Algebra z analizÄ…, WSIZ, I semestr informatyki 2005/06
Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania.
Rozwiązać podane układy równań za pomocą
97. A =[9, 5, -], B =[-6, 11, 17].
2
a) wzorów Cramera,
b) macierzy odwrotnej:
Obliczyć cos "(A, B):
2x1
Å„Å‚ - x2 = 5
98. A=[1,-2,], B=[-1, 1, 4].
1
83. .
òÅ‚
x1 - x2 = 3
ół
99. A =[5, - 2, -1], B =[2, 0, -].
2
100. A=[1, 4,-3], B=[5, 7,-2].
5x1 + x3 = 3
Å„Å‚
ôÅ‚
84. - x2 + x3 = 4 .
òÅ‚2x
1 Dla jakiej wartości parametru a wektory A, B są
ôÅ‚
prostopadłe?
x1 + 3x2 = - 3
ół
101. A=[6, 4, a], B=[4, a,].
8
102. A=[3a,-9, a], B=[a, 2,-3].
2x1 + 3x2 + x3 = 5
Å„Å‚ 103. A=[a,-2,], B=[3, a,-a].
1
ôÅ‚
85. x1 + 2x2 - 2x3 = 1.
òÅ‚
ôÅ‚
Obliczyć iloczyny wektorowe A×B :
x2 - 4x3 = - 2
ół
104. A =[-10, 3, 0], B =[2, -1,].
1
105. A =[0, 6, -], B =[4, -12,].
5 8
3x1 + x2 - x3 = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
106. A=[1,-1, 9], B=[-2, 5,-7].
86. x1 - x2 + 2x3 = 1.
òÅ‚
ôÅ‚2x
+ x3 = 4
ół 1
Obliczyć sin "(A, B):
107. A =[2, - 2,], B =[1, 0,].
1 1
Rozwiązać podane układy równań metodą
108. A=[5,-2,], B=[2,-2, 0].
1
eliminacji Gaussa:
2x1 + 3x2 + x3 = 5
Å„Å‚
ôÅ‚
Obliczyć iloczyny mieszane [ABC]:
87. x1 + 2x2 - 2x3 = 1.
òÅ‚
1 5
ôÅ‚ 109. A =[6, 1,], B =[2, - 4, 9], C =[1, 0,].
x2 - 5x3 = - 3
ół
110. A =[10, -1, 0], B =[3, 4, -], C =[1, 0, 2].
3
111. A =[3, - 2, 4], B =[4, 1,], C =[1, 8, -1].
5
x1
Å„Å‚ - 5x2 + x3 = 4
ôÅ‚
88. - 3x2 + x3 = - 2 .
òÅ‚
Obliczyć odległości punktów od prostych:
ôÅ‚
= 2
ół- x1 + 2x2
112. P=(2,-3), 3x-4y+2=0 .
113. P=(-1, 8), 2x-y+5=0 .
5x1 + x3 = 3
Å„Å‚
114. P=(4, 1), x-y+7=0 .
ôÅ‚
89. - x2 + x3 = 4 .
òÅ‚2x
1
ôÅ‚
x1 + 3x2 = - 3
ół Napisać równania prostych przechodzących przez
punkty:
115. P1 = (2, 3), P2 = (-1, 0) .
x1
Å„Å‚ - x2 + 2x3 + 3x4 = 0
ôÅ‚
116. P1=(4,-2), P2=(3, 5) .
90. x2 + 4x3 - x4 = 2 .
òÅ‚
ôÅ‚
117. P1=(1,-1), P2=(6,-1) .
ół- x1 + 2x2 + 2x3 - 4x4 = 2
Obliczyć kąty ostre zawarte między podanymi
2x1 + 3x2 + x3 = 1
Å„Å‚
prostymi:
ôÅ‚
91. x1 + x2 + 2x3 + x4 = 4 .
òÅ‚
118. y = -3x + 2, y = 2x +1.
ôÅ‚
- x2 - 2x3 + 2x4 = 2
ół
119. y= 3x-2, y=1.
120. y = 2x - 5, y = 2x + 7 .
Obliczyć długości podanych wektorów:
121. y = 5x + 3, y = -x + 4 .
92. A=[2,-5, 4].
93. A=[-1, 0,-2].
Wyznaczyć punkty wspólne podanych okręgów i
94. A =[7, 4,].
5
prostych:
2
122. x2+y =4, y=x .
Obliczyć iloczyny skalarne AoB :
2 2
123. (x + 2) +(y - 2) = 9, y = x +1.
95. A=[-2, 5,], B=[4, 10, 7].
3
2 2
96. A=[6, 0,-3], B=[-1, 52,-2]. 124. (x-1) +(y+3) =4, 3x+4y-1=0 .
Ewa
Lis
Algebra z analizÄ…, WSIZ, I semestr informatyki 2005/06
Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania.
