ANALIZA WARIANCJI
Część 1
Analiza wariancji
" W analizie wariancji sprawdzamy, czy
zmienna zale\
na przyjmuje ró\
ne wartości
w zale\
ności od wartości zmiennych
niezale\
nych
" Zmienne niezale\
ne nazywane sÄ…
czynnikami, a wartości, które one
przyjmujÄ… - poziomami czynnika.
Analiza wariancji
" Czynniki majÄ… charakter nominalny, i
ka\
dy z nich występuje na co najmniej
dwóch poziomach, których odpowiadają
wartości zmiennej niezale\
nej.
" Eksperymentator manipuluje poziomami
czynników, czyli wartościami zmiennych
niezale\
nych.
Analiza wariancji - zało\
enia
" 1. Ustalenie charakteru czynników
" 2. Zało\
enie o skali pomiarowej zmiennej
zale\
nej (co najmniej interwałowa)
" 3. Spełniona jest zasada losowego doboru
próby z populacji  pierwsza zasada
randomizacji
" 4. Osoby w grupach porównawczych są
rozdzielone w sposób losowy  druga
zasada randomizacji
Analiza wariancji - zało\
enia
" 5. Wariancje w porównywanych populacjach są
homogeniczne
" 6. Rozkład zmiennej zale\
nej jest rozkładem
normalnym
" 7. Poniewa\
w i-tej populacji Å›rednia ogólna (µi.)
i efekt i-tego poziomu czynnika A (ąi) są stałe
dla wszystkich osób z tej populacji, więc jedyne
co je ró\
ni, to nie kontrolowane przez badacza
zmienne uboczne i zakłócające, które określamy
Å‚Ä…cznie nazwÄ… bÅ‚Ä™du eksperymentalnego (µik).
Analiza wariancji - zało\
enia
" 8. Dwa bÅ‚Ä™dy µik i µ sÄ… od siebie
µ µ ik
µ µ
µ µ
NIEZALEśNE w p populacjach. Mówiąc
inaczej chodzi o niezale\
ność pomiarów
zmiennej zale\
nej Y
" 9. Występujące w liczniku i w mianowniku
stosunku F oszacowania wariancji
międzygrupowej i wewnątrzgrupowej są
NIEZALEśNE
ANOVA 1
" W analizie wariancji nieobciÄ…\
ona wariancja
z próby wyra\
ona jest wzorem:
p
n 2
1
2
s = ( yik - y..)
" "
pn - 1
i =1 k =1
n - liczba _ poziomów _ czynnika _( k = 1,2,... n )
p - liczba _ osób _ w _ grupie _( i = 1,2,..., p )
p
n
2
( yik - y..) = SS
" " ca Å‚a
i =1 k =1
SS = suma _ kwadratów
ANOVA 1
" Analiza wariancji bada sumy kwadratów
pojedynczych wyników od odpowiednich
średnich.
" Całkowita zmienność zaobserwowanych
wyników składa się z dwóch składowych:
" - zró\
nicowania międzygrupowego
" - zró\
nicowania wewnÄ…trzgrupowego
ANOVA 1
" Zró\
nicowanie międzygrupowe  jest
wynikiem oddziaływania
eksperymentalnego zaplanowanego przez
badacza
" Zró\
nicowanie wewnÄ…trzgrupowe wynika
z ró\
nic indywidualnych występujących
wewnÄ…trz ka\
dej grupy badawczej
ANOVA 1
" Zró\
nicowanie całkowite =
" Zró\
nicowanie międzygrupowe +
" Zró\
nicowanie wewnÄ…trzgrupowe
" SScała= SSmiędzy + SS wewnątrz
" SSmiędzy  międzygrupowa suma kwadratów
(suma kwadratów czynnika A)
" SS wewnątrz  wewnątrz grupowa suma kwadratów
(błąd)
ANOVA 1
" Stopnie swobody (df)  liczba wartości,
które w swobodny sposób zmieniać przy
obliczaniu wartości charakterystyki
" Stopnie swobody, podobnie jak sumy
kwadratów są addytywne (podlegające
sumowaniu)
" dfcała= dfmiędzy + dfwewnątrz
ANOVA 1
" dfcała= pn-1 dfcała= 3 x 100  1 = 299
" dfmiędzy=p-1 dfmiędzy= 3-1 = 2
" dfwewnÄ…trz=p(n-1) dfwewnÄ…trz= 3 x (100-1)= 297
" gdzie: p- liczba grup; n  liczba
pomiarów w grupie np. trzy grupy po
100 osób
ANOVA 1
" Dzieląc sumę kwadratów przez odpowiadającą
jej liczbę stopni swobody otrzymujemy średni
kwadrat (MS)
" Åšrednie kwadraty  jako nieobciÄ…\
one
estymatory wariancji z próby słu\
Ä… do
dokonania oszacowania wartoÅ›ci Ã2
Ã
Ã
Ã
Åšrednie kwadraty nie sÄ… addytywne:
MScała `" MSmiędzy + MSwewnątrz
ANOVA 1
SS
miedzy
MS =
miedzy
df
miedzy
SS
wewnatrz
MS =
wewnatrz
df
wewnatrz
SS
ca Å‚a
MS =
ca Å‚a
df
ca Å‚a
ANOVA 1
y
ródło SS Df MS F
zmienności
MI
DZY (A)
54 2 27 27
WEWN
TRZ
6 6 1
(BA

D)
CAA
A
60 8
Przykładowa tabela ANOVA dla planu jednoczynnikowego, przy n=3 i p=3
ANOVA 1
" Wartość Fobl porównujemy z Fą odczytaną
Ä…
Ä…
Ä…
z tablic rozkładu F, dla liczby stopni
swobody odczytanej z licznika (u góry
tablicy rozkładu) i mianownika (z boku
tablicy ) tabeli ANOVA
" Je\
eli Fobl jest większe od Fą wówczas
Ä…
Ä…
Ä…
odrzucamy HipotezÄ™ zerowÄ….
