kolei funkcja f4 jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej, zaś f5 jest obcięciem funkcji sinus.
Uwaga 4.3 Dowolna funkcja, która powstaje z funkcji elementarnych poprzez zastosowanie działań i ope-
racji o których mowa w definicji 3.2 jest również funkcją elementarną. A zatem funkcjami elementarnymi
są również następujące funkcje:
f6(x) = x2esin x - ln(1 + x2) dla x " R,
"
f7(x) = |x| dla x " R (bo |x| = x2 dla x " R).
Ćwiczenie 4.4 Wykazać, że funkcje:
(a) g1(x) = x2 - 3x dla x " R,
28 Rozdział 4.
(b) g2(x) = cos x dla x " R,
(c) g3(x) = tg x dla x " R \ {kĄ : k " Z},
2
(d) g4(x) = 2x-1 dla x " R,
sÄ… funkcjami elementarnymi.
Do funkcji elementarnych należą, znane ze szkoły średniej, funkcje wymierne, wykładnicze, logaryt-
miczne i trygonometryczne1. W dalszym ciągu tego rozdziału przedstawimy kolejne rodziny funkcji ele-
mentarnych: funkcje cyklometryczne i funkcje hiperboliczne.
Mimo licznych przykładów przedstawionych powyżej okazuje się jednak, że funkcji nieelementarnych
jest znacznie więcej niż funkcji elementarnych2. Do funkcji nieelementarnych należą np. funkcja Diri-
chleta określona wzorem
0, gdy x " Q,
/
f(x) =
1, gdy x " Q,
oraz funkcja znaku sgn, gdzie
Å„Å‚
1, gdy x > 0,
òÅ‚
def
sgn(x) = 0, gdy x = 0,
ół
-1, gdy x < 0.
Uwaga 4.5 Często zdarza się, że rozważamy funkcję rzeczywistą, która określona jest pewnym wzorem
(np. f(x) = log(1 - x)), ale nie podana jest jej dziedzina. Wówczas największy (w sensie inkluzji) pod-
zbiór liczb rzeczywistych, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji f i
oznaczamy przez Df (w podanym przykładzie Df = (-", 0)).
4.2 Funkcje cyklometryczne
Definicja 4.6
Ä„
(a) FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji sin : -Ä„ , [ - 1, 1] nazywamy funkcjÄ… arcus sinus i oznaczamy
2 2
symbolem arc sin.
(b) FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji cos : [0, Ä„] [-1, 1] nazywamy funkcjÄ… arcus cosinus i oznaczamy
symbolem arc cos.
Ä„
.
Ä„
2
-1 1
-1 1
Ä„
-
2
Rys. 4.2: y = arc cos x
Rys. 4.1: y = arc sin x
Ä„
(c) FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji tg : -Ä„ , R nazywamy funkcjÄ… arcus tanges i oznaczamy
2 2
symbolem3 arc tg.
1
Więcej informacji o wymienionych rodzinach funkcji można znalez
ć m.in. w [3].
2
W szczególności dowodzi się, iż każda funkcja nieciągła jest nieelementarna.
3
Funkcję tanges oznacza się również symbolem tan  wówczas arcus tanges oznacza się przez arc tan.
Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej 29
(d) FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji ctg : (0, Ä„) R nazywamy funkcjÄ… arcus cotanges4 i oznaczamy
symbolem5 arc ctg.
Funkcje arcus sinus, arcus cosinus, arcus tanges i arcus cotanges nazywamy funkcjami cyklometrycz-
nymi.
Ä„
Ä„
2
1
Ä„
-
2
1
Rys. 4.3: y = arc tg x Rys. 4.4: y = arc ctg x
Bezpośrednio z definicji wynika, że
Ä„
" arc sin : [-1, 1] -Ä„ , i [y = arc sin x Ô! x = sin y],
2 2
x"[-1,1] Ä„ Ä„
y" - ,
2 2
" arc cos : [-1, 1] [0, Ä„] i [y = arc cos x Ô! x = cos y],
x"[-1,1] y"[0,Ä„]
Ä„
" arc tg : R -Ä„ , i [y = arc tg x Ô! x = tg y],
2 2
x"R Ä„ Ä„
y" - ,
2 2
" arc ctg : R (0, Ä„) i [y = arc ctg x Ô! x = ctg y].
x"R y"(0,Ä„)
A
atwo zaobserwować, że wszystkie funkcje cyklometryczne są ograniczone i ściśle monotoniczne.
Ćwiczenie 4.7 Wykazać, że funkcje arcus sinus i arcus tanges są nieparzyste.
4
Zwracamy uwagę, iż w większości programów matematycznych (takich jak: Matlab czy Mathematica) funkcję arcus
Ä„ Ä„
cotanges definiuje się jako funkcję odwrotną do funkcji ctg : - , 0 *" 0, R; jej wykres i własności są wówczas inne.
2 2
5
Funkcję cotanges oznacza się również symbolem cot  wówczas arcus cotanges oznacza się przez arc cot.
30 Rozdział 4.
Związki zachodzące między funkcjami cyklometrycznymi przedstawia następujące twierdzenie:
Twierdzenie 4.8
Ä„
(1) arc sin x + arc cos x = ,
2
x"[-1,1]
Ä„
(2) arc tg x + arc ctg x = ,
2
x"R
"
(3) |arc sin x| = arc cos 1 - x2,
x"[-1,1]
1
"
(4) |arc tg x| = arc cos ,
1+x2
x"R
1
(5) arc tg x = arc ctg .
x
x"R\{0}
4.3 Funkcje hiperboliczne
Definicja 4.9
(a) Sinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję sinh : R R określoną wzorem
def
ex - e-x
sinh x = dla x " R.
2
(b) Cosinusem hiperbolicznym nazywamy funkcję cosh : R R określoną wzorem
def
ex + e-x
cosh x = dla x " R.
2
(c) Tangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję tgh : R R określoną wzorem
def
sinh x
tgh x = dla x " R.
cosh x
(d) Cotangensem hiperbolicznym nazywamy funkcję ctgh : R \ {0} R określoną wzorem
def
cosh x
coth x = dla x " R \ {0}.
sinh x
Ćwiczenie 4.10 Zdadać parzystość, nieparzystość poszczególnych funkcji hiperbolicznych.
Literatura
[1] K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka 1, HELPMATH, A
ódz
1997.
[2] W. Guzicki, W. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki, PWN, Warszawa 2005.
[3] red. A. Just, Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień fizyki, Wydawnictwo PA
, A
ódz

2007.
[4] G. Mirkowska, Elementy matematyki dyskretnej, PJWSTK, Warszawa 2003.
[5] H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 2005.
[6] K.A. Ross, C.R.B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa 2003.