MECHANIKA BUDOWLI
Wykład 2:
TWIERDZENIA O WZAJEMNOÅšCI
Prowadzący: dr inż. Wojciech Zielichowski-Haber
Twierdzenie o wzajemności prac
Plan wykładu
1. Informacje wstępne
2. Twierdzenie o wzajemności prac
3. Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń
4. Twierdzenie o wzajemności reakcji
5. Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń
Twierdzenie o wzajemności prac
Informacje wstępne
W zapisie przemieszczeń i reakcji używamy dwóch indeksów np.
dla "ij notacja jest następująca:
Øð pierwszy indeks czyli i okreÅ›la miejsce gdzie wystÄ™puje dana
wielkość (przemieszczenie lub reakcja),
Øð drugi indeks czyli j oznacza przyczynÄ™ jÄ… wywoÅ‚ujÄ…cÄ…
(przemieszczenie lub reakcja).
j
"ij oznacza przemieszczenie punktu i belki wywołane
siłą P działającą w punkcie j belki.
Twierdzenie o wzajemności prac
Informacje wstępne
qðStosowane oznaczenia przemieszczeÅ„ i reakcji, które
występują w poniższych wzorach i twierdzeniach.
Twierdzenie o wzajemności prac
Informacje wstępne
qð Miejsce i kierunek i, w którym definiowane jest
przemieszczenie lub reakcja może oznaczać konkretne
miejsce i kierunek lub też sumę określonych
przemieszczeń i reakcji.
Zilustrowano to poniżej:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Informacje wstępne
Zakładamy, że układy prętowe:
vðzbudowane sÄ… z materiaÅ‚u sprężystego speÅ‚niajÄ…cego prawo
Hooke'a tj. liniowa zależność pomiędzy naprężeniem, a
odkształceniem,
vðwarunki kinematyczne ukÅ‚adu nie ulegajÄ… zmianie w trakcie
obciążenia (układ Clapeyrona  liniowo sprężysty)
Twierdzenie o wzajemności prac.
Informacje wstępne
vðPodobnie można okreÅ›lić pozostaÅ‚e odksztaÅ‚cenia:
" kÄ…towe "5ØÜ5ØKß wywoÅ‚ane momentem zginajÄ…cym M,
" podÅ‚użne "5ØÜ5Ø"Ü wywoÅ‚ane siÅ‚Ä… podÅ‚użnÄ… N,
" postaciowe "5ØÜh wywoÅ‚ane siÅ‚Ä… tnÄ…cÄ… T.
gdzie potrzebne są następujące dane:
E - moduł Young a np. E = 205GPa dla stali,
G - moduł Kirchoff a G = [ E / 2(1+v) ] = 80 GPa dla stali
v  współczynnik Poisson a v = 0.3 dla stali,
A - pole przekroju poprzecznego pręta,
J - moment bezwładności przekroju pręta względem osi obojętnej.
Twierdzenie o wzajemności prac
Informacje wstępne
vðº to współczynnik uwzglÄ™dniajÄ…cy nierównomiernoÅ›ci
rozkładu naprężeń stycznych w przekroju belki
(zależny od kształtu przekroju poprzecznego)
vðWyznacza siÄ™ ze wzoru:
gdzie:
S - moment statyczny odciętej części przekroju względem osi obojętnej,
b  szerokość pręta (w ogólnym przypadku zmienna po wysokości).
vðWspółczynnik º dla różnych ksztaÅ‚tów:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności prac
qðPodstawowe twierdzenie o wzajemnoÅ›ci prac jest tw. Bettiego
(I tw. o wzajemności).
" Rozpatrujemy dwa stany obciążeń działających na układ prętowy.
Pierwszy stan oznaczamy indeksem "i" a drugi stan indeksem "j"
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności prac
" Oznaczmy przez 5ØCÜ5Ø[Ü5ØVÜ oraz 5ØEÜ5Ø_Ü5ØVÜ siÅ‚y i reakcje dziaÅ‚ajÄ…ce w ukÅ‚adzie "i",
a przez 5Ø@Ü5ØVÜ, 5ØGÜ5ØVÜ, 5ØAÜ5ØVÜ oraz "5ØQÜ5Øß5ØVÜ, "5ØQÜ!5ØVÜ i "5ØQÜ5Ø`Ü5ØVÜ odpowiadajÄ…ce im siÅ‚y
przekrojowe i odksztaÅ‚cenia. WielkoÅ›ciami "5Ø[Ü5ØWÜ i "5Ø_Ü5ØWÜ oznaczamy
przemieszczenia w układzie  j występujące w miejscu i kierunku
siły oraz reakcje układu  i .
" Oznaczmy przez 5ØCÜ5ØXÜ5ØWÜ oraz 5ØEÜ5Ø_Ü5ØWÜ siÅ‚y i reakcje dziaÅ‚ajÄ…ce w ukÅ‚adzie
 j", a przez 5Ø@Ü5ØWÜ, 5ØGÜ5ØWÜ, 5ØAÜ5ØWÜ oraz "5ØQÜ5Øß5ØWÜ, "5ØQÜ!5ØWÜ i "5ØQÜ5Ø`Ü5ØWÜ odpowiadajÄ…ce im siÅ‚y
przekrojowe i odksztaÅ‚cenia. WielkoÅ›ciami "5ØXÜ5ØVÜ i "5Ø_Ü5ØVÜ oznaczamy
przemieszczenia w układzie  i występujące w miejscu i kierunku
siły oraz reakcje układu  j .
