MECHANIKA BUDOWLI
Wykład 4:
USTROJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE.
METODA SIA
.
Prowadzący: dr inż. Wojciech Zielichowski-Haber
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Plan wykładu
1. Stopień statycznej niewyznaczalności
2. Sformułowanie metody sił dla belek i ram
3. Układ podstawowy i układ równań kanonicznych dla ustrojów
poddanym obciążeniom mechanicznym
4. Kontrola poprawności rozwiązania
5. Sformułowanie metody sił dla kratownic
6. Belki statycznie niewyznaczalne
7. Wyznaczanie przemieszczeń w układach statycznie
niewyznaczalnych od obciążeń mechanicznych
8. Układ podstawowy i układ równań kanonicznych dla ustrojów
poddanym obciążeniom nie mechanicznym
9. Wyznaczanie przemieszczeń w układach statycznie
niewyznaczalnych od obciążeń niemechanicznych
10. Przykłady
11. Podsumowanie
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
Właściwości płaskich układów prętowych:
" każdy płaski ustrój prętowy można podzielić na:
oddzielne tarcze i łączące je więzi,
" za tarczę będziemy uważać:
a) wydzielony pręt
b) wydzielony węzeł
c) zbiór prętów połączonych węzłami sztywnymi tworzących formę
otwartÄ…
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
Stopień statycznej niewyznaczalności dla zbioru prętów
tworzących formę otwartą można wyznaczyć bezpośrednio,
Stopień statycznej niewyznaczalności dla zbioru prętów
tworzących formę zamkniętą określamy poprzez rozcięcie go jak
poniżej:
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
" Każda swobodna!!! tarcza sztywna ma trzy (3!!!) stopnie
swobody na płaszczyz
nie.
Liczbą stopni swobody SS danego układu nazywamy liczbę
niezależnych parametrów niezbędnych do jednoznacznego
określenia możliwości jego ruchu w przestrzeni.
" Aby układ był geometrycznie niezmienny GN (nie jest mechanizmem,
nie ma możliwości ruchu swobodnego), musi zostać unieruchomiony.
" Aby tarczę unieruchomić należy przyłożyć trzy (3) więzi elementarne nie
przecinajÄ…ce siÄ™ w jednym punkcie na paszczyz
nie, Å‚Ä…czÄ…ce danÄ…
tarcze z częścią nieruchomą konstrukcji (fundament).
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
" Więz
elementarną stanowi nieściśliwy pręt przegubowo-przegubowy.
Odbiera ona tarczy t jeden (1) stopień swobody.
" Litera e oznacza liczbę więzi elementarnych,
" Podstawowe podpory i odpowiadające im liczby więzi elementarnych
(Å‚Ä…czÄ…ce z fundamentem).
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
" Dwa pręty połączone przegubem -
unieruchomiony jeden z nich, drugi
traci dwa (2) stopnie swobody ->
Możliwy jest tylko jego obrót względem
unieruchomionego przegubu -> e=2,
" W przegubie połączonych jest k prętów 
unieruchomiony jednego z nich, każdy
pozostały traci dwa (2) stopnie
swobody -> e=2(k-1).
" Połączenie szytywne odbiera każdemu
połączeniu 3 stopnie swobody -> e=3
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
" W przypadku prętów sztywno zamocowanych liczbę sił niezależnych można
określić -> e=3(k-1)
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
" Warunek konieczny, aby ustrój był statycznie wyznaczalny (SW) (czyli
można go rozwiązać korzystając tylko z warunków równowagi) jest
spełnienie równości mającej charakter ilościowy:
e=3t lub e-3t=0
" Warunek ten jest konieczny, ale nie wystarczajÄ…cy. Dodatkowym
wymaganiem jest, aby ustrój był geometrycznie niezmienny (GN).
SW, GN SW, GN
SW, GZ  układ jest mechanizmem!!!
