dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Teoria Markowitza
Optymalizacja portfela na bazie analizy wartości oczekiwanej i wariancji
1 Definicja problemu portfela
N
Danych jest N akcji: n =1, & , o następujących charakterystykach
~
Rn
" akcja n ma stopę zwrotu daną zmienną losową z wartością oczekiwaną
~
îÅ‚ Å‚Å‚
E R = R
n n
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
" I wariancjÄ…
~
îÅ‚R Å‚Å‚
2
= Ã > 0
n n
Var
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
1
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
m
n
" Kowariancja stop zwrotu pomiędzy akcjami oraz :
~ ~
îÅ‚Rn, Rm Å‚Å‚
= Ã
nm
Cov
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2
à = Ã
" Przy czym .
nn n
Powyższe charakterystyki można zapisać w notacji wektorowej:
" Wektor oczekiwanych stop zwrotu z N akcji
R1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
M
ïÅ‚ śł
R =
ïÅ‚ śł
N
ðÅ‚R ûÅ‚
2
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
" Macierz wariancji-kowariancji
Ã11 L Ã1N
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
M M
ïÅ‚ śł
V =
ïÅ‚
N1 NN
ðÅ‚Ã L à śł
ûÅ‚
" Założenia dotyczące macierzy wariancji-kowariancji:
o V jest macierzą dodatnio określoną tj. w Vw > 0 dla każdego w" RN, w`" 0
o to implikuje jej odwracalność oraz to, iż
o żaden z wierszy (kolumn) nie da się przedstawić jako kombinacji liniowej
innych wierszy (kolumn) tj. żadna z akcji nie jest redundantna.
3
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Portfel inwestora:
îÅ‚w1
Å‚Å‚
ïÅ‚
śł
M
ïÅ‚
śł
w =
ïÅ‚wN ûÅ‚
śł
ðÅ‚
wn - waga akcji n w portfelu.
Zakładamy, iż cały majątek inwestora jest zainwestowany tj:
N
"w = 1.
n
n=1
4
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
W notacji wektorowej warunek ograniczajÄ…cy (brzegowy) na wagi portfela jest
następujący:
1 w = 1
gdzie 1 jest wektorem  jedynek .
Nie zakładamy innych warunków brzegowych i ograniczeń na portfel tj:
" akcje sÄ… doskonale podzielne
" dozwolona jest  krótka sprzedaż bez ograniczeń
5
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Stopa zwrotu z portfela w jest następująca
N
~ ~
~
R =
w n
"w R =
n
R
w
n=1
Stąd wartość oczekiwana stopy zwrotu z portfela w wynosi:
Rw =
w R
Wariancja portfela w:
2
à =
w Vw
w
6
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Analiza portfela opierająca się na oczekiwanych wartościach jego stopy zwrotu i
wariancji zakłada iż:
" inwestor alokuje portfel opierając się jedynie na tych dwóch charakterystykach
" inwestor jest nienasycony oraz posiada awersjÄ™ do ryzyka
" w szczególności inwestor szuka portfeli o maksymalizujących oczekiwaną stopę
zwrotu dla danego poziomu wariancji lub minimalizujÄ…cych wariancjÄ™ dla
określonej wartości oczekiwanej stopy zwrotu
=> sÄ… to tzw. portfele efektywne (mean-variance efficient)
=> zbiór portfeli efektywnych to granica efektywna (efficient frontier).
7
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
2 RozwiÄ…zanie problemu portfela
Rozwiązanie problemu portfela polega na minimalizacji następującego wyrażenia:
1
min
2
w Vw
w"RN
Przy warunkach brzegowych:
1 w = 1
R
R w =
8
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Rozwiązanie metodą mnożników Lagrange a.
===================
Dana jest funkcja
z = f x, y
( )
Chcemy znalez
ć jej ekstremum przy warunkach brzgowych:
M = g x, y
( )
Gdzie M jest stałą.
Krok 1
Definiujemy funkcjÄ™ Lagrange a:
L = f x, y +  M - g x, y
( ) ( )
[ ]
Gdzie  zwany jest mnożnikiem Lagrange a.
9
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Krok 2
Obliczamy ekstremum funkcji Lagrange a tj. Różniczkujemy ją kolejno po
zmiennych x, y oraz  otrzymując układ równań:
"L
= f - gx = 0
x
"x
"L
= f - gy = 0
y
"y
"L
= M - g x, y = 0
( )
"
Krok 3
Rozwiązujemy układ równań.
=========================
10
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Definiowana jest funkcja Lagrange a:
1
L = wTVw + (1- 1T w) + Å‚(R - RTw)
2
Należy znalez
ć jej minimum w zależności od składu portfela w. Obliczana jest
pochodna funkcji Lagrange a po w i przyrównywana do 0:
0 = Vw - 1 - Å‚R
Po przekształceniu rozwiązanie jest następujące
w" = V-11 + Å‚V-1R
11
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Å‚

Aby powyższe równanie rozwiązać ze względu na parametry oraz , należy
wykorzystać dwa równania wynikające z warunków brzegowych:
1 = 1T w* = 1T V-11 + Å‚1T V-1R
oraz
-1 -1
R = RTw* = RTV 1 + Å‚RTV R.
