4. Rachunek całkowy funkcji wielu
zmiennych
4.1. Definicja całki podwójnej w sensie Rie-
manna.
Niech I = (a1, b1) × (a2, b2), gdzie a1, b1, a2, b2 " R oraz a1 < b1 i a2 < b2.
Oznaczenia stosowane w definicji całki podwójnej:
" Podziałem prostokąta I nazywamy zbiór prostokątów Pn = {Ri}i n , n " N, taki że
n
I = Ri
i=1
oraz
Int(Ri) )" Int(Rj) = ".
i,j"{1,2,... ,n}, i =j
" Średnicą podziału Pn nazywamy liczbę
def
´(Pn) = max{´(Ri) : i " {1, 2, . . . , n}}.
" Zbiór punktów pośrednich podziału Pn :
Tn = {ti}i n,
gdzie
ti " Ri.
i"{1,2,... ,n}
Definicja 4.1. CiÄ…g podziałów (Pn) prostokÄ…ta I nazywamy normalnym, gdy lim ´(Pn) = 0.
n"
Definicja 4.2. Niech f : I R będzie funkcją ograniczoną, zaś Pn- dowolnym podziałem
prostokąta I. Sumą całkową odpowiadającą podziałowi Pn i zbiorowi punktów pośrednich Tn
nazywamy liczbÄ™
n
def
S(f, Pn, Tn) = f(ti) |Ri| ,
i=1
gdzie |Ri| oznacza pole prostokÄ…ta Ri.
Definicja 4.3. Niech f : I R będzie funkcją ograniczoną. Jeśli dla dowolnego normalnego
ciągu podziałów (Pn) prostokąta I oraz dowolnego ciągu zbiorów punktów pośrednich (Tn)
istnieje właściwa granica lim S(f, Pn, Tn) i granica ta nie zależy od sposobu wyboru tych ciągów,
n"
16
to nazywamy ją całką podwójną w sensie Riemanna z funkcji f na prostokącie I.
Zapisujemy
def
f(x, y) dxdy = lim S(f, Pn, Tn)
n"
I
i mówimy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie I.
Definicja 4.4. Niech D ‚" R2 bÄ™dzie zbiorem ograniczonym, zaÅ› I  dowolnym prostokÄ…tem
zawierającym D. Niech f : D R będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że f jest całkowalna
w sensie Riemanna na zbiorze D, jeśli funkcja
f(x, y), (x, y) " D,
f (x, y) =
0, (x, y) " I \ D,
jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie I.
Uwaga 4.5. Wartość całki f (x, y) dxdy nie zależy od wyboru prostokąta I. Możemy więc
I
przyjąć, że
def
f(x, y) dxdy = f (x, y) dxdy.
D I
Uwaga 4.6. Niech n " N, zaÅ› In = (a1, b1) × (a2, b2) × · · · × (an, bn), gdzie ai, bi " R oraz
ai < bi dla każdego i " {1, 2, . . . , n}. Analogicznie definiujemy całkę n-krotną z funkcji ograni-
czonej określonej na zbiorze In, a następnie całkę n-krotną z funkcji ograniczonej określonej na
dowolnym ograniczonym zbiorze D ‚" Rn.
Uwaga 4.7. RodzinÄ™ funkcji caÅ‚kowalnych w sensie Riemanna na ograniczonym zbiorze D ‚"
Rn oznaczamy przez R(D).
4.2. Własności całki podwójnej.
Niech D ‚" R2 bÄ™dzie zbiorem ograniczonym.
Twierdzenie 4.8 (warunek konieczny całkowalności). Jeśli funkcja f : D R jest
całkowalna na D, to jest na tym zbiorze ograniczona.
Twierdzenie 4.9 (liniowość całki Riemanna). Jeśli funkcje f, g " R(D), to
a) f + g " R(D) oraz
(f(x, y) + g(x, y)) dxdy = f(x, y) dxdy + g(x, y) dxdy;
D D D
b) kf " R(D) dla dowolnej liczby k " R oraz
kf(x, y) dxdy = k f(x, y) dxdy.
D D
2006-EK
17
Twierdzenie 4.10 (addytywność całki Riemanna względem obszarów całkowania).
Niech
D = D1 *" D2 oraz Int(D1) )" Int(D2) = ".
Wówczas funkcja f " R(D) wtedy i tylko wtedy, gdy f " R(D1) )" R(D2), przy czym zachodzi
równość
f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + f(x, y) dxdy.
D D1 D2
Twierdzenie 4.11. Jeśli funkcje f, g " R(D) oraz
f(x, y) g(x, y),
(x,y)"D
to
f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy.
D D
Twierdzenie 4.12. Jeśli f " R(D), to |f| " R(D) oraz
f(x, y) dxdy |f(x, y)| dxdy.