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
qðLiczbÄ™ wiÄ™zi nadliczbowych nh równÄ… liczbie brakujÄ…cych równaÅ„
równowagi, które należało by odrzucić aby układ był statycznie
wyznaczalny (SW) nazywamy stopniem statycznej niewyznaczalności
(SSN):
nh=e-3t>0
SW SN
qðDla każdej tarczy t można uÅ‚ożyć trzy równania równowagi (3t
niezależnych równań). Wielkościami nieznanymi są siły w więziach
elementarnych, a liczba niewiadomych sił wynosi e. W każdym węz
le
występuje e nieznanych sił.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
qðUstrój statycznie niewyznaczalny (SN) lub hiperstatyczny o SSN nh to
ustrój, który jest przesztywniony -> posiada więcej więzi e niż jest
potrzebne, aby układ był statycznie wyznaczalny (SW).
qðDo rozwiÄ…zywania ukÅ‚adów hiperstatycznych trzeba zbudować dodatkowe
nh równań, wynikających z warunku ciągłości konstrukcji (ograniczenia
przemieszczeń konstrukcji).
qðSSN nh > 0 oznacza, że ukÅ‚ad ma wiÄ™cej niewiadomych wielkoÅ›ci e niż
równań równowagi i układu nie da się rozwiązać przy zastosowaniu tylko
równań równowagi.
Przykład nr1: Określić SSN - nh dla belki
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
Przykład nr2: Określić SSN - nh dla ramy
Przykład nr3: Określić SSN - nh dla ramy
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
Przykład nr4: Określić SSN - nh dla ramy
Przykład nr5: Określić SSN - nh dla ramy
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
qðSSN kratownicy pÅ‚askiej zależy od liczby wÄ™złów, liczby prÄ™tów i liczby
więzi podporowych.
Stosujemy następujące oznaczenia:
p  liczba prętów kratownicy,
w- liczba węzłów,
r - liczba więzi elementarnych.
Stopień statycznej niewyznaczalności (SSN) kratownic wynosi:
qðSuma p+r okreÅ›la liczbÄ™ wielkoÅ›ci niewiadomych, gdyż nieznane sÄ… siÅ‚y w
prętach i reakcje podporowe.
Ponieważ w każdym węz
le mamy zbieżny układ sił stąd dla każdego węzła
możemy ułożyć dwa równania równowagi (trzecie spełnione jest
tożsamościowo).
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Stopień statycznej niewyznaczalności
Przykład nr1: Określić SSN - nh dla kratownicy
Przykład nr2: Określić SSN - nh dla kratownicy
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Sformułowanie metody sił dla belek i ram
qðAlgorytm postÄ™powania w metodzie siÅ‚:
1) Sprawdzenie statycznej niewyznaczalności nh układu rozpatrywanego
rzeczywistego URZ, który jest statycznie niewyznaczalny SN i geomerycznie
niezmienny GN. Wyznaczenie liczby nadliczbowych więzi nh w układzie.
Układu SN nie da się rozwiązać (tj. wyznaczyć sił w więziach nadliczbowych) za
pomocą równań równowagi.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Sformułowanie metody sił dla belek i ram
Algorytm postępowania w metodzie sił:
3) utworzenie układu podstawowego UP (który jest SW i GN) poprzez wstawienie
w miejsce usuniętych więzi niewiadomych (szukanych) sił hiperstatycznych
(nadliczbowych), aby zachować kinematyczną i statyczną identyczność URZ z
nowym UP,
4) określenie sumarycznych przemieszczeń po kierunkach działania niewiadomych sił
i zapisanie układu równań kanonicznych metody sił,
ponieważ w rzeczywistości
w miejscach usuniętych podpór
istniały więzy, które uniemożliwiały
przemieszczenia, przemieszczenia
w tych miejscach są równe zero.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Sformułowanie metody sił dla belek i ram
Algorytm postępowania w metodzie sił:
6) wyznaczenie wielkości sił przekrojowych (momentów zginających) od
obciążenia jednostkowego X1=1 i obciążenia danego P w UP,
7) wyznaczenie wartości przemieszczeń i niewiadomej (szukanych) siły X1,
7) wyznaczenie sił wewnętrznych
w URZ (SN i GN) przy użyciu
wyznaczonej wartości sił X1 w UP (SW i GN).
