Problem Laboranta
Model deterministyczny;
Laborant ma w probówce stuprocentowy spirytus, zużywa połowę próbówki, następnie
dolewa do próbówki do pełna wody, następnie ponownie wylewa połowę zawartości probówki, ale
n
tym razem zastępuje ją stuprocentowym spirytusem; w ten sposób razy zużywa połowę
zawartości probówki, naprzemiennie zastępując ją wodą i spirytusem. Jakie stężenie spirytusu ma
n
Laborant po -tej wymianie? Co się dzieje gdyby powtarzał ten proces do nieskończoności?
RozwiÄ…zanie:
Zapiszmy wzór rekurencyjny dla stężenia spirytusu w probówce:
a0=1
,
a0ƒÄ…0
a1= ,
2
a1ƒÄ…1
a2= ,
2
an 1ƒÄ…śą-1źąśąn ƒÄ…1 źą
aśąn ƒÄ…1 źą= ƒÄ…
śą źą
2 4 ,
aśą2n źą 1
biorÄ…c aśą2n ƒÄ…2źą= ƒÄ…
4 2
1 1 1 1 1 2
lim a2n= 1ƒÄ… ƒÄ… ƒÄ…... = Å" =
,
śą źą śą źąśą źą
śą źą
2 4 2 1-1/4 3
n Śą"
42
aśą2n-1źą 1
oraz aśą2n ƒÄ…1 źą= ƒÄ…
4 4
1 1 1 1 1
lim aśą2nƒÄ…1 źą= 1ƒÄ… ƒÄ… ƒÄ…... = Å" =1
śą źą śą źąśą źą
śą źą
4 4 4 1-1 /4 3
n Śą"
42
Możemy powiedzieć, że po wielu wymianach w probówce, zawartość spirytusu oscyluje pomiędzy
33,33%, a 66,66%.
Model probabilistyczny:
A co się stanie z zawartością probówki Laboranta, jeżeli nie będzie on pamiętał, w której
butelce ma wodę, a w której spirytus? Załóżmy, że bierze on losową butelkę i z niej dolewa do
pełna.
X
Niech oznacza zmienną losową mówiącą o zawartości spirytusu w probówce;
n
X =1
Niech (czyli na samym początku Laborant ma probówkę ze spirytusem),
0
1Å"X 1Å"E
X = ƒÄ…
, gdzie
śąnƒÄ…1źą n n
2 2
En P śą En=1źą= p P śą En=0źą=1- p
-zmienne losowe niezależne; , ;
p
gdzie - prawdopodobieństwo, że Laborant sięgnął po butelkę ze spirytusem.
Jak wygląda dystrybuanta tego rozkładu?
F śąxźą X
-dystrybuanta zmiennej losowej
n n
1 gdy xÄ…1
F śą x źą=
0
0 gdy xd"1
1 1 1 1 1
FśąnƒÄ…1źąśą xźą=P śą X d" xźą=P śą X ƒÄ… End" xźą= P śą En=1źą P śą X ƒÄ… d" xźąƒÄ… P śą En=0źą P śą X d"xźą
śąnƒÄ…1źą n n n
2 2 2 2 2
FśąnƒÄ…1źąśą x źą= pÅ"P śą X d"2x-1źąƒÄ…śą1- pźąÅ"P śą X d"2xźą
n n
FśąnƒÄ…1źąśą x źą= pÅ"F śą2x-1źąƒÄ…śą1- pźąÅ"F śą 2xźą
n n
0 gdy x"Ä…0
1
śą1- pźąÅ"F śą2x źą gdy 0d" xd"
n
2
FśąnƒÄ…1źąśą xźą=
1
pÅ"F śą2x-1źąƒÄ…śą1- pźą gdy "Ä…xd"1
n
2
1 gdy 1"Ä…x
1
0 gdy xd"
2
1
0 gdy xd"1
F śą x źą= Fśą1źąśą x źą=
p=
gdy , otrzymujemy: ; 1 1 ;
0
2 1 gdy 1"Ä… x gdy "Ä…xd"1
2 2
1 gdy 1"Ä… x
1
0 ; xd"
8
1 1"Ä…xd" 1
1
;
0 ; xd"
8 8 4
2n
1 1 1 3
0 ; xd" 1 1 2
; "Ä…xd"
; "Ä…xd"
4 4 4 8
2n 2n 2n
1 1 1 3 3"Ä…xd" 1
; "Ä…xd" ;
2 2 3
4 4 2 8 8 2 ; "Ä…xd"
2n 2n 2n
Fśą2źąśą xźą= Fśą3źąśą xźą=
1 1 3 1 1 5 Fśąnźąśą xźą=
; "Ä…xd" ; "Ä…xd"
; ; & ;
.
2 2 4
2 2 8
.
3 3 5 5"Ä…xd" 3
; "Ä…xd"1 ;
.
4 4 8 8 4
2n-1 2n-1
1 ; 1"Ä…x
3 3 7
; "Ä…xd"1
; "Ä…xd"
2n 2n
4 4 8
1 ; 1"Ä… x
7 7"Ä…xd"1
;
8 8
1 ; 1"Ä… x
F śą xźą
Dystrybuanta :
3
F śą xźą
Dystrybuanta :
4
F śą xźą
Dystrybuanta :
8
F śą xźą
Dystrybuanta :
14
X
F śą xźą=x
Dystrybuanta przy n Śą " jest równa .
n "
1
1
W takim razie EX = x dx= .
+"
"
2
0
X
Jak inaczej można policzyć wartość oczekiwaną :
"
Wiemy, że:
1Å"X 1Å"E
X = ƒÄ… X
, podstawiajÄ…c za kolejne , k=1,2, & , n; otrzymujemy:
śąnƒÄ…1źą n n k
2 2
1Å" 1 1Å"E = 1 1 1 1
X = X ƒÄ… X ƒÄ… E1ƒÄ… E2ƒÄ…‹Ä…ƒÄ… En
nƒÄ…1 n-1 n-1
śą źą
2 2 2 2
2śąnƒÄ…1 źą 0 2n 2śą n-1źą
1 1 1 1
X = ƒÄ… E1ƒÄ… E2ƒÄ…‹Ä…ƒÄ… E
czyli: , przechodzÄ…c do granicy otrzymujemy:
nƒÄ…1 n
2
2śąnƒÄ…1 źą 2n 2śąn-1źą
"
1Å"E , liczÄ…c wartość oczekiwanÄ… otrzymujemy:
X =lim X =
"
"
śąnƒÄ…1źą
n Śą"
2i i
i=1
" " "
1 1 1 1 1
EX =E Å"Ei = Å"E Ei =E Ei Å" =E Ei Å" Å" = p
" [ ] [ ] " [ ]
"
śą źą
śą źą
[" ]
2 śą1-1/2źą
2i 2i 2i
i=1 i=1 i=1
1 1
p= EX =
PrzyjmujÄ…c za , otrzymujemy .
"
2 2