Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej
Wydział Mechaniczny Technologiczny
Politechnika Śląska
www.imio.polsl.pl
LABORATORIUM
WYTRZYMAAOŚCI MATERIAAÓW
Zastosowanie metody elementów
skończonych do rozwiązywania zagadnień
dwuwymiarowych
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 2
1. CEL ĆWICZENIA
Zapoznanie się z metodą elementów skończonych (MES) w aspekcie zastosowania do roz-
wiązywania dwuwymiarowych (płaskich) zagadnień teorii sprężystości, a w szczególnoś-
ci:
- wyprowadzenie podstawowych zależności metody elementów skończonych dla zagad-
nień płaskich;
- budowa macierzy sztywności dla płaskich elementów trójkątnych i czworokątnych z li-
niowymi funkcjami kształtu.
Zapoznanie się z pakietem metody elementów skończonych TARCZA, PRO-MES, ABC
PAYTA, PATRAN/NASTRAN lub innym i jego obsługą w przypadku zagadnień płas-
kich.
Wyznaczenie rozkładu naprężeń i przemieszczeń w układach modelowanych dwuwymia-
rowymi elementami skończonymi.
2. WPROWADZENIE
Analityczne wyznaczenie rozkładu przemieszczeń i naprężeń w konstrukcjach, w których
występuje płaski stan odkształcenia lub naprężenia jest możliwe tylko w szczególnym przy-
padku, gdy rozpatruje się prostą geometrię (tarcze, płyty, prostokątne lub kołowe) przy nie-
skomplikowanych warunkach brzegowych (podparcia i obciążenia). W ogólnym przypadku
należy skorzystać z metod numerycznych, do których należy metoda elementów skończo-
nych.
Podstawy teoretyczne metody elementów skończonych dla zagadnień płaskich przedsta-
wiono w literaturze zamieszczonej na końcu rozdziału. W niniejszym rozdziale przedstawiono
metodę elementów skończonych wykorzystując koncepcję całki ważonej oraz tzw. sformuło-
wanie słabe, które szczegółowo przedstawiono w [1]. Inne, alternatywne sformułowanie, rów-
noważne niniejszemu, można wyprowadzić z warunku minimalizacji energii potencjalnej.
3. PODSTAWY TEORETYCZNE
3.1 Metoda elementów skończonych dla dwuwymiarowych zagadnień teorii sprężystości
Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości związane mogą być z płaskim stanem na-
prężenia lub płaskim stanem odkształcenia. W obu przypadkach pole przemieszczeń określo-
ne jest przez wektor przemieszczenia u = (ui), i = 1,2.
W płaskim stanie naprężenia tensor stanu naprężenia określany jest następująco:
s11 s12 0
ł
ęs
Ts = s22 0ś (1)
[ ]
21
ęś
ę 0 0 0ś
Oznacza to, że składowe s13 = s23 = s33 = 0.
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 3
W płaskim stanie odkształcenia tensor stanu odkształcenia ma postać:
e11 e12 0
ł
ęe
Te = e22 0ś (2)
[ ]
21
ęś
ę 0 0 0ś
W tym przypadku e13 = e23 = e33 = 0.
Płaski stan naprężenia występuje w cienkich tarczach obciążonych siłami leżącymi w pła-
szczyznie środkowej tarczy (rys. 1).
x3
x2
x2
2
n2
2
F1
Ć
n
2
F
2
x1
dx2
n1
2
2
-dx1 2
2
W
n1
Ć2
h n
n2 2
2 G
2
x3
Rys. 1. Tarcza w płaskim stanie naprężenia
Płaski stan odkształcenia występuje w ciałach o dużej szerokości obciążonych siłami rów-
nomiernie rozłożonymi wzdłuż powierzchni (rys. 2).
Warto przypomnieć, że nie można utożsamiać płaskiego stanu naprężenia z płaskim sta-
nem odkształcenia, ponieważ temu ostatniemu towarzyszą naprężenia s33 :
E
s33 = e11 + e22 ą 0 , (3)
( )
1+ 1- 2
( )( )
gdzie:
E moduł Younga;
liczba Poissona.
