STATYKA BUDOWLI 1
PROJEKT 3
METODA KINEMATYCZNA - LINIE WPA
YWU
Zakład Statyki i Bezpieczeństwa Budowli
Instytut Inżynierii Lądowej Politechnika Wrocławska
[e-mail]
(C)opyright 2000
dr inż Róża Sieniawska
LINIE WPA
YWU - Metoda kinematyczna
SPORZ
DZANIE LINII WPA
YWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH
SPOSOBEM KINEMATYCZNYM
Sposób kinematyczny sporządzania linii wpływu wielkości statycznych polega na wykorzystaniu
twierdzenia o wzajemności reakcji i przemieszczeń (tw. Rayleigha), które brzmi:
reakcja rji w punkcie "j" wywołana siłą jednostkową działającą w punkcie "i" jest równa co do
wartości i różna co do znaku przemieszczeniu �ij w punkcie "i" na kierunku działania siły
wywołanemu przemieszczeniem jednostkowym zadanym w punkcie "j" na kierunku reakcji.
rji = -�ij
Tok postępowania przy sporządzaniu lini wpływu sposobem kinematycznym jest następujący:
1. przecięcie więzi elementarnej odpowiadającej poszukiwanej wielkości statycznej (powstaje
mechanizm) i zastąpienie jej poszukiwaną wielkością statyczną,
2. określenie tarcz mechanizmu,
3. znalezienie środków obrotów tarcz między sobą i z fundamentem (ostoją) wykorzystując
twierdzenie o trzech tarczach (Aronholdta),
4. narysowanie linii odniesienia, prostopadłej do siły obciążającej, odpowiadającej ostoi,
5. narysowanie wykresu przesunięć (pionowych składowych przemieszczeń punktów tarcz),
6. skorygowanie wykresu przesunięć stosownie do toru poruszania się siły obciążającej,
7. wyskalowanie i oznakowanie linii wpływu.
PRZYKA
AD 1.
W układzie trójprzegubowym jak na rys. 1 sporządzić linię wpływu momentu zginającego w przekroju ą-ą
ą
ą
2a
0.667a 0.667a
Rys. 1.
Przecinamy więz
odpowiadającą momentowi zginającemu wstawiając przegub w przekroju ą-ą
zastępujemy ją momentami. Oznaczamy tarcze. Wyznaczamy środki obrotu tarcz między sobą i z
ostoją. Środek obrotu tarczy 2 z 0 wyznaczamy wykorzystując fakt, że łącznikami między tarczami 2 i 0
są tarcze 1 i 3. Z twierdzenia o trzech tarczach dla tarcz 2, 1, 0 wynika, że jeśli wzajemny ruch tych
tarcz jest możliwy to biegun chwilowego obrotu (2,0) leży na prostej przechodzącej przez punkty (2,1) i
(1,0), zaś z twierdzenia o trzech tarczach dla tarcz 2, 3, 0 wynika, że biegun chwilowego obrotu (2,0)
leży na prostej przechodzącej przez punkty (2,3) i (3,0). Jeśli więc jest możliwy wzajemny ruch tarcz 2 i
0 to biegun chwilowego obrotu tych tarcz względem siebie (2,0) leży na przecięciu dwu prostych:
prostej przechodzącej przez punkty (0,1) i (1,2) i prostej poprowadzonej przez punkty (0,3) i (2,3).
Skrótowo będziemy to zapisywać następująco:
2
1.333a
0.667a
LINIE WPA
YWU - Metoda kinematyczna
1
�ł �ł
�ł �ł
2 0�ł = (2,0)
�ł
�ł �ł
3
�ł łł
Rysujemy poziomą linię odniesienia (odpowiadającą tarczy 0). Rzutujemy na nią środki obrotu (1,0),
(2,0), (3,0). Rysujemy prostą 1 o dowolnym nachyleniu przez punkt (1,0) odpowiadającą tarczy 1,
obrazującą obrót tarczy 1 względem fundamentu.
Uwzględniając fakt, że układ ma jeden stopień swobody położenie prostych odpowiadających
pozostałym tarczom jest już jednoznacznie określone przez bieguny chwilowego obrotu (nie może być
zadane dowolnie).
