4. CAA
KA NIEOZNACZONA
W całym rozdziale niech I oznacza dowolny przedział (otwarty, domknięty lub jednostronnie domknięty).
4.1. Funkcja pierwotna
Definicja 4.1. Niech f : I R. FunkcjÄ™ F : I R nazywamy funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f na przedziale
I, gdy


F (x) = f(x).
x"I
Twierdzenie 4.2. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, to
a) funkcja F + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną funkcji f,
b) każdą funkcję pierwotną funkcji f można przedstawić w postaci F +C0, gdzie C0 jest odpowiednio dobraną
stałą.
Wniosek 4.3. Dla dowolnego punktu (x0, y0), gdzie x0 " I, istnieje dokładnie jedna funkcja pierwotna,
której wykres przechodzi przez ten punkt.
Definicja 4.4. Niech f : I R. Zbiór wszystkich funkcji piewotnych funkcji f na przedziale I (o ile jest
niepusty) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I i oznaczamy przez

f(x) dx lub f.
Jeśli funkcja F : I R jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f, to piszemy

f(x) dx = F (x) + C, gdzie C " R.
Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej i wzorów na pochodne odpowiednich funkcji wynikają wzory na
podstawowe całki nieoznaczone (patrz tabela w paragrafie 5.4).
4.2. Własności całki nieoznaczonej
Twierdzenie 4.5. Niech f : I R.


a) Jeśli istnieje całka f, to f = f.

b) Jeśli istnieje całka (f ), to (f ) = f + C, gdzie C " R.

Twierdzenie 4.6 (liniowość całki nieoznaczonej). Niech f, g : I R. Jeśli istnieją całki f i g,
to

a) istnieje całka (f + g) oraz

(f + g) = f + g;

b) dla dowolnej liczby rzeczywistej k istnieje całka (kf) oraz


(kf) = k f .
2007, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 22
Twierdzenie 4.7 (warunek wystarczający istnienia całki nieoznczonej). Jeśli funkcja f : I R
jest ciągła, to istnieje całka nieoznaczona funkcji f na przedziale I.
Uwaga 4.8.
(1) O ile pochodne funkcji elementarnych sÄ… funkcjami elementarnymi, to funkcje pierwotne funkcji elemen-
tarnych nie muszą być funkcjami elementarnymi. W konsekwencji istnieją funkcje elementarne, których
całki nieoznaczone nie wyrażają się przy pomocy funkcji elementarnych,

cosx
2
np. e-x dx, sin(x2) dx, dx.
x
(2) Istnieją funkcje nieciągłe, które posiadają całkę nieoznaczoną. Np. można sprawdzić, że funkcja f
określona wzorem

1 1
2x sin - cos , gdy x = 0,

x x
f(x) =
0, gdy x = 0,

nie jest ciągła w punkcie 0, zaś f(x) dx = g(x) + C, gdzie C " R oraz

1
x2 sin , gdy x = 0,

x
g(x) =
0, gdy x = 0.
4.3. Metody całkowania
Twierdzenie 4.9 (o całkowaniu przez części). Załóżmy, że
(1) funkcje f, g : I R są różniczkowalne na przedziale I,
(2) istnieje całka nieoznaczona z funkcji f g na przedziale I.
Wówczas istnieje całka nieoznaczona z funkcji fg na przedziale I oraz zachodzi wzór

fg = fg - f g.
Twierdzenie 4.10 (o całkowaniu przez podstawienie). Załóżmy, że I, J są przedziałami oraz
(1) funkcja g : I J jest różniczkowalna na I,
(2) funkcja f : J R ma na przedziale J funkcjÄ™ pierwotnÄ… F .
Wówczas funkcja (f ć% g)g ma całkę nieoznaczoną na I oraz zachodzi wzór

(f ć% g)g = F ć% g + C, gdzie C " R.
2007, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 23
4.4. Podstawowe wzory na całki nieoznaczone
Wzór Założenia

(1) 0 dx = C x " R

xÄ…+1
(2) xÄ… dx = + C Ä… " R \ {1}, x " R lub x " R \ {0}
Ä…+1

1
(3) dx = ln |x| + C x = 0

x

ax
(4) ax dx = + C a " (0, 1) *" (1, +"), x " R
ln a

(5) sin x dx = - cos x + C x " R

(6) cos x dx = sin x + C x " R

1
(7) dx = - ctg x + C x " (kĄ, (k + 1)Ą), k " Z
sin2 x

1
(8) dx = tg x + C x " ((2k - 1)Ä„ , (2k + 1)Ä„ ), k " Z
2 2
cos2 x

1
(9) dx = arctg x + C x " R
1 + x2

1
(10) " dx = arc sin x + C x " (-1, 1)
1 - x2

f (x)
(11) dx = ln |f(x)| + C f(x) = 0

f(x)


f (x)