Równania równowagi dla zagadnienia dwuwymiarowego teorii sprężystości mają postać:
śs11 śs12
+ + X1(x) = 0
śx1 śx2
dla x = (x1, x2)W ,
śs śs
21 22
+ + X2(x) = 0
(4)
śx1 śx2
gdzie:
X1 i X2 składowe sił objętościowych.
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 4
x2 x2
n2
2 2
Ć
n
2
G
2
x1
n1
2
2
x3 x3
W
h
Rys. 2. Ciało w płaskim stanie odkształcenia
Równanie (4) w zapisie macierzowym przyjmuje postać:
*
ł s + X = 0 (5)
{ } { }
T
gdzie:
ś ś
ł
ęśx1 0 śx2 ś
*
[T ]= (6)
ę ś
ś ś
ę ś
0
ę śx2 śx1 ś
T
s = s11, s22, s12, (7)
{ } [ ]
T
X = X1(x), X2(x) (8)
{ } [ ]
Zależności między odkształceniami eij i przemieszczeniami ui można przedstawić następu-
jąco:
śu1 śu2 ć
śu1 śu2
e11 = ; e22 = ; e12 = e21 = + (9)
śx1 śx2 śx2 śx1
Łł
lub w zapisie macierzowym:
e = T u (10)
{ } [ ]{ },
gdzie:
T
e = e11, e22, 2e12 (11)
{ } [ ]
T
u = u1, u2 (12)
{ } [ ]
ł
ś
0
ę
śx1 ś
ęś
ęś
ś
T = 0 (13)
[ ]
ę
śx2 ś
ęś
ęś
ś ś
ęśx śx1 ś
ęś
2
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 5
*
Warto zwrócić uwagę, że między macierzami T i ł istnieje następująca zależność:
[ ]
T
T
*
T = ł (14)
[ ]
T
Związki konstytutywne można przedstawić w postaci macierzowej:
s = c e , (15)
{ } [ ]{ }
gdzie:
c11 c12 0
ł
ęc ś
c = c22 0 (16)
[ ]
21
ęś
ę 0 0 c33ś
Stałe cij zależą od tego, czy mamy do czynienia z płaskim stanem naprężenia, czy też płaskim
stanem odkształcenia.
Dla płaskiego stanu naprężenia stałe cij mają następującą postać:
E
c11 = c22 =
2
1-
E
c12 = c21 = (17)
2
1-
E
c33 =
2
2 1+
( )
W przypadku płaskiego stanu odkształcenia stałe cij przyjmują wartości:
E 1-
( )
c11 = c22 =
2
1- - 2
E
c12 = c21 = (18)
2
1- -
E
c33 =
2 1+
( )
Wstawiając (15) i (10) do (5) otrzymuje się równania równowagi wyrażone w przemiesz-
czeniach (równania Naviera-Lamego):
ć
ś2u1 ś2u2 ś2u1 ś2u2
c11 2 + c12 + c33 2 + + C1 = 0
śx1 śx1śx2 śx2 śx1śx2
Łł
(19)
ć ś2u1 ś2u2
ś2u1 ś2u2
c33 + + c12 + c22 2 + C2 = 0
2
śx1śx2 śx1 śx1śx2 śx2
Łł
Równania (19) należy jeszcze uzupełnić warunkami brzegowymi, które w przypadku ogól-
nym mają postać warunków brzegowych mieszanych:
- dla przemieszczeń:
u1 = 1, u2 = u2 n G1 (20)
- dla sił powierzchniowych:
Ć
p1 = s11n1 +s12n2 = p1
na G2 , (21)
ż
Ć
p2 = s21n1 +s22n2 = p2
gdzie:
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 6
G1 G2 = G;
G1 G2 = 0;
Ć
ni składowe wektora normalnego n do brzegu G.