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Sformułowanie metody sił dla belek i ram.
qð Idea rozwiÄ…zania metodÄ… siÅ‚ zadanego ukÅ‚adu rzeczywistego URZ, który jest SN
i GN (geometrycznie niezmienny) sprowadza siÄ™ do:
1. utworzenia układu podstawowego UP (SW i GN), który powstał z układu
rzeczywistego URZ (SN i GN) przez wprowadzenie w miejsce odrzuconej
więzów niewiadomej siły hiperstatycznych X1,
2. rozwiązania układu postawowego UP (układu SW) od obciążenia
hiperstatyczną siłą jednostkową X1 = 1 oraz od obciążenia zadanego P,
3. wyznaczeniu wartości niewiadomej siły hiperstatycznej X1 z równania
kanonicznego,
4. rozwiazaniu zadanego URZ (SN) poprzez rozwiÄ…zanie UP (SW) po
uwzględnieniu wartości wyznaczonej sił hiperstatycznej X1 i obciążenia
zadanego P.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qðUkÅ‚ad podstawowy UP jest ukÅ‚adem SW oraz GN i speÅ‚nia również trzy
warunki identyczności z zadanym układem rzeczywistym URZ:
" geometryczna (zgodność wymiarów),
" kinematyczna (zgodność przemieszczeń  równania kanoniczne),
" statyczna (zgodność obciążeń).
UP 1
UP 2
UP 3
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qðJeżeli mamy ukÅ‚ad prÄ™towy URZ n-krotnie SN (n wiÄ™zi nadliczbowych).
qðMusimy wyznaczyć n siÅ‚ hiperstatycznych X1,& , Xn w wiÄ™ziach
nadliczbowych, których nie uzyskuje się bezpośrednio z warunków
równowagi.
qðObok równaÅ„ równowagi (3 równania) należy uÅ‚ożyć dodatkowych n-
równań (w formie układu równań kanonicznych) z których wyznaczymy
wartości n-sił hiperstatycznych X1,& , Xn w więziach nadliczbowych.
" Rozpatrzmy więz
hiperstatyczną  i którą przecinamy.
" W URZ więz
jest nieprzecięta.
" W UP jest przęcięta i występuje siła Xi.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qðW rzeczywistym ukÅ‚adzie przecinamy n-wiÄ™zi (np. 2) nadliczbowych i
w miejscu tych więzi przykładamy dodatkowe nieznane siły
hiperstatyczne w postaci X1,...,Xn (np. X1 i X2). Układ z przeciętymi
więziami nadliczbowymi i przyłożonymi siłami X1,...,Xn (np. X1 i X2) w
ich miejsce to Układ Podstawowy Metody Sił.
URZ
qðOtrzymujemy n-warunków na przemieszczenia w ukÅ‚adzie
podstawowym "i=0 (i=1,2,...,n) (np. 2 warunki "1=0 i "2=0), które
prowadzą do liczby n (np. 2) dodatkowych równań:
UP
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qðPrzemieszczenia "i (i=1,2,...,n) w miejscu przeciÄ™tych wiÄ™zi
nadliczbowych, gdzie występuj wielkości hiperstatyczne Xi (i=1,2,...,n)
(np. X1 i X2) obliczamy w UP od wszystkich wpływów, a więc od
obciążenia zewnętrznego (typu P,q,M) oraz od wielkości hiperstatycznych
Xi (np. od X1 i od X2).
qðUkÅ‚ady te tj. 1. od P,q,M, 2. od X1=1 i 3. od X2=1 traktujemy i
rozwiÄ…zujemy osobno.
UP od obc. X1=1
UP od obc. X2=1
UP od obc. danego PqM
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qðWyznaczamy przemieszczenie "i(i=1,2,...,n) (np. "1 i "2) w ukÅ‚adzie
podstawowym jako sumę przemieszczeń od wszystkich wpływów w postaci:
gdzie przemieszczenie:
" "iP to przemieszczenie od obciążenia zewnętrznego P,q,M
" ´ijXj to przemieszczenie od wielkoÅ›ci hiperstatycznych Xj,
" ´ij to przemieszczenie od wielkoÅ›ci hiperstatycznych Xj=1.