D D
Uwaga 4.13. Analogiczne własności zachodzą dla funkcji n-krotnie całkowalnych określonych
na dowolnych ograniczonych zbiorach D ‚" Rn.
Definicja 4.14. Mówimy, że obszar D ‚" R2 jest
" normalny względem osi Ox, gdy
D = {(x, y) " R2 : a x b '" h(x) y g(x)},
gdzie h, g są funkcjami ciągłymi na [a, b] oraz h(x) < g(x) dla każdego x " (a, b);
" normalny względem osi Oy, gdy
D = {(x, y) " R2 : c y d '" p(y) x q(y)},
gdzie p, q są funkcjami ciągłymi na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y " (c, d);
" regularny, gdy jest sumą skończonej ilości obszarów normalnych o parami rozłącznych
wnętrzach.
Twierdzenie 4.15. Jeśli f jest całkowalna na regularnym zbiorze D oraz istnieją liczby m, M "
R takie, że
m f(x, y) M,
(x,y)"D
to
m |D| f(x, y) dxdy M |D| .
D
Wniosek 4.16.
18
Twierdzenie 4.17. Jeśli f " R(D) oraz g jest funkcją ograniczoną na D, różniącą się od
funkcji f tylko na zbiorze będącym sumą skończonej ilości łuków zawartych w D i będących
wykresami ciągłych funkcji y = y(x) lub x = x(y), to g " R(D) oraz
g(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy.
D D
Twierdzenie 4.18 (warunek wystarczający całkowalności). Jeśli funkcja f : D R jest
ciągła na regularnym zbiorze D, to jest na tym zbiorze całkowalna.
Uwaga 4.19. W powyższym twierdzeniu wystarczy założyć, że f jest ciągła na zbiorze D
z wyjątkiem skończonej ilości łuków zawartych w D i będących wykresami ciągłych funkcji
y = y(x) lub x = x(y).
Twierdzenie 4.20 (całkowe o wartości średniej). Jeśli funkcja f : D R jest ciągła na
regularnym zbiorze D, to
1
f(x0, y0) = f(x, y) dxdy.
|D|
(x0,y0)"D
D
LiczbÄ™
def
1
fśr = f(x, y) dxdy
|D|
D
nazywamy wartością średnią funkcji f na zbiorze D.
4.3. Metody obliczania całek podwójnych.
Twierdzenie 4.21 (o zamianie całki podwójnej na iterowaną). Niech f będzie funkcją
ciÄ…gÅ‚Ä… na zbiorze D ‚" R2. Wówczas
a) jeśli D jest zbiorem normalnym względem osi Ox, to
ëÅ‚ öÅ‚
g(x)
b
ìÅ‚
f(x, y) dxdy = íÅ‚ f(x, y)dy÷Å‚ dx;
Å‚Å‚
a
D h(x)
b) jeśli D jest zbiorem normalnym względem osi Oy, to
ëÅ‚ öÅ‚
q(y)
d
ìÅ‚
f(x, y) dxdy = íÅ‚ f(x, y)dx÷Å‚ dy.
Å‚Å‚
c
D p(y)
Wniosek 4.22.
2006-EK
19
Twierdzenie 4.23 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej). Załóżmy, że
(1) " ‚" R2 jest obszarem regularnym,
(2) funkcje Åš, ¨ posiadajÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne czÄ…stkowe na pewnym zbiorze otwartym U zawiera-
jÄ…cym ",
(3) odwzorowanie T = [Åš, ¨] : U R2 jest różnowartoÅ›ciowe na zbiorze Int("),
(4) JT (u, v) = 0 dla każdego (u, v) " Int("),

(5) D = T ["] jest obszarem regularnym,
(6) funkcja f : D R jest ciągła.
Wówczas zachodzi wzór
f(x, y) dxdy = f(Åš(u, v), ¨(u, v)) |JT (u, v)| dudv.
D "
Definicja 4.24. Niech p " R2 \ {(0, 0)}. ParÄ™ liczb (r, Õ) " (0, +") × [0, 2Ä„), gdzie
r  oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0),
Õ  oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy dodatniÄ… półosiÄ… Ox a promieniem wodzÄ…cym punktu p,
nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu p. Dla punktu (x, y) = (0, 0) przyjmuje-
my (r, Õ) = (0, 0).
Uwaga 4.25. JeÅ›li punkt p ma współrzÄ™dne biegunowe (r, Õ), to jego współrzÄ™dne kartezjaÅ„skie
określone są wzorami:
x = r cos Õ,
y = r sin Õ.
Definicja 4.26. PrzeksztaÅ‚cenie TB : [0, +") × [0, 2Ä„] R2 takie, że
def
TB(r, Õ) = [r cos Õ, r sin Õ],
nazywamy przekształceniem biegunowym.