Warunki brzegowe dla sił powierzchniowych można wyrazić przez przemieszczenia, jeśli
w (21) uwzględnimy (15) i (10). Otrzymujemy wówczas:
ć ć
śu1 śu2 śu1 śu2
p1 = c11 + c12 n1 + c33 +
śx1 śx2 ł śx2 śx1 n2
Ł Ł ł
(22)
ć śu1 śu2 ć śu1 śu2
p2 = c33 + + + c22
śx2 śx1 n1 c12 śx1 śx2 n2
Ł ł Ł ł
Układ równań (19) wraz z warunkami brzegowymi (20) i (21) tworzy tzw. zagadnienie
brzegowe teorii sprężystości.
Przybliżone rozwiązanie zagadnienia brzegowego teorii sprężystości otrzymać można przy
użyciu metody elementów skończonych. W tym celu płaski obszar W dzieli się na elementy
skończone We, e = 1, 2,..., E w postaci trójkątów lub czworokątów (rys. 3).
x2
x2
e
e (u2)e, F8e (u2)3, F6e
2
4
e
2 (u2)3, F6e
(u1)3, F5e (u1)e, F7e
4
e
(u1)3, F5e
(u2)e, F4e (u1)1, F1e
e e
2
(u2)1, F2e (u1)e, F3e
2
(u1)e, F3e e
2
(u2)1, F2e (u2)e, F4e
2
e
(u1)1, F1e
x1
x1
a) b)
Rys. 3. Elementy skończone We: a) trójkątne; b) czworokątne
1 1
Objętość elementu skończonego We określona jest przez Ve = We - h, h , gdzie h jest
( )
2 2
grubością elementu.
Na każdym elemencie skończonym We przemieszczenia ui, (i = 1, 2) aproksymowane są za
pomocą wielomianu Uie(x1, x2):
m
e e
ui(x1, x2) U (x1, x2) = )e N (x1, x2) , (23)
(ui j j
j=1
gdzie:
(ui )e wartości wstępne przemieszczeń;
j
e
N (x1, x2) funkcje kształtu (funkcje interpolacyjne);
j
m rząd aproksymacji.
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 7
Stosując zapis macierzowy aproksymację przemieszczeń na elemencie skończonym można
przedstawić następująco:
e
(u1)1
(u1)e
2
m
e
(u )e N
e e e
ł
u1 j=1 1 j j N1 N2 ...Nm 0 0...0
(u1)e
m
u = = = ęś =
{ }
u ż ż ż
e
e e e
ę
2 m )e N
e
0 0...0 N1 N2 ...Nm ś 2
(u )1
(u2 j j
(u2)e
j=1
2
(u2)e
m
e
(u1)1
(u )1
e
2
e e e
(u1)e
N1 0 N2 0 ... Nm 0 ł (24)
2
e
ę ś
ł
= =De
{ }
(u2)e ż
2
N
ę e e e
0 N1 0 N2 ... 0 Nm ś
ęś
(u1)e
m
(u )e
2 m
gdzie:
[N e] macierz funkcji kształtu;
{De } macierz kolumnowa przemieszczeń węzłowych.
Odkształcenia i naprężenia w elemencie We określone są następująco:
e e
ł
e = De (25)
{ } { }
B
e e e
ł ł ,
s =De (26)
{ } { }
C B
gdzie:
ee
ł ł (27)
= T N
[ ]
B
Z uwagi na przybliżenie rozwiązania zadania brzegowego wielomianem (23) równanie
(19) nie jest spełnione dokładnie, tzn.:
ć
ś2u1 ś2u2 ś2u1 ś2u2
R1 = c11 2 + c12 + c33 2 + + X1 ą 0
śx1 śx1śx2 śx2 śx1śx2
Łł
dla ui Ue(x1, x2) (28)
ć ś2u1 ś2u2
ś2u1 ś2u2
R2 = c33 + + c12 + c22 2 + X2 ą 0
2
śx1śx2 śx1 śx1śx2 śx2
Łł
W celu wyznaczenia nieznanych wartości węzłowych przemieszczeń żąda się, aby równa-
e
nia (19) były spełnione na elemencie skończonym We o objętości V w sensie całki ważonej:
R1w1dV = 0
e
V
(29)
R2w2dV = 0
,
e
V
gdzie w1 i w2 funkcje ważone.
