8. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA
Niech a, b " R i a < b.
Oznaczenia stosowane w definicji całki oznaczonej:
" Podziałem przedziału [a, b] nazywamy zbiór Pn = {xi}0 i n, n " N, gdy
a = x0 < x1 < . . . < xn-1 < xn = b.
" Średnicą podziału Pn przedziału [a, b] nazywamy liczbę
def
´(Pn) = max{"xi : i = 1, 2, . . . , n},
gdzie "xi = xi - xi-1.
" Punkty pośrednie podziału Pn przedziału [a, b] :
ti " [xi-1, xi], i = 1, 2, . . . , n.
Definicja 8.1. Niech f : [a, b] R będzie funkcją ograniczoną, zaś Pn- dowolnym podziałem
przedziału [a, b].
" Sumą całkową odpowiadającą podziałowi Pn i punktom pośrednim {ti}i n nazywamy
liczbÄ™
n
def
S(f, Pn, {ti}i n) = f(ti)"xi.
i=1
" Całkę oznaczoną Riemanna z funkcji f na przedziale [a, b] definiujemy wzorem
b
def
f(x)dx = lim S(f, Pn, {ti}i n),
´(Pn)0
a
o ile powyższa granica jest właściwa i nie zależy od sposobu wyboru podziałów Pn i punktów
pośrednich {ti}i n. Ponadto przyjmujemy, że
a a b
def def
f(x)dx = 0 oraz f(x)dx = - f(x)dx.
a a
b
" Funkcję dla której istnieje całka Riemanna na przedziale [a, b] nazywamy funkcją całko-
walną w sensie Riemanna na przedziale [a, b] lub R-całkowalną na przedziale [a, b].
Rodzinę funkcji całkowalnych na przedziale [a, b] oznaczamy przez R[a, b].
Uwaga 8.2. Jeśli funkcja jest całkowalna na przedziale, to jest tam ograniczona, ale odwrotnie
nie musi być.
8.1. Własności całki oznaczonej.
Twierdzenie 8.3 (warunki wystarczające całkowalności funkcji). Niech f : [a, b] R
będzie funkcją ograniczoną.
45
8. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA 46
a) Jeśli f ma na przedziale [a, b] skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to f " R[a, b].
b) Jeśli f jest monotoniczna na przedziale [a, b], to f " R[a, b].
Twierdzenie 8.4 (liniowość całki oznaczonej). Jeśli funkcje f, g " R[a, b], to
a) f + g " R[a, b] oraz
b b b
(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx;
a a a
b) kf " R[a, b] dla dowolnej liczby k " R oraz
b b
kf(x)dx = k f(x)dx.
a a
Twierdzenie 8.5. Jeśli funkcje f, g " R[a, b], to
a) h ć% f " R[a, b], gdzie h jest dowolną funkcją ciągłą na f[[a, b]];
b) |f| " R[a, b];
c) fg " R[a, b].
Twierdzenie 8.6 (monotoniczność całki oznaczonej). Jeśli funkcje f, g " R[a, b] oraz
'" f(x) g(x),
x"[a,b]
b b
to f(x)dx g(x)dx.
a a
Wniosek 8.7.
Twierdzenie 8.8 (addytywność całki względem przedziałów całkowania).
Jeśli f " R[a, b], to dla dowolnego c " (a, b) funkcja f " R[a, c] )" R[c, b] oraz
b c b
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
a a c
Twierdzenie 8.9. Jeśli f " R[a, b] oraz funkcja g różni się od funkcji f tylko w skończonej
b b
liczbie punktów przedziału [a, b], to g " R[a, b] oraz g(x)dx = f(x)dx.
a a
Twierdzenie 8.10 (całkowe o wartości średniej). Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła
na przedziale [a, b], to
b
1
(" f(c) = f(x)dx.
c"(a,b)
b - a
a
8. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA 47
8.2. Funkcja górnej granicy całkowania. Wzór
Newtona-Leibniza.
Definicja 8.11. Niech funkcja f " R[a, b]. FunkcjÄ™
x
def
F (x) = f(t)dt
a
nazywamy funkcją górnej granicy całkowania.
