Pojęcie czasoprzestrzeni i interwału
Czasoprzestrzeń  czterowymiarowa przestrzeń Einsteina
charakteryzująca się czterema współrzędnymi (x,y,z,t)
Interwał wielkość fizyczna opisująca odległość między dwoma
miejscami zdarzeń
W układzie O interwał " wyraża się zależnością:
"s12
"
"
"s12 = c2"t2 - ("x2 + "y2 + "z2 )
" = " - " + " + "
" = " - " + " + "
" = " - " + " + "
gdzie: " "x = x2-x1, " "z = z2-z1
"t = t2-t1, " "y = y2-y1, "
" " " "
" " " "
W ruchomym układzie O poruszającym się względem układu
nieruchomego O z prędkością u interwał " wynosi:
"s 12
"
"
"s'12 = c2"t'2 -("x'2 +"y'2 +"z'2 )
" = " - " +" +"
" = " - " +" +"
" = " - " +" +"
Zgodnie z tr. Lorentza: "x = Å‚ "x u" "y "y, " = "
" Å‚ " " " " " "
" Å‚(" "t), " = " "z "z
" Å‚ " " " " " "
"s 12 = "s12
" "
" "
" "
Interwał między dwoma miejscami zdarzeń we wszystkich
Interwał między dwoma miejscami zdarzeń we wszystkich
inercjalnych układach odniesienia ma tę samą wartość 
inercjalnych układach odniesienia ma tę samą wartość  interwał jest
interwał jest
niezmiennikiem (inwariantem) względem transformacji Lorentza
niezmiennikiem (inwariantem) względem transformacji Lorentza
Zadanie: sprawdzić, czy ma miejsce równość:
?
=
"x'= x'2 -x'1 = Å‚(x2 - ut2 ) - Å‚(x1 - ut1) = Å‚x2 - Å‚ut2 - Å‚x1 + Å‚ut1 = Å‚"x - Å‚u"t = Å‚("x - u"t)
" = - = Å‚ - - Å‚ - = Å‚ - Å‚ - Å‚ + Å‚ = Å‚" - Å‚ " = Å‚ " - "
" = - = Å‚ - - Å‚ - = Å‚ - Å‚ - Å‚ + Å‚ = Å‚" - Å‚ " = Å‚ " - "
" = - = Å‚ - - Å‚ - = Å‚ - Å‚ - Å‚ + Å‚ = Å‚" - Å‚ " = Å‚ " - "
"y'= y'2 -y'1 = y2 - y1 = "y
" = - = - = "
" = - = - = "
" = - = - = "
"z'= z'2 -z'1 = z2 - z1 = "z
" = - = - = "
" = - = - = "
" = - = - = "
u u u
"t'= t'2 -t'1 = Å‚(t2 - x2 ) - Å‚(t1 - x1) = Å‚("t - "x)
" = - = Å‚ - - Å‚ - = Å‚ " - "
" = - = Å‚ - - Å‚ - = Å‚ " - "
" = - = Å‚ - - Å‚ - = Å‚ " - "
c2 c2 c2
u
("s'12 )2 = Å‚2c2("t - "x)2 - Å‚2("x - u"t)2 - "y2 - "z2 =
" = Å‚ " - " - Å‚ " - " - " - " =
" = Å‚ " - " - Å‚ " - " - " - " =
" = Å‚ " - " - Å‚ " - " - " - " =
c2
u u2
= Å‚2c2("t2 - 2 "t"x + "x2 ) - Å‚2("x2 - 2u"x"t + u2"t2 ) - "y2 - "z2 =
= Å‚ " - " " + " - Å‚ " - " " + " - " - " =
= Å‚ " - " " + " - Å‚ " - " " + " - " - " =
= Å‚ " - " " + " - Å‚ " - " " + " - " - " =
c2 c4
u2
= Å‚2c2"t2 - 2Å‚2u"t"x + Å‚2 "x2 - Å‚2"x2 + 2Å‚2u"x"t - Å‚2u2"t2 - "y2 - "z2 =
= Å‚ " - Å‚ " " + Å‚ " - Å‚ " + Å‚ " " - Å‚ " - " - " =
= Å‚ " - Å‚ " " + Å‚ " - Å‚ " + Å‚ " " - Å‚ " - " - " =
= Å‚ " - Å‚ " " + Å‚ " - Å‚ " + Å‚ " " - Å‚ " - " - " =
c2
1
u2
Å‚ =
Å‚ =
Å‚ =
Å‚ =
= Å‚2"t2(c2 - u2 ) - Å‚2"x2(1 - ) - "y2 - "z2
= Å‚ " - - Å‚ " - - " - "
= Å‚ " - - Å‚ " - - " - "
= Å‚ " - - Å‚ " - - " - "
u2 1
bo
c2
1 - =
- =
- =
- =
u2
1-
-
-
-
c2 Å‚2
Å‚
Å‚
Å‚
c2
("s'12 )2 = Å‚2"t2(c2 - u2 ) - "x2 - "y2 - "z2 =
" = Å‚ " - - " - " - " =
" = Å‚ " - - " - " - " =
" = Å‚ " - - " - " - " =
u2 1
