9. SZEREGI FUNKCYJNE - CD.
9.1. Pewne operacje na szeregach funkcyjnych.
"
Twierdzenie 9.1. Niech fn : [a, b] R, n " N, będą funkcjami ciągłymi na [a, b]. Jeśli fn
n=1
jest zbieżny jednostajnie na [a, b], to
a) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją ciągłą na [a, b] i dla dowolnego x0 " [a, b] zachodzi
równość
" "
lim fn(x) = lim fn(x);
xx0 xx0
n=1 n=1
b) suma szeregu funkcyjnego jest funkcją całkowalną na [a, b] oraz
b b
" "
fn(x) dx = fn(x)dx.
n=1 n=1
a a
Twierdzenie 9.2. Niech fn : [a, b] R, n " N, będą funkcjami różniczkowalnymi na [a, b].
" "
Jeśli fn jest zbieżny, zaś szereg (fn) jest jednostajnie zbieżny na [a, b], to suma szeregu
n=1 n=1
funkcyjnego jest funkcją różniczkowalną na [a, b] i dla dowolnego x " [a, b] zachodzi równość
" "
fn(x) = fn(x).
n=1 n=1
"
Wniosek 9.3. Niech (an) będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Jeśli szereg potęgowy anxn ma
n=0
promień zbieżności R, to dla dowolnego x " (-R, R) mamy
x
" "
an
antn dt = xn+1
n + 1
n=0 n=0
0
oraz
" "
anxn = annxn-1,
n=0 n=0
przy czym szeregi występujące po prawej stronie powyższych wzorów mają taki sam promień
zbieżności jak dany szereg.
9.2. Szereg Taylora i Maclaurina.
Definicja 9.4. Załóżmy, że funkcja f : (a, b) R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie
x0 " (a, b). Szereg potęgowy postaci
"
f(n)(x0)
f(x0) + (x - x0)n, x " (a, b),
n!
n=1
53
9. SZEREGI CD. 54
nazywamy szeregiem Taylora odpowiadającym funkcji f w punkcie x0. Jeśli x0 = 0, to szereg
ten nazywamy szeregiem Maclaurina odpowiadajÄ…cym funkcji f.
Twierdzenie 9.5. Jeśli funkcja f : (a, b) R ma pochodną dowolnego rzędu w punkcie
x0 " (a, b) oraz
(1) lim Rn(x) = 0 dla x " (a, b),
n"
gdzie Rn(x) oznacza resztÄ™ we wzorze Taylora odpowiadajÄ…cym funkcji f, to szereg Taylora
odpowiadający funkcji f jest zbieżny na (a, b) i zachodzi równość
"
f(n)(x0)
f(x) = f(x0) + (x - x0)n dla x " (a, b).
n!
n=1
Mówimy wówczas, że funkcja f jest rozwijalna w szereg Taylora (lub Maclaurina, gdy
x0 = 0).
Uwaga 9.6.
1. Warunek (1) zachodzi w przypadku, gdy wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie ograni-
czone na przedziale (a, b).
2.
Rozwinięcie Maclaurina dla wybranych funkcji
"
xn
ex = , x " R
n!
n=0
"
x2n+1
sin x = (-1)n , x " R
(2n + 1)!
n=0
"
x2n
cos x = (-1)n , x " R
(2n)!
n=0
"
1
= xn x " (-1, 1)
1 - x
n=0
Przykład 9.7. Wyznaczyć rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina:
2
a) f(x) = e-x ;
b) f(x) = x2 sin x;
1
c) f(x) = ;
1 + x2
d) f(x) = ln(1 + x);
e) f(x) = arctg x;
1
f) f(x) = .
1 + 2x + x2
9. SZEREGI CD. 55
Przykład 9.8. Obliczyć całki:
2
a) e-x dx;
sin x
b) dx.
x
9.3. Szereg Fouriera.
Niech T oznacza dowolnÄ… liczbÄ™ dodatniÄ….
Definicja 9.9. Niech (an)" , (bn)" będą ciągami liczb rzeczywistych. Szeregiem trygono-
n=0 n=1
metrycznym nazywamy szereg postaci
a0 " nĄx nĄx
+ (an cos + bn sin ), x " R.
2 T T
n=1
Uwaga 9.10. Wszystkie składniki szeregu trygonometrycznego są funkcjami okresowymi o
okresie 2T , więc jeśli szereg ten jest zbieżny na przedziale [-T, T ], to jego suma ma również
okres 2T i szereg jest zbieżny do niej na R.
Twierdzenie 9.11 (wzory Eulera-Fouriera). Jeśli szereg trygonometryczny jest jednostajnie
zbieżny na przedziale [-T, T ] i f jest jego sumą, to
T
1 nĄx
an = f(x) cos dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
T T
-T
T
1 nĄx
bn = f(x) sin dx, n = 1, 2, . . . .
T T
-T
Definicja 9.12. Załóżmy, że f : [-T, T ] R jest funkcją całkowalną na przedziale [-T, T ].
Szereg trygonometryczny, w którym współczynniki an, bn są określone powyższymi wzorami
nazywamy szeregiem Fouriera odpowiadajÄ…cym funkcji f.
Definicja 9.13. Mówimy, że funkcja f : [-T, T ] R spełnia na przedziale [-T, T ] warunki
Dirichleta, gdy
+ -
f(-T ) + f(T )
(1) f(-T ) = f(T ) = ,
2
(2) f ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju i w każdym punkcie
nieciągłości x0 " (-T, T ) zachodzi warunek:
f(x-) + f(x+)
0 0
f(x0) = ,
2
(3) istnieje podział przedziału [-T, T ]
-T = t0 < t1 < · · · < tk-1 < tk = T, k " N,
taki, że f jest ciągła i monotoniczna na każdym przedziale (ti-1, ti), i = 1, ..., k.
Twierdzenie 9.14. Jeśli funkcja f : [-T, T ] R spełnia na przedziale [-T, T ] warunki
Dirichleta, to
a0 " nĄx nĄx
f(x) = + (an cos + bn sin ), x " [-T, T ],
2 T T
n=1
9. SZEREGI CD. 56
gdzie współczynniki an, bn są określone wzorami Eulera-Fouriera. Mówimy wtedy, że f jest roz-
wijalna w szereg Fouriera na przedziale [-T, T ].
Przykład 9.15. Rozwinąć w szereg Fouriera (o ile to możliwe) funkcje:
0, x " [-Ä„, 0),
a) f(x) =
2, x " [0, Ä„];
0, x " (-Ä„, 0),
b) f(x) =
2, x " (0, Ä„);
Ä„
1, x " (-Ä„ , ),
2 2
c) f(x) =
2, x " (-Ä„, -Ä„ ) *" (Ä„ , Ä„);
2 2
d) f(x) = x, x " (-Ä„, Ä„).