(12) dx = 2 f(x) + C f(x) > 0
f(x)
2007, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 24
4.5. Całkowanie funkcji wymiernych.
V (x)
(A) Każdą funkcję wymierną postaci , gdzie V i Q są wielomianami niezerowymi można jednozncznie
Q(x)
przedstawić w postaci
P (x)
W (x) + ,
Q(x)
gdzie W i P są wielomianami, przy czym stopień wielomianu P jest mniejszy niż stopień wielomianu Q.
P (x)
(B) Każdą funkcję wymierną postaci , gdzie P jest wielomianem stopnia mniejszego niż stopień wielo-
Q(x)
mianu Q, można jednoznacznie przedstawić jako skończoną sumę ułamków prostych pierwszego lub
drugiego rodzaju, tzn. funkcji postaci
A
(I) ,
(x - p)n
Ax + B
(II) ,
((x - p)2 + k)n
gdzie n " N, A, B, p " R, k > 0.
(C) Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju:

A 1
t = x - p
dx = = A dt = . . .
dt = dx
(x - p)n tn
(W przypadku n = 1 można zastosować wzór (11)).
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju:


t = x - p
Ax + B A(t + p) + B

dx = = dt =

((x - p)2 + k)n (t2 + k)n
dt = dx

At 1
= dt + (pA + B) dt = . . .
(t2 + k)n (t2 + k)n

Jn In
Wzór Założenia

1 1 x
" "
(13) I1 = dx = arc tg + C k > 0, x " R
x2 + k
k k


1 1 x
(14) In = dx = + (2n - 3)In-1 n = 2, 3, . . . , k > 0, x " R
(x2 + k)n k(2n - 2) (x2 + k)n-1
Wskazówki:
Å„Å‚
òÅ‚
gdy n = 1 stosujemy wzór (11),
Jn =
ół
gdy n > 1 stosujemy podstawienie s = t2 + k
x
"
s =

k

I1 = = . . .

dx
"
ds =

k
2007, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 25
4.6. Całkowanie funkcji z niewymiernościami.
Niech R : R2 R będzie funkcją wymierną.
"

n
tn-b

"
t = ax + b x =
n
a
(A) R(x, ax + b ) dx = lub = . . . , a = 0



dt = . . . dx = . . .



ax + b t = ax+b

cx+d
(B) R x, dx = lub jw. . . . ,

cx + d

dt = . . .
Niech Wn : R R będzie wielomianem n-tego stopnia, n " N *" {0}.

Wn(x)

(C) dx, k, p " R, a = 0

k + a(x - p)2
" n = 0


t = x - p
A


dx = = . . . (stosujemy wzór (15) lub (16)),
k + a(x - p)2 dt = dx

Wzór Założenia

1 x
"
(15) " dx = arc sin + C k > 0, k - x2 > 0
k - x2 k


"
1

(16) " dx = ln x + k + x2 + C k = 0, k + x2 > 0

k + x2
Wskazówki:
x
"
"
t =

k x = k sin t

ad. (15) lub
"

dx
"
dt =

dx = k cos tdt
k
"
t = x + k + x2


"
ad. (16)

x+ k+x2 dt dx
" "
dt = dx Ò! =

t
k+x2 k+x2
" n > 0  stosujemy tzw. metodę współczynników nieoznaczonych:


Wn(x) 1
dx = Qn-1(x) k + a(x - p)2 + ² dx,
k + a(x - p)2 k + a(x - p)2
gdzie Qn-1 oznacza wielomian stopnia n - 1, zaÅ› ² jest pewnÄ… staÅ‚Ä….
2007, E. Kotlicka
4. CAA
KA NIEOZNACZONA 26
4.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych.
Niech R : R2 R będzie funkcją wymierną.
(A) R(-u, v) = -R(u, v)


t = cos x

R(sin x, cos x) dx = = . . .

dt =
- sin xdx


np. sinn x cosm x dx, gdzie n, m " Z, n- liczba nieparzysta, m- liczba . . . . . . . . . . . . .
(B) R(u, -v) = -R(u, v)


t = sin x

R(sin x, cos x) dx = = . . .

dt = cos xdx

np. sinn x cosm x dx, gdzie n, m " Z, n- liczba . . . . . . . . . . . . . m- liczba . . . . . . . . . . . . .
(C) R(-u, -v) = R(u, v)

t = tg x Ò! x = arc tg t


R(sin x, cos x) dx = = . . . ,
dt
dx =

t2+1
t2 1 t
(sin2 x = , cos2 x = , sin x cos x = ),
1 + t2 1 + t2 1 + t2

np. sinn x cosm x dx, gdzie n, m " Z, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(D) R  dowolna funkcja
x

t = tg Ò! x = 2 arc tg t

2

R(sin x, cos x) dx = = . . . ,

2dt
dx =

t2+1
2t 1 - t2
(sin x = , cos x = ).
1 + t2 1 + t2
Wzór Założenia

1 n-1
(17) sinn x dx = - cos x sinn-1 x + sinn-2 x dx n = 2, 3, . . . , x " R
n n

1 n-1
(18) cosn x dx = sin x cosn-1 x + cosn-2 x dx n = 2, 3, . . . , x " R
n n
Wskazówka: wykorzystać wzór na całkowanie przez części.
2007, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 27
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I
CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA
5.1. Definicja całki oznaczonej Riemanna
Niech a, b " R i a < b.
Definicja 5.1 (Oznaczenia stosowane w definicji całki oznaczonej).
" Podziałem przedziału [a, b] nazywamy zbiór Pn = {x0, x1, . . . , xn}, gdzie n " N, punktów spełniają-
cych warunek:
a = x0 < x1 < . . . < xn-1 < xn = b.
" Średnicą podziału Pn przedziału [a, b] nazywamy liczbę
def
´(Pn) = max{"xi : i = 1, 2, . . . , n},
gdzie "xi = xi - xi-1.
" Układem punktów pośrednich podziału Pn przedziału [a, b] nazywamy dowolny zbiór Tn = {t1, . . . , tn}
taki, że
ti " [xi-1, xi] dla i = 1, . . . , n.
Definicja 5.2. Niech f : [a, b] R będzie funkcją ograniczoną, zaś Pn- dowolnym podziałem przedziału
[a, b]. Sumą całkową odpowiadającą podziałowi Pn i układowi punktów pośrednich Tn nazywamy liczbę
n

def
S(f, Pn, Tn) = f(ti)"xi.
i=1
Definicja 5.3. Mówimy, że ograniczona funkcja f : [a, b] R jest całkowalna w sensie Riemanna na
przedziale [a, b], gdy istnieje granica lim S(f, Pn, Tn) (przyjmujemy, że lim S(f, Pn, Tn) = A wtedy i
´(Pn)0 ´(Pn)0
tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciÄ…gu (Pn) podziałów przedziaÅ‚u [a, b] takiego, że lim ´(Pn) = 0, i dowol-
n"
nego ciągu (Tn) układów punktów pośrednich zachodzi równość A = lim S(f, Pn, Tn)). Rozważaną granicę
n"
nazywamy wówczas całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale [a, b] i zapisujemy
b
def
f(x) dx = lim S(f, Pn, Tn).
´(Pn)0
a
Ponadto przyjmujemy, że
a a
b
def def
f(x) dx = 0 oraz f(x) dx = - f(x) dx.
a a
b
Rodzinę funkcji całkowalnych na przedziale [a, b] oznaczamy przez R[a, b].
Uwaga 5.4. Jeśli funkcja jest całkowalna na przedziale, to jest tam ograniczona, ale odwrotnie nie musi
być.
2007, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 28
5.2. Własności całki oznaczonej
Twierdzenie 5.5 (warunki wystarczające całkowalności funkcji). Niech f : [a, b] R będzie funkcją
ograniczonÄ….
a) Jeśli f ma na przedziale [a, b] skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to f " R[a, b].
b) Jeśli f jest monotoniczna na przedziale [a, b], to f " R[a, b].
Twierdzenie 5.6 (liniowość całki oznaczonej). Jeśli funkcje f, g " R[a, b], to
a) f + g " R[a, b] oraz
b b b
(f(x) + g(x)) dx = f(x) dx + g(x) dx;
a a a
b) kf " R[a, b] dla dowolnej liczby rzeczywistej k oraz
b b
kf(x) dx = k f(x) dx.
a a
Twierdzenie 5.7. Jeśli funkcje f, g " R[a, b], to
a) f ć% g " R[a, b], gdy f jest funkcją ciągłą na g[[a, b]];
b) |g| " R[a, b];
c) fg " R[a, b].
Twierdzenie 5.8 (monotoniczność całki oznaczonej). Jeśli funkcje f, g " R[a, b] oraz f(x) g(x) dla
b b
każdego x " [a, b], to f(x) dx g(x) dx.
a a
Twierdzenie 5.9 (addytywność całki względem przedziałów całkowania).
Jeśli f " R[a, b], to dla dowolnego c " (a, b) funkcja f " R[a, c] )" R[c, b] oraz
b c b
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx.
a a c
Twierdzenie 5.10. Jeśli f " R[a, b] oraz funkcja g różni się od funkcji f tylko w skończonej liczbie punktów
b b
przedziału [a, b], to g " R[a, b] oraz g(x) dx = f(x) dx.
a a
Twierdzenie 5.11 (całkowe o wartości średniej). Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła na przedziale
[a, b], to
b
1
f(c) = f(x) dx.
b - a
c"(a,b)
a
b
Twierdzenie 5.12. Jeśli funkcja f : [a, b] [0, +") jest ciągła na przedziale [a, b], to całka f(x) dx
a
równa jest polu figury ograniczonej wykresem funkcji f oraz prostymi o równaniach x = a, x = b i y = 0.
2007, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 29
5.3. Funkcja górnej granicy całkowania, wzór Newtona-
Leibniza
Definicja 5.13. Niech f " R[a, b]. Funkcję F : [a, b] R określoną wzorem
x

def
F (x) = f(t) dt
a
nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
Twierdzenie 5.14. Jeśli funkcja f : [a, b] R jest całkowalna na [a, b], to funkcja górnej granicy całkowa-
nia F jest ciągła na [a, b]. Ponadto jeśli f jest ciągła w punkcie x0 " [a, b], to funkcja F jest różniczkowalna
w x0 oraz

