Analiza wariancji czyli test dla wielu średnich
Analiza wariancji czyli test dla wielu średnich
Analiza wariancji pozwala nam na rozwiązywanie następującego problemu
badawczego:
W celu ustalenia, czy marka samochodu istotnie różnicuje średnią miesięczną liczbę sprzedawanych
samochodów zebrano informacje z 23 losowo wybranych salonów sprzedaży (rozkład dziennej liczby
sprzedawanych samochodów jest normalny). Uzyskano następujące wyniki dotyczące liczby sprzedanych
samochodów 3 marek: zróżnicowanie międzygrupowe, mierzone sumą kwadratów odpowiednich różnic,
wyniosło 46, zróżnicowanie wewnątrzgrupowe zaś, mierzone również suma kwadratów odpowiednich
różnic wyniosło 20. Zweryfikuj odpowiednią hipotezę przy poziomie istotności ą=0,05.
Dzięki tej metodzie badawczej jesteśmy w stanie stwierdzić czy jakaś cecha
statystyczna (w tym przypadku marka samochodu) istotnie różnicuje wartości
średnie innej cechy statystycznej ( w tym przypadku liczby sprzedawanych aut) w
wydzielonych podgrupach.
W tym przypadku liczba sprzedanych aut jest cechą objaśnianą a marka
samochodu czynnikiem różnicującym. Stąd będziemy zainteresowani średnią
liczbą sprzedanych aut w zależności od ich marki.
Inne problemy badawcze to np.: czy miejsce zamieszkania istotnie różnicuje
średni poziom dochodu.
1
Etapy weryfikacji: sformułowanie hipotez
Etapy weryfikacji: sformułowanie hipotez
I. Sformułowanie hipotezy która będzie przedmiotem weryfikacji:
Hipoteza zerowa  H0 : m1=m2=& mr
Hipoteza alternatywna  H1: mi`"mj
W naszym przykładzie mamy trzy marki samochodu stąd test będzie dotyczył trzech
średnich. Zatem będziemy badać hipotezę zerową która mówi, że marka
samochodu nie różnicuje w sposób istotny średniej liczby sprzedanych aut.
Hipoteza alternatywna mówi natomiast, iż przynajmniej dla jednej pary średnich
różnica ta jest istotna. Może to służyć za podstawę do odrzucenia hipotezy zerowej
na rzecz hipotezy alternatywnej.
2
Etapy weryfikacji: wyznaczenie statystyki z próby
Etapy weryfikacji: wyznaczenie statystyki z próby
II. Wyznaczenie statystyki z próby: jej wartość jest podstawą decyzji o
przyjęciu bądz
odrzuceniu hipotezy zerowej i dla której wyznaczamy obszar
krytyczny (jest to sprawdzian hipotezy).
Test hipotezy opiera się na założeniu, że istotność różnic między średnimi może być
oceniana na podstawie udziału w ogólnych zróżnicowaniu badanej zmiennej zróżnicowania
między średnimi arytmetycznymi w wyodrębnionych grupach.
Sprowadza się to do dekompozycji wariancji z próby na dwa składniki które mierzą stopień
zróżnicowania między grupowego oraz wewnątrz grup a następnie oceny ich wkładu do
zróżnicowania ogólnego (stąd analiza wariancji).
Statystyka testująca ma postać:
k
Zróżnicowanie między
k SSB =
"(x - x)2 " ni
i
grupowe
i=1
"(x - x)2 " ni n - k
i
i=1
F = "
ni
k
ni
k
Zróżnicowanie wewnątrz
SSE =
""(x - xi )2 k -1
ij
""(x - xi )2
ij
grupowe
i= j j=1
i= j j=1
Statystyka ta ma rozkład F o stopniach swobody: v1=k-1 oraz v2=n-k
3
Etapy weryfikacji: wyznaczenie wartości krytycznej
Etapy weryfikacji: wyznaczenie wartości krytycznej
III. Określenie obszaru krytycznego: polega na skonstruowaniu takiego
przedziału, który będzie oddzielał nam wartości dla których będziemy
przyjmować bądz
odrzucać hipotezę zerową. Są to odpowiednio obszary
odrzucenia i przyjęcia hipotezy zerowej.
P(F e" Fą ,v1,v2 ) = ą
f(F)
ą
0
Fą ,v1,v2
Liczby  małe Liczby  duże
4
Tablica analizy wariancji
Tablica analizy wariancji
y
ródło zmienności Suma kwadratów odchyleń Stopnie Średni
swobody kwadrat
odchyleń
1. Czynnik klasyfikujący  k-1 MSB=SSB/k-1
k
zróżnicowanie międzygrupowe
SSB =
"(x - x)2 " ni
i
i=1
ni
k
2. Błąd losowy  różnicowanie n-k MSE=SSE/n-k
SSE =
wewnątrzgrupowe
""(x - xi )2
ij
i= j j=1
3. Ogółem SST=SSB+SSE --
Statystyka F=MSB/MSE
5
Rozwiązanie problemu
Rozwiązanie problemu
W celu ustalenia, czy marka samochodu istotnie różnicuje średnią miesięczną liczbę sprzedawanych
samochodów zebrano informacje z 23 losowo wybranych salonów sprzedaży (rozkład dziennej liczby
sprzedawanych samochodów jest normalny). Uzyskano następujące wyniki dotyczące liczby sprzedanych
samochodów 3 marek: zróżnicowanie międzygrupowe, mierzone sumą kwadratów odpowiednich różnic,
wyniosło 46, zróżnicowanie wewnątrzgrupowe zaś, mierzone również suma kwadratów odpowiednich
różnic wyniosło 20. Zweryfikuj odpowiednią hipotezę przy poziomie istotności ą=0,05.
Dane:
H0 : m1=m2=m3
n=23 , k=3, SSB=46, SSE=20, ą=0,05
H1: mi`"mj
MSB=46/3-1=23
MSE=20/23-3=1
F=23/1=23
Wartość krytyczna: F0,05;2;20=3,49
Stąd odrzucamy H0 na rzecz hipotezy alternatywnej.
6