Od wpływu X1=1 i X2=1 mamy następujące przemieszczenia:
X1=1
X2=1
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
Od wpływu P,q,M mamy następujące przemieszczenia:
-5ØKÜ5ØVÜ
qðGdy podparcie jest sprężyste o sztywnoÅ›ci k, to "5ØVÜ`" 0 i wynosi "5ØVÜ= .
5ØXÜ
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qð Po rozpisaniu kanoniczny ukÅ‚ad równaÅ„ metody siÅ‚ ma postać:
sens fizyczny poszczególnych wyrażeń:
przemieszczenie w miejscu i kierunku wielkości hiperstatycznej Xi wywołane
wielkością hiperstatyczną Xj=1 w UP;
przemieszczenie w miejscu i kierunku wielkości hiperstatycznej Xi wywołane
wielkością hiperstatyczną Xj w UP;
przemieszczenie w miejscu i kierunku wielkości hiperstatycznej Xi wywołane
obciążeniem zewnętrznym w UP;
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qðZe wzorów na wyznaczanie przemieszczeÅ„ współczynniki w
kanonicznym układzie równań metody sił określone są wzorami:
" Kreseczka nad 5Ø@Ü5ØVÜ, 5ØAÜ5ØVÜ, 5ØGÜ5ØVÜ (siÅ‚y wewnÄ™trzne) oraz 5ØFÜ5ØVÜ (siÅ‚y w wiÄ™ziach
sprężystych) oznacza, że są one wyznaczone w UP czyli SW.
" W ramach i belkach wpływ T i N (siły tnące i osiowe) jest mały,
przyjmujemy EA=" oraz GA=" i dlatego pomijamy niektóre całki.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qðWnioski i spostrzeżenia:
" Macierz podatności (współczynników) utworzona na podstawie
współczynników równań kanonicznych jest symetryczna,
" Równania kanoniczne są nieodłącznym składnikiem układu
podstawowego, gdyż zapewniają kinematyczną zgodność z układem
rzeczywistym,
" Z równań kanonicznych można obliczyć wartości niewiadomych sił
hiperstatycznych Xi.
qðPo rozwiÄ…zaniu ukÅ‚adu równaÅ„ otrzymuje siÄ™ nadliczbowe wielkoÅ›ci
hiperstatyczne X1, & ., Xn, (np. X1 i X2) a następnie wyznacza się
rzeczywiste (w układzie SN) sił przekrojowe M, N, T oraz reakcje.
Można tego dokonać na dwa sposoby.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
1) W układzie podstawowym, który jest SW występuje znane obciążenie
zewnętrzne oraz obciążenie znanymi już siłami hiperstatycznymi X1,& , Xn.
Rozwiązujemy układ podstawowy UP (SW) obciążony obciążeniem
zewnętrznym i siłami hiperstatycznymi i jako rezultat otrzymujemy siły
przekrojowe M, N, T czyli siły przekrojowe w URZ (SN).
2) Drugi sposób wyznaczania sił przekrojowych polega na wykorzystaniu zasady
superpozycji. Wykorzystujemy już znane wykresy siÅ‚ przekrojowych 5Ø@Ü5ØVÜ, 5ØAÜ5ØVÜ,
5ØGÜ5ØVÜ (i=1,2,...,n) oraz 5Ø@Ü5ØCÜ.
Rzędne rzeczywistych wykresów
sił przekrojowych wyznaczamy
z następujących zależności:
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Kontrola poprawności rozwiązania
qðKontrola poprawnoÅ›ci rozwiÄ…zania:
1. Sprawdzenie czy wszystkie obciążenia (reakcje) spełniają warunki
równowagi  sprawdzamy równowagę sił na prętach (równowaga sił
poziomych i pionowych) i w węzłach (równowaga momentów).