= Å‚2"t2c2(1 - ) - "x2 - "y2 - "z2 = Å‚2"t2c2 - "x2 - "y2 - "z2 = c2"t2 - "x2 - "y2 - "z2 = ("s12)2
= Å‚ " - - " - " - " = Å‚ " - " - " - " = " - " - " - " = "
= Å‚ " - - " - " - " = Å‚ " - " - " - " = " - " - " - " = "
= Å‚ " - - " - " - " = Å‚ " - " - " - " = " - " - " - " = "
c2 Å‚2
Å‚
Å‚
Å‚
"s 12 = "s12
" "
" "
" "
Dodawanie prędkości
Zał.: Ciało porusza się || do osi x z
||
||
||
prędkością v względem układu O
dx dx' d(ut)
x = x'+x0 = x'+ut = + v = v'+u
= + = + = + = +
= + = + = + = +
= + = + = + = +
dt dt dt
Prędkość ciała względem układu O zgodnie z mechaniką klasyczną:
v = v + u Ð! to jest faÅ‚sz w mechanice relatywistycznej
Ð!
Ð!
Ð!
W mechanice relatywistycznej v obliczamy z transformacji Lorentza
!
E
I
N
Relatywistyczne dodawanie prędkości
O O O O



dx
vx =
=
=
=
W układzie O:
x = Å‚ Å‚(x dt
Å‚(x - ut) x = Å‚ + ut )
Å‚ Å‚
Å‚ Å‚
y = y y = y
dx'
z = z z = z
=
=
=
W układzie O : v'x =
dt'
u u
öÅ‚ öÅ‚
öÅ‚ öÅ‚
öÅ‚ öÅ‚
Å‚ëÅ‚ - xöÅ‚ Å‚ëÅ‚ + x'öÅ‚
Å‚ëÅ‚t - Å‚ëÅ‚t'+
Å‚ëÅ‚ - Å‚ëÅ‚ +
Å‚ëÅ‚ - Å‚ëÅ‚ +
ìÅ‚ ÷Å‚ t = ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
t = ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
t = f(t)
c2 Å‚Å‚ c2 Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ íÅ‚
Obliczamy pochodne dla x =Å‚
Å‚(x  ut) oraz t =f(t) z transformacji Lorentza
Å‚
Å‚
dx' dx' dt dx' dt'
v'x = = Å" = :
= = Å" =
= = Å" =
= = Å" =
dt' dt dt' dt dt
dx' dx
öÅ‚
öÅ‚
öÅ‚
(
(
= Å‚ëÅ‚ - uöÅ‚ = Å‚(vx - u)
= Å‚ëÅ‚ - = Å‚ - )
= Å‚( - )
= Å‚ëÅ‚ - ÷Å‚
= Å‚ëÅ‚ - ÷Å‚
= Å‚ - )
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
dt dt
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
dt' u dx uvx
öÅ‚ öÅ‚
öÅ‚ öÅ‚
öÅ‚ öÅ‚
öÅ‚ öÅ‚
= Å‚ëÅ‚1 - = Å‚ëÅ‚1
= Å‚ëÅ‚ - = Å‚ëÅ‚
= Å‚ëÅ‚ - = Å‚ëÅ‚
= Å‚ëÅ‚ - = Å‚ëÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
dt c2 dt c2 Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚
1 vx - u
-
-
-
v'x = Å‚(vx - u)Å" =
= Å‚ - Å" =
= Å‚ - Å" =
= Å‚ - Å" =
uvx uvx
Å‚(1 - ) 1 -
Å‚ - -
Å‚ - -
Å‚ - -
c2 c2
a
j
c
a
m
r
o
f
a
s
z
n
t
a
n
r
e
T
r
o
L
Relatywistyczne dodawanie prędkości
v - u
-
-
-
vx - u v'=
- =
- =
- =
v'x = uv
=
=
=
uvx 1 -
-
-
-
1 -
-
-
-
c2
c2
O O



v'+u
+
+
+
Można też wyznaczyć wzór na v =
=
=
=
uv'
transformacjÄ™ w drugÄ… stronÄ™:
1 +
+
+
+
Przejście między
c2
układami O i O
O O



Gdy v i u << c, to uv/c2 0 i mamy: v = v + u



Wniosek: mechanika klasyczna jest szczególnym przypadkiem
Wniosek: mechanika klasyczna jest szczególnym przypadkiem
mechaniki relatywistycznej dla małych prędkości
mechaniki relatywistycznej dla małych prędkości
Sprawdz
my postulat szczególnej teorii względności o stałej prędkości
światła
Jeżeli przyjmiemy v = c, to
c + u c + u c + u
+ + +
+ + +
+ + +
v = c
v = = = = c
= = = =
= = = =
= = = =
uc u c + u
+
+
+
v = c
1 + 1 +
+ +
+ +
+ +
2
c c
c
Prędkość światła w obu układach jest jednakowa!
