Literatura:
ZarzÄ…dzanie portfelem inwestycyjnym
Robert A. Haugen, Teoria nowoczesnego
(materiały pomocnicze do wykładu)
inwestowania. Obszerny podręcznik analizy
portfelowej
dr Janusz Żarnowski
Krzysztof Jajuga, Teresa Jajuga, Inwestycje.
[e-mail]
Instrumenty finansowe, ryzyko finansowe,
inżynieria finansowa
Edwin J. Elton, Martin J. Gruber,
Nowoczesna teoria portfelowa i analiza
papierów wartościowych
Zależności pomiędzy oczekiwanym
dochodem i ryzykiem Definicja stopy dochodu
Współczesna teoria inwestowania opiera się na dwu
podstawowych założeniach:
Stopa dochodu (stopa zwrotu) jest to procentowa
a) nienasyconości
zmiana  wzrost lub spadek  wartości inwestycji w
b) awersji do ryzyka
określonym czasie.
Na wzrost wartości inwestycji (w akcje) składa się:
Założenie nienasyconości oznacza, że podejmując
decyzje dotyczące lokat kapitału inwestorzy kierują się a) suma dywidend wypłaconych w rozpatrywanym
dążeniem do maksymalizacji stopy dochodu (wolą
okresie
większą stopę dochodu od niższej).
b) zmiana rynkowej wartości akcji w tym okresie
Awersja do ryzyka oznacza z kolei, że podejmując
decyzje dotyczÄ…ce lokat inwestorzy starajÄ… siÄ™
minimalizować ryzyko związane z poszczególnymi
lokatami.
Definicja stopy dochodu Definicja stopy dochodu
Aby obliczyć oczekiwaną stopę dochodu konieczna jest
Stopa zwrotu wyrażana jest w kategoriach względnych tj.
znajomość rozkładu prawdopodobieństwa możliwych do
w procentach, co możemy zapisać następująco:
wystąpienia poziomów dochodu. Jeżeli znamy rozkład
prawdopodobieństwa możliwych stóp dochodu, to
dywidendy + zmiana wartości rynkowej
oczekiwaną stopę dochodu możemy obliczyć wg wzoru:
r =
x 100%
początkowa wartość rynkowa
n
gdzie:
E(r) = pi
r  stopa zwrotu (stopa dochodu) z inwestycji
"ri
i=1
W momencie podejmowania decyzji o zainwestowaniu gdzie:
E(r)  oczekiwana stopa dochodu
gotówki nie wiemy jaka będzie stopa dochodu z
ri  i-ty poziom stopy dochodu
inwestycji, w związku z czym możemy mówić o
pi  prawdopodobieństwo wystąpienia i-tego poziomu stopy dochodu
oczekiwanej stopie dochodu.
1
Definicja stopy dochodu Definicja stopy dochodu
 średnia z próbki  średnia z próbki
Najczęściej w praktyce nie wiemy, jaki jest rzeczywisty Licząc średnią z próbki należy skorzystać ze wzoru:
rozkład prawdopodobieństwa, który przypuszczalnie
generuje stopy zwrotu.
N
W tej sytuacji musimy dokonać szacunku na podstawie
r
próbki. Najczęściej oznacza to, że posługujemy się
" t
danymi z przeszłości. Obserwujemy jak kształtowały się
t = 1
np. tygodniowe stopy zwrotu z poszczególnych akcji i r =
obliczamy średnią. W tej sytuacji zakładamy, że rozkład
N
prawdopodobieństwa jest stały w czasie.
gdzie:
N  liczba obserwacji wchodzących w skład próbki
Definicja stopy dochodu
 średnia z próbki Definicja i pomiar ryzyka
Tak obliczoną wartość nazywamy nieobciążonym
estymatorem wartości oczekiwanej. Nie jest to jednak Ryzyko definiowane jest jako zmienność oczekiwanej
miara absolutnie dokładna, gdyż nie jest obliczona na stopy zwrotu. W praktyce zmienność oczekiwanej stopy
podstawie populacji generalnej. Dokładność obliczeń dochodu mierzona jest za pomocą miar rozproszenia
możemy zwiększyć, jeżeli zwiększamy liczbę obserwacji. zmiennej wokół jej wartości średniej, zaś statystycznymi
W naszym przypadku oznaczałoby to obliczanie średniej miarami tego rozproszenia są:
na podstawie stóp dochodu z dłuższego okresu. Trzeba
a) wariancja
jednak mieć na uwadze, że zakładamy stałość rozkładu
b) odchylenie standardowe
prawdopodobieństwa w czasie. Im dłuższy okres
obliczeń, tym założenie to staje się mniej realistyczne.