F (x0) = f(x0).
Twierdzenie 5.15 (Newtona-Leibniza). Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b], to
b
f(x) dx = G(b) - G(a),
a
gdzie G jest dowolnÄ… funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f na przedziale [a, b].
Uwaga 5.16.
(1) Zamiast G(b) - G(a) piszemy najczęściej [G(x)]b lub G(x)|b .
a a
(2) Powyższy wzór pozostaje nadal prawdziwy, gdy zamiast ciągłości założymy całkowalność funkcji f oraz
istnienie funkcji pierwotnej funkcji f na przedziale [a, b].
5.4. Metody obliczania całek oznaczonych
Twierdzenie 5.17 (o całkowaniu przez części). Niech f, g : [a, b] R. Jeśli funkcje f, g mają ciągłe
pochodne na przedziale [a, b], to zachodzi wzór
b b
f(x)g (x) dx = [f(x)g(x)]b - f (x)g(x) dx.
a
a a
Twierdzenie 5.18 (o całkowaniu przez podstawienie). Załóżmy, że
na
(1) funkcja g : [a, b] [Ä…, ²] ma ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… na [a, b],
(2) g(a) = Ä…, g(b) = ²,
(3) funkcja f : [Ä…, ²] R jest ciÄ…gÅ‚a na [Ä…, ²].
Wówczas zachodzi wzór
²
b
f(g(x))g (x) dx = f(t) dt.
a Ä…
Twierdzenie 5.19 (całka funkcji parzystej i nieparzystej). Niech a " (0, +") oraz f " R[-a, a].
a) Jeśli f jest parzysta na [-a, a], to
a a

f(x) dx = 2 f(x) dx;
-a 0
b) Jeśli f jest nieparzysta na [-a, a], to
a

f(x) dx = 0.
-a
2007, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 30
5.5. Całki niewłaściwe
W paragrafie tym podamy definicje całki oznaczonej na przedziale nieograniczonym i całki z funkcji
nieograniczonej.
Definicja 5.20 (całka niewłaściwa pierwszego rodzaju). Niech f : [a, +") R będzie funkcją całkowalną
²

na każdym przedziale postaci [a, ²], gdzie ² > a. GranicÄ™ lim f(x) dx nazywamy caÅ‚kÄ… niewÅ‚aÅ›ciwÄ…
²+"
a
"

funkcji f na przedziale [a, +") i oznaczamy przez f(x) dx. Zatem
a
²
"

def
f(x) dx = lim f(x) dx.
²+"
a a
Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Gdy rozważana granica
jest niewłaściwa lub nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (-", b] :
b b
def
f(x) dx = lim f(x) dx.
Ä…-"
-" Ä…
Ponadto przyjmujemy, że
" "
c
def
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx,
-" -" c
gdzie c jest dowolną stałą. Tak zdefiniowana całka jest zbieżna, gdy obie całki niewłaściwe po prawej stronie
są zbieżne.
Definicja 5.21 (całka niewłaściwa drugiego rodzaju). Niech f : [a, b) R będzie funkcją całkowalną na
każdym przedziale postaci [a, ²], gdzie a < ² < b, oraz nieograniczonÄ… w każdym lewostronnym sÄ…siedztwie
²

punktu b. Granicę lim f(x) dx nazywamy całką niewłaściwą nieograniczonej funkcji f na przedziale
²b-
a
b
[a, b) i oznaczamy przez f(x) dx. Zatem
a
²
b
def
f(x) dx = lim f(x) dx.
²b-
a a
Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka jest zbieżna, jeśli zaś granica jest niewłaściwa
lub nie istnieje, to całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f : (a, b] R nieograniczonej w każdym prawostronnym
sÄ…siedztwie punktu a:
b b
def
f(x) dx = lim f(x) dx.
Ä…a+
a Ä…
2007, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 31
" Jeśli f jest jednocześnie nieograniczona w każdym lewostronnym sąsiedztwie punktu b i w każdym
prawostronnym sÄ…siedztwie punktu a, to przyjmujemy
b c b
def
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx,
a a c
gdzie c jest dowolną stałą z przedziału (a, b).
" Jeśli f jest nieograniczona w każdym sąsiedztwie punktu x0 " (a, b), to
x
b 0 b
def
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx.
a a x0
W obu przypadkach mówimy, że tak zdefniowane całki są zbieżne, gdy obie całki niewłaściwe po prawej
stronie są zbieżne.
W przypadku gdy funkcja pierwotna funkcji podcałkowej jest trudna do znalezienia, można stosować
przybliżone metody całkowania. Wymaga to jednak uprzedniego stwierdzenia, czy dana całka niewłaściwa
jest zbieżna. Służą do tego tzw. kryteria zbieżności całek niewłaściwych.
Twierdzenie 5.22 (kryterium porównawcze zbieżności całek niewłaściwych). Załóżmy, że funkcje
f, g : [a, b) R sÄ… caÅ‚kowalne na każdym przedziale postaci [a, ²], gdzie a < ² < b, przy czym b = +" lub
f i g są nieograniczone w każdym lewostronnym sąsiedztwie punktu b.
a) Jeśli

|f(x)| g(x)
x"[a,b)
b b
i całka g(x) dx jest zbieżna, to całka f(x) dx jest bezwzględnie zbieżna (tzn. zbieżna jest również
a a
b
całka |f(x)| dx).
a
b) Jeśli

f(x) g(x) 0
x"[a,b)
b b
i całka g(x) dx jest rozbieżna, to całka f(x) dx jest rozbieżna.
a a
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla całek niewłaściwych funkcji określonych na przedziale (a, b].
Uwaga 5.23. Jeśli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto zachodzi
nierówność

b

b


f(x) dx |f(x)| dx.


a a
Twierdzenie 5.24 (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych). Niech n0 " N. Jeśli funkcja
f : [n0, +") (0, +") jest nierosnÄ…ca, to
"