Zależność masy od prędkości
Podstawowe prawa mechaniki (zasady zachowania pędu, krętu
Podstawowe prawa mechaniki (zasady zachowania pędu, krętu
i energii) pozostają słuszne i w mechanice relatywistycznej !
i energii) pozostają słuszne i w mechanice relatywistycznej !
Aby pozostała słuszna zasada zachowania pędu, masa ciała
musi zależeć od prędkości:
m0
m = m0Å‚ = = m(v)
= Å‚ = =
= Å‚ = =
= Å‚ = =
v2
1-
-
-
-
c2
m0  masa spoczynkowa ciała
Zależność czynnika
Lorentza Å‚ = m/m0 od
Å‚
Å‚
Å‚
stosunku prędkości v/c
Zależność m od v została potwierdzona doświadczalnie w zjawiskach
z udziałem cząstek elementarnych
Pęd w mechanice relatywistycznej jest zdefiniowany jako:
p = mv = m(v)v
Masa i energia
Aby zasada zachowania energii mogła być spełniona w mechanice
relatywistycznej, to:
E  całkowita energia ciała
E = mc2
Słynne równanie Einsteina wyrażające równoważność masy i energii
Gdy ciało jest w spoczynku:
E0 = m0c2 E0  energia spoczynkowa ciała
Gdy siła wprawia ciało w ruch, praca tej siły zamienia się w energię
kinetyczną ciała Ek równą E  E0
1
Å‚ =
Å‚ =
Å‚ =
Å‚ =
Ek = E  E0 = (m  m0)c2 = (m0Å‚  m0)c2 = m0c2(Å‚
Å‚ Å‚
Å‚ Å‚-1) gdzie:
Å‚ Å‚
v2
1 -
-
-
-
Wstawiając wielkość ł otrzymamy:
Å‚
Å‚
Å‚
c2
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
( -1)= m0c2ìÅ‚
Erel. = m0c2(Å‚ - ) - `" Eklas.(= mv2 )
= ( - ) -1÷Å‚ `" =
= (Å‚ - )= - `" =
= Å‚ = - `" =
Å‚ =
k k
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
2
v2 ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
1-
-
-
-
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
c2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Ek = E  E0 = (m  m0)c2 E = Ek + E0



Żadne ciało materialne nie może osiągnąć prędkości światła, bo gdy
v c, to Ek "
"
"
"
Z v=c mogą poruszać się jedynie cząstki o masie m0 równej zeru 
foton i neutrino
INFORMATYKA
INFORMATYKA
Plan wykładu
Plan wykładu
GRAWITACJA
GRAWITACJA
Prawo powszechnego ciążenia
Zachowawczość siły grawitacji
Pole grawitacyjne  natężenie, energia
potencjalna, potencjał
Prędkości kosmiczne
Prawo powszechnego ciążenia
Newton, 1798 r.