Definicja i pomiar ryzyka Definicja i pomiar ryzyka
Jeżeli średnia obliczona jest z próbki, to również
Wariancja stanowi średnią z różnic pomiędzy
wariancję obliczamy w oparciu o dane z próbki, wtedy:
wartościami zmiennej a jej wartością średnią,
N
podniesionymi do kwadratu:
2
( rt - r )
"
n
2
t = 1
2
à =
r
à (r) = pi[ri - E(r)]2
"
N - 1
i=1
Drugą miarą rozproszenia zmiennej wokół średniej jest
gdzie:
2 odchylenie standardowe, które jest pierwiastkiem
à wariancja
kwadratowym z wariancji.
2
rt
Linia charakterystyczna papieru Linia charakterystyczna papieru
wartościowego wartościowego
rj,t
rj,t = Ä… + ² rM ,t + µ
j j j,t
x
x y
x
Å‚x
gdzie:
µ = rj,t - (Ä… + ² rM ,t ) =
j,t j j
Ä…
j
rj,t - stopa zwrotu z akcji lub portfela w okresie t
rM,t
Ä…
j - wyraz wolny równania regresji
x
² x
j - współczynnik kierunkowy równania regresji
x
rM ,t - stopa zwrotu z portfela rynkowego
µ - skÅ‚adnik resztowy (losowy) równania regresji
j,t
Współczynnik alfa Współczynnik beta
Cov(rj , rM )
² =
Ä… =r -² rM
j
2
j j j
Ã
M
jest miarą oczekiwanej stopy zwrotu gdy rM wynosi jest miarą związku między oczekiwaną stopą zwrotu
zero z danej akcji a stopÄ… zwrotu z portfela rynkowego
Interpretacja współczynnika beta
Interpretacja współczynnika beta
"Ri
²i > 1
"RWIG
²i = 1 WIG
²i <1
²i < 0
3
Interpretacja współczynnika beta Oczekiwana stopa zwrotu z portfela
Oczekiwana stopÄ™ zwrotu z portfela:
M
E (rp ) = x E (rj )
" j
j =1
gdzie:
E(rj )  oczekiwana stopa zwrotu j-tej akcji
x  udział j-tej akcji w portfelu
j
Oczekiwana stopa dochodu jest średnią ważoną
oczekiwanych stóp dochodu akcji wchodzących w skład
tego portfela.
 Ko-wariancja tj.  Wspólna wariancja  Ko-wariancja tj.  Wspólna wariancja
Do tego momentu mówiliśmy o oczekiwanych stopach Kowariancję można wyliczyć z następujących wzorów:
dochodu i ryzyku pojedynczych akcji. Powstaje pytanie,
jak zachowujÄ… siÄ™ oczekiwane stopy dochodu oraz ryzyko
a) kowariancja w populacji generalnej
portfela składającego się z wielu akcji.
W celu odpowiedzenia na to pytanie konieczne jest
m
wprowadzenie dodatkowej miary statystycznej, a
mianowicie kowariancji.
Cov(rA,rB) = [rA,i - E(rA)][rB,i - E(rB)]
"pi
i=1
Kowariancja jest miarą statystyczną, która pozwala
udzielić odpowiedzi na pytanie, jak zachowują się stopy
dochodu akcji względem siebie.
Współczynnik korelacji
 Ko-wariancja tj.  Wspólna wariancja (wystandaryzowana kowariancja)
b) kowariancja z próbki Istnieje możliwość standaryzacji kowariancji poprzez
podzielenie jej przez odchylenia standardowe stóp zwrotu
N
z obu inwestycji:
[(rA,t - rA )(rB ,t - rB )]
"
t =1
Cov =
r rB
A Cov(r ,rB )
N - 1 A
Á =
A,B
à (r )à (r )
(-",+")
A B
Kowariancja może przyjmować wartości
cov > 0  akcje majÄ… tendencjÄ™ do odchylania siÄ™ od
Otrzymany wskaz
nik znany jest jako współczynnik
średniej w tym samym kierunku
korelacji, którego wartość waha się w przedziale
cov < 0  akcje majÄ… tendencjÄ™ do odchylania siÄ™ od
od -1 do +1.
średniej w przeciwstawnych kierunkach
4
Współczynnik korelacji Współczynnik korelacji
(wystandaryzowana kowariancja) (wystandaryzowana kowariancja)
Współczynnik korelacji:
Współczynnik korelacji:
określa siłę i kierunek powiązania stóp zwrotu akcji
dodatni współczynnik korelacji (korelacja dodatnia)
im wyższa wartość bezwzględna współczynnika
oznacza, że wzrostowi (spadkowi) stopy zwrotu jednej
korelacji, tym większa zależność między badanymi
akcji towarzyszy wzrost (spadek) stopy zwrotu drugiej
akcjami
akcji
współczynnik korelacji równy zeru oznacza, że
natomiast ujemny współczynnik korelacji (korelacja
zachowanie siÄ™ akcji jednej firmy jest statystycznie
ujemna) oznacza, że wzrostowi (spadkowi) stopy
niezależne od zachowania się akcji drugiej firmy
zwrotu jednej akcji towarzyszy spadek (wzrost) stopy
znak współczynnika korelacji wskazuje na kierunek
zwrotu drugiej akcji
powiązania stóp zwrotu akcji
Współczynnik determinacji Macierz kowariancji
Do obliczania ryzyka portfela konieczna jest znajomość
tzw. macierzy kowariancji dla papierów wchodzących w
2 2
RA,B = ÁA,B skÅ‚ad portfela. Np. macierz kowariancji dwu akcji
(A i B) wygląda następująco:
Akcja
A B
informuje jaka część zmienności stopy zwrotu z jednej
Cov(rA,rA )
inwestycji jest związana ze zmiennością stopy zwrotu z A Cov(r , rA)
B
drugiej inwestycji
Cov(r ,rB ) Cov(r , rB )
B A B
Na głównej przekątnej macierzy kowariancji leżą
kowariancje stopy zwrotu akcji z samÄ… sobÄ….
Kowariancja Macierz wariancji-kowariancji
Kowariancja stopy zwrotu z nią samą równa jest Biorąc pod uwagę powyższe oraz dodatkowo
wariancji stopy zwrotu tej akcji, gdyż: uwzględniając niezbędne do obliczenia wariancji z portfela
udziały poszczególnych akcji w portfelu macierz
m
pozwalającą obliczyć wariancję można zapisać
następująco:
Cov(A,rB) = [rA,i -E(rA)][rA,i -E(rA)]
r
"pi
i=1
xA xB
2
Akcja
m
A B
= [rA,i -E(rA)] =Ã2(rA)
"pi
2
xA A Cov(r , rA )
à (rA)
B
i=1
2
xB B Cov(r ,rB ) Ã (rB )
A
5
Wariancja portfela Kowariancja portfela
Mnożąc każdy z elementów macierzy przez iloczyn Ponieważ kowariancję między dwiema zmiennymi
udziałów w akcji, dla których dana wariancja jest można zapisać wg następującego wzoru:
obliczana oraz dodajÄ…c do siebie uzyskane rezultaty
otrzymuje się wzór na wariancję portfela:
Cov(rA, rB ) = ÁA,BÃ (rA) Ã (rB )
2 2 2 2
à (rp ) = xAà (rA ) + (1- xA )2à (rB ) + zatem:
2 2 2 2
à (rp ) = xAà (rA) + (1- xA)2à (rB ) +
+ 2xA (1- xA )Cov(rA, rB )
+ 2xA(1- xA)ÁA,BÃ (rA) Ã (rB )
Wariancja portfela
Uogólniony wzór na wariancję portfela złożonego z Ponieważ ze względów praktycznych wygodniej jest
dowolnej liczby akcji: posługiwać się odchyleniem standardowym, które jest
pierwiastkiem kwadratowym z wariancji, dlatego
powyższe wyrażenia, w których występuje wariancja,
M M M
możemy zastąpić odchyleniem standardowym
2 2
(pierwiastkiem kwadratowym z wariancji).
Ã2(rp) = ÃJ +
"x " "x xIÃJÃIÁJI
J J
J=1 J=1 I=1
Wielkość odchylenia standardowego portfela
J `" I
składającego się z dwóch lub więcej aktywów jest
uzależniona od poziomu współczynnika korelacji
pomiędzy zmianami oczekiwanych stóp zwrotu
poszczególnych par akcji.