Własności przekształcenia TB :
Twierdzenie 4.27. Załóżmy, że
(1) " ‚" R2 jest obszarem regularnym,
(2) D = TB["],
(3) funkcja f : D R jest ciągła.
Wówczas
f(x, y) dxdy = f(r cos Õ, r sin Õ)r drdÕ.
D "
20
4.4. Metody obliczania całek potrójnych.
Definicja 4.28. Mówimy, ze obszar V ‚" R3 jest
" normalny względem płaszczyzny Oxy, gdy
V = {(x, y, z) " R3 : (x, y) " Dxy '" h(x, y) z g(x, y)},
gdzie h, g sÄ… funkcjami ciÄ…gÅ‚ymi na regularnym obszarze Dxy ‚" R2 oraz h(x, y) < g(x, y)
dla każdego (x, y) " Dxy;
" normalny względem płaszczyzny Oyz, gdy
V = {(x, y, z) " R3 : (y, z) " Dyz '" p(y, z) x q(y, z)},
gdzie p, q sÄ… funkcjami ciÄ…gÅ‚ymi na regularnym obszarze Dyz ‚" R2 oraz p(y, z) < q(y, z)
dla każdego (y, z) " Dyz;
" normalny względem płaszczyzny Oxz, gdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
" regularny, gdy jest sumą skończonej ilości obszarów normalnych o parami rozłącznych
wnętrzach.
Twierdzenie 4.29. JeÅ›li funkcja f : V R jest ciÄ…gÅ‚a, zaÅ› obszar ‚" R3 jest normalny
względem płaszczyzny Oxy i określony podobnie jak w definicji 4.28 , to
ëÅ‚ öÅ‚
g(x,y)
ìÅ‚
f(x, y, z) dxdydz = íÅ‚ f(x, y, z) dz÷Å‚ dxdy.
Å‚Å‚
V Dxy
h(x,y)
Analogiczne twierdzenia zachodzą w przypadku, gdy V jest obszarem normalnym względem
płaszczyzny Oyz lub Oxz.
Wniosek 4.30.
Twierdzenie 4.31 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej). Załóżmy, że
(1) " ‚" R3 jest obszarem regularnym,
(2) funkcje Åš, ¨, “ posiadajÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne czÄ…stkowe na pewnym zbiorze otwartym U ƒ" ",
(3) odwzorowanie T = [Åš, ¨, “] : U R3 jest różnowartoÅ›ciowe na zbiorze Int("),
(4) JT (u, v, t) = 0 dla każdego (u, v, t) " Int("),

(5) D = T ["] jest obszarem regularnym,
(6) funkcja f : D R jest ciągła.
Wówczas zachodzi wzór
f(x, y, z) dxdydz = f(Åš(u, v, t), ¨(u, v, t), “(u, v, t)) |JT (u, v, t)| dudvdt.
V "
2006-EK
21
Definicja 4.32. Niech p = (z, y, z) " R3\{(0, 0, 0)}. TrójkÄ™ liczb (r, Õ, h) " (0, +")×[0, 2Ä„)×
R, gdzie
r  oznacza odległość rzutu punktu p na płaszczyznę Oxy od punktu (0, 0, 0),
Õ  oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy dodatniÄ… półosiÄ… Ox a rzutem promienia wodzÄ…cego punktu p na pÅ‚aszczy
h = z,
nazywamy współrzędnymi walcowymi (cylindrycznymi) punktu p.
Uwaga 4.33. JeÅ›li punkt p ma współrzÄ™dne biegunowe (r, Õ, h), to jego współrzÄ™dne karte-
zjańskie określone są wzorami:
Å„Å‚
ôÅ‚
x = r cos Õ,
òÅ‚
y = r sin Õ,
ôÅ‚
ół
z = h.
Definicja 4.34. PrzeksztaÅ‚cenie TW : [0, +") × [0, 2Ä„] × R R3 takie, że
def
TW (r, Õ, h) = [r cos Õ, r sin Õ, h]
nazywamy przekształceniem walcowym.
Własności przekształcenia TW :
Ä„
Definicja 4.35. Niech p " R3 \ {(0, 0, 0)}. TrójkÄ™ liczb (r, Õ, ¸) " (0, +") × [0, 2Ä„) × [-Ä„ , ],
2 2
gdzie
r  oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0, 0),
Õ  oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy dodatniÄ… półosiÄ… Ox a rzutem promienia wodzÄ…cego punktu p
na płaszczyznę Oxy,
¸  oznacza miarÄ™ kÄ…ta miÄ™dzy promieniem wodzÄ…cym punktu p a pÅ‚aszczyznÄ… Oxy,
nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu p.
Uwaga 4.36. JeÅ›li punkt p ma współrzÄ™dne biegunowe (r, Õ, ¸), to jego współrzÄ™dne karte-
zjańskie określone są wzorami:
Å„Å‚
ôÅ‚
x = r cos Õ cos ¸,
òÅ‚
y = r sin Õc cos ¸,
ôÅ‚
ół
z = r sin ¸.
Ä„
Definicja 4.37. PrzeksztaÅ‚cenie TS : [0, +") × [0, 2Ä„] × [-Ä„ , ] R3 takie, że
2 2
def
TS(r, Õ, h) = [r cos Õ cos ¸, r sin Õ cos ¸, r sin ¸]
nazywamy przekształceniem sferycznym.
Własności przekształcenia TS :
22
4.5. Zastosowania całek wielokrotnych.
" Pole obszaru: JeÅ›li D ‚" R2 jest obszarem regularnym, to
|D| = dxdy.
(P 1)
D
W szczególnoÅ›ci, gdy D ‚" R2 jest obszarem normalnym wzglÄ™dem osi Ox okreÅ›lonym jak
w definicji 4.14, to
ëÅ‚ öÅ‚
g(x)
b b
ìÅ‚
dy÷Å‚ dx = (g(x) - h(x)) dx.
(P 2) |D| = íÅ‚ Å‚Å‚
a a
h(x)
" ObjÄ™tość bryÅ‚y: JeÅ›li V ‚" R3 jest obszarem regularnym, to
|V | = dxdydz.
(O1)
V
W szczególności, gdy V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy określonym
jak w definicji 4.28, to
ëÅ‚ öÅ‚
g(x,y)
ìÅ‚
dz÷Å‚ dxdy = (g(x, y) - h(x, y))dxdy.
(O2) |V | = íÅ‚ Å‚Å‚
Dxy h(x,y) Dxy
Jeśli V jest bryłą obrotową powstałą z obrotu dookoła osi Oz trapezu krzywoliniowego
D = {(x, z) : a x b '" 0 z f(x)},
gdzie 0 < a < b oraz f : [a, b] jest funkcją ciągłą, to
b
(O3)
|V | = 2Ä„ xf(x) dx.
a
" Pole płata: Niech f : D R będzie funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe na
obszarze regularnym D ‚" R2. Wówczas pole pÅ‚ata S bÄ™dÄ…cego wykresem funkcji f wyraża
siÄ™ wzorem:
|S| = 1 + (fx(x, y))2 + (fy(x, y))2 dxdy.
D
" Masa obszaru: Niech à : D R będzie funkcją ciągłą na obszarze regularnym D.
Wówczas masa m obszaru D ‚" R2 o gÄ™stoÅ›ci powierzchniowej masy à wyraża siÄ™ wzorem:
m = Ã(x, y) dxdy.
D
Masa M obszaru D ‚" R3 o gÄ™stoÅ›ci objÄ™toÅ›ciowej masy à wyraża siÄ™ wzorem:
M = Ã(x, y, z) dxdydz.
D
2006-EK
23
" Inne zastosowania fizyczne: wyznaczanie momentów statycznych, współrzędnych środka
masy, momentów bezwładności, energii kinetycznej i potencjalnej, itd. (Patrz: M. Gewert,
Z. Skoczylas,  Analiza matematyczna 2. Definicje, twierdzenia, wzory .)
24
5. Równania różniczkowe zwyczajne
pierwszego rzędu
2006-EK
25
5.1. Wstęp.
Definicja 5.1.
" Niech V ‚" R3 bÄ™dzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczaj-
nym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci
F (x, y, y ) = 0.
" Równanie różniczkowe postaci
y = f(x, y), (")
gdzie f jest funkcjÄ… okreÅ›lonÄ… na pewnym obszarze D ‚" R2, nazywamy równaniem róż-
niczkowym rzędu pierwszego w postaci normalnej.
Definicja 5.2.
" Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania
(") nazywamy każdÄ… funkcjÄ™ Õ : I R okreÅ›lonÄ… na pewnym przedziale otwartym I takÄ…,
że
Õ (x) = f(x, Õ(x)).
x"I
Wykres funkcji Õ nazywamy krzywÄ… caÅ‚kowÄ… równania (").
" Rozwiązaniem ogólnym równania (") nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania
(").
Definicja 5.3. Niech (x0, y0) " D. Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem poczÄ…tko-
wym) nazywamy zadanie polegajÄ…ce na znalezieniu rozwiÄ…zania Õ równania ("), które speÅ‚nia
tzw. warunek poczÄ…tkowy Õ(x0) = y0.
Istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania ("):
Twierdzenie 5.4 (Peano). Niech D ‚" R2 bÄ™dzie obszarem oraz f : D R. JeÅ›li funkcja f
jest ciÄ…gÅ‚a, to dla dowolnego punktu (x0, y0) " D istnieje rozwiÄ…zanie Õ równania (") speÅ‚niajÄ…ce
warunek Õ(x0) = y0 (tzn. przez każdy punkt obszaru D przechodzi przynajmniej jedna krzywa
całkowa równania (")).