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 8
Ponieważ przemieszczenia ui(x1, x2) nie zależą od współrzędnej x3, więc całki ważone (29)
przybierają postać:
he R1w1dx1dx2 = 0
We
(30)
he R2w2dx1dx2 = 0
We
gdzie:
he grubość elementu We.
Całkując (30) przez części otrzymuje się:
ś w1 ś u1 ś u2 ś w1 ś u1 ś u2 ł
ć ć
he ę c11 + c12 + c33 + - w1X1śdx1dx2 +
ś x1 Ł ś x1 ś x2 ł ś x2 Ł ś x2 ś x1
ł
We
-he w1p1dS = 0,
Ge
(31)
ś w2 ś u1 ś u2 ś w2 ś u1 ś u2 ł
ć ć
he ę c33 + + c12 + c22 - w2X2 śdx1dx2 +
ś x1 Ł ś x2 ś x1 ś x2 ś x1 ś x2 ł
ł Ł
We
-he w2 p2dS = 0
Ge
gdzie Ge krawędz elementu skończonego We.
W metodzie elementów skończonych w ujęciu Ritza przyjmuje się, że funkcje wagowe
ee
przyjmują postać funkcji kształtu, tzn. w1 = N1 i w2 = N2 . Wówczas równania (31) można
przedstawić w następującej postaci macierzowej:
K11 K12 u1 {F1}ż, (32)
[ ] [ ]ł{ }
ę
2
K21 K22 u2 {F }
[ ] [ ]ś{ }ż =
gdzie:
ć
śNie śN e śNie śN e
j j
11
Kij = he 11
c śx1 śx1 + c33 śx2 śx2 dx1dx2
WeŁ ł
ć
śNie śN e śNie śN e
j j
12 21
Kij = K = he 33
ji
c śx1 śx1 + c22 śx2 śx2 dx1dx2 (33)
WeŁ ł
Fi1 = he Nie X1dx1dx2 + he Nie p1dS
We Ge
Fi2 = he Nie X dx1dx2 + he Nie p2dS
2
We Ge
Równanie (32) zapisać można także w bardziej zwartej postaci:
[Ke]{De}= {Fe}, (34)
gdzie:
T
e
ł ł ł ł
= he e e e dx1dx2 (35)
K B C B
We
T X1 T p1
ł ł
Fe = he N e X żdx1dx2 + he N e żdS (36)
p2
2
We Ge
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 9
Macierz [Ke] jest macierzą symetryczną sztywności elementu skończonego o wymiarach
2m2m, natomiast {Fe} jest macierzą kolumnową sił o wymiarach 2m1m.
Elementy trójkątne
W przypadku elementów trójkątnych (rys. 4) należy w zależności (23) przyjąć, że
m = 3, zaś funkcje kształtu Nie mają postać wielomianów liniowych:
1
e
Nie(x1, x2) = aie + biex1 + g x2 ; i = 1,2,3, (37)
( )
i
2Ae
gdzie:
ai = (x1) (x2 )k - (x1)k (x2 ) ;
j j
bi = (x2 ) - (x2 )k ;
j
g = -(x1) + (x2 )k , dla i ą j ą k oraz wskazniki i, j oraz k podlegają permutacji.
i j
Funkcje kształtu Nie mają następującą własność:
ł
Nie (x1)e,(x2)e = dij; i, j = 1,2,3 (38)
j j
x2
3
a)
2
2
1
x1
2
e
N3
b) 3 3
e e
N1 N2
3
2
2
1 1
2
2
2
Rys. 4. a) Trójkątny element skończony i b) funkcje kształtu Nie
Elementy czworokątne
W przypadku czworokątnych elementów skończonych (rys. 5) należy w zależności (23)
przyjąć m = 4. Wówczas w lokalnym układzie współrzędnych x1, x2 funkcje kształtu Nie
mają postać:
x1 x2 x1 x2
ć1- ć1- , N2 = ć1- ,
ee
N1 =
a b a b
Ł łŁ ł Ł ł
(39)
x1x2 x1 x2
ć1-
ee
N3 = , N4 =
ab a b
Ł ł
Graficzną interpretację funkcji kształtu dla elementu czworokątnego przedstawiono na rys. 5b.