Twierdzenie 8.12. Niech funkcja f : [a, b] R będzie całkowalna na [a, b]. Wówczas funkcja
górnej granicy całkowania F jest jednostajnie ciągła na [a, b]. Ponadto jeśli f jest ciągła w
punkcie x0 " [a, b], to funkcja F jest różniczkowalna w x0 oraz
F (x0) = f(x0).
x3
"
Przykład 8.13. Obliczyć pochodną funkcji G(x) = sin tdt.
0
Twierdzenie 8.14 (Newtona-Leibniza). Jeśli funkcja f : [a, b] R jest ciągła na [a, b], to
b
f(x)dx = G(b) - G(a),
a
gdzie G jest dowolnÄ… funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f na przedziale [a, b].
Uwaga 8.15.
1. Zamiast G(b) - G(a) piszemy najczęściej [G(x)]b lub G(x)|b.
a
a
2. Powyższy wzór pozostaje nadal prawdziwy, gdy zamiast ciągłości założymy całkowalność
funkcji f oraz istnienie funkcji pierwotnej funkcji f na przedziale [a, b].
Przykład 8.16. Obliczyć całki:
2 3
a) |x - 1| dx; b) max x{1, x2}dx.
0 -2
8.3. Metody obliczania całek oznaczonych.
Twierdzenie 8.17 (o całkowaniu przez części). Niech f, g : [a, b] R. Jeśli funkcje f, g
mają ciągłe pochodne na przedziale [a, b], to zachodzi wzór
b b
f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)]b - f (x)g(x)dx.
a
a a
8. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA 48
Przykład 8.18. Obliczyć całki:
e
1
a) ln xdx;
b) arctg xdx.
1
-1
Twierdzenie 8.19 (o całkowaniu przez podstawienie). Załóżmy, że
na
(1) funkcja g : [a, b] [Ä…, ²] ma ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… na [a, b],
(2) g(a) = Ä…, g(b) = ²,
(3) funkcja f : [Ä…, ²] R jest ciÄ…gÅ‚a na [Ä…, ²].
Wówczas zachodzi wzór
²
b
f(g(x))g (x)dx = f(t)dt.
a Ä…
Twierdzenie 8.20 (całka funkcji parzystej i nieparzystej). Jeśli f " R[-a, a], gdzie
a > 0, oraz
a) f jest parzysta na [-a, a], to
a a
f(x)dx = 2 f(x)dx;
-a 0
b) f jest nieparzysta na [-a, a], to
a
f(x)dx = 0.
-a
Przykład 8.21. Obliczyć całki:
Ä„
3
2
1
c) dx;
a) sin3 x cos xdx;
x2 + 9
-3
0
Ä„ 1
2
d) arc sin xdx.
b) sin3 x cos xdx;
-1
Ä„
-
2
8. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA 49
8.4. Całki niewłaściwe.
Poniżej podamy definicje całki niewlaściwej na przedziale nieograniczonym i całki niewła-
ściwej z funkcji nieograniczonej.
Definicja 8.22 (całka niewłaściwa pierwszego rodzaju). Niech f : [a, +") R będzie funkcją
Ä…
całkowalną na każdym przedziale postaci [a, ą], gdzie ą > a. Granicę lim f(x)dx nazywamy
Ä…+"
a
"
całką niewłaściwą funkcji f na przedziale [a, +") i oznaczamy przez f(x)dx. Zatem
a
" Ä…
def
f(x)dx = lim f(x)dx.
Ä…+"
a a
Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna. Gdy rozwa-
żana granica jest niewłaściwa lub nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (-", b] :
b b
def
f(x)dx = lim f(x)dx.
Ä…-"
-" Ä…
Ponadto przyjmujemy, że
" c "
def
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx,
-" -" c
gdzie c jest dowolną stałą. Tak zdefiniowana całka jest zbieżna, gdy obie całki niewłaściwe po
prawej stronie są zbieżne.
Przykład 8.23. Obliczyć całki (o ile są zbieżne):
"
dx
a) ;
x - 1
2
"
b) cos x dx;
0
"
dx
c) ;
x2 + 2x + 5
-"
0
d) xex dx.
-"
Definicja 8.24 (całka niewłaściwa drugiego rodzaju). Niech f : [a, b) R będzie funkcją
nieograniczoną i całkowalną na każdym przedziale postaci [a, ą], gdzie a < ą < b. Granicę
Ä…
lim f(x)dx nazywamy całką niewłaściwą nieograniczonej funkcji f na przedziale [a, b)
Ä…b-
a
8. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA 50
b
i oznaczamy przez f(x)dx. Zatem
a
b Ä…
def
f(x)dx = lim f(x)dx.