Twierdzenie 5.5 (Cauchy ego-Piccard). Niech D ‚" R2 bÄ™dzie obszarem oraz f : D R.
Jeśli funkcje f i fy są ciągłe na D, to dla dowolnego punktu (x0, y0) " D istnieje dokładnie jedno
rozwiÄ…zanie Õ równania (") speÅ‚niajÄ…ce warunek Õ(x0) = y0.
Uwaga 5.6. Jednoznaczność istnienia rozwiązania zagadnienia Cauchy ego rozumiemy nastę-
pujÄ…co: jeÅ›li funkcje Õ : I R oraz È : J R (gdzie I, J sÄ… przedziaÅ‚ami otwartymi takimi,
że x0 " I )" J) sÄ… rozwiÄ…zaniami równania (") speÅ‚niajÄ…cymi warunek Õ(x0) = È(x0) = y0, to
Õ(x) = È(x).
x"I)"J
26
Interpretacja gemetryczna równania ("):
5.2. Równanie o zmiennych rozdzielonych i rów-
nanie jednorodne względem x i y.
Definicja 5.7. Równaniem o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci
y = h(x)g(y), (ZR)
gdzie h : (a, b) R oraz g : (c, d) R.
Lemat 5.8. JeÅ›li y0 " (c, d) oraz g(y0) = 0, to funkcja staÅ‚a Õ : (a, b) R okreÅ›lona wzorem
Õ(x) = y0 dla x " (a, b),
jest rozwiązaniem równania (ZR). Jeśli h(x) = 0 dla pewnego x " (a, b), to zachodzi również

stwierdzenie odwrotne.
Twierdzenie 5.9. Jeżeli h : (a, b) R, g : (c, d) R są funkcjami ciągłymi oraz g(y) = 0

dla każdego y " (c, d), to dla dowolnego punktu (x0, y0) " (a, b) × (c, d) istnieje dokÅ‚adnie jedno
rozwiÄ…zanie Õ równania (ZR) speÅ‚niajÄ…ce warunek Õ(x0) = y0. RozwiÄ…zanie to okreÅ›lone jest
wzorem
Õ(x) = G-1(H(x) - H(x0) + G(y0)) dla x " I ‚" (a, b),
1
gdzie H i G sÄ… dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji h i .
g
Przykład
(a) Wyznaczyć rozwiązania stałe równania
2y2 - y
y = . (4)
x
(b) Ile rozwiązań posiadają następujące zagadnienia Cauchy ego:
2y2 - y
y = , y(1) = 2 (C4)
x
2y2 - y
y = , y(1) = 1 (C4 )
x
Definicja 5.10. Równaniem jednorodnym względem x i y nazywamy równanie postaci
y
y = f( ), (J)
x
gdzie f : (c, d) R.
2006-EK
27
Uwaga 5.11. Równanie jednorodne (J) poprzez zamianę zmiennych
y = xt,
sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych
f(t) - t
t = . (J )
x
28
5.3. Równanie liniowe i równanie Bernoulie-
go.
Definicja 5.12. Niech p, q : (a, b) R.
" Równanie postaci
y + p(x)y = q(x) (L)
nazywamy równaniem równaniem liniowym pierwszego rzędu.
" Jeśli q(x) = 0 dla x " (a, b), to równanie (L) przyjmuje postać
y + p(x)y = 0. (LJ)
Równanie (LJ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym.
Równanie liniowe, które nie jest równaniem jednorodnym nazywamy równaniem linio-
wym niejednorodnym.
Zagadnienie Cauchy ego dla równania liniowego
Twierdzenie 5.13. JeÅ›li p, q : (a, b) R sÄ… funkcjami ciÄ…gÅ‚ymi oraz (x0, y0) " (a, b) × R, to
istnieje dokÅ‚adnie jedno rozwiÄ…zanie Õ równania (L) okreÅ›lone na przedziale (a, b) i speÅ‚niajÄ…ce
warunek poczÄ…tkowy Õ(x0) = y0.
Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (RORJ)
Lemat 5.14. Rozwiązanie ogólne równania (LJ) tworzą funkcje postaci
Õ(x) = Ce-P (x), C " R,
gdzie P jest dowolnie ustalonÄ… funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji p.
Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego (RORN)
Twierdzenie 5.15. Niech Õs bÄ™dzie rozwiÄ…zaniem szczególnym równania liniowego (L). Wów-
czas rozwiązanie ogólne równania liniowego (L) tworzą wszystkie funkcje postaci
Õ = Õ0 + Õs,
gdzie Õ0 jest dowolnym rozwiÄ…zaniem równania jednorodnego (LJ).