Dwa punkty materialne o masach m1 i m2 przyciÄ…gajÄ… siÄ™ wzajemnie
siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną
do kwadratu ich odległości r
m1m2
G  stała grawitacji
F =G
r2
W przypadku ciał rozciągłych:
W przypadku ciał rozciągłych:
Jednorodne ciała kuliste oraz ciała złożone z
" "
jednorodnych warstw kulistych przyciÄ…gajÄ… siÄ™
tak, jak punkty materialne umieszczone w ich
środkach
Ciężar ciała  siła, jaką ciało materialne jest przyciągane przez Ziemię
Ciężar ciała
Gdy m  masa ciała; M  masa Ziemi, R  promień Ziemi, to siła F:
Mm
F = G
R2
Mm
Siła F nadaje przyspieszenie g, więc F = mg
mg = G
=
=
=
R2
GM
g =
R2
g = 9,78 do 9,83 m/s2
Pole grawitacyjne
Wyobraz
my sobie, że w absolutnie pustej przestrzeni został
umieszczony punkt materialny o masie M. W przestrzeni wokół M
powstanie pole grawitacyjne działające na próbną masę m siłą F:
m
F
F
Mm
z
F = G
=
=
=
r r2
r
r
x
r  wektor wodzÄ…cy,
r
r
Mmr Mmr
którego początek
F = G Ò! F = -G
= Ò! = -
= Ò! = -
= Ò! = -
M
r3 r3
y znajduje siÄ™ w
środku masy M
Zapis wektorowy
r
Natężeniem pola grawitacyjnego ł nazywamy stosunek
Å‚
Å‚
Å‚
Natężeniem pola grawitacyjnego ł
Å‚
Å‚
Å‚
r F
siły działającej na masę próbną m do wartości tej masy;
m
Å‚ =
Å‚ =
Å‚ =
Å‚ =
natężenie pola jest wektorem: m
r
r r
r F Mmr Mr
Natężenie pola
Å‚ = = -G = -G
Å‚ = = - = -
Å‚ = = - = -
Å‚ = = - = -
Å‚
grawitacyjnego Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
m r3m r3
Natężenie pola grawitacyjnego łłna powierzchni Ziemi jest równe g
Å‚Å‚
Å‚Å‚ g
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Natężenie pola grawitacyjnego ł na powierzchni Ziemi jest równe g
F Mm M
Å‚ = g gdy r = R
Å‚ = =
Å‚ = =
Å‚ = =
Å‚ = Ò! g = G = G
Å‚ = Ò! = =
Å‚ = Ò! = =
Å‚ = Ò! = =
m R2m R2
Pole grawitacyjne - energia potencjalna
Siła grawitacji jest siłą zachowawczą wykład z mechaniki



W  praca siły grawitacji wykonana przy przesunięciu masy próbnej m z
punktu P do " jest równa energii potencjalnej względem punktu P
"
"
"
"
"
"
"
Znak    , bo siła F tworzy kąt
Ep = W = -
= = -
= = -
= = -
+"
+"Fdr
+"
+"
180° z przesuniÄ™ciem
s
r0
W = ds
=
=
=
"
"
"
"
" "
" "
" "
" "
+"
+"F
+"
+"
Mm dr 1 Mm
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
öÅ‚
0
W = - = - = - GMmëÅ‚ - ÷Å‚ -G
= - = - = - =
= - = - = - =
= - = - =
ìÅ‚ - ÷Å‚ -
ìÅ‚ - =
ìÅ‚ - ÷Å‚ -
ìÅ‚ ÷Å‚ -
+"G r2 dr = -GMm+"
+" +"
+" +"
+" +"
r2 r r0
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
r0 r0
r0
Mm
Ep(r) = -G
= -
= -
= -
r
+
+
+
xn+1
xndx =
=
=
=
+"
+"
+"
+"
n + 1
+
+
+
x=r; n=-2
Wykres energii potencjalnej
masy znajdujÄ…cej siÄ™ w polu
grawitacyjnym masy M
Ep masy m jest ujemna i w miarę oddalania się od masy M rośnie
osiÄ…gajÄ…c zero w "
"
"
"
:
r
ó
z
W
:
r
ó
z
W
Pole grawitacyjne - potencjał
m
F
F
Grawitacyjna energia potencjalna masy próbnej m
r w dowolnej odległości r od masy M
r
Mm
Ep(r) =  G
M r
Potencjałem pola grawitacyjnego nazywamy stosunek
energii potencjalnej masy próbnej m do wartości tej masy
Ep(r)
GMm GM
V(r) = = - = -
= = - = -
= = - = -
= = - = -
m rm r
Potencjał określa energię potencjalną w odległości r od środka