Po zrzutowaniu punktu (1,2) na prosta 1 rysujemy przez punkty (2,0) i (1,2) prostą 2 odpowiadającą
tarczy 2. Podobnie, po zrzutowaniu punktu (2,3) na prostą 2, rysujemy prostą 3 odpowiadającą tarczy 3
przez punkty (3,0) i (2,3). Zaznaczamy odcinki prostych odpowiadające torowi siły jednostkowej. Są to:
odcinek prostej 1 między punktami (1,0) i (1,2), odcinek prostej 2 między punktami (1,2) i (2,3) oraz
odcinek prostej 3 między punktami (2,3) i A (punkt stanowiący rzut końca toru siły jednostkowej na
prostą 3). W ten sposób otrzymaliśmy wykres przesunięć toru siły jednostkowej (wykres, którego
rzędnymi są rzuty przesunięć poszczególnych punktów na kierunek siły jednostkowej). Wykres ten ma
kształt szukanej linii wpływu momentu zginającego. Aby linia wpływu była w pełni określona niezbędne
jest jeszcze określenie znaków i wartości rzędnych linii wpływu lub znaków i skali rysunku jako linii
wpływu. W celu wyznaczenia dowolnej rzędnej linii wpływu wykorzystamy równanie prac
przygotowanych. Wygodnie jest wypisać je w ten sposób, aby wystąpił w nim tylko jeden z momentów
Mą.
Przyjmijmy, że siła jednostkowa znajduje się na tarczy 2 w odległości x od środka obrotu (2,3) i
rozpatrzmy ruch tarczy 2 względem tarczy 3, którą w tym przypadku traktujemy jak tarczę nieruchomą.
Będziemy to oznaczać jako
2 / 3
Równanie prac przygotowanych ma w tym przypadku postać
-1�"� - Mą �"�23 = 0
P
Uwzględniając fakt, że
�
P
�23 =
x
otrzymujemy z powyższego równania Mą=-x co oznacza, że w odległości x w lewo od środka (2,3)
pomiędzy prostą 3 a 2 wartość rzędnej wynosi x i mierzona od prostej 3 do prostej 2 czyli w górę jest
ujemna (ma znak minus). Oznacza to, że jeśli otrzymany wykres przesunięć potraktujemy jako linię
wpływu to rzędne odłożone w górę (nad prostą odniesienia) mają znak minus, a rzędne pod prostą
odniesienia mają znak plus. Na podstawie obliczonej rzędnej można wyznaczyć pozostałe rzędne
wykorzystując wiodoczne na rysunku proporcje między nimi a także można określić skalę rysunku jako
linii wpływu.
3
LINIE WPA
YWU - Metoda kinematyczna
(2,0)
(2,3)
(1,2)
A
2
Mą Mą
3
1
(3,0)
(1,0)
x=a
x
A
(1,2)
3
1 (2,3)
-
LW Mą [m]
�P �23
0
(1,0) (3,0)
0
2
(2,0)
Rys. 2.
PRZYKA
AD 2.
W układzie trójprzegubowym jak na rys. 3 sporządzić linię wpływu siły tnącej w przekroju ą-ą.
ą
ą
a 3a
3a 3a 2a 2a
Rys.3.
Zastępujemy podporę przegubowo-przesuwną więzią elementarną. W przekroju ą-ą zastępujemy siłą Tą
więz
odpowiadającą tej sile przekształcając w ten sposób układ w mechanizm. Numerujemy tarcze - rys.
5. Schematycznie połączenie tarcz przylegających do przekroju ą-ą (tarcza nr 2 i nr 3) zaznaczamy
4
ą
M = a
3a
a
2a
LINIE WPA
YWU - Metoda kinematyczna
dwoma kreskami równoległymi do kierunku działania siły tnącej. Trzeba jednak pamiętać, że między
tymi prostymi są 2 więzi elementarne równoległe do siebie i prostopadłe do siły tnącej - rys. 4.
6
2 3
7
Rys.4.
Z twierdzenia o trzech tarczach dla tarcz 2, 6 i 3 oraz 2, 7 i 3 otrzymujemy, że biegun chwilowego
obrotu tarcz 2 i 3 względem siebie leży na przecięciu prostych przechodzacych przez punkty (2,6) i (6,3)
oraz (2,7) i (7,3) czyli w nieskończoności (proste te są równoległe) na prostej prostopadłej do kierunku
działania siły tnącej.
6
�ł �ł
�ł �ł
2 3�ł = (2,3)
�ł
�ł �ł
7
�ł łł
Zaznaczamy istniejące wzajemne środki obrotu tarcz: (1,2), (1,4), (1,0), (3,0),(5,0),(4,5).