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 10
a) x2 x2
2
2
2
3 4
b
x1
1 2
2
a
x1
e
N1
4
b) 4
e
N2
2
3 3
1
1
2 2
e e
N3 N4
4
4
1 3 3
1
2 2
Rys. 5. a) Czworokątny element skończony i b) funkcje kształtu Nie
Szczegółowy opis metody elementów skończonych dla zagadnień brzegowych teorii sprę-
żystości znajdzie czytelnik w podręczniku [2]. Edukacyjne programy MES do zagadnień
dwuwymiarowych, osiowo-symetrycznych i przestrzennych (odpowiednio TARCZA, OS-
SYM i MES3D) znajdują się na stronach internetowych:
http://dydaktyka.polsl.pl/mes.
3.2 Przygotowanie zadania do rozwiązania metodą elementów skończonych
W celu rozwiązania konkretnego zadania brzegowego należy utworzyć model numeryczny
rozpatrywanego układu. W rzeczywistym układzie mechanicznym wyodrębniamy części skła-
dowe, które modelujemy jako pręty (belki) lub elementy płaskie dwuwymiarowe (płytowe,
tarczowe, powłokowe). Niektóre fragmenty konstrukcji mogą być modelowane elementami
przestrzennymi (trójwymiarowymi). W przypadku występowania w konstrukcji osiowej sy-
metrii ze względu na geometrię i warunki brzegowe (podparcia i obciążenia) zagadnienie mo-
deluje się elementami osiowo-symetrycznymi opisywanymi w przekroju osiowym konstruk-
cji. Elementy osiowo-symetryczne opisuje się tak jak elementy płaskie, przy czym kontur
przekroju osiowego (a w zasadzie jego połowa) jest brzegiem opisywanego obszaru. W ni-
niejszych rozważaniach ograniczono się do elementów dwuwymiarowych (płyty, tarcze).
Płyty i tarcze modeluje się płaskimi dwuwymiarowymi elementami trójkątnymi lub czwo-
rokątnymi. Ze względu na większą dokładność zaleca się stosować elementy czworokątne
prostokątne lub zbliżone do prostokątów.
W każdym elemencie zadaje się grubość i rodzaj materiału. W przypadku elementów tar-
czowych obciążenia i podparcia mogą występować tylko w płaszczyznie elementu w kierun-
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 11
kach osi x i y globalnego układu współrzędnych. W przypadku elementów płytowych obcią-
żenia i podparcia występują tylko w kierunku prostopadłym do płaszczyzny elementu (w osi z).
Podział układu na węzły i elementy musi uwzględniać rzeczywiste własności układu.
Podczas tworzenia modelu numerycznego należy przestrzegać następujących zasad:
1. Elementy mogą łączyć się tylko w węzłach.
2. Siły skupione i momenty skupione mogą być zadawane tylko w węzłach.
3. Podpory mogą być umieszczane tylko w węzłach.
4. Obciążenia ciągłe należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zas-
tąpić obciążeniami skupionymi.
5. Momenty ciągłe rozłożone należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowe-
go lub zastąpić momentami skupionymi.
6. Podparcie ciągłe należy zastąpić podporami w węzłach.
7. Odległości pomiędzy węzłami (długości elementów) powinny być w miarę równomierne.
8. Różnica pomiędzy numerami węzłów w elemencie powinna być jak najmniejsza (pasmo
minimalne).
9. Układ musi mieć tak narzucone więzy (punkty podparcia), aby nie tworzył mechanizmu.
Dodatkowo przy opisie elementów dwuwymiarowych numery węzłów należy podawać
zawsze w tym samym kierunku, najlepiej w odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Zwrot
normalnej do elementu musi być we wszystkich elementach jednakowy.
4. PRZEBIEG ĆWICZENIA
Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy wytrzymałościowej układu zamodelowane-
go dwuwymiarowymi elementami skończonymi. Jako przykład może posłużyć dowolny
obiekt spełniający warunki płaskiego stanu naprężenia lub odkształcenia. Poniżej przedsta-
wiono przykład ustroju w płaskim stanie naprężenia.
