Kolokwium IA
Algebra z GeometriÄ… AnalitycznÄ…, I rok informatyki, WPPT
26 listopada 2008 r.
1A. " (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyz
nie
{z " C : 0 Im(iz) < 1, 0 arg(z) Ä„/2}.
Å»
" (2 pkt.) Rozwiąż równanie z2 + i - 1 = 0.
"
" (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w = i - 3. Wyznacz związek
między argumentami liczb z oraz zw. Z jakiego twierdzenia wynika ta odpowiedz
? Zaznacz na
płaszczyz
nie w, w, iw.
Å»
2A. (a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x - a)(x - b), gdzie a i b są rzeczywiste. Jak wyznaczyć współczynniki
reszty z dzielenia dowolnego wielomianu w(x) przez wielomian u(x) bez wykonywania dzielenia
wielmianów?
(b) (2 pkt.) Niech a = 0. Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną 1/(x-a)2? Po-

daj układ równań liniowych, z którego można wyznaczyć współczynniki tych ułamki prostych.
Nie wyznaczaj ułamków prostych.
3A. Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1 · · · 1
ïÅ‚ śł
1 2 1 · · · 1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
An = ïÅ‚ 1 1 3 · · · 1 śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
· · · · · · · · · · · · · · ·
1 1 1 · · · n
będzie macierzą stopnia n.
(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego
det(An) = 1 · 2 · 3 · · · · (n - 1), czyli det(An) = (n - 1)!.
(b) (2 pkt.) Sprawdz
, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 4.
4A. (5 pkt.) Oblicz trzeciÄ… kolumnÄ™ macierzy odwrotnej do
îÅ‚ Å‚Å‚
3 1 1
ïÅ‚ śł
A = 0 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
0 -3 3
na dwa sposoby: za pomocą dopełnień algebraicznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu
równań liniowych? Jakiego?
5A. Niech

1 1
A = .
0 1
(a) (3 pkt.) Oblicz A2, A3, A4 i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się An dla dowolnej
liczby naturalnej n.
(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A-1)n?
(1 pkt.) Podaj jakąś własność macierzy odwrotnych.
Kolokwium IB
Algebra z GeometriÄ… AnalitycznÄ…, I rok informatyki, WPPT
26 listopada 2008 r.
1B. " (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyz
nie
{z " C : Re(z + i) = 2, 0 arg(iz) Ä„/2}.
Å»
" (2 pkt.) Rozwiąż równanie z2 - i - 1 = 0.
"
" (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w = i - 3. Wyznacz związek między
argumentami liczb z oraz z/w. Z jakiej własności liczb zespolonych wynika ta odpowiedz
?
Zaznacz na płaszczyz
nie w, w, iw.
Å»
2B. (a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x - i)(x - 1 + i). Podaj wielomian rzeczywisty w(x) możliwie niskiego
stopnia taki, że wielomian u(x) dzieli go bez reszty.
(b) (2 pkt.) Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną x/(x2 + 1)2? Podaj układ
równań liniowych, z którego będzie można wyznaczyć współczynniki tych ułamków prostych.
Nie wyznaczaj ułamków prostych.
3B. Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
1 a1 a2 · · · an
ïÅ‚
1 a1 + b1 a2 · · · an śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
An+1 = ïÅ‚ 1 a1 a2 + b2 · · · an śł
śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
· · · · · · · · · · · · · · ·
1 a1 a2 · · · an + bn
będzie macierzą stopnia n + 1.
(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego
det(An+1) = b1 · b2 · b3 · · · · bn.
(b) (2 pkt.) Sprawdz
, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 3.
4B. (5 pkt.) Oblicz trzeciÄ… kolumnÄ™ macierzy odwrotnej do
îÅ‚ Å‚Å‚
3 1 1
ïÅ‚ śł
A = 1 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 3
na dwa sposoby: za pomocą dopełnień algebraicznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu
równań liniowych? Jakiego?
5B. Niech

a 1
A = , gdzie a = 0.