Współczynnik korelacji = 1 Współczynnik korelacji = 0
Dla współczynnika korelacji równego 1, wyrażenie na Gdy współczynnik korelacji wynosi 0, to wyrażenie na
odchylenie standardowe portfela składającego się z odchylenie standardowe pakietu składającego się z
dwóch akcji uprości się do następującej postaci: dwóch akcji będzie miało następującą postać:
1
2
2 2 2 2
à (rp )= x à (rA )+ (1 - x )à (rB )
à (rp )= [x à (rA )+ (1 - x ) à (rB )]
A A
A A
6
Współczynnik korelacji = -1 Linie kombinacji
Gdy współczynnik korelacji równy jest  1, to wyrażenie
ÁA,B = -1 ÁA,B = 0 ÁA,B = 0,5
A
0,15
na odchylenie standardowe portfela składającego się z
dwóch akcji uprości się do następującej postaci:
ÁA,B = 1
0,075
à (rp )= x à (rA )- (1 - x )à (rB )
B
A A
0,125 0,25
Wnioski [cz.1/2] Wnioski [cz.2/2]
Podstawowe znaczenie dla poziomu ryzyka portfela
jeżeli akcje A i B nie są ze sobą skorelowane
(mierzonego odchyleniem standardowym (Á=0) to można skonstruować portfel, którego ryzyko
oczekiwanej stopy zwrotu) ma wartość jest mniejsze od ryzyka wchodzących w jego skład
współczynnika korelacji pomiędzy zmianami akcji
oczekiwanych stóp zwrotu akcji wchodzących w
w przypadku doskonaÅ‚ej korelacji ujemnej (Á=-1)
skład tego portfela.
istnieje możliwość skonstruowania z akcji A i B (czyli
Pomijając możliwość krótkiej sprzedaży, należy papierów wartościowych obciążonych ryzykiem)
stwierdzić że: takiego portfela, dla którego odchylenie standardowe
równe jest zero; tzn. za pomocą dywersyfikacji
w przypadku doskonałej korelacji dodatniej
można całkowicie wyeliminować ryzyko portfela
(Á=1) żadna kombinacja udziałów akcji A i B nie
przyczynia siÄ™ do ograniczenia poziomu ryzyka
portfela (poniżej ryzyka wchodzących w jego
skład akcji)
Pocisk Markowitza
Portfel n-składnikowy
W praktyce istnieje możliwość utworzenia nieskończonej
ilości portfeli charakteryzujących się określoną oczekiwaną Krzywa użyteczności
Portfel optymalny dla inwestora
stopą zwrotu i określonym ryzykiem (odchyleniem
standardowym). Zbiór wszystkich portfeli, jakie można
c
b
utworzyć w oparciu o istniejącą populację akcji, nazywany
d
jest zbiorem możliwości inwestycyjnych. Zbiór ten
można przedstawić graficznie w układzie współrzędnych
e
[E(r),Ã], gdzie tworzy charakterystycznÄ… figurÄ™. Jest to tzw. f
a
pocisk Markowitza.
7
Teoria Markowitza Teoria Markowitza
każdemu możliwemu portfelowi można przypisać
poszczególni inwestorzy działają w odosobnieniu
jego użyteczność, z punktu widzenia wzajemnej
krzywymi użyteczności są parabole relacji oczekiwanej stopy zwrotu oraz ryzyka
krzywe obojętności są zbiorami tych wszystkich
inwestor maksymalizuje użyteczność, więc chce się
portfeli, których użyteczność dla danego inwestora
znalez
ć na najwyższej możliwej dla niego do uzyskania
jest taka sama
krzywej obojętności (pkt. styczności granicy efektywnej i
portfele optymalne  punkty styczności granicy
krzywej obojętności)
efektywnej z krzywymi obojętności, są jednocześnie
portfelami efektywnymi i o najwyższej użyteczności
przy wyborze portfela optymalnego wykorzystuje siÄ™
koncepcję krzywych obojętności
Algorytm Markowitza w przypadku
trzech aktywów Warstwice oczekiwanej stopy zwrotu