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności prac
" Traktując układ sił i przemieszczeń układu "i" jako obciążenie i
przemieszczenie wirtualne dla układu "j" z zasady prac wirtualnych
otrzymuje siÄ™:
" Równanie pierwsze można traktować jako pracę wirtualnych obciążeń i
sił przekrojowych układu "i" na rzeczywistych przemieszczeniach i
odkształceniach układu "j" (II zasada prac wirtualnych), natomiast
równanie drugie traktujemy jako pracę rzeczywistych obciążeń i sił
przekrojowych układu "j" na wirtualnych przemieszczeniach i
odkształceniach układu "i" (I zasada prac wirtualnych).
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności prac
" Biorąc pod uwagę zależności
powyższe równania przyjmują postać:
Zauważmy, że prawe strony w powyższych równaniach są sobie równe.
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności prac
Stąd otrzymuje się tw. Bettiego o wzajemności prac
(I tw. o wzajemności).
Jeżeli na ustrój sprężysty działają dwa niezależne od siebie
układy obciążeń, spełniające warunki równowagi, to praca obciążeń
jednego układu wykonywana na przemieszczeniach wywołanych
drugim układem obciążeń jest równa pracy obciążeń drugiego układu
wykonywanej na przemieszczeniach wywołanych pierwszym układem
obciążeń.
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności prac
Przykłady:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń
" Z tw. Bettiego wynika drugie twierdzenie o wzajemności.
Zakłada się, że zarówno w układzie "i" jak i "j" podpory nie
ulegajÄ… przesuniÄ™ciom, a wiÄ™c "5Ø_Ü5ØVÜ= 0 i "5Ø_Ü5ØWÜ= 0 (dla wszystkich r)
i w obu ukÅ‚adach wystÄ™pujÄ… tylko siÅ‚y jednostkowe: 5ØCÜ5Ø[Ü5ØVÜ = 15Ø[Ü5ØVÜ i
5ØCÜ5ØXÜ5ØWÜ = 15ØXÜ5ØWÜ.
Wówczas z równania otrzymuje się:
Ponieważ
Zgodnie z wcześniej przyjętymi oznaczeniami ma formę:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń
Zależność:
stanowi tw. Maxwella o wzajemności przemieszczeń:
Przemieszczenie w miejscu "i" wywołane jednostkowym
obciążeniem działającym w miejscu "j" jest równe przemieszczeniu
w miejscu "j" wywołanemu jednostkowym obciążeniem działąjącym
w miejscu "i".
Przykład nr1:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń
Przykład nr2.
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności reakcji
" Z tw. Bettiego wynika trzecie twierdzenie o wzajemności.
Rozpatrzmy sytuację, gdy w obu stanach "i" oraz "j" siły
sÄ… równe zeru, a wiÄ™c 5ØCÜ5Ø[Ü5ØVÜ = 5ØCÜ5ØXÜ5ØWÜ = 0 dla wszystkich n oraz
k, natomiast w obu stanach obciążenie stanowią
jednostkowe przemieszczenia podpór, a wiÄ™c "5Ø_Ü5ØVÜ= 15Ø_Ü5ØVÜi
"5Ø_Ü5ØWÜ= 15Ø_Ü5ØWÜ przynajmniej dla niektórych r w każdym stanie.
Z twierdzenie Bettiego orzymuje siÄ™:
Zgodnie z wcześniej przyjętymi oznaczeniami ma formę:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności reakcji
Zależność:
stanowi tw. o wzajemności reakcji  tw. Rayleigha.
Reakcja w miejscu i na kierunku "i" wywołana jednostkowym
przemieszczeniem zadanym w miejscu i na kierunku "j" jest równa
reakcji w miejscu i na kierunku "j" wywołanej jednostkowym
przemieszczeniem zadanym w miejscu i na kierunku "i".
Przykład nr1:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności reakcji
Przykład nr2:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności reakcji
Przykład nr3:
Przykład nr4:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń
" Ostatnie twierdzenie o wzajemności. W stanie i obciążenie
stanowiÄ… siÅ‚y jednostkowe 5ØCÜ5Ø[Ü5ØVÜ = 15Ø[Ü5ØVÜ, (przynajmniej dla jednego
n), a "5Ø_Ü5ØVÜ= 0 (dla wszystkich r), zaÅ› w stanie j obciążenie stanowiÄ…
jednostkowe przemieszczenia "5Ø_Ü5ØWÜ= 1 (przynajmniej dla jednego
r), a wszystkie 5ØCÜ5Ø[Ü5ØVÜ = 0.
Z twierdzenie Bettiego otrzymuje siÄ™:
Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami zależność ma postać:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń
Zależność
Stanowi twierdzenie o wzajemności przemieszczeń i reakcji.
Przemieszczenie w miejscu i na kierunku "i" wywołane
jednostkowym przemieszczeniem zadanym w miejscu i na kierunku
"j" jest równe ze znakiem przeciwnym reakcji w miejscu i na
kierunku "j" wywołanej jednostkowymi siłami działającymi w
miejscu i na kierunku "i".
Przykład 1:
Twierdzenie o wzajemności prac.
Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń
Przykład 2: