Fizyka przepływów.
Elementy biofizyki układu krą\
enia
Jakub Zieliński
Zakład Biofizyki i Fizjologii Człowieka
Ciśnienie i prawo Pascala
Ciśnienie to wielkość skalarna określona jako wartość siły działającej
prostopadle do powierzchni podzielona przez powierzchnię na jaką ona działa:
F = p * s
Jednostką jest Pascal [Pa] = [N/m2].
Prawo Pascala (stałość ciśnienia).
Zastosowania prawa Pascala:
strzykawka, prasy hydrauliczne.
Przeliczanie jednostek
Pa bar at atm mmHg
1 Pa [N/m2] 1 10-5 0,102�10-4 0,987�10-5 0,0075
1 bar 105 1 1,02 0,987 750
1 atmosfera
techniczna [at] = 98100 0,981 1 0,968 736
1 kG/cm2
1 atmosfera
fizyczna [atm] = 1,013 1,033 1 760
101325
760 mmHg
1 tor [Tr] =
133 0,00133 0,00132 0,00132 1
1 mmHg
Ciśnienie hydrostatyczne
i Prawo Archimedesa
Prawo Pascala  z grawitacją
p = p0  �
� g h
�
�
p1
s
h
p2 = p1 + � g h
Fw = F2  F1 = (p2  p1)*s
= � g h s = � g V
Zagadka
Dlaczego nie działa
następujące
perpetuum mobile?
Prawo ciągłości strumienia
Strumień  objętość przepływająca,
V = x*s = v*t*s
przez zadaną powierzchnię w jednostce czasu
s
Q = V/t = v*t*s/t = v*s
x
Q2
Q1
Q1 = Q2 + Q3
Q3
v2
v1
v1*s1 = v2*s2
s1
s2
Równanie Bernoulliego
p + � g h + �� v2 = const
� �
� �
� �
Kierunek przepływu
p  ciśnienie statyczne
� g h  ciśnienie hydrostatyczne
�
�
�
� � v2  ciśnienie dynamiczne
�
�
�
Prawo Bernoulliego to przejaw zasady
zachowania energii mechanicznej dla płynu.
Prawo to NIE uwzględnia spadku ciśnienia
spowodowanego oporem naczyń!
Pomiar tzw. ciśnienia całkowitego
i ciśnienia statycznego
Uwaga, ciśnienie dynamiczne nie powoduje nacisku na ścianki naczynia!
Paradoks hydrodynamiczny
W miejscu przewę\
enia naczynia ciśnienie wywierane przez
poruszający się płyn na ścianki naczynia jest zmniejszone
Zastosowania:
" siła nośna skrzydła samolotu
" \
eglowanie przy bocznym wietrze
" zwę\
ka Venturiego
Problemy:
" powstanie tętniaka powoduje lokalny wzrost ciśnienia krwi
" spadek ciśnienia w zwę\
eniu zwiększa ryzyko  zapadnięcia się naczynia
" osiadanie statków w płytkim akwenie
" zrywanie spadzistych dachów podczas wichury
Ciśnienie vs. naprę\
enie ścinające
Ciśnienie to gęstość powierzchniowa siły prostopadłej
do powierzchni.
Naprę\
enie ścinające to gęstość powierzchniowa siły
równoległej do powierzchni
Siła wywołana przez ciśnienie
Siła wywołana przez
naprę\
enie ścinające
Lepkość (tarcie wewnętrzne)
Substancja Lepkość [Pa*s]
Lepkość dynamiczna określa siłę z jaką
jedna warstwa płynu działa na drugą,
Powietrze (0oC) 17.4 � 10-6
równoległą do niej lecz poruszającą się
z inną prędkością:
Woda (20oC)
1.003 � 10-3
Osocze 1.9 - 2.3 � 10-3
F = � s "v/"x
�
�
�
Krew 3 - 5 � 10-3
v1
s
v2
"x
Jednostką lepkości dynamicznej jest [Pa*s].
Lepkości nie nale\
y mylić z gęstością  galaretka
 gęstniejąc zwiększa lepkość, a nie gęstość!
Lepkość kinematyczna � = �/� [m2/s].
Rodzaje przepływów cieczy
Liczba Reynoldsa
Re = d v � / � = d v / �
� � = �
� � = �
� � = �
d  wymiar charakterystyczny,
np. średnica naczynia
Re < 2300  przepływ laminarny
2300 < Re < 4000  przejściowy
Re > 4000  przepływ turbulentny
Przepływ laminarny mo\
e być
stacjonarny (ustalony) lub nie.
Turbulencje nigdy nie są stacjonarne.
Opór naczyń
Opór naczynia to iloraz spadku ciśnienia przez strumień
przepływającej cieczy:
R = "
"p/Q
"
"
Jest to hydrodynamiczny odpowiednik prawa Ohma: spadek ciśnienia
odpowiada spadkowi napięcia, a strumień cieczy natę\
eniu prądu
Opory naczyń połączonych szeregowo
dodają się: R = R1 + R2
Dla naczyń połączonych równolegle, dodają
się odwrotności oporów: 1/R = 1/R1 + 1/R2.
Opór całkowity jest więc mniejszy od oporów
pojedynczych naczyń
Pozostaje jednak pytanie: ile wynosi opór pojedynczego naczynia?