XB
XC= 1 - XA  XB
R:
XB= 1 E(r ) = xA Å" E(rA) + xB Å" E(rB ) + xC Å" E(rC )
p
XA= 0
XC= 0
R
A:
1
stÄ…d:
XA= 0,25
XC<0
XA= 0,25
XC= 0,5 E(rC ) - E(r )
E(rA) - E(rC )
p
xB = + Å" xA
E(rC ) - E(rB ) E(rC ) - E(rB )
A czyli:
0,25
T
XA<0
xB = a0 + a1xA
0,25 0,5
1 XA
XC>0
XB<0
Izoelipsy wariancji
2 2 2 2 2 2 2
XB XB
à (r ) = xA Å"à (rA) + xB Å"à (rB) + xC Å"à (rC ) +
Waga akcji A w portfelu Waga akcji A w portfelu
p
30%
28%
26%
2Å" xA Å" xB Å"Cov(rA,rB ) + 2Å" xA Å" xC Å"Cov(rA,rC ) + 2Å" xB Å" xC Å"Cov(rB, rC ) 1.00 1.00
21%
17%
MPV
-1.00 0 1.00 1.00
można sprowadzić do postaci elipsy: XA XA
Waga akcji A w portfelu Waga akcji A w portfelu
2 2
xA xB
-1.00 -1.00
+ = 1
a2 b2
20% 18% 16% 12% 10%
8
X
C
=
0
Linia krytyczna Metody wyboru portfela
- linia portfeli minimalnego ryzyka Metoda H. Markowizta jest dokładna ale wymaga obliczenia:
- zbiór punktów styczności warstwic oczekiwanej stopy - N stóp zwrotu
zwrotu z izoelipsami wariancji
- N wariancji stóp zwrotu
- linia krytyczna jest liniÄ… prostÄ…
- N(N  1) / 2 współczynników korelacji pomiędzy każdą
parą akcji wchodzących w skład portfela
Model jednoskładnikowy Sharpe a Model jednoskładnikowy Sharpe a
Z założenia modelu wynika:
Założenia modelu:
jedyną przyczyna zmienności poszczególnych akcji
zmienność stóp zwrotu z poszczególnych akcji w
jest zmienność stopy zwrotu wskaz
nika (portfela)
kolejnych okresach zależy od 2 rodzajów czynników:
rynkowego (najczęściej do tego celu używa się
makroekonomicznych  oddziałujących na całą
sezonowego wskaz
nika giełdowego, np. S&P 500)
gospodarkÄ™ (np. nieoczekiwane zmiany stopy
przyczyną odchyleń stóp zwrotu akcji od wartości
inflacji, stóp procentowych, dynamiki PKB etc.);
teoretycznych (wynikajÄ…cych z modelu) sÄ… czynniki
mikroekonomiczne
mikroekonomiczne  oddziałujących tylko na
poszczególne firmy, a nie wpływających na składniki resztowe dla poszczególnych firm nie są
pomiędzy sobą skorelowane
pozostałe (np. wprowadzenie nowej technologii,
podpisanie dużego kontraktu, nieoczekiwana
stopa, etc.)
rt
Równanie modelu Kowariancja stóp zwrotu dwóch akcji w
jednowskaz
nikowego modelu jednowskaz
nikowym
ri,t = Ä…i + ²irM ,t + µi,t
2
Cov(rJ , rK ) = ²J Å" ²K Å"Ã (rM )
gdzie:
gdzie:
rt - stopa zwrotu z akcji lub portfela w okresie t
²J , ²K - współczynnik beta rozpatrywanych akcji, okreÅ›lajÄ…ce stopieÅ„
ąi - wyraz wolny równania regresji
reakcji tych akcji na zmiany zachodzÄ…ce na rynku
²i - współczynnik kierunkowy równania regresji
2
à (rM ) - wariancja stopy zwrotu z portfela rynkowego
rM ,t - stopa zwrotu z portfela rynkowego
µi,t - skÅ‚adnik resztowy (losowy) równania regresji
9
Wariancja stopy zwrotu akcji (portfela)
Podział ryzyka portfela na
w modelu jednowskaz
nikowym systematyczne i specyficzne
2
(ryzyko całkowite)
´
p
2 2 2
à (r ) = ²p2 Å"à (rM ) +à (µ )
p p
Ryzyko specyficzne
2
²p2 Å"Ã (rM )
- ryzyko systematyczne
Ryzyko systematyczne
2
à (µ ) - wariancja resztowa
p
5 10 15
30 N
Macierz kowariancji składników
Współczynnik beta portfela resztowych
M
²p = xJ Å" ²J
"
J =1
gdzie:
M  liczba akcji w portfelu
Założenie modelu
jednowskaz
nikowego: Model równowagi rynku kapitałowego
