Przykładowy zestaw zadań na kolokwium z wykładu z teorii sprężystości i
plastyczności. Student powinien wykonać jeden z pięciu zestawów zadań: A, B,
C, D lub E w ciągu 90 minut.
Zad. 1
Znane są tensory naprężenia w punktach C1, C2 i C3 pewnego ciała.
7 6 - 8 2 16 11 12 5 4
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł �ł16 śł �ł śł
C1: �ij = 6 5 12 , C2: �ij = -10 2 , C3: �ij = 5 9 - 8 .
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł- 8 12 - 8 śł �ł11 2 18 śł �ł 4 - 8 6 śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
Podać wartości naprężeń stycznych na płaszczyz
nie zorientowanej osią xi.
A: punkt C1 B: punkt C2 C: punkt C3 D: punkt C1 E: punkt C2
oś x1 oś x2 oś x3 oś x2 oś x1
Zad. 2
Wykorzystując związek s = � ni obliczyć wskazaną składową wektora naprężenia na płaszczyz
nie
j ij
zorientowanej podanym wektorem kierunkowym.
7 6 - 8
�ł łł
�ł łł �ł łł
2 2 1 2 3 1
�ł śł
� = 6 5 12 . (1) : n = , , , ,
�ł śł, (2) : n = �ł śł,
ij
�ł śł
5 5 5 6 6 6
�ł śł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
�ł- 8 12 - 8
śł
�ł �ł
A: s1 B: s2 C: s1 D: s3 E: s2
kierunek (1) kierunek (2) kierunek (2) kierunek (2) kierunek (1)
Zad. 3
1
Obliczyć drugi niezmiennik podanego tensora naprężenia. Wskazówka: I2 = (� � -�ij�ij)
kk mm
2
7 6 - 8 5 7 - 8 2 16 11
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł �ł śł �ł16 śł
A: �ij = 6 5 12 , B: � = 7 -15 2 , C: �ij = -10 2
ij
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł- 8 2 - 8
śł
�ł- 8 12 - 8 śł �ł11 2 18 śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
12 5 4 2 12 4
�ł łł �ł łł
�ł śł �ł12 3 - 5 śł
D: �ij = 5 9 - 8 , E: � =
ij
�ł śł
�ł śł
�ł - 5 6
śł
�ł 4 - 8 6 śł 4
�ł �ł �ł �ł
Zad. 4
Sprawdzić czy podana wartość naprężenia jest naprężeniem głównym danego tensora naprężenia. Forma
odpowiedzi: T/N.
5 7 - 8
�ł łł
�ł śł
� = 7 -15 2 ,
ij
�ł śł
�ł- 8 2 - 8
śł
�ł �ł
A:� = -19.200 B: � = -8.8507 C: � = 10.0508 D: � = -7.35132 E: � = 9.25132
Zad. 5
Dana jest trójka nieuporządkowanych naprężeń głównych. Obliczyć maksymalne naprężenia styczne w
punkcie działania tych naprężeń głównych.
�1 = 4, �1 = -6, �1 = 15, �1 = 11, �1 = -7,
A: � = -8, B: � = 12, C: � = -2, D: � = -5, E: � = -11,
2 2 2 2 2
�3 = 12. �3 = 4. �3 = 6. �3 = 4. �3 = 5.
Zad. 6
Dane są składowe stanu naprężenia w postaci funkcyjnej. Wyznaczyć wskazaną składową obciążeń
objętościowych.
�11 = 4x1x2 , � = 14x1x3, � = 14x1x3,
21 31
= -2x1x2 � = 3x2 x3, = ,
12 22 32
A: � = 6x1x2 , , B: C: � = 7x1x2x3,
�13 � = 7x1x3, � -6x2
23 33
X1 = ? X = ? X = ?
2 3
�11 = 5x1x3, � = 8x1x2 ,
21
= -12x2 � = 12x1x2 ,
12 22
D: � = 7x1x3,x3, E:
�13 � = -5x1x3,
23
X1 = ? X = ?