Prawo Hagena  Poiseuille a
Zało\
enia:
" nieskończona rura o przekroju kołowym
" ścianki idealnie sztywne
" przepływ ustalony
" ciecz Newtonowska (stałość lepkości)
Ą R4"p
Q =
8 � L
(R2  r2) "p 2
vśr = � vmax
v = vmax = Q
4 � L Ą R2
Tętnica szyjna
zewnętrzna
Tętnica szyjna
wewnętrzna
Tętnica szyjna
wspólna
Zmiany lepkości krwi
Odkształcanie erytrocytów 
spadek lepkości dla du\
ych naprę\
eń ścinających
Agregacja erytrocytów  wzrost lepkości przy ściankach naczynia
Spadek lepkości dla naczyń o średnicy poni\
ej 100 mikronów
Wzrost lepkości gdy średnica naczynia mniejsza ni\
10 mikronów 
krew nie mo\
e być ju\
traktowana jako ośrodek ciągły. Lepkość to suma
lepkości osocza i tarcia erytrocytów o ścianki naczyń
Lepkość gwałtownie rośnie wraz
ze wzrostem hematoktytu
Prawo Hagena  Poiseuille a
Zało\
enia:
" nieskończona rura o przekroju kołowym
" ścianki idealnie sztywne
" przepływ ustalony
" ciecz Newtonowska (stałość lepkości)
Ą R4"p
Q =
8 � L
śadne z zało\
eń prawa Hagena Poiseuille a nie jest spełnione
Liczba Womersleya
R  promień naczynia
�  częstość tętna
� ��
�  gęstość krwi
ą = R = R
�  lepkość dynamiczna
� �
�  lepkość kinematyczna
0.1
0.007
1
0.006
0.08
0.8
0.005
0.06
0.6
0.004
0.003
0.04
0.4
0.002
0.02
0.2
0.001
-1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1 -1 -0.5 0.5 1
r = 1 mm r = 1 cm r = 1 cm
� = 1 Hz � = 1 Hz � = 10 Hz
ą = 0,51 ą = 5,14 ą = 16,24
Układ krwionośny człowieka
Układ krwionośny:
" doprowadza tlen i odprowadza CO2
" dostarcza substancje od\
ywcze
i odprowadza  odpady
" rozprowadza ciepło (termoregulacja)
" transportuje hormony (nośniki informacji)
" transportuje enzymy (katalizatory)
" transportuje przeciwciała
Ruch krwi wywoływany jest przez ró\
nicę
ciśnień między układem tętniczym i \
ylnym
Typowo w krą\
eniu płucnym i systemowym
w ciągu sekundy przepływa 88 ml krwi
Normalne ciśnienie w aorcie: 120/80mmHg
(średnie 100mmHg)
Ciśnienie w \
yle głównej: około 10mmHg
Normalne ciśnienie w tętnicy płucnej:
22/8mmHg (średnie 15mmHg)
Ciśnienie w \
yle płucnej: około 7mmHg
Efekt hydrostatyczny
Ujemne ciśnienie w \
yłach czaszki
mo\
e powodować zasysanie
powietrza przy zranieniu głowy
Efekt hydrostatyczny powoduje
wzrost ciśnienia transmuralnego
(większa gęstość krwi od płynu
międzykomórkowego) i ucieczkę
wody z naczyń do tkanek
Rozciągają się te\
podatne \
yły,
co powoduje akumulację krwi 
do 500 ml przy zamianie pozycji
na stojącą
Naprę\
enia sprę\
yste ścian naczynia
Ciśnienie transmuralne to ró\
nica pomiędzy ciśnieniem krwi i ciśnieniem
zewnętrznym (panującym w tkankach otaczających naczynie) p = pw - pz
Naprę\
enie (napięcie) sprę\
yste poprzeczne = F/L = p *r* L /L = p*r
Naprę\
enie podłu\
ne = F/2Ąr = p*Ą*r2 / 2Ąr = p*r/2
Największe dla du\
ych naczyń
Ze względu na większe ciśnienie,
Aorta T = 200 N/m
naprę\
enia sprę\
yste są większe w
Naczynia włosowate T = 0,016 N/m
tętnicach ni\
w \
yłach
Fala tętna
Prędkość fali tętna Prędkość fali tętna 5  8 [m/s]
Eh
Długość fali tętna to kilka metrów:
c =
5 [m/s] * 0.8 [1/s] = 4 [m]
2�r
E  moduł Younga
h  grubość naczynia
�  gęstość krwi
r  promień naczynia
Nie mylmy prędkości fali tętna
z prędkością krwi 
w tętnicach krew płynie
z prędkością rzędu 0,5 [m/s]
Ewolucja fali tętna
aorta zstępująca
tętnica podskórna
aorta piersiowa
tętnica biodrowa
aorta brzuszna
W największych tętnicach rośnie (!) ciśnienie skurczowe. Spada ciśnienie
rozkurczowe i ciśnienie średnie. W mniejszych tętnicach następuje gwałtowny
spadek ciśnienia oraz zanik amplitudy ciśnienia (czyli zanik tętna)
Układ \
ylny
śyły pełnią funkcję zbiornika krwi. W przypadku wstrząsu hipowolemicznego,
jako reakcja obronna, mo\
e nastąpić skurcz \
ył. Dlatego przy podejrzeniu
wykrwawienia nale\
y niezwłocznie zało\
yć wenflon  przy skurczonych \
yłach
jest to niezwykle trudne.
Oczywiście podczas wstrząsu, dystrybucja krwi jest znacząco inna
Krew w \
yłach płynie dzięki ró\
nicy ciśnień, pompie mięśniowej działającej
wraz z systemem zastawek \
ylnych