4.1 Przykładowe zadanie
Przykładem zagadnienia dwuwymiarowego jest tarcza w płaskim stanie naprężenia. Jako
zadanie można zamodelować tarczę prostokątną, utwierdzoną na jednym boku, z półkolistym
wycięciem na boku przeciwległym (rys. 6).
Jako obciążenie można przyjąć siły P1, P2 i P3 działające w płaszczyznie tarczy. Dane do-
tyczące geometrii, obciążenia i materiału zaleca się przyjąć następująco:
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 12
a = 0.5 m g = 5 mm E = 2 105 MPa
b = 0.15 m P1 = 1 kN = 0.3
c = 0.15 m P2 = 5 kN sdop = 150 MPa
d = 0.1 m P3 = 2 kN
Należy wyznaczyć przemieszczenia układu (wypadkowe i składowe), rozkłady naprężeń
redukowanych, głównych i składowe oraz rozkłady odkształceń. Następnie zmieniając gru-
P1 P1
P2
g
d
c
b
P3 P3
a
bość elementów należy dobrać wymiary tarczy, dla których maksymalne naprężenia będą
równe naprężeniom dopuszczalnym sdop = 150 MPa.
Rys. 6. Tarcza z wycięciem
5. OPRACOWANIE WYNIKÓW I WYTYCZNE DO SPRAWOZDANIA
Obliczenia należy przeprowadzić korzystając z pakietu programów do metody elementów
skończonych wskazanego przez prowadzącego ćwiczenia. Wyniki należy przedstawić w for-
mie wydruków sporządzonych na drukarce.
Sprawozdanie powinno zawierać:
I. Cel ćwiczenia
II. Krótkie omówienie podstaw MES-u i zasad modelowania w MES-ie
III. Opis rozwiązywanego zagadnienia i modelu numerycznego (z rysunkami)
IV. Wyniki obliczeń w formie wydruków sporządzonych na drukarce. Wyniki mają
zawierać:
1. Rysunki ugięć dla różnych wariantów obciążenia
2. Rysunki naprężeń składowych sx i sy
3. Rysunki naprężeń redukowanych
V. Analizę wyników
VI. Wnioski
ZASTOSOWANIE MES DO ROZWIZYWANIA ZAGADNIEC DWUWYMIAROWYCH 13
6. PRZYKAADOWE PYTANIA KONTROLNE
1. Do czego służy metoda elementów skończonych?
2. Co to jest macierz sztywności i w jakim wzorze występuje?
3. Co to są funkcje kształtu?
4. Co to są elementy skończone i jakie wielkości je opisują?
5. Jakich zasad należy przestrzegać w przypadku rozwiązywania zagadnienia metodą ele-
mentów skończonych?
6. Podaj prawo Hooke a dla płaskiego stanu odkształcenia (lub płaskiego stanu naprężenia).
7. LITERATURA
1. Beluch W., Burczyński T., Fedeliński P., John A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorium
z wytrzymałości materiałów. Wyd. Politechniki Śląskiej, Skrypt nr 2285, Gliwice, 2002.
2. Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego,
WNT, Warszawa 2001.
3. Jaworski A.: Metoda elementów skończonych w wytrzymałości konstrukcji, Wyd. Poli-
techniki Warszawskiej, Warszawa 1981.
4. Kruszewski J.: Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji, PWN, Warsza-
wa 1981.
5. Pietrzak J., Rakowski G., Wrześniowski K.: Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, War-
szawa-Poznań 1979.
6. Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w mechanice, PWN, Warszawa 1980.
7. Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w statyce konstrukcji, Arkady, Warszawa
1979.
8. Szmelter J.: Metody komputerowe w mechanice, PWN, Warszawa 1980.
9. Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa 1972.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
WM lab3 MES pretyWM lab MESWM lab MES pretyLab5Lab5 1 R4 lab51Wykład14 [MES]09 mo mes osymetrycznylab5BUD WODNE Wykład 6 analiza mechaniczna filtracja MESWM wyklad Elementy plastycznoscpeie lab5Egzamin materialy WM ZiP 2011 2012MES od Jolki mat 45uc xwięcej podobnych podstron