Ä…b-
a a
Jeśli powyższa granica jest właściwa, to mówimy, że całka jest zbieżna, jeśli zaś granica jest
niewłaściwa lub nie istnieje, to całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą nieograniczonej funkcji f na przedziale (a, b]
i całkowalnej na każdym przedziale [ą, b], gdzie a < ą < b:
b b
def
f(x)dx = lim f(x)dx.
Ä…a+
a Ä…
Przykład 8.25. Obliczyć całki (o ile są zbieżne):
1
1
"
a) dx;
x
0
2
dx
"
b) ;
4 - x2
-2
2
x dx
c) ;
1 - x2
0
"
2x dx
"
d) .
x2 - 1
1
1 "
1 1
Ćwiczenie 8.26. Dla jakich p " (0, +") zbieżne są całki: dx i dx ?
xp xp
0 1
W przypadku gdy funkcja pierwotna funkcji podcałkowej jest trudna do znalezienia, można
stosować przybliżone metody całkowania. Wymaga to jednak uprzedniego stwierdzenia, czy
dana całka niewłaściwa jest zbieżna. Służą do tego tzw. kryteria zbieżności całek niewłaściwych.
Twierdzenie 8.27 (kryterium porównawcze zbieżności całek niewłaściwych). Załóż-
my, że funkcje f, g : [a, +") R są całkowalne na każdym przedziale postaci [a, ą], gdzie
Ä… > a.
a) Jeśli
'" |f(x)| g(x)
x"[a,b)
b b
i całka g(x)dx jest zbieżna, to całka f(x)dx jest bezwzględnie zbieżna (tzn. zbieżna
a a
b
jest całka |f(x)| dx).
a
8. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA 51
b) Jeśli
'" f(x) g(x) 0
x"[a,b)
b b
i całka g(x)dx jest rozbieżna, to całka f(x)dx jest rozbieżna.
a a
Analogiczne twierdzenia zachodza dla pozostałych typów całek niewłasciwych.
Przykład 8.28. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych:
"
2
a) e-x dx;
0
"
1
b) dx;
ln x
e
1
1
c) dx, p > 1;
xp
0
1
sin x
d) " dx.
x x
0
Uwaga 8.29. Jeśli całka niewłaściwa z funkcji f jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna.
Ponadto zachodzi nierówność
b b
f(x)dx |f(x)| dx.
a a
Twierdzenie 8.30 (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych). Załóżmy, że
funkcja f : [n0, +") (0, +"), gdzie n0 " N, jest nierosnąca. Wówczas
"
"
f(n) jest zbieżny Ô! f(x)dx jest zbieżna.
n=n0
n0
Przykład 8.31. Zbadać zbieżność całek niewłaściwych:
"
1
a) ( )x dx;
x
1
"
1
b) e-x dx;
x2
1
"
sin x
c) dx;
x
1
Przykład 8.32. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych:
"
1
a) , p " (0, +");
np
n=1
"
1
b) .
n ln n
n=2
8. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA 52
8.5. Zastosowania całki oznaczonej w geome-
trii.
1. POLE OBSZARU.
" Pole trapezu krzywoliniowego. Niech dana krzywa będzie określona równaniami w
postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²],
gdzie x(t) jest funkcją ściśle monotoniczną i posiadającą ciągłą pochodną na przedziale
[Ä…, ²], zaÅ› y(t) jest funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na w tym przedziale. Niech D oznacza obszar ograniczony
łukiem danej krzywej oraz prostymi x = a, x = b i y = 0. Wówczas pole |D| tego obszaru
wyraża się wzorem
²
|D| = |y(t)x (t)| dt.
Ä…
W przypadku gdy D = {(x, y) " R2 : a x b '" f(x) y g(x)}, gdzie f, g sÄ…
funkcjami ciągłymi na [a, b], to
b
|D| = (g(x) - f(x)) dx.
a
Przykład 8.33. Obliczyć pole obszaru ograniczonego
a) krzywymi: y = ex, y = x, x = 0, x = 1;
1
b) krzywymi: y = , y = 1, y = 2;
x2
c) elipsą opisaną parametrycznie równaniami:
x = a cos t, y = b sin t, t " [0, 2Ä„],
gdzie a, b > 0.