2. Sprawdzenie ciągłości konstrukcji w wybranych punktach  w miejscu
wielkości hiperstatycznych.
Ponieważ w układzie rzeczywistym SN (hiperstatycznym) więzi nadliczbowe
nie istnieją (nie są przecięte), przemieszczenia na kierunkach tych więz
i
powinny być równe zero ("i=0 dla i=1,2,& ,n).
W przypadku obciążenia siłami przemieszczenie "i wynosi
gdzie Mp i Ssp są momentami zginającymi i siłami w więziach sprężystych
wystÄ™pujÄ… w ukÅ‚adzie rzeczywistym (SN) czyli te wyliczone oraz 5Ø@Ü5ØVÜ i 5ØFÜ5Ø`Ü5ØVÜ sÄ…
momentami zginającymi i siłami w więziach sprężystych występujące w
układzie podstawowym (SW).
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
" Przykład nr1. Rozwiązanie ramy metodą sił
określenie SSN i dobranie UP
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
" Wykresy momentów zginających w UP
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
" Obliczenia współczynników równań kanonicznych
" Układ kanoniczny metody sił i jego rozwiązanie
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
" Wyznaczenie wykresu rzeczywistych momnetów zgnających oraz kontrola
ciągłości konstrukcji
0 0
Ponieważ "i=0 dla i=1,& ,n stąd "s="1+& "n=0 więc wykonujemy jedną
kontrolÄ™ sprawdzajÄ…c:
gdzie
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Sformułowanie metody sił dla kratownic
qðDla kratownic wzory w ramach Metody SiÅ‚ ulegajÄ… modyfikacji:
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Sformułowanie metody sił dla kratownic
" Przykład: kratownice rozwiązać metodą sił
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Sformułowanie metody sił dla kratownic
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Sformułowanie metody sił dla kratownic
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Sformułowanie metody sił dla kratownic
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Belki statycznie niewyznaczalne
qðW metodzie siÅ‚ przyjÄ™cie odpowiedniego schematu podstawowego
może znacznie uprościć obliczenia.
Jeżeli to możliwe staramy się tak dobrać układ podstawowy, aby jak
najwięcej współczynników równań kanonicznych była równa zeru.
Poniżej pokażemy przykład takiego schematu podstawowego dla
szczególnego przypadku  belki ciągłej.
Rozwiązując metodą sił belki ciągłe  jako wielkości hiperstatyczne
wygodnie jest przyjąć momenty zginające nad podporami pośrednimi
(kolejno).
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Belki statycznie niewyznaczalne
qðProwadzi to do ukÅ‚adu równaÅ„, w którym w pojedynczym równaniu
występują najwyżej trzy niewiadome. Rozpatrzmy belkę ciągłą jak na
rysunku poniżej. Układ podstawowy metody sił
URZ
UP
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Belki statycznie niewyznaczalne
" Odpowiednie współczynniki określone są przez następujące zależności:
" Pozostałe współczynniki sąrówne zero  co widać z wykresów. I-te
równanie kanoniczne metody sił ma postać:
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Belki statycznie niewyznaczalne
" Powyższe równanie jest często nazywane równaniem trzech
momentów. Jeżeli skrajne podpory są przegubowe to w pierwszym i
ostatnim równaniu występują tylko dwie niewiadome. Układ równń
ma charakter pasmowy, co pokazano na poniższym rysunku.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Wyznaczanie przemieszczeń
qðWzory do wyznaczania przemieszczeÅ„ od obciążeÅ„ mechanicznych sÄ…
ważne także dla układów SN.
Obciążenie jednostkowe jest obciążeniem wirtualnym, w przypadku układu
statycznie niewyznaczalnego może być ono przyłożone do układu SW  na
przykład układu podstawowego  zamiast do układu SN!!!
Stan p oznacza obciążenie dane (rzeczywiste) przyłożone w tym przypadku
do układu SN:
Fakt ten nazywany bywa twierdzeniem redukcyjnym.
" InterpretacjÄ™ wersji twierdzenia redukcyjnego przedstawimy na
przykładzie belki sztywno zamocowanej na obu końcach.