Szukamy teraz środków obrotu (2,0) przez tarcze 1 i 3, oraz (4,0) przez tarcze 1 i 5.
1 1
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
2 0�ł = (2,0) 4 0�ł = (4,0)
�ł �ł
�ł �ł �ł �ł
3 5
�ł łł �ł łł
Można pominąć wyznaczenie położenia środka obrotu tarczy 4 względem 0. Do narysowania przesunięć
tej tarczy wystarczy informacja, że środek ten musi leżeć na pionowej prostej przechodzącej przez
punkty (5,0) i (4,5), wiadomo więc w którym miejscu będzie jego rzut na osi odniesienia.
Rysujemy oś odniesienia i rzutujemy na nią punkty obrotu tarcz z ostoją. Rysujemy prostą 2
odpowiadajacą tarczy 2 obracając ją o dowolny kąt wokół jej środka obrotu (2,0). Następnie rzutujemy
na tę prostą środek obrotu (1,2) i rysujemy przez ten punkt i punkt (1,0) prostą 1 odpowiadającą tarczy
1. Prosta 3 jest równoległa do prostej 2, ponieważ ich punkt wspólny leży w nieskończoności (wzajemny
środek obrotu (2,3) leży w nieskończoności). Rysujemy więc przez punkt (3,0) prostą 3 równoległą do
prostej 2. Prostą 4 odpowiadającą tarczy 4 prowadzimy przez punkt (4,0) zrzutowany na prostą
odniesienia (0) i punkt (4,1) zrzutowany na prostą 1.
Wykres przesunięć o kształcie takim jak kształt linii wpływu otrzymamy zaznaczając na prostych odcinki
odpowiadajace torowi siły jednostkowej. Są to: odcinek między punktami (4,0) i (4,1) na prostej 4,
odcinek między punktami (4,1) i (1,2) na prostej 1, odcinek między punktami (1,2) i ą-ą na prostej 2,
odcinek między punktami ą-ą i A na prostej 3.
W celu wyznaczenia dowolnej rzędnej linii wpływu wykorzystamy równanie prac przygotowanych.
W tym celu przyjmijmy, że siła jednostkowa znajduje się na tarczy 2 i rozpatrzmy ruch tarczy 2
względem tarczy 0 (fundamentu) zapiszemy to jako
2,3/ 0
,
ponieważ siła tnąca jest na tarczy 2 i tarczy 3. Równanie prac przygotowanych ma w tym przypadku
postać
-1�"� - Tą �"�T 2 + Tą �"�T 3 = 0
P
gdzie �P, �T2, �T3 to przesunięcia w miejscach działania i na kierunkach działania odpowiednio siły P, siły
Tą działającej na tarczy 2 i siły Tą działającej na tarczy 3.
Uwzględniając fakt, że
5
LINIE WPA
YWU - Metoda kinematyczna
�T 3 �T 2 �
P
�30 = �20 = =
r3 r2 x �20 = �30
,
gdzie r2 i r3 - odległości sił Tą od środków obrotu (2,0) i (3,0),
z powyższego równania otrzymujemy
-1�" x - Tą �" r2 + Tą �" r3 = 0
.
Stąd
x
Tą = -
r2 - r3
co oznacza, że w odległości x = r2-r3 w prawo od środka (2,0) rzędna szukanej linii wpływu (rzędna
między prostą 0 i 2) ma wartość 1 i jest ujemna. Na podstawie obliczonej rzędnej można wyznaczyć
pozostałe rzędne wykorzystując wiodoczne na rysunku proporcje między nimi a także można określić
skalę rysunku jako linii wpływu.
Można tak jak w przykładzie 1, wypisać równanie prac przygotowanych w ten sposób, aby wystąpiła w
nim tylko jedna sił Tą. Przyjmijmy, że siła jednostkowa znajduje się na tarczy 2 i rozpatrzmy ruch tarczy
2 względem tarczy 3, którą w tym przypadku traktujemy jak tarczę nieruchomą
2 / 3
( ).
Równanie prac przygotowanych ma w tym przypadku postać
-1�"� - Tą �"�T 2 = 0
P
gdzie �P, jest w tym przypadku składową pionową przesunięć punktów tarczy 2 względem tarczy 3 oraz
�T2 jest rzutem przemieszczenia punktu na tarczy 2 z lewej strony przekroju ą na kierunek siły Tą.
W rozwiązywanym przykładzie �T2= �P.
