1. CI
GI LICZBOWE
1.1. Definicja ciÄ…gu i ciÄ…gu liczbowego
Definicja 1.1.
" Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.
" Jeśli funkcja a jest ciągiem, to wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy
przez
def
an = a(n), n " N.
" CiÄ…g o wyrazach an zapisujemy symbolem
(an) lub a1, a2, . . . ,
zaś zbiór wartości tego ciągu oznaczamy przez {an}n"N.
Ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe
o wyrazach rzeczywistych, ciÄ…gi liczbowe o wyrazach zespolonych).
Ciągi, których wszystkie wyrazy są funkcjami nazywamy ciągami funkcyjnymi.
1.2. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
rzeczywistych: monotoniczność, ograniczo-
ność, zbieżność.
Definicja 1.2.
def
" CiÄ…g (an) jest rosnÄ…cy Ô! an+1 > an.
n"N
def
" CiÄ…g (an) jest niemalejÄ…cy Ô! an+1 an.
n"N
def
" CiÄ…g (an) jest malejÄ…cy Ô! an+1 < an.
n"N
def
" CiÄ…g (an) jest nierosnÄ…cy Ô! an+1 an.
n"N
Twierdzenie 1.3. Jeśli an > 0 dla n " N, to
an+1
ciÄ…g (an) jest rosnÄ…cy Ô! > 1.
an
n"N
Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nierosną-
cego.
Definicja 1.5.
def
" CiÄ…g (an) jest ograniczony z doÅ‚u Ô! an m.
m"R n"N
def
" CiÄ…g (an) jest ograniczony z góry Ô! an M.
M"R n"N
1
1. CI
GI LICZBOWE 2
def
" CiÄ…g (an) jest ograniczony Ô! (an) jest ograniczony z doÅ‚u i z góry.
Ćwiczenie 1.6. Zbadać własności ciągów o wyrazach ogólnych:
"
b) an = (-3)n;
a) an = n;
1
(-1)n
c) an = ; d) an = .
n-1
n2 + 1
Definicja 1.7. Ciąg liczbowy (an) jest zbieżny do a " R, gdy
|an - a| < µ,
µ>0 K"N n K
czyli
a - µ < an < a + µ.
µ>0 K"N n K
Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (an) i zapisujemy
lim an = a lub an a.
n"
Przykład 1.8. Wykazać, że zachodzą równości:
1 1
a) lim = 0; b) lim = 0.
n" n"
n n3
Definicja 1.9.
" Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do +" i zapisujemy
lim an = +",
n"
gdy
an > µ.
µ>0 K"N n K
" Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do -" i zapisujemy
lim an = -"),
n"
gdy
an < -µ.
µ>0 K"N n K
" Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny, gdy nie posiada granicy (właściwej lub niewłaściwej).
Przykład 1.10. Wykazać, że lim n2 = +".
n"
Twierdzenie 1.11. Każdy ciąg posiada conajwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą).
Ćwiczenie 1.12. Wykazać, że:
1
a) lim an = Ä…" Ò! lim = 0;
n" n"
an
1
{ = 0}
Ä…"
1. CI
GI LICZBOWE 3
1
+", gdy an > 0 dla prawie wszystkich n " N,
b) lim an = 0 Ò! lim =
n" n"
an -", gdy an < 0 dla prawie wszystkich n " N.
1 1
{ = +"} { = -"}
0+ 0-
Ćwiczenie 1.13. Wykazać, że
Å„Å‚
ôÅ‚ nie istnieje dla q -1,
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
0 dla q " (-1; 1),
a) lim qn =
n" ôÅ‚
1 dla q = 1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
+" dla q > 1.
Å„Å‚
ôÅ‚
0 dla Ä… < 0,
òÅ‚
b) lim nÄ… = 1 dla Ä… = 0,
n" ôÅ‚
ół
+" dla Ä… > 0.
1.3. Arytmetyka granic
Twierdzenie 1.14. Jeśli lim an = a oraz c = 0, to

n"
c · a, gdy a " R,
lim c · an=
n"
Ä…", gdy a = Ä…".
W szczególności dla c > 0 mamy
{c · (+") = +"} oraz {c · (-") = -"}
Twierdzenie 1.15. Jeśli lim an = a oraz lim bn = b, to
n" n"
1. CI
GI LICZBOWE 4
Twierdzenie 1.16. Jeśli lim an = a, lim bn = b oraz bn = 0 dla n " N, to