teoria objaśniająca sposób stanowienia cen aktywów
kapitałowych
cov(ei ,ej ) =0
Najbardziej znane modele równowagi rynku to:
Model wyceny Aktywów Kapitałowych (Capital Assent
Pricing Model  CAMP  Sharpe, Linter, Mosin, Treynor),
Teoria Arbitrażu Cenowego (Arbitrage Pricing Theory 
stÄ…d:
APT  Ross)
M
2 2 2
à (µ ) = xJ Å"à (µJ )
p "
J =1
10
Założenia CAPM Założenia CAPM
I. Inwestorzy stosują teorię Markowitza tj: II. Założenia dotyczące rynku i aktywów:
1) kierują się wyłącznie: 4) aktywa są nieskończenie podzielne
a) oczekiwanÄ… stopÄ… wzrostu 5) istnieje stopa wolna od ryzyka ( depozytowo-
kredytowa) i jest jednakowa dla wszystkich
b) jej odchyleniem standardowym
6) nie ma podatków i kosztów transakcyjnych
2) cechuje ich nienasyconość (z dwóch wariantów o
tym samym ryzyku wybiorą ten, o wyższej 7) horyzont inwestycyjny wszystkich inwestorów jest
oczekiwanej stopie zwrotu) jednookresowy (długość okresu jest taka sama dla
wszystkich inwestorów)
3) cechuje ich awersja do ryzyka (z dwóch wariantów
o takiej samej oczekiwanej stopie zwrotu wybiorą ten, 8) informacja jest darmowa i natychmiast dostępna
o niższym ryzyku)
9) oczekiwania inwestorów są homogeniczne
(wszyscy inwestorzy oczekują jednakowych stóp
zwrotu z poszczególnych aktywów oraz
jednakowych odchyleń standardowych stóp zwrotu)
Założenia CAPM CML (Capital Market Line)
E(r)
2
Konsekwencje złożenia nr 5:
- Inwestor może lokować posiadane środki w papiery
E(rM)
I I M
wartościowe pozbawione ryzyka, jak też może
zaciągnąć pożyczki według stopy procentowej
1
pozbawionej ryzyka
- Zmienia się kształt zbioru efektywnego (granicy
rM
1
efektywnej
Ã
à r
rM
Interpretacja modelu Interpretacja modelu
Linia rynku kapitałowego (CML)- nowa granica
odpowiadajÄ…cego stopie wolnej od ryzyka i styczna do
Portfele optymalne dla poszczególnych
dotychczasowej granicy efektywnej (granicy efektywności
inwestorów wyznaczane są- podobnie jak
Markowitza)
dotychczas  przez punkty styczności najwyżej
położonej krzywej obojętności z nową granicą
Na lewo od punktu M inwestorzy udzielają pożyczki (
kupujÄ… obligacje skarbowe), natomiast na prawo od tego efektywnÄ…, czyli liniÄ… CML.
punktu zaciągają pożyczki i uzyskane środki (wraz z
własnymi) inwestują w aktywa ryzykowne.
11
u
k
n
y
o
r
g
e
a
i
w
n
i
o
Å‚
L
a
t
i
p
a
k
a
l
d
y
n
w
y
t
k
e
f
e
r
ó
w
i
ó
b
r
Z
e
i
p
a
p
i
j
c
a
l
u
h
p
c
o
y
p
w
o
i
c
Å›
o
t
r
a
w
h
c
y
n
o
z
c
r
a
b
o
m
e
i
k
y
z
y
r
Zależność między ryzykiem papierów
wartościowego oraz jego oczekiwaną
Interpretacja modelu stopÄ… zwrotu w modelu CAPM
E(r)
E(r)
Portfel rynkowy  portfel aktywów obarczonych ryzykiem,
w jaki inwestor będzie inwestował maksymalizuje
M
E(rM)
następujące wyrażenie:
M 15%= E(rM)
E(rM ) - rF
E(r ) - rF
p
rF=10%
rF
à (r )
p
²M =1.00
gdzie:
E(rp ) - oczekiwana stopa zwrotu portfela
rF - stopa procentowa pozbawiona ryzyka
à (r ) - odchylenia standardowe (ryzyko) portfela
p
0 Ãr 0
1 1,5
²
Odchylenie standardowe Współczynnik beta
Równanie modelu CAPM
Graficzna interpretacja linii SML
E(r)
C
Y
M
D
E(rJ ) = rF +[E(rM ) - rF ]²J
C
D
X
F
0
1 ²
Położenie linii charakterystycznych
Graficzna interpretacja linii SML poszczególnych akcji w modelu CAPM