"

f(n) jest zbieżny Ô! f(x) dx jest zbieżna.
n=n0
n0
2007, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 32
5.6. Zastosowania całki oznaczonej w geometrii
A. POLE OBSZARU
" Pole trapezu krzywoliniowego. Niech dana krzywa będzie określona równaniami w postaci parame-
trycznej
x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²],
gdzie x(t) jest funkcjÄ… Å›ciÅ›le monotonicznÄ… i posiadajÄ…cÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… na przedziale [Ä…, ²], zaÅ› y(t)
jest funkcją ciągłą na w tym przedziale. Niech D oznacza obszar ograniczony łukiem danej krzywej oraz
prostymi x = a, x = b i y = 0. Wówczas pole |D| tego obszaru wyraża się wzorem
²



|D| = y(t)x (t) dt.
Ä…
W przypadku, gdy D jest obszarem normalnym względem osi Ox, tzn.
D = {(x, y) " R2 : a x b '" f(x) y g(x)},
gdzie f, g są funkcjami ciągłymi na [a, b], to
b
|D| = (g(x) - f(x)) dx.
a
Jeśli natomiast D jest obszarem normalnym względem osi Oy, tzn.
D = {(x, y) " R2 : c y d '" l(x) x p(x)},
gdzie l, p są funkcjami ciągłymi na [c, d], to
d

|D| = (p(y) - l(y)) dy.
c
" Pole wycinka krzywoliniowego. Niech dana krzywa będzie określona we współrzędnych biegunowych
równaniem
r = f(¸), ¸ " [Ä…, ²],
gdzie f jest funkcjÄ… nieujemnÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na przedziale [Ä…, ²] (0 < ² - Ä… < 2Ä„). Wówczas pole obszaru D
ograniczonego Å‚ukiem danej krzywej oraz promieniami wodzÄ…cymi rÄ… i r² wyraża siÄ™ wzorem
²

1
|D| = (f(¸))2 d¸.
2
Ä…
B. DA
UGOŚĆ A
UKU
" Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²],
przy czym funkcje x(t), y(t) majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne na przedziale [Ä…, ²], oraz Å‚uk nie ma punktów
wielokrotnych, to jego długość |l| wyraża się wzorem
²


|l| = (x (t))2 + (y (t))2 dt.
Ä…
W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym
l : y = f(x), x " [a, b],
2007, E. Kotlicka
5. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA I CAA
KA NIEWA
AÅšCIWA 33
gdzie f jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to
b

|l| = 1 + (f (x))2 dx.
a
" Jeśli łuk l dany jest równaniem we współrzędnych biegunowych
r = f(¸), ¸ " [Ä…, ²],
przy czym funkcja f ma ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… na przedziale [Ä…, ²], oraz Å‚uk nie ma punktów wielokrotnych,
to jego długość |l| wyraża się wzorem
²


|l| = (f(¸))2 + (f (¸))2 d¸.
Ä…
C. OBJ
TOŚĆ I POLE POWIERZGNI BOCZNEJ BRYA
Y OBROTOWEJ
Niech D oznacza obszar ograniczony Å‚ukiem l danej krzywej oraz prostymi x = a, x = b i y = 0. Niech
V będzie bryłą powstałą z obrotu obszaru D dookoła osi Ox, zaś S  powierzchnią boczną tej bryły.
" Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²],
przy czym funkcje x(t), y(t) majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne na przedziale [Ä…, ²], funkcja x(t) jest Å›ciÅ›le monoton-
iczna, zaÅ› funkcja y(t)  nieujemna na przedziale [Ä…, ²], to objÄ™tość |V | bryÅ‚y V oraz pole |S| powierzchni
S wyrażają się wzorami
²



|V | = Ä„ (y(t))2 x (t) dt,
Ä…
²


|S| = 2Ä„ y(t) (x (t))2 + (y (t))2 dt.
Ä…
W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym
l : y = f(x), x " [a, b],
gdzie f jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to
b
|V | = Ä„ (f(x))2 dx,
a
b

|S| = 2Ä„ f(t) 1 + (f (x))2 dx.
a
2007, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE 34
6. SZEREGI LICZBOWE
Definicja 6.1. Niech (an) będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.
" LiczbÄ™ Sn, gdzie
def
Sn = a1 + a2 + · · · + an,
nazywamy n-tą sumą częściową wyrazów ciągu (an).
" Ciąg (Sn) sum częściowych nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym an.
Definicja 6.2.
" Jeśli istnieje skończona granica
S = lim Sn,
n"
to mówimy, że dany szereg jest zbieżny.
"

LiczbÄ™ S nazywamy sumÄ… szeregu i oznaczamy symbolem an.
n=1
" Mówimy, że szereg jest rozbieżny, w przypadku gdy nie jest zbieżny.
"

Uwaga 6.3. Symbolem an (lub krótko an) oznaczać dalej będziemy zarówno szereg o wyrazie an, jak
n=1
i jego sumÄ™.
Definicja 6.4. Niech q " R. Szereg postaci
"

qn
n=1
nazywamy szeregiem geometrycznym o podstawie q.
Twierdzenie 6.5. Szereg geometryczny jest zbieżny Ô! |q| < 1.
Definicja 6.6. Niech Ä… " R. Szereg postaci
"