n" n"
Twierdzenie 1.17. Jeśli lim an = a, lim bn = b oraz bn 0 dla n " N, to
n" n"
Symbole nieoznaczone:
" 0
" - " 0 · "
" 0
00 "0 1"
1.4. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i roz-
bieżnych
Definicja 1.18. Podciągiem ciągu (an) nazywamy każdy ciąg (ak ), gdzie (kn) jest dowolnym ro-
n
snÄ…cym ciÄ…giem liczb naturalnych.
Np. PodciÄ…gami ciÄ…gu (an) sÄ… ciÄ…gi:
a1, a3, a5, . . . a2, a4, a6, . . . a3, a4, a5, . . .
(a2n-1)" (a2n)n"N (an)n 3
n=1
Twierdzenie 1.19. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg.
Przykład 1.20. Wykazać, że nie istnieją granice:
nĄ
a) lim (-1)n; b) lim cos .
2
n" n"
Twierdzenie 1.21. Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony.
Uwaga 1.22. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.21 nie jest prawdziwe.
Twierdzenie 1.23 (Bolzano-Weierstrassa). Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje pod-
ciąg zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do -" lub +".
1. CI
GI LICZBOWE 5
Twierdzenie 1.24. Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.
Lemat 1.25. Jeśli ciągi (an), (bn) są zbieżne oraz
an bn,
K"N n K
to lim an lim bn.
n" n"
Twierdzenie 1.26 (o trzech ciągach). Załóżmy,że
(") an bn cn,
K"N n K
1) Jeśli lim an = lim cn = a, to istnieje granica ciągu (bn), przy czym lim bn = a.
n" n" n"
2) Jeśli lim an = +", to lim bn = +".
n" n"
3) Jeśli lim cn = -", to lim bn = -".
n" n"
1.5. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych.
Liczba e.
Twierdzenie 1.27.
"
n
1) lim n = 1.
n"
"
n
2) lim a = 1.
n"
"
n
3) Jeśli an 0 dla każdego n " N oraz lim an = a > 0, to lim an = 1.
n" n"
Uwaga 1.28. Tw. 1.27 3) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +" lub a = 0.
1
Twierdzenie 1.29. CiÄ…g an = (1 + )n dla n " N jest ograniczony i monotoniczny.
n
1
Definicja 1.30. LiczbÄ… e nazywamy granicÄ™ ciÄ…gu (1 + )n, n " N.
n
Twierdzenie 1.31.
n
1
a)" lim = e.
n"
k!
k=0
b) Liczba e jest liczbÄ… niewymiernÄ….
e = 2, 7182818284 . . .
1
n
Twierdzenie 1.32. Jeśli an = 0 dla każdego n " N oraz lim an = ą", to lim (1 + )a = e.

n" n"
an
Definicja 1.33. Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy
symbolem ln.
def
ln x = loga x dla x > 0
1. CI
GI LICZBOWE 6
1.6. Zbiory ograniczone na prostej. Kresy górny
i dolny.
Definicja 1.34. Niech E ‚" R, E = ".

" Liczbę M0 " E taką, że
'" x M0
x"E
nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E.
" Liczbę m0 " E taką, że
'" x m0
x"E
nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E.
Definicja 1.35. Niech E ‚" R, E = ".

" Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy
(" '" x M.
M"R x"E
Lczbę M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru E.
" Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy
(" '" x m.
m"R x"E
LiczbÄ™ m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E.
" Zbiór E jest ograniczony, gdy zbiór E jest ograniczony z góry i z dołu.
Definicja 1.36. Niech E ‚" R, E = ".

" Jeśli zbiór E jest ograniczony z góry, to liczbę M " R taką, że
(1) '" x M,
x"E
(2) '" (" x > M1
M1nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy przez sup E.
(Liczba sup E jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E.)
W przypadku gdy E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +".
" Jeśli zbiór E jest ograniczony z dołu, liczbę m " R taką, że
(1) '" x m,
x"E
(2) '" (" x < m1
m1>m
x"E
nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy przez inf E.
(Liczba inf E jest największym ograniczeniem dolnym zbioru E.)
W przypadku gdy E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E = -".
Twierdzenie 1.37. Każdy niepusty zbiór E ‚" R posiada kresy górny i dolny, które należą do zbioru
R.
1. CI
GI LICZBOWE 7
Twierdzenie 1.38.
a) Jeśli ciąg (an) jest niemalejący, to
sup{an : n " N} = lim an,
n"
inf{an : n " N} = a1.
b) Jeśli ciąg (an) jest nierosnący, to
sup{an : n " N} = a1,
inf{an : n " N} = lim an.
n"