E(r)
E(r) Oczekiwana stopa zwrotu z aktywu J (po przekształceniu
równania modelu CAMP):
A
A
M
E(rM)
M 15%= E(rM)
E (rJ ) = rF (1 - ² ) + ² E (rM )
J J
B B
C C
rF=10% Odpowiadająca mu formuła na rzeczywistą stopę zwrotu z akcji, która
r
została zrealizowana w okresie:
P
Z
²M = 1.00
rJ ,t = r (1 - ² ) + ² E ( rM ,t ) + µ
f J J J ,t
Jest to wzór na stopę zwrotu w modelu jednowskaz
nikowym
0 Ãr 0
1 1,5
²
Odchylenie standardowe Współczynnik beta
12
Oczekiwana stopa zwrotu
Oczekiwana stopa zwrotu
u
k
o
n
g
y
h
r
e
c
w
y
a
u
i
o
w
k
Å‚
n
o
i
n
i
a
t
y
L
c
i
r
Å›
p
a
o
i
t
a
r
n
k
i
a
L
w
w
ó
r
e
i
p
a
p
u
k
o
n
g
y
h
r
e
c
w
y
a
u
i
o
w
k
Å‚
n
o
i
n
i
a
t
y
L
c
i
r
Å›
p
a
o
i
t
a
r
n
k
i
a
L
w
w
ó
r
e
i
p
a
p
rJ
A
Różnice między modelem
Przebieg linii charakterystycznych w
modelu CAPM (przykład) jednowskaz
nikowym a modelem CAPM
B
E(rA)
E(rB)
Niech:
C
Rf = 10%,
10% = rF = E(rc)
Beta akcji A=
w modelu CAPM składniki resztowe mogą być ze sobą
2,0;
5%
Beta akcji B = nawzajem skorelowane
0,5;
Beta akcji C = 0
0 rF E(rM) rM
Stopa zwrotu z rynku
-10%
Teoria Arbitrażu Cenowego
Porównanie modelu Markowitza i
modelu jednowskaz
nikowego (Arbitrage Pricing Theory-APT)
Założenia APT:
Markowitz Sharpe
prawo jednej ceny - ten sam instrument finansowy na
Wyznaczenie zbioru minimalnego Wyznaczenie zbioru minimalnego
Cele modelu
ryzyka ryzyka
dwóch różnych rynkach ma te samą cenę lub dwa
Formuła wariacji portfela Dokładna Przybliżona
instrumenty finansowe o takim samym ryzyku dajÄ… tÄ™
2 2
Złożoność obliczeń N N samą stopę zwrotu.
~
Założenia dotyczące występowania Brak korelacji pomiędzy wszystkie papiery reagują, w mniejszym lub większym
Nie ma
skorelowania zmiennych składnikami resztowymi akcji
stopniu, na oddziaływanie jednego lub większej ilości
Założenia dotyczące z
ródła Nie ma (tj. dowolna liczba Jeden czynnik (rynkowy) wywołuje
czynników
skorelowania zmiennych dowolnych czynników) korelację stóp zwrotu akcji
Zależy od dokładności oszacowania Zaniżona w stosunku do
Wariancja rzeczywista portfela a rzeczywistych współczynników rzeczywistej (bo w rzeczywistości
wynikająca z modelu macierzy kowariancji(estymuje się występuje dokładnie skorelowanie
tylko ich wartości historyczne) czynników resztowych)
Równanie modelu APT:
E(rJ)
F
E
Jeśli jest liniowa, np.:
D
rJ ,t = AJ + ²1,J I1,t + ²2,J I2,t +...+ ²n,J In,t +µJ,t
C
gdzie:
B
AJ - wyraz wolny równania regresji X
²n,t - beta j-tej akcji wzglÄ™dem n-tego czynnika
A
In,t - wartość poszczególnych czynników w okresie t
Y
µ - wariancja resztowa
J ,t
n - liczba czynników
0
²1,J
Wspólczynnik beta dla czynnika I1
13
Oczekiwana stopa zwrotu
Strategia arbitrażowa
F
E(rJ)
krótka sprzedaż
A, B, C, D, E, F  akcje
E
portfela X
linia kombinacji akcji C i E  przerywana zakup za
Y1
D
otrzymane środki
przechodzÄ…ca przez punkt X
portfela Y => C
B
dodatnia stopa X1
portfel o parametrach można skonstruować z akcji:
zwrotu przy
A
C i E, ale także B i F i nieskończenie wiele innych par
zerowym ryzyku
proces
beta i wariancja resztowa tego portfela = 0
arbitrażowy =>
analogicznie jest dla portfela Y  prostowanie siÄ™ 
E(rz)
krzywej
zależność liniowa