2
Zad. 7
Znane są tensory odkształcenia w pewnych punktach ciała.
7 6 - 8 2 16 11 12 5 4
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł10-5 �ł16 śł10-5 �ł śł10-5
C1: �ij = 6 5 12 , C2: �ij = -10 2 , C3: �ij = 5 9 - 8 .
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł- 8 12 - 8 4
śł �ł �ł - 8 6
śł
�ł �ł �ł11 2 18 śł �ł �ł
�ł
13 1 15 2
�ł łł �ł - 5 3
łł
�ł śł10-5 �ł- śł10-5
C4: �ij = 1 -10 2 , C5: �ij = 5 7 - 7 .
�ł śł �ł śł
�ł �ł - 7 -11
śł
3
�ł15 2 -8 śł �ł �ł
�ł
Obliczyć względną zmianę objętości w tych punktach.
A: punkt C1 B: punkt C2 C: punkt C3 D: punkt C4 E: punkt C5
Zad. 8
Znane są tensory odkształcenia w pewnych punktach ciała.
7 6 - 8 2 16 11 12 5 4
�ł łł �ł łł �ł łł
�ł śł10-5 �ł16 śł10-5 �ł śł10-5
C1: �ij = 6 5 12 , C2: �ij = -10 2 , C3: �ij = 5 9 - 8 .
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł- 8 12 - 8 4
śł �ł �ł - 8 6
śł
�ł �ł �ł11 2 18 śł �ł �ł
�ł
13 1 15 2
�ł łł �ł - 5 3
łł
�ł śł10-5 �ł- śł10-5
C4: �ij = 1 -10 2 , C5: �ij = 5 7 - 7 .
�ł śł �ł śł
�ł �ł - 7 -11
śł
3
�ł15 2 -8 śł �ł �ł
�ł
Korzystając ze związków konstytutywnych,
E �
�ł� + �kk� �ł
�ij = ,
�ł �ł
ij ij
1+� 1- 2�
�ł łł
obliczyć wskazaną składową stanu naprężenia w podanym punkcie ciała jeśli E=210 109, �=0.3.
A: punkt C1 B: punkt C2 C: punkt C3 D: punkt C4 E: punkt C5
�12 �13 �23 �12 �13
Zad. 9
Dla jakich wartości stałych a i b podana funkcja może być funkcją Airy ego?
4 2 2 2 2 4 4 2 2
A: F = ax1 + bx1 x2 , B: F = ax1 x2 + bx2 , C: F = 2ax1 + 4bx1 x2 .
a b
2 2 4 2 2 4
D: F = x1 x2 + x2 , E: F = 4ax1 x2 + 6bx2 .
2 4
Zad. 10
Wyznaczyć naprężenia �rr w punkcie A tarczy jak na rysunku.
A: Ś = 30o, q = 20 ,
x2
B: Ś = 45o, q = 30 ,
A
q
q
r
x1
Ś C: Ś = 60o, q = 50 ,
D: Ś = 25o, q = 15 ,
E: Ś = 35o, q = 35 .
Zad. 11
Podać warunki brzegowe dla wskazanej krawędzi płyty jak na rysunku.
a)
b)
CC
BB
xx
AA
DD
yy
A: płyta a) AB B: płyta a) BC C: płyta a) CD D: płyta b) CB E: płyta b) AB
Zad. 12
a
x
kr
b
Nx
y
Obciążenie krytyczne dla płyty pokazanej na rysunku wyliczamy ze
2
2
�ł �ł
Ą D m � a
kr
wzoru Nx = �ł �ł
+ , gdzie� = , m  liczba półfal w kierunku x.
�ł
b2 �ł � m b
�ł łł
Podać wartość obciążenia krytycznego dla danego �.
A: �=2.2 B: �=1.9 C: �=3.2 D: �=3.7 E: �=4.1