Rozwiązanie szczególne równania liniowego niejednorodnego (RSRN):
Metody wyznaczania RSRN:
2006-EK
29
" metoda uzmienniania stałej (w oparciu o twierdzenie 5.16),
" metoda przewidywania (w oparciu o twierdzenia 5.17 i 5.18).
Twierdzenie 5.16. Niech p, q : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi. Jeśli P i C są dowolnie
ustalonymi funkcjami pierwotnymi, odpowiednio funkcji p i qeP , to funkcja postaci
Õs(x) = C(x)e-P (x)
jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L).
Twierdzenie 5.17. JeÅ›li Wn, Vm sÄ… wielomianami, odpowiednio stopnia n i m, zaÅ› a, Ä…, ² " R,
to równanie liniowe
y + ay = [Wn(x) cos ²x + Vm(x) sin ²x]eÄ…x (LS)
ma rozwiązanie szczególne postaci
Õs(x) = xk[Pl(x) cos ²x + Ql(x) sin ²x]eÄ…x,
gdzie Pl, Ql sÄ… wielomianami stopnia l = max{n, m} oraz
1, gdy Ä… = -a i ² = 0,
k =
0 w przeciwnym wypadku.
Twierdzenie 5.18. Niech q1, q2 : (a, b) R oraz a " R. JeÅ›li Õ1 jest rozwiÄ…zaniem szczegól-
nym równania
y + ay = q1(x),
zaÅ› Õ2 jest rozwiÄ…zaniem szczególnym równania
y + ay = q2(x),
to funkcja Õ1 + Õ2 jest rozwiÄ…zaniem szczególnym równania
y + ay = q1(x) + q2(x).
Definicja 5.19. Niech p, q : (a, b) R oraz ą " R \ {0, 1}. Równanie postaci
y + p(x)y = q(x)yÄ… (B)
nazywamy równaniem Bernouliego.
Uwaga 5.20.
1. Gdy w równaniu (B) ą " {0, 1}, to otrzymujemy równanie liniowe.
2. Jeśli ą > 0, to funkcja
Õ(x) = 0 dla x " (a, b),
jest rozwiązaniem szczególnym równania (B).
3. Równanie Bernouliego (B) sprowadzamy do równania liniowego stosując podstawienie
t = y1-Ä….
30
6. Równania różniczkowe zwyczajne
n-tego rzędu.
6.1. Wstęp
Definicja 6.1.
" Niech n " N, V ‚" Rn+2 bÄ™dzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym
zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie postaci
F (x, y, y , y , . . . , y(n)) = 0.
" Równanie różniczkowe postaci
y(n) = f(x, y, y , y , . . . , y(n-1)), ("n)
gdzie f jest funkcjÄ… okreÅ›lonÄ… na pewnym obszarze D ‚" Rn+1, nazywamy równaniem
różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu w postaci normalnej.
Definicja 6.2.
" Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania
("n) nazywamy każdÄ… funkcjÄ™ Õ : I R okreÅ›lonÄ… na pewnym przedziale otwartym I takÄ…,
że
Õ(n)(x) = f(x, Õ(x), Õ (x), Õ (x), . . . , Õ(n-1)(x)).
x"I
" Rozwiązaniem ogólnym równania ("n) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równa-
nia ("n).
Definicja 6.3. Niech (x0, y0, y1, . . . , yn-1) " D. Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem
poczÄ…tkowym) nazywamy zadanie polegajÄ…ce na znalezieniu rozwiÄ…zania Õ równania ("n),
które spełnia tzw. warunki początkowe:
Õ(x0) = y0, Õ (x0) = y1, . . . , Õ(n-1)(x0) = yn-1.
Definicja 6.4. Zagadnieniem brzegowym nazywamy zadanie polegajÄ…ce na znalezieniu
rozwiÄ…zania Õ równania
y = f(x, y, y ), ("2)
które speÅ‚nia tzw. warunki brzegowe: Õ(x1) = y1, Õ(x2) = y2, x1 = x2.

2006-EK
31
6.2. Równania rzędu drugiego sprowadzalne
do równań rzędu pierwszego.
Pewne typy równań rzędu drugiego można sprowadzić do równań rzędu pierwszego stosując
odpowiednie podstawienia:
r. r. rzędu 2 podstawienie r. r. rzędu 1
F (x, y , y ) = 0 y = u(x) F (x, u, u ) = 0
F (y, y , y ) = 0 y = u(y) F (y, u, udu) = 0
dy
6.3. Równanie liniowe n-tego rzędu.
Definicja 6.5. Niech pn-1, pn-2, . . . , p1, p0, q : (a, b) R.
" Równanie postaci
y(n) + pn-1(x)y(n-1) + pn-2(x)y(n-2) + . . . + p1(x)y + p0(x)y = q(x) (Ln)
nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu.