" Wyznaczymy przemieszczenie pionowe w punkcie  i . Skorzystamy z
dwóch wariantów twierdzenia redukcyjnego.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Wyznaczanie przemieszczeń
qðPierwsza i druga wersja twierdzenia redukcyjnego
" InterpretacjÄ™ wersji twierdzenia redukcyjnego przedstawimy na
przykładzie belki sztywno zamocowanej na obu końcach. Wyznaczymy
przemieszczenie pionowe w punkcie  i . Skorzystamy z dwóch wariantów
twierdzenia redukcyjnego.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Wyznaczanie przemieszczeń
qðPrzemieszczenia w ukÅ‚adach SN można okreÅ›lać z zależnoÅ›ci podanych
poniżej:
qðPodsumowanie
Można stwierdzić na podstawie twierdzeń redukcyjnych, że chcąc
wyznaczyć przemieszczenie w układzie statycznie niewyznaczalnym można
wyniki dla jednego ze schematów  dla obciążenia albo dla schematu
wirtualnego  uzyskać w układzie statycznie wyznaczalnym (na przykład w
układzie podstawowym).
My będziemy posługiwać się schematem w którym wyznaczamy
siły wewnętrzne od obciążenia w URZ (SN), a siły wewnętrzne od
obciążenia na kierunku przemieszczenia w UP (SW).
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Wyznaczanie przemieszczeń
Problem wyznaczenia przemieszczenia w belce statycznie niewyznaczalnej.
Wyznaczamy przemieszczenie pionowe w punkcie  c od obciążenia
równomiernie rozłożonego.
URZ
Aby wyznaczyć przemieszczenie w punkcie  c przykładamy jednostkowe
obciążenie w tym punkcie.
UP
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Wyznaczanie przemieszczeń
" Zachodzi potrzeba rozwiązania belki statycznie niewyznaczalnej od siły
jednostkowej. Jak wynika z II zasady prac wirtualnych  obciążenie
jednostkowe jest obciążeniem wirtualnym, a więc wystarczy aby spełniało
warunki równowagi.
" Wynika więc, że jako stan jednostkowy wystarczy przyjąć schemat
statyczny wyznaczalny  układ SW(w którym wszystkie wartości
zaznaczamy kreseczkÄ…).
" Możliwość przyjęcia stanu jednostkowego przedstawionego powyżej
zamiast przyjęcia schematu SN jest treścią twierdzenia redukcyjnego.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Wyznaczanie przemieszczeń
qðSchemat obliczenia przemieszczeÅ„ w ukÅ‚adzie SN:
" Wyznaczenie sił wewnętrznych w układzie SN od zadanego obciążenia mech.
" Wyznaczenie sił wewnętrznych w układzie SW od obciążenia jednostkowego
na kierunku szukanego przemieszczenia
" Wyznaczenie przemieszczenia
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Podsumowanie
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Podsumowanie
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Podsumowanie
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Rozwiązanie MS od obciążenia temperaturą
qðZe wzorów na wyznaczanie przemieszczeÅ„ współczynniki w
kanonicznym układzie równań metody sił określone są wzorami:
" Kreseczka nad 5Ø@Ü5ØVÜ, 5ØAÜ5ØVÜ, 5ØGÜ5ØVÜ oraz 5ØFÜ5ØVÜ oznacza, że sÄ… one wyznaczone w UP
czyli SW.
" W ramach i belkach wpływ T i N jest mały, przyjmujemy EA=" oraz
GA=", co powoduje pominięcie całek poszczególnych całek.
" Całki z iloczynu momentów zginających należy wyznaczyć za pomocą
wzorów Simpsona i Wereszczagina.