=> brak
możliwości
arbitrażu
²1,J
Ryzyko czynnika I1
Zależność między ryzykiem czynnika a
oczekiwanÄ… stopÄ… zwrotu w
jednoczynnikowym modelu APT Dla modelu APT
jedyne determinanty stóp zwrotu to czynniki modelu =>
składniki testowe poszczególnych akcji nie są ze sobą
E(rJ ) H" E(r ) = 1²1,J
z
skorelowane
wariancja resztowa portfela:
gdzie:
1 - wartość zależy od wykazywanej przez inwestorów
M
2 2 2
awersji do ryzyka oraz wpływu czynnika na korelację
à (µ ) = xJà (µJ )
p "
stóp zwrotu z akcji
J =1
Dla modelu APT Wskaz
nik Sharpe a
stosunek premii za ryzyko całkowite do poziomu tego ryzyka:
wariancja stopy zwrotu z portfela:
E(Rj ) - RF
2 2 2
Ã2(rp)=²1,PÃ2(I1)+²2,PÃ2(I2)+...+²N,PÃ2(IN)+Ã2(µP)
S =
j
´
j
gdzie:
S  wskaz
nik Sharpe a funduszu j,
j
współczynnik beta portfela  względem czynnika i:
E(Rj ) oczekiwana stopa zwrotu z portfela funduszu,
RF
M
RF  stopa wolna od ryzyka,
² = x ²
´ j  ryzyko caÅ‚kowite funduszu
i , P " J i , J
J = 1
14
Oczekiwana stopa zwrotu
Wskaz
nik Sharpe a Wskaz
nik Treynora (1965)
preferuje portfele lezące na linii o jak największym Dla portfeli zdywersyfikowanych ryzyko systematycznie
nachyleniu w układzie ryzyko całkowite  stopa zwrotu dominuje  ryzyko specyficzne znoszone jest wskutek
niejednoczesności występowanie bessy w różnych
pozwala na poprawne wykrycie ewentualnych
branżach.
nieefektywności rynku znajdujących swe odbicie w
ponadprzeciętnej efektywności portfela
portfel o większej wartości wskaz
nika jest korzystniejszy StÄ…d:
dla inwestora, niezależnie od jego preferencji ryzyka,
ponieważ umożliwia przejście na wyższą krzywą
E(R ) - RF
j
użyteczności
Trj =
²
j
Wskaz
nik Treynora (1965) Alfa Jansena (1968)
bierze pod uwagÄ™ ryzyko systematyczne
korekta ryzyka, realizowana poprzez dodanie do modelu
różnicach w efektywności portfeli stanowią kat nachylenia
CAPM wyrazu wolnego j- miara odchylenia portfela od
linii, przechodzących przez nie, w układzie ryzyko
stanu równowagi postulowanego przez CAPM
systematyczne  stopa zwrotu
ą > 0 => ponadprzeciętny zwrot z portfela
j
portfel o większej wartości wskaz
nika jest korzystniejszy
(przekraczajÄ…cy oczekiwania generowane z modelu
dla inwestora, niezależnie od preferencji ryzyka,
CAPM)
ponieważ umożliwia przejście na wyższą krzywą
Ä…
użyteczności j < 0 => zwrot poniżej wynikającego z modelu CAPM
ą < 0 => portfel postulowany przez hipotezę rynków
j
efektywnych  brak możliwości wypracowania
ponadprzeciętnych dochodów
Alfa Jansena (1968) Wartość dodawana
Wartość dodawana przez zarządzającego portfelem dzieli
siÄ™ na :
Ryzyko uwzględniane jest poprzez odjęcie dochodów
selektywność (selectivity)  umiejętność doboru akcji do
jakich przy obserwowanym ryzyku należało oczekiwać na
portfela => podstawą jest umiejętność formułowania
mocy pewnego modelu wyceny ryzyka od dochodów
mikroprognoz (prognoz w skali przedsiębiorstwa  analiza
faktycznie zrealizowanych
fundamentalna)
wyczucie rynku (market timing)  właściwy wybór
momentu zmiany proporcji środków zainwestowanych w
aktywach ryzykowne (przede wszystkim akcje ) i
pozbawione ryzyka => podstawą jest umiejętność
formułowania makroprognoz ( prognoz całego rynku )
15