" Jeśli q(x) = 0 dla x " (a, b), to równanie (Ln) przyjmuje postać
y(n) + pn-1(x)y(n-1) + pn-2(x)y(n-2) + . . . + p1(x)y + p0(x)y = 0. (LJn)
Równanie (LJn) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym n-tego rzędu.
Zagadnienie Cauchy ego dla równania liniowego (Ln)
Twierdzenie 6.6. Jeśli pn-1, pn-2, . . . , p1, p0, q : (a, b) R są funkcjami ciągłymi oraz
(x0, y0, y1, . . . , yn-1) " (a, b) × Rn, to istnieje dokÅ‚adnie jedno rozwiÄ…zanie Õ (okreÅ›lone na
(a, b)) równania liniowego (Ln) takie, że
Õ(x0) = y0, Õ (x0) = y1, . . . , Õ(n-1)(x0) = yn-1.
Dalej zakładamy, że funkcje pn-1, pn-2, . . . , p1, p0 oraz q są ciągłe na (a, b).
Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJn)
Niech V0 oznacza rodzinę wszystkich funkcji określonych na przedziale (a, b) i będących roz-
wiązaniami równania (LJn). Wówczas
1. V0 ‚" C(n)(a, b),
32
2. kÕ " V0,
Õ"V0 k"R
3. Õ + È " V0,
Õ, È"V0
co oznacza, że V0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni C(n)(a, b).
Twierdzenie 6.7. dim V0 = n.
Definicja 6.8. Każdą bazę przestrzeni V0 nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań
równania (LJn).
Uwaga 6.9. Na mocy powyższego twierdzenia, fundamentalnym układem rozwiązań równania
(LJn) jest każdy ukÅ‚ad funkcji Õ1, Õ2, . . . , Õn " V0, który jest liniowo niezależny (lnz), a wiÄ™c
taki, że
[(Ä…1Õ1 + Ä…2Õ2 + · · · + Ä…nÕn = 0) Ò! Ä…1 = Ä…2 = . . . = Ä…n = 0].
Ä…1
,Ä…2
,... ,Ä…n
"R
Definicja 6.10. Niech Õ1, Õ2, . . . , Õn " C(n)(a, b) oraz x " (a, b). Wyznacznik
Õ1(x) Õ2(x) . . . Õn(x)
def
Õ 1(x) Õ 2(x) . . . Õ n(x)
W(Õ ,Õ2,... ,Õn)(x) =
1
. . . . . . . . . . . .
Õ(n-1)(x) Õ(n-1)(x) . . . Õ(n-1)(x)
1 2 n
nazywamy wyznacznikiem WroÅ„skiego lub wroÅ„skianem ukÅ‚adu funkcji (Õ1, Õ2, . . . , Õn)
w punkcie x.
Twierdzenie 6.11. Niech Õ1, Õ2, . . . , Õn " V0.
UkÅ‚ad (Õ1, Õ2, . . . , Õn) jest lnz Ô! istnieje x0 " (a, b) taki, że W(Õ ,Õ2,... ,Õn)(x0) = 0.

1
Twierdzenie 6.12. JeÅ›li funkcje Õ1, Õ2, . . . , Õn stanowiÄ… fundamentalny ukÅ‚ad rozwiazaÅ„ rów-
nania (LJn), to rozwiązanie ogólne równania (LJn) tworzą funkcje postaci
Õ(x) = C1Õ1(x) + C2Õ2(x) + · · · + CnÕn(x), C1, C2, . . . , Cn " R.
Twierdzenie 6.13. JeÅ›li Õ1 : I R jest rozwiÄ…zaniem równania (LJ2) takim, że Õ1(x) = 0

dla x " I, zaś P1 jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p1, to funkcja określona wzorem
1
e-P (x)
Õ2(x) = Õ1(x) dx
Õ2(x)
1
jest również rozwiÄ…zaniem równania (LJ2). Ponadto funkcje Õ1, Õ2 sÄ… lnz.
Rozwiązanie ogólne równania liniowego (Ln)
Twierdzenie 6.14. Niech Õs bÄ™dzie rozwiÄ…zaniem szczególnym równania (Ln). Wówczas roz-
wiązanie ogólne równania liniowego (Ln) tworzą wszystkie funkcje postaci
Õ = Õ0 + Õs,
gdzie Õ0 jest dowolnym rozwiÄ…zaniem równania jednorodnego (LJn).
2006-EK
33
Wniosek 6.15. JeÅ›li funkcje Õ1, Õ2, . . . , Õn stanowiÄ… fundamentalny ukÅ‚ad rozwiÄ…zaÅ„ równania
(LJn) oraz Õs jest rozwiÄ…zaniem szczególnym równania (Ln), to rozwiÄ…zanie ogólne równania
(Ln) tworzÄ… funkcje postaci
Õ(x) = C1Õ1(x) + C2Õ2(x) + · · · + CnÕn(x) + Õs(x), C1, C2, . . . , Cn " R.