Stąd Tą=-1 co oznacza, że rzędne mierzone od prostej 3 do prostej 2 (w górę) mają wartość 1 i są
ujemne.
6
LINIE WPA
YWU - Metoda kinematyczna
(4,0)
(1,2)
(2,3)
2
Tą Tą
3
(4,5) 4
(4,1)
1
5 (2,0)
r2 (3,0)
(5,0)
r3
x
(1,0)
2
x = r2-r3
(1,2)
3
LW Tą [-]
1
�P �T2
-
(4,0)
�20 �30
(1,0) (3,0) �T3
(2,0)
4
(4,1)
Rys.5.
PRZYKA
AD 3.
W kratownicy jak na rys. 6 sporządzić linię wpływu siły osiowej w pręcie ą.
ą
ą
3 a 3 a
3 a
3 a
3 a 3 a
Rys. 6
Zastępujemy podporę przegubowo-przesuwną więzią elementarną. Pręt ą zastępujemy siłami Ną.
Grupujemy pręty tworzące tarcze i numerujemy te tarcze - rys. 7 i opisujemy istniejące bieguny obrotu
tarcz względem siebie: (1,0), (4,0), (2,4), (1,3), (2,3), (1,2).
Z twierdzenia o trzech tarczach wyznaczamy bieguny chwilowego obrotu (2,0) i (3,0)
7
ą
T = 1
4 a
LINIE WPA
YWU - Metoda kinematyczna
1 1
�ł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł
�ł2 0�ł = (2,0) �ł3 0�ł = (3,0)
�ł �ł �ł �ł
4 2
�ł łł �ł łł
Rysujemy oś odniesienia i rzutujemy na nią punkty obrotu tarcz z ostoją. Rysujemy prostą 1
odpowiadajacą tarczy 1 obracając ją o dowolny kąt wokół jej środka obrotu (1,0). Następnie rzutujemy
na tę prostą środek obrotu (1,3) i rysujemy przez ten punkt i punkt (3,0) prostą 3 odpowiadającą tarczy
3, na prostą 3 rzutujemy punkt (2,3) i przez ten punkt oraz punkt (2,0) rysujemy prostą 2
odpowiadającą tarczy 2.
Wykres przesunięć o kształcie takim jak kształt linii wpływu otrzymamy zaznaczając na prostych odcinki
odpowiadajace torowi siły jednostkowej. Są to: odcinek między punktami (1,0) i (1,3) na prostej 1,
odcinek między punktami (1,3) i (2,3) na prostej 3, odcinek między punktami (2,3) i A na prostej 2.
W celu wyznaczenia dowolnej rzędnej linii wpływu wykorzystamy równanie prac przygotowanych.
W tym celu przyjmijmy, że siła jednostkowa znajduje się na tarczy 2 i rozpatrzmy ruch tarczy 2
względem tarczy 0 (fundamentu) zapiszemy to jako:
2,1/ 0
,
ponieważ siła osiowa jest na tarczy 2 i tarczy 1. Równanie prac przygotowanych ma w tym przypadku
postać
1�"� + Ną �"� + Ną �"� = 0
P n1 N 2
gdzie �P, �N1, �N2 to przesunięcia w miejscach działania i na kierunkach działania odpowiednio siły P, siły
Ną działającej na tarczy 1 i siły Ną działającej na tarczy 2.
Uwzględniając fakt, że
� �
N 2 P
�20 = =
� = 0 r2 x
N1
,
gdzie r2 - odległości sił Ną od środka obrotu (2,0)
Otrzymujemy
1�" x + Ną �" r2 = 0
.
Stąd
x
Ną = -
r2
co oznacza, że w odległości x=r2 w prawo od środka (2,0) rzędna szukanej linii wpływu (rzędna między
prostą 0 i 2) ma wartość 1 i jest ujemna. Na podstawie obliczonej rzędnej można wyznaczyć pozostałe
rzędne wykorzystując wiodoczne na rysunku proporcje między nimi a także można określić skalę
rysunku jako linii wpływu.
8
LINIE WPA
YWU - Metoda kinematyczna
(2,0)
x
(3,0) P=1
(1,2)
(1,3) (2,3) A
3
1
2
(1,0) 4
(4,2)
Ną �Ną2 (4,0)
3
x = r2
1
(1,3)
Ną = 1
(1,0) (3,0)
+
�P -
(2,0)
2
(2,3)
A
Rys.7
9
2
r