masy M przypadajÄ…cÄ… na jednostkÄ™ masy
Przedstawione wzory mają ogólny charakter i można je
stosować do pola grawitacyjnego dowolnych ciał niebieskich
Prędkości kosmiczne
Prędkość kosmiczna to najmniejsza możliwa prędkość, jaką
musi mieć punkt materialny, aby:
swobodnie krążyć po orbicie wokół Ziemi  pierwsza
prędkość kosmiczna
mógł pokonać przyciąganie ziemskie i oddalić się od Ziemi 
druga prędkość kosmiczna
mógł pokonać przyciąganie słoneczne i opuścić Układ
Słoneczny  trzecia prędkość kosmiczna
Prędkości kosmiczne
Pierwsza prędkość kosmiczna to najmniejsza możliwa prędkość,
jaką musi mieć punkt materialny swobodnie krążący po orbicie wokół
Ziemi
Na poruszający się po orbicie pocisk działają dwie siły o przeciwnych
zwrotach
mv2
Siła odśrodkowa
FodÅ› =
=
=
=
r
Mm
m
Siła grawitacji Fgr = G
=
=
=
r2
M
Warunkiem stabilności orbity jest równość w/w sił:
FodÅ› = Fgr
=
=
=
Mm mv2 M GM
G = Ò! G = v2 Ò! v =
= Ò! = Ò! =
= Ò! = Ò! =
= Ò! = Ò! =
r2 r r r
GM
= = Ò! = Å"
vI odpowiada orbita o promieniu r ~ R: r = R oraz g = Ò! GM = g Å" R2
= = Ò! = Å"
= = Ò! = Å"
R2
GM gR2
vI = v(r = R) = = = Rg
= = = = =
= = = = =
= = = = =
vI H" 7.9 km / s
H"
H"
H"
R R
Prędkości kosmiczne
Prędkości kosmiczne
Drugą prędkością kosmiczną (prędkością ucieczki) nazywamy
Drugą prędkością kosmiczną (prędkością ucieczki)
najmniejszą możliwą prędkość, jaką musi mieć punkt materialny przy
powierzchni Ziemi, aby mógł się oddalić od niej w nieskończoność
Rozważmy rzut ciała pionowo w górę na wysokość h z prędkością v
Z zasady zachowania energii wynika równanie:
Całkowita energia
Całkowita energia
1 Mm Mm
mechaniczna ciała
mechaniczna ciała na
mv2 - G = -G
- = -
- = -
- = -
na powierzchni
wysokości h, gdy jego
2 R R + h
+
+
+
Ziemi
prędkość wynosi 0
1 M M 1 1 1 1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
öÅ‚ öÅ‚
v2 - G = -G v2 = GMëÅ‚ - v = 2GMëÅ‚ -
- = - = =
- = - = =
- = - = =
ìÅ‚ -
ìÅ‚ -
÷Å‚ ìÅ‚ -
÷Å‚
ìÅ‚ -
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ -
÷Å‚ ìÅ‚ -
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
÷Å‚
÷Å‚
2 R R + h 2 R R + h R R + h
+ + +
+ + +
+ + +
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Podstawiamy h = "
"
"
"
2GM 2gR2
vII = = = 2gR = 2vI
= = = =
= = = =
= = = =
R R
GM
vII H" 11.2 km / s g = Ò! GM = g Å" R2
H" = Ò! = Å"
H" = Ò! = Å"
H" = Ò! = Å"
R2
Prędkości kosmiczne
Druga prędkość kosmiczna jest
2GM
R  promień Ziemi
niezbędna by pokonać przyciąganie
vII =
=
=
=
M  masa Ziemi
R
ziemskie i oddalić się od Ziemi
Aby ciało znajdujące się na orbicie Ziemi mogło pokonać przyciąganie
słoneczne i opuścić Układ Słoneczny należy mu udzielić trzeciej
prędkości kosmicznej vIII
2GMs
Ms  masa Słońca
vIII = = 42.1 km / s
= =
= =
= =
R0  promień orbity Ziemi
R0
vIII  zależy od tego, czy ciało startuje zgodnie z ruchem Ziemi
czy przeciwnie
Prędkości kosmiczne
Prędkości kosmiczne
Tory pocisku wystrzelonego poziomo nad Ziemię z różnymi prędkościami
Tory pocisku przy prędkościach
Przy prędkości vve"
e"vI: okręgi, elipsy, parabole i
e"
e"
pocisku sÄ… parabole
hiperbole