1
nÄ…
n=1
nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu ą.
Twierdzenie 6.7. Szereg harmoniczny jest zbieżny Ô! Ä… > 1.
Twierdzenie 6.8. Niech n0 " N. Wówczas
" "

szereg an jest zbieżny Ô! szereg an jest zbieżny.
n=n0
n=1
" "

Twierdzenie 6.9. Jeśli szeregi an i bn są zbieżne, to
n=1 n=1
"

a) szereg (an + bn) jest zbieżny oraz
n=1
" " "

(an + bn) = an + bn,
n=1 n=1 n=1
2007, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE 35
"

b) szereg can, gdzie c " R, jest zbieżny oraz
n=1
" "

can = c an.
n=1 n=1
Twierdzenie 6.10 (warunek konieczny zbieżności szeregu). .
"

Jeśli szereg an jest zbieżny, to lim an = 0.
n"
n=1
Uwaga 6.11. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
"

Twierdzenie 6.12. Szereg an jest zbieżny Ô! speÅ‚nia warunek Cauchy ego, tzn.
n=1

[m > n K Ò! |an+1 + an+2 + · · · + am| < µ].
µ>0 K"N m,n"N
Twierdzenie 6.13 (o zagęszczaniu). .
Załóżmy, że (an) jest nierosnącym ciągiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas
" "

n
szereg an jest zbieżny Ô! szereg 2na2 jest zbieżny.
n=1 n=1
Definicja 6.14.
" "

" Mówimy, że szereg an jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg |an| .
n=1 n=1
"

" Mówimy, że szereg an jest warunkowo zbieżny, gdy jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.
n=1
"

Twierdzenie 6.15 (kryterium bezwzględnej zbieżności). Jeśli szereg |an| jest zbieżny, to zbieżny
n=1
"

jest szereg an.
n=1
Uwaga 6.16. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
"

Twierdzenie 6.17. Każdy szereg an bezwzględnie zbieżny jest przemienny, tzn. dla dowolnej permutacji
n=1
"

(kn) liczb naturalnych szereg akn jest zbieżny i ma taką samą sumę jak dany szereg.
n=1
"

Twierdzenie 6.18 (Riemanna). Jeśli szereg an jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego S " R
n=1
istnieje permutacja (kn) liczb naturalnych taka, że
"

S = akn.
n=1
2007, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE 36
6.1. Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbowych
Twierdzenie 6.19 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach nieujemnych). Załóżmy, że

0 an bn.
n"N
" "

a) Jeśli bn jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny.
n=1 n=1
" "

b) Jeśli an jest rozbieżny, to szereg bn jest rozbieżny.
n=1 n=1
Wniosek 6.20 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach dowolnych). Jeśli

|an| bn
n"N
" "

oraz szereg bn jest zbieżny, to szereg an jest zbieżny bezwzględnie.
n=1 n=1
Twierdzenie 6.21 (kryterium ilorazowe). Załóżmy, że an, bn > 0 dla n " N, ciąg (an ) jest zbieżny oraz
bn
an
lim > 0. Wówczas
bn
n"
" "

szereg an jest zbieżny Ô! szereg bn jest zbieżny.
n=1 n=1

n
Twierdzenie 6.22 (kryterium Cauchy ego). Niech g = lim |an|. Wówczas
n"
"

a) jeśli g < 1, to szereg an jest bezwzględnie zbieżny,
n=1
"

b) jeśli 1 < g ", to szereg an jest rozbieżny.
n=1


an+1
Twierdzenie 6.23 (kryterium d Alamberta). Załóżmy, że an = 0 dla n " N oraz g = lim .

an
n"
Wówczas
"

a) jeśli g < 1, to szereg an jest bezwzględnie zbieżny,
n=1
"

b) jeśli 1 < g ", to szereg an jest rozbieżny.
n=1
an
Twierdzenie 6.24 (kryterium Raabego). Załóżmy, że an > 0 dla n " N oraz g = lim n(an+1 - 1).
n"
Wówczas
"

a) jeśli g > 1, to szereg an jest zbieżny,
n=1
"

b) jeśli g < 1, to szereg an jest rozbieżny.
n=1
2007, E. Kotlicka
6. SZEREGI LICZBOWE 37
Twierdzenie 6.25 (kryterium Dirichleta). Jeśli
(1) ciąg (an) jest monotonicznie zbieżny do 0,
"

(2) ciąg (Sn) sum częściowych szeregu bn jest ograniczony,
n=1
"

to szereg anbn jest zbieżny.
n=1
Wniosek 6.26 (kryterium Leibniza).
Twierdzenie 6.27 (kryterium Abela). Jeśli
(1) ciÄ…g (an) jest monotoniczny i ograniczony,
"

(2) szereg bn jest zbieżny,
n=1
"

to szereg anbn jest zbieżny.
n=1
2007, E. Kotlicka
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 38
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE
7.1. CiÄ…gi funkcyjne
Niech X ‚" R i X = ". W rozdziale tym zakÅ‚adamy, że fn : X R dla n " N, f : X R oraz E ‚" X.