" Pole wycinka krzywoliniowego. Niech dana krzywa będzie określona we współrzędnych
biegunowych równaniem
r = f(¸), ¸ " [Ä…, ²],
gdzie f jest funkcjÄ… nieujemnÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na przedziale [Ä…, ²] (0 < ² - Ä… < 2Ä„). Wówczas
pole obszaru D ograniczonego Å‚ukiem danej krzywej oraz promieniami wodzÄ…cymi rÄ… i r²
wyraża się wzorem
²
1
|D| = (f(¸))2 d¸.
2
Ä…
Przykład 8.34. Obliczyć pole
a) obszaru ograniczonego spiralą logarytmiczną o równaniu
r = ae¸, ¸ " [0, Ä„], a > 0;
b) obszaru ograniczonego spiralą hiperboliczną o równaniu
a 1
r = , ¸ " [ , 1], a > 0.
¸ 4
8. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA 53
2. DA
UGOŚĆ A
UKU.
" Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²],
przy czym funkcje x(t), y(t) majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne na przedziale [Ä…, ²], oraz Å‚uk nie ma
punktów wielokrotnych, to jego długość |l| wyraża się wzorem
²
|l| = (x (t))2 + (y (t))2 dt.
Ä…
W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym
l : y = f(x), x " [a, b],
gdzie f jest funkcją posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to
b
|l| = 1 + (f (x))2 dx.
a
" Jeśli łuk l dany jest równaniem we współrzędnych biegunowych
r = f(¸), ¸ " [Ä…, ²],
przy czym funkcja f ma ciÄ…gÅ‚Ä… pochodnÄ… na przedziale [Ä…, ²], oraz Å‚uk nie ma punktów
wielokrotnych, to jego długość |l| wyraża się wzorem
²
|l| = (f(¸))2 + (f (¸))2 d¸.
Ä…
Przykład 8.35. Obliczyć długość łuku
a) krzywej
Ä„ Ä„
y = ln sin x, x " [ , ];
3 2
b) krzywej opisanej równaniami:
"
1
x = t2, y = t - t3, t " [0, 3];
3
c) spirali logarytmicznej
r = ae-2¸, ¸ " [0, 1], a > 0;
d) spirali Archimedesa
Ä„
r = a¸, ¸ " [ , Ä„], a > 0.
2
8. CAA
KA OZNACZONA RIEMANNA 54
3. OBJ
TOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BOCZNEJ BRYA
Y OBROTOWEJ.
Niech D oznacza obszar ograniczony Å‚ukiem l danej krzywej oraz prostymi x = a, x = b
i y = 0. Niech V będzie bryłą powstałą z obrotu obszaru D dookoła osi Ox, zaś S 
powierzchnią boczną tej bryły.
" Jeśli łuk l jest określony równaniami w postaci parametrycznej
x = x(t), y = y(t), t " [Ä…, ²],
przy czym funkcje x(t), y(t) majÄ… ciÄ…gÅ‚e pochodne na przedziale [Ä…, ²], funkcja x(t) jest
Å›ciÅ›le monotoniczna, zaÅ› funkcja y(t)  nieujemna na przedziale [Ä…, ²], to objÄ™tość |V |
bryły V oraz pole |S| powierzchni S wyrażają się wzorami
²
|V | = Ä„ (y(t))2x (t) dt,
Ä…
²
|S| = 2Ä„ y(t) (x (t))2 + (y (t))2 dt.
Ä…
W szczególności, gdy krzywa opisana jest równaniem jawnym
l : y = f(x), x " [a, b],
gdzie f jest funkcją nieujemną posiadającą ciągłą pochodną na [a, b], to
b
|V | = Ä„ (f(x))2 dx,
a
b
|S| = 2Ä„ f(x) 1 + (f (x))2 dx.
a
Przykład 8.36. Obliczyć objętość oraz pole powierzchni bocznej bryły powstałej z obrotu
dookoła osi Ox obszaru ograniczonego
a) Å‚ukiem krzywej
"
y = x, x " [0, 3];
b) półokręgiem opisanym równaniami:
x = r cos t, y = r sin t, t " [0, Ä„], r > 0.