Rozkład F
ANOVA 1
Suma Åšredni
kwadratów df kwadrat F Istotność
Między grupami
Jednoczynnikowa ANOVA
1340,442 2 670,221 15,284 ,000
wzrost (cm)
WewnÄ…trz grup
13155,657 300 43,852
Ogółem
14496,099 302
Przykładowa tabela ANOVA dla planu
jednoczynnikowego, wydruk z pakietu SPSS
ANOVA 1
Hipoteza zerowa dla jednoczynnikowej
ANOVA ma postać:
2
"Ä… = 0
i
ANOVA 1
" Inne sposoby zapisywania Ho :
Ho: µ1=µ2=µ3=& .=µn
Ho: µ1=µ2=µ3=& .=µn
Ho: µ1=µ2=µ3=& .=µn
Ho: µ1=µ2=µ3=& .=µn
Ho: µi-µ
µ µ=0 dla ka\
dego i
µ µ
µ µ
ANOVA 1  post hoc
" Informacji o ró\
nicach pomiędzy
poszczególnymi grupami dostarczają
testy post hoc. Informują one, które
ró\
nice w średnich między
poszczególnymi grupami są istotne
statystycznie.
ANOVA 1  post hoc
" Dobór testu post hoc zale\
y od
homogeniczności wariancji w grupach
porównawczych, oraz od liczby grup.
" Przy homogenicznych wariancjach często
stosujemy testy Bonferroniego lub Tukeya,
przy czym ten ostatni stosowany jest przy
du\
ej liczbie grup porównawczych.
ANOVA 1  post hoc
" Je\
eli wariancje w grupach nie sÄ…
homogeniczne stosujemy testy
Tamhane a, Games-Howella i Dunnetta,
testy te róznią się między sobą poziomem
konserwatyzmu. Często stosujemy ostatni
z nich, cechujÄ…cy siÄ™ umiarkowanym
liberalizmem.
ANOVA 1
2 Efekt pierwszego czynnika głównego jest
= 0
równy zero
"Ä…i
2
Efekt drugiego czynnika głównego jest równy
"² = 0
j
zero
2
2
Efekt interakcji czynników jest równy zero
² = 0
"Ä…i j
Postać hipotezy zerowej dla
dwuczynnikowej ANOVA
ANOVA 1
" Sumy kwadratów dla ANOVA
dwuczynnikowej:
" SScała=SSA+SSB+SSAB+SSbłąd
ANOVA 1
" Åšrednie kwadraty dla ANOVA
dwuczynnikowej otrzymujemy dzielÄ…c
ka\
dą sumę kwadratów przez
odpowiadajÄ…cÄ… im liczbÄ™ stopni swobody.
" Istotność poszczególnych efektów
testujemy przy pomocy testu F:
ANOVA 1
MS
A
F =
A
MS
wewnatrz
MS
B
F =
B
MS
wewnatrz
MS
AB
F =
AB
MS
wewnatrz
ANOVA 1
" W planie wieloczynnikowym oceniamy nie
tylko efekty czynników głównych, ale
równie\
efekt interakcji tych czynników.
" Przy istniejącej interakcji wpływ jednego
czynnika na zmiennÄ… zale\
nÄ… jest
uzale\
niony od wartości przyjmowanych
przez drugi czynnik.
" Przy braku interakcji wpływ czynnika
określamy mianem izolowanego
ANOVA 1
" Je\
eli testy efektów głównych wskazują na
ich istotność, wówczas nale\
y
przeprowadzić testy wielokrotnych
porównań (post hoc) , aby sprawdzić,
które pary średnich ró\
niÄ… siÄ™ istotnie.
" W sytuacji istnienia istotnego efektu
interakcji nale\
y zbadać efekty proste,
czyli efekt jednego czynnika na wszystkich
poziomach drugiego czynnika.