0 a
(a) (3 pkt.) Oblicz A2, A3, A4 i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się An dla dowolnej
liczby naturalnej n.
(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A-1)n?
(1 pkt.) Podaj definicjÄ™ macierzy odwrotnej.
Kolokwium IC
Algebra z GeometriÄ… AnalitycznÄ…, I rok informatyki, WPPT
26 listopada 2008 r.
1C. " (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyz
nie {z "
C : Im(z + 1) = 3, 0 arg(-iz) Ä„/2}.
Å»
" (2 pkt.) Rozwiąż równanie z2 + i + 1 = 0.
"
" (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w = 3+i. Podaj związek między ar-
gumentami liczb z = zw. Z jakiego twierdzenia wynika ta odpowiedz
? Zaznacz na płaszczyz
nie
w, w, iw.
Å»
2C. (a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x + 1 - i)(x + 2i). Jak wybrać możliwie niskiego stopnia wielomian
v(x), żeby wielomian w(x) = u(x)v(x) miał wszystkie współczynniki rzeczywiste?
(b) (2 pkt.) Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną x/(x2 - x + 3)2? Podaj
układ równań liniowych, z którego można wyznaczyć współczynniki tych ułamków prostych.
Nie wyznaczaj ułamków prostych.
3C. Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
-a1 a1 0 · · · 0 0
ïÅ‚ śł
0 -a2 a2 · · · 0 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
0 0 -a3 · · · 0 0
ïÅ‚ śł
An+1 = ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
· · · · · · · · · · · · · · ·
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
0 0 0 · · · -an an ûÅ‚
1 1 1 · · · 1 1
będzie macierzą stopnia n + 1.
(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego
det(An+1) = (-1)n(n + 1)a1 · a2 · a3 · · · · an.
(b) (2 pkt.) Sprawdz
, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 3.
4C. (5 pkt.) Oblicz trzeciÄ… kolumnÄ™ macierzy odwrotnej do
îÅ‚ Å‚Å‚
3 1 1
ïÅ‚ śł
A = 4 2 3
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 3
na dwa sposoby: za pomocą dopełnień algebraicznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu
równań liniowych? Jakiego?
5C. Niech

2 2
A = .
0 2
(a) (3 pkt.) Oblicz A2, A3, A4 i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się An dla dowolnej
liczby naturalnej.
(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A-1)n?
( 1 pkt.) Podaj jakąś własność macierzy odwrotnych.
Kolokwium ID
Algebra z GeometriÄ… AnalitycznÄ…, I rok informatyki, WPPT
26 listopada 2008 r.
1D. " (2 pkt.) Podaj interpretację geometryczną następującego zbioru punktów na płaszczyz
nie
{z " C : 0 Im(z - 1) 2, 0 arg(-iz) Ä„/2}.
Å»
" (2 pkt.) Rozwiąż równanie z2 - i + 1 = 0.
"
" (2 pkt.) Niech z będzie dowolną liczbą zespoloną i niech w = - 3i + 1. Wyznacz związek
między argumentami liczb z i z/w. Z jakiej własności liczb zespolonych wynika ta odpowiedz
?
Zaznacz na płaszczyz
nie w, w, iw.
Å»
2D. (a) (2 pkt.) Niech u(x) = (x - i + 1)(x - i). Podaj wielomian rzeczywisty w(x) możliwie niskiego
stopnia taki, że wielomian u(x) dzieli go bez reszty.
(b) (2 pkt.) Na jakie ułamki proste można rozłożyć funkcję wymierną x/(x2 - 4)? Podaj układ
równań liniowych, z którego można wyznaczyć współczynniki tych ułamków prostych. Nie
wyznaczaj ułamków prostych.
3D. Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
1 a1 a2 · · · an
ïÅ‚
1 a1 + b a2 · · · an śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
An+1 = ïÅ‚ 1 a1 a2 + b · · · an śł
śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
· · · · · · · · · · · · · · ·
1 a1 a2 · · · an + b
będzie macierzą stopnia n + 1.
(a) (2 pkt.) Za pomocą elementarnych przekształceń uzasadnij, dlaczego
det(An+1) = bn.
(b) (2 pkt.) Sprawdz
, że ten wzór jest prawdziwy dla n = 3.
4D. (5 pkt.) Niech
îÅ‚ Å‚Å‚
3 0 0
ïÅ‚ śł
A = 0 2 1 .
ðÅ‚ ûÅ‚
0 3 3
Oblicz trzecią kolumnę macierzy odwrotnej do A na dwa sposoby: za pomoca dopełnień algebra-
icznych i poprzez rozwiązanie odpowiedniego układu równań liniowych.
5D. Niech

a 1
A = .
0 a
(a) (3 pkt.) Oblicz A2, A3, A4 i na tej podstawie domyśl się, czemu równa się An dla dowolnej
liczby naturalnej.
(b) (2 pkt.) Jak to wykorzystać do obliczenia (A-1)n?
(1 pkt.) Podaj definicjÄ™ macierzy odwrotnej.