Napisać równania ogólne płaszczyzn
4 2
149. f (x)=5 x , g(x)=5x .
spełniających podane warunki :
125. PÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt
Określić zbiory wartości i zbadać ograniczoność
P=(-2, 1,-1) i jest równoległa do
podanych funkcji:
płaszczyzny 2x+3y+z-5=0 .
150. f (x) = sin 2005x .
126. PÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkty
2
151. f (x) = x - 2x + 2.
P1=(0, 2, 3), P2=(-1, 1, 1) i jest prostopadła
do płaszczyzny 2x+y-z+1=0 . 152. f (x)= 2x-3 .
2
127. PÅ‚aszczyzna przechodzi przez punkt
153. f (x)=-2x +8x-1.
P=(-3, 0, 1) i jest równoległa do wektorów
1
154. f (x) = + 2 , x "(3, 12).
A=[2, 3,], B=[1,-1,-1].
1
x - 3
2
Zbadać czy podane zbiory są ograniczone z dołu, z 155. f (x) = 3x +1 , x " - 2,2 .
góry, są ograniczone. Wskazać elementy
1
5
najmniejszy i największy jeśli istnieją: 156. f (x)= , x"0,).
x2+3
128. Z .
129. A=(2, 7 .
Zbadać monotoniczność podanych funkcji:
130. B=(-4,").
157. f (x) = -3x + 2 .
2
131. C={1, 3, 5, 7,K}.
158. f (x) = x - x +1.
1
Å„Å‚2 üÅ‚.
159. f (x)=2 x .
132. D = + : n " N
òÅ‚ żł
n
ół þÅ‚
160. f (x)=2 x-5 .
n
133. E={ 7 : n"N}.
Zbadać parzystość i nieparzystość podanych
134. F = {x " R : x2 + x - 6 d" 0}.
funkcji:
135. G ={x " R : x2 + 2x - 3 e" 0}.
4
161. f (x)=x -2x2 .
136. H = {-2}*"(2,10).
2
162. f (x) = 1+ x .
Określić dziedziny naturalne podanych funkcji:
163. f (x) = 2 sin x .
1
164. f (x)=e3x .
137. f (x)= .
x2-x
2
138. f (x)=log(x -4). Uzasadnić, że podane funkcje są
różnowartościowe na wskazanych zbiorach:
2
139. f (x)= -x .
165. f (x)=-3x3 , R .
1
140. f (x) = +12100. 2
2
166. f (x)= , (0,") .
1+ x
x2
2
Dla podanych funkcji określić funkcje złożone
141. f (x) = 1- x2 + .
x
g o f, f o g, f o f, g o g:
2
142. f (x)=log2 sin x .
167. f (x) = x , g(x) = 5x + 2.
143. f (x)=log 3+log (3-x).
2
x x+1
168. f (x)= x +3, g(x)=sin x .
2 - x
2
169. f (x)=e-x , g(x)=x -x .
144. f (x) = .
x +1
Wyznaczyć funkcje odwrotne do podanych:
Określić czy podane funkcje są równe:
170. f (x) = -2x + 3, x " R .
2
145.
f (x)=x+1, x"0,1 , g(x)=sin x+cos2 x+x, x"0,1 .
171. f (x)= x+1, x" -1,").
1
x2-1
172. f (x)= +1, x"1,").
146. f (x)=x+1, g(x)= .
2
x
x-1
x-3
147. f (x)= , g(x)=1.
x-3
148. f (x)= x2 , g(x)=x .
Ewa
Lis
Algebra z analizÄ…, WSIZ, I semestr informatyki 2005/06
Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania.
Obliczyć podane granice ciągów:
3n5 - 2n2 + 2
173. lim .
n"
4n5 + n3 - n +1
4n3 + n2 -1
174. lim .
n"
2n4 +10
ëÅ‚ öÅ‚
n2 n
ìÅ‚ ÷Å‚
175. lim - .
ìÅ‚1+ 2n 2 ÷Å‚
n"
íÅ‚ Å‚Å‚
176. lim(n + 6 - n +1).
n"
2n-5n
177. lim .
n"
5n
1+3n
178. lim .
n"
2n+4n+1
2n+5
8
ëÅ‚ öÅ‚
179. lim 1+ .
ìÅ‚ ÷Å‚
n"
n
íÅ‚ Å‚Å‚
n
n + 3
ëÅ‚ öÅ‚
180. lim .
ìÅ‚ ÷Å‚
n"
n + 2
íÅ‚ Å‚Å‚
cos2 n+3n2
181. lim .
n"
2n2+5
n
182. lim 2n+5n .
n"
Ewa
Lis