Rozwiązanie szczególne równania liniowego (Ln)
Twierdzenie 6.16. Załóżmy, że funkcje Õ1, Õ2, . . . , Õn stanowiÄ… fundamentalny ukÅ‚ad rozwiÄ…-
zań równania (LJn). Wówczas funkcja postaci
Õs(x) = C1(x)Õ1(x) + C2(x)Õ2(x) + · · · + Cn(x)Õn(x)
jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (Ln), gdy funkcje C1, C2, . . . , Cn : (a, b) R
są rozwiązaniami układu równań
Å„Å‚
C 1Õ1 +C2Õ2 + · · · + CnÕn = 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
C 1Õ 1 +C2Õ 2 + · · · + CnÕ n = 0,
ôÅ‚
òÅ‚
. . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
C 1Õ(n-2) +C2Õ(n-2) + · · · + CnÕ(n-2) = 0,
ôÅ‚
1 2 n
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
C 1Õ(n-1) +C2Õ(n-1) + · · · + CnÕ(n-1) = q.
1 2 n
6.4. Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych
współczynnikach.
Definicja 6.17. Równanie postaci
y(n) + an-1y(n-1) + an-2y(n-2) + · · · + a1y + a0y = q(x), (LSn)
gdzie an-1, an-2, . . . , a1, a0 " R, q : (a, b) R, nazywamy równaniem równaniem liniowym
n-tego rzędu o stałych współczynnikach.
Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJSn)
Definicja 6.18. Równanie
rn + an-1rn-1 + an-2rn-2 + · · · + a1r + a0 = 0
nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego o stałych współ-
czynnikach
y(n) + an-1y(n-1) + an-2y(n-2) + · · · + a1y + a0y = 0. (LJSn)
Fundamentalny układ rozwiązań równania (LJSn) można wyznaczyć przy pomocy pierwiastków
równania charakterystycznego, korzystając z następującego faktu:
34
Twierdzenie 6.19. Niech r będzie rozwiązaniem równania charakterystycznego równania (LJSn).
Wówczas
1. jeśli r jest pierwiastkiem rzeczywistym o krotności k, to każda z funkcji
erx, xerx, x2erx, xk-1erx
jest rozwiązaniem równania (LJSn);
2. jeÅ›li r = Ä… + i² jest pierwiastkiem zespolonym o krotnoÅ›ci k, to każda z funkcji
eÄ…x cos ²x, xeÄ…x cos ²x, x2eÄ…x cos ²x, xk-1eÄ…x cos ²x,
eÄ…x sin ²x, xeÄ…x sin ²x, x2eÄ…x sin ²x, xk-1eÄ…x sin ²x,
jest rozwiązaniem równania (LJSn).
Ponadto funkcje wybrane w ten sposób dla wszystkich pierwiastków równania charakterystycz-
nego równania (LJSn) stanowią układ lnz.
Rozwiązanie szczególne równania liniowego (LSn)
Twierdzenie 6.20. Jeśli Wn, Vm są wielomianami stopnia, odpowiednio n i m, oraz
an-1, an-2, . . . , a1, a0, Ä…, ² " R, to równanie liniowe
y(n) + an-1y(n-1) + an-2y(n-2) + · · · + a1y + a0y = [Wn(x) cos ²x + Vm(x) sin ²x]eÄ…x
ma rozwiązanie szczególne postaci
Õs(x) = xk[Pl(x) cos ²x + Ql(x) sin ²x]eÄ…x,
gdzie Pl, Ql sÄ… wielomianami stopnia l = max{n, m} oraz
kr, gdy r = Ä… + ²i jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotnoÅ›ci kr,
k =
0 w przeciwnym wypadku.
Uwaga 6.21. StaÅ‚Ä… Ä… + ²i nazywamy staÅ‚Ä… kontrolnÄ… równania rozważanego w tw. 6.20.
Twierdzenie 6.22. Niech q1, q2 : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi oraz an-1, an-2, . . . ,
a1, a0 " R. JeÅ›li Õs jest rozwiÄ…zaniem równania
1
y(n) + an-1y(n-1) + an-2y(n-2) + · · · + a1y + a0y = q1(x),
zaÅ› Õs jest rozwiÄ…zaniem równania
2
y(n) + an-1y(n-1) + an-2y(n-2) + · · · + a1y + a0y = q2(x),
to funkcja Õs + Õs jest rozwiÄ…zaniem szczególnym równania
1 2
y(n) + an-1y(n-1) + an-2y(n-2) + · · · + a1y + a0y = q1(x) + q2(x).
2006-EK