Definicja 7.1.
" Ciąg (fn), którego wyrazami są funkcje fn, nazywamy ciągiem funkcyjnym.
" Zbiór {x " X : ciąg liczbowy (fn(x)) jest zbieżny} nazywamy obszarem zbieżności ciągu (fn).
Definicja 7.2.
" Mówimy, że ciąg funkcyjny (fn) jest punktowo zbieżny na zbiorze E do funkcji f i piszemy
E
fn f,
gdy

lim fn(x) = f(x).
n"
x"E
FunkcjÄ™ f nazywamy granicÄ… punktowÄ… ciÄ…gu (fn) na zbiorze E.
" Mówimy, że ciąg funkcyjny (fn) jest jednostajnie zbieżny na zbiorze E do funkcji f i piszemy
E
fn Ò! f,
gdy

|fn(x) - f(x)| < µ.
µ>0 K"N n K x"E
FunkcjÄ™ f nazywamy granicÄ… jednostajnÄ… ciÄ…gu (fn) na zbiorze E.
E
E
Twierdzenie 7.3. JeÅ›li fn Ò! f, to fn f.
Twierdzenie 7.4. Niech Mn = sup{|fn(x) - f(x)| : x " E} dla n " N. Wówczas
E
fn Ò! f Ô! lim Mn = 0.
n"
7.2. Szeregi funkcyjne
Niech X ‚" R i X = ". Załóżmy, że fn : X R dla n " N, f : X R oraz E ‚" X.

Definicja 7.5. Niech (fn) będzie ciągiem funkcyjnym oraz niech
def

Sn(x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x).
x"X
" Ciąg funkcyjny (Sn) nazywamy szeregiem funkcyjnym o wyrazie ogólnym fn i oznaczamy przez
"

fn.
n=1
"

" Zbiór {x " X : szereg liczbowy fn(x) jest zbieżny} nazywamy obszarem zbieżności danego szeregu
n=1
funkcyjnego.
2007, E. Kotlicka
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 39
"

Definicja 7.6. Mówimy, że szereg fn jest
n=1
"

" bezwzględnie zbieżny na E, gdy szereg |fn(x)| jest zbieżny dla x " E,
n=1
"

" punktowo zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (Sn) jest punktowo zbieżny na E (tzn. gdy szereg fn(x)
n=1
jest zbieżny dla x " E),
" jednostajnie zbieżny na E, gdy ciąg funkcyjny (Sn) jest jednostajnie zbieżny na E.
"

GranicÄ™ punktowÄ… ciÄ…gu (Sn) nazywamy sumÄ… szeregu i oznaczamy przez fn.
n=1
Twierdzenie 7.7 (kryterium Weierstrassa). Niech fn : X R dla n " N. Załóżmy, że

|fn(x)| an
n"N x"X
" "

oraz szereg liczbowy an jest zbieżny. Wówczas szereg funkcyjny fn jest bezwzględnie i jednostajnie
n=1 n=1
zbieżny na X.
7.3. Szeregi potęgowe.
Definicja 7.8. Niech x0 " R oraz niech (an)" będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych.
n=0
Szereg funkcyjny postaci
"

a0 + an(x - x0)n, x " R,
n=1
nazywamy szeregiem potęgowym o środku x0 i współczynnikach an.
"

Twierdzenie 7.9 (Abela). Jeśli szereg anxn jest zbieżny w punkcie x1 = 0, to jest bezwzględnie zbieżny

n=1
w przedziale (- |x1| , |x1|).
Definicja 7.10.
"

" Promieniem zbieżności szeregu anxn nazywamy liczbę R > 0 taką, że szereg potęgowy jest zbieżny
n=1
w przedziale (-R, R), zaś rozbieżny w zbiorze (-", R) *" (R, +").
" Przyjmujemy, że R = 0, gdy dany szereg jest zbieżny tylko dla x = 0 oraz R = +", gdy szereg jest
zbieżny dla wszystkich x " R.
" Przedział (-R, R) nazywamy przedziałem zbieżności szeregu potęgowego.

n
Twierdzenie 7.11 (Cauchy ego-Hadamarda). Jeśli istnieje granica lim |an| = g, to szereg potęgowy
n"
"

anxn ma promień zbieżności
n=1
Å„Å‚
1/g, gdy 0 < g < +",
òÅ‚
R = 0, gdy g = +",
ół
+", gdy g = 0.
2007, E. Kotlicka
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 40


an+1
Twierdzenie 7.12 (d Alemberta). Jeśli an = 0 dla n " N oraz istnieje granica lim = g, to szereg

an
n"
"

potęgowy anxn ma promień zbieżności
n=1
Å„Å‚
1/g, gdy 0 < g < +",
òÅ‚
R = 0, gdy g = +",
ół
+", gdy g = 0.
"

Twierdzenie 7.13. Szereg potęgowy anxn jest bezwzględnie i jednostajnie zbieżny w każdym przedziale
n=1
domkniętym zawartym w przedziale zbieżnosci tego szeregu.
7.4. Pewne operacje na szeregach funkcyjnych
"

Twierdzenie 7.14. Niech fn : [a, b] R będą funkcjami ciągłymi na [a, b]. Jeśli fn jest zbieżny jednos-
n=1
tajnie na [a, b], to
a) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją ciągłą na [a, b] i dla dowolnego x0 " [a, b] zachodzi równość
" "

lim fn(x) = lim fn(x);
xx0 xx0
n=1 n=1
b) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją całkowalną na [a, b] oraz
b b
" "
fn(x) dx = fn(x)dx.
n=1 n=1
a a
"