" Siła w podporze sprężystej jest równa co do wartości reakcji w tej wiezi
lecz z przeciwnym znakiem np. Ss=-Vs.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qðGdy obciążenie stanowi zmiana temperatury, wówczas w miejsce "iP w
układzie równań podstawiamy "it określony wzorem:
gdzie:
oznacza odkształcenie sprężyny wywołane zmianą temperatury,
oznacza przemieszczenie w miejscu i kierunku wielkości hiperstatycznej
Xi=1 wywołane zmianą temperatury w układzie podstawowym.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
" Poszczególne caÅ‚ki 5ØtÜ5ØŠÜ, 5ØuÜ5ØŠÜ, 5Ø{Ü5ØŠÜ należy traktować jako pola
wykresów dla wszystkich prętów.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qðGdy obciążenie stanowiÄ… osiadania (przemieszczenia) podpór rk oraz
imperfekcje "Ć, "l, "h (błędy montażu), wówczas w miejsce "iP w
układzie równań podstawiamy "i" określony wzorem:
gdzie:
oznacza przemieszczenie w miejscu i kierunku wielkości Xi w UP
wywołane błędami montażu i przemieszczeniem podpór w układzie
podstawowym,
oznacza przemieszczenie w URZ w miejscu wielkości hiperstatycznej Xi.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
" Poszczególne caÅ‚ki 5ØtÜ5ØŠÜ, 5ØuÜ5ØŠÜ, 5Ø{Ü5ØŠÜ ,5ØyÜ5ØŠÜ dla dyskretnych bÅ‚Ä™dów montażu
można traktować jako sumy wartoÅ›ci 5ØtÜ5ØŠÜ, 5ØuÜ5ØŠÜ, 5Ø{Ü5ØŠÜ, 5ØyÜ5ØŠÜ w miejscach
imperfekcji danego typu.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qðWnioski:
" Macierz podatności (współczynników) utworzona na podstawie współczynników równań
kanonicznych jest symetryczna,
" Równania kanoniczne są nieodłącznym składnikiem układu podstawowego, gdyż zapewniają
kinematyczną zgodność z układem rzeczywistym,
" Z równań kanonicznych można obliczyć wartości niewiadomych sił uogólnionych Xi.
qðPrzykÅ‚ad obliczeniowy
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Układ podstawowy i układ równań kanonicznych
qð Po rozwiÄ…zaniu ukÅ‚adu równaÅ„ otrzymuje siÄ™ nadliczbowe wielkoÅ›ci
hiperstatyczne X1, & ., Xn, a następnie wyznacza się rzeczywiste (w układzie
SN) sił przekrojowe M, N, T oraz reakcje.
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Kontrola poprawności rozwiązania
qðKontrola poprawnoÅ›ci rozwiÄ…zania dla obciążenia temperaturÄ…
Odpowiednie siły przekrojowe w układzie rzeczywistym oznaczamy Mp=MT
oraz Ssp=SsT. Poprawne rozwiązanie od obciążenia temperaturą spełnia
równanie:
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Kontrola poprawności rozwiązania
qðKontrola poprawnoÅ›ci rozwiÄ…zania dla obciążenia imperfekacjami i
osiadaniem podpór
Odpowiednie siły przekrojowe w układzie rzeczywistym oznaczamy Mp=M"
oraz Ssp=Ss". Poprawne rozwiązanie od obciążenia imperfekcjami oraz
osiadaniem podpór:
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Wyznaczanie przemieszczeń
qð Przemieszczenia w ukÅ‚adach SN można okreÅ›lać z zależnoÅ›ci podanych
poniżej:
W przypadku przemieszczenia wywołanego osiadaniem podpory mamy zależność:
" SW
" SN
W przypadku przemieszczenia wywołanego wpływem temperatury mamy
zależność:
" SW
" SN
Ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił
Podsumowanie
W przypadku przemieszczenia wywołanego imperfekcjami geometrycznymi
mamy zależność:
" SW
" SN
qðPrzykÅ‚ad
Wyznaczanie przemieszczeń w układach SW
Podsumowanie
Wyznaczanie przemieszczeń w układach SW
Podsumowanie
Wyznaczanie przemieszczeń w układach SW
Podsumowanie
Wyznaczanie przemieszczeń w układach SW
Podsumowanie
Wyznaczanie przemieszczeń w układach SW
Podsumowanie