Twierdzenie 7.15. Niech fn : [a, b] R, n " N, będą funkcjami różniczkowalnymi na [a, b]. Jeśli fn
n=1
"

jest zbieżny, zaś szereg (fn) jest jednostajnie zbieżny na [a, b], to suma szeregu funkcyjnego jest funkcją
n=1
różniczkowalną na [a, b] i dla dowolnego x " [a, b] zachodzi równość
"
"


fn(x) = fn(x).
n=1 n=1
"

Wniosek 7.16. Niech (an) będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeśli szereg potęgowy anxn ma promień
n=1
zbieżności R, to dla dowolnego x " (-R, R) mamy

x

" "

an
antn dt = xn+1
n + 1
n=1 n=1
0
oraz
"
"

anxn = annxn-1,
n=1 n=1
przy czym szeregi występujące po prawej stronie powyższych wzorów mają taki sam promień zbieżności jak
dany szereg.
2007, E. Kotlicka
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 41
7.5. Szereg Taylora i Maclaurina
Definicja 7.17. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie x0 " (a, b).
Szereg potęgowy postaci
"

f(n)(x0)
f(x0) + (x - x0)n, x " (a, b),
n!
n=1
nazywamy szeregiem Taylora odpowiadającym funkcji f w punkcie x0. Jeśli x0 = 0, to szereg ten nazy-
wamy szeregiem Maclaurina odpowiadajÄ…cym funkcji f.
Twierdzenie 7.18. Jeśli funkcja f : (a, b) R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie x0 " (a, b) oraz
(1) lim Rn(x) = 0 dla x " (a, b),
n"
gdzie Rn(x) oznacza resztÄ™ we wzorze Taylora odpowiadajÄ…cym funkcji f, to szereg Taylora odpowiadajÄ…cy
funkcji f jest zbieżny na (a, b) i zachodzi równość
"

f(n)(x0)
f(x) = f(x0) + (x - x0)n dla x " (a, b).
n!
n=1
Mówimy wówczas, że funkcja f jest rozwijalna w szereg Taylora (lub Maclaurina, gdy x0 = 0).
Uwaga 7.19. Warunek (1) zachodzi w przypadku, gdy wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone
na przedziale (a, b).
Rozwinięcie Maclaurina dla wybranych funkcji
"

xn
ex = , x " R
n!
n=0
"

x2n+1
sin x = (-1)n , x " R
(2n + 1)!
n=0
"

x2n
cos x = (-1)n , x " R
(2n)!
n=0
"

1
= xn, x " (-1, 1)
1 - x
n=0
7.6. Szereg Fouriera
Niech T oznacza dowolnÄ… liczbÄ™ dodatniÄ….
Definicja 7.20. Niech (an)" , (bn)" będą ciągami liczb rzeczywistych. Szeregiem trygonometrycznym
n=0 n=1
nazywamy szereg postaci
"
a0 nĄx nĄx
+ (an cos + bn sin ), x " R.
2 T T
n=1
Uwaga 7.21. Wszystkie składniki szeregu trygonometrycznego są funkcjami okresowymi o okresie 2T , więc
jeśli szereg ten jest zbieżny na przedziale [-T, T ], to jego suma ma również okres 2T i szereg jest zbieżny do
niej na R.
2007, E. Kotlicka
7. CI
GI I SZEREGI FUNKCYJNE 42
Twierdzenie 7.22 (wzory Eulera-Fouriera). Jeśli szereg trygonometryczny jest jednostajnie zbieżny na
przedziale [-T, T ] i f jest jego sumÄ…, to
T

1 nĄx
an = f(x) cos dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
T T
-T
T

1 nĄx
bn = f(x) sin dx, n = 1, 2, . . . .
T T
-T
Definicja 7.23. Załóżmy, że f : [-T, T ] R jest funkcją całkowalną na przedziale [-T, T ]. Szereg try-
gonometryczny, w którym współczynniki an, bn są określone powyższymi wzorami nazywamy szeregiem
Fouriera odpowiadajÄ…cym funkcji f.
Definicja 7.24. Mówimy, że funkcja f : [-T, T ] R spełnia na przedziale [-T, T ] warunki Dirichleta,
gdy
+ -
f(-T ) + f(T )
(1) f(-T ) = f(T ) = ,
2
(2) f ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju i w każdym punkcie nieciągłości
x0 " (-T, T ) zachodzi warunek:
f(x-) + f(x+)
0 0
f(x0) = ,
2
(3) istnieje podział przedziału [-T, T ]
-T = t0 < t1 < · · · < tk-1 < tk = T, k " N,
taki, że f jest ciągła i monotoniczna na każdym przedziale (ti-1, ti), i = 1, ..., k.
Twierdzenie 7.25. Jeśli funkcja f : [-T, T ] R spełnia na przedziale [-T, T ] warunki Dirichleta, to
"
a0 nĄx nĄx
f(x) = + (an cos + bn sin ), x " [-T, T ],
2 T T
n=1
gdzie współczynniki an, bn są określone wzorami Eulera-Fouriera. Mówimy wtedy, że f jest rozwijalna w
szereg Fouriera na przedziale [-T, T ].
2007, E. Kotlicka