Wprowadzamy stałe:
A = 1T V-11,
B = 1T V-1R,
C = RTV-1R,
12
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Po ich wprowadzeniu otrzymujemy następujący układ 2 równań liniowych z 2
niewiadomymi:
A + BÅ‚ = 1,
B + CÅ‚ = R.
Rozwiązanie jest następujące:
C - BR
 = ,
"
AR - B
Å‚ =
"
gdzie
" = AC - B2
13
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
" `" 0
Przy założeniu iż . Założenie powyższe jest spełnione jeśli tylko stopy zwrotu z
poszczególnych aktywów są różne (co jest w praktyce spełnione). Oraz:
T
(BR - C1) V-1(BR - C1)= B2C - 2B2C + AC2 = C" > 0,
wT
Mnożąc pochodną funkcji Lagrange a przez otrzymujemy równanie na minimalną
2
Ã
R
wariancję przy zadanej wartości stopy zwrotu z portfela :
2
0 = wTVw - wT1 - Å‚wTR = Ã -  - Å‚R

Po przekształceniu i podstawieniu wartości oraz:
14
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
AR2 - 2BR + C
2
à =
"
Jest to równanie:
,
" paraboli w przestrzeni (Ã 2 R)
(Ã , R)
" hiperboli w przestrzeni
AR2 - 2BR + C AR2 - 2BR + C A 2B C
2
à = = = R2 - R +
" AC - B2 AC - B2 AC - B2 AC - B2
15
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Parametry globalnego portfela minimalnego ryzyka (portfela g)
będącego wierzchołkiem paraboli otrzymamy przyrównując mnożnik Langrange a
Å‚
do zera otrzymujÄ…c:
1
2
B
´ =
R =
 = 1/ A
, ,
A
A
Wstawiając powyższe wartości do równania wyrażającego skład optymalnego
portfela
1 V-11
g = V-11 =
A 1T V-11
16
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
R
g
Rg
Ã
Ã
g
17
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Twierdzenie o rozdzieleniu portfela
(two-fund separation theorem)
Skład portfela o minimalnej wariancji dla zadanej wartości oczekiwanej R wyraża się
wzorem:
w(R) = (R)V-11 + Å‚(R)V-1R
(R) Å‚(R)
Przy czym funkcje oraz są liniowymi funkcjami wartości oczekiwanej
portfela, R.
C - BR C
AR - B A B
(R) = = - BR = a1 + Rb1 Å‚(R) = = R - = a2 + Rb2
;
" " " " "
18
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
N
R
Portfele o minimalnej wariancji tworzą linię prostą w przestrzeni , którą definiuje
R
wektor wartości oczekiwanych :
w(R) = v1 + Rv2
N
v1
v2
R
Gdzie i są dwoma określonymi wektorami w .
R1 `" R2 . Dla każdego R możemy znalez
ć taką liczbę rzeczywistą ą
Niech dla
której:
R = Ä…R1 + (1 - Ä…)R2 .
zatem
w(R1) = v1 + R1v2 , w(R2 ) = v1 + R2v2 ,
19
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
stÄ…d
= v1 + Rv2
w(R) = Ä…w(R1)+ (1 - Ä…)w(R2 )
Oznacza to, iż wszystkie portfele minimalnej wariancji mogą zostać otrzymane
(obliczone) na bazie dwóch dowolnych (różnych) portfeli z tego zbioru.
R - R2
Ä… =
R1 - R2
20
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Wnioski:
" N aktywów definiuje N elementową przestrzeń wektorową
" Zbiór dopuszczalnych portfeli stanowi N-1 elementową podprzestrzeń 
hiperprzestrzeń N-1 elementową
" Zbiór minimalnego ryzyka tworzy 2 elementową linię prostą w hiperprzestrzeni
dopuszczalnych rozwiązań
" Zbiór minimalnego ryzyka można otrzymać tworząc kombinacje liniowe
dowolnych dwóch portfeli z tego zbioru
21
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Kowariancje a wartości oczekiwane
Globalny portfel minimalnego ryzyka, g, posiada następującą własność:
" jego kowariancja z jakimkolwiek innym portfelem w (lub pojedynczym
walorem) jest zawsze równa 1/A:
T
~ ~ (V-11) Vw 1T V-1Vw 1
2
Ãgw = Cov[Rg,Rw]= gÅ„Vw = = = = Ãg
A A A
Gdyż globalny portfel minimalnego ryzyka jest następujący:
1 V-11
g = V-11 =
A 1T V-11
22
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Dla dowolnego portfela minimalnego ryzyka, w, zachodzi warunek wynikajÄ…cy z
funkcji Lagrange a (pierwsza pochodna równa 0):
0 = Vw - (Rw)1 - Å‚(Rw)R
w `" g
Załóżmy, że .
Niech p będzie innym portfelem ze zbioru minimalnego ryzyka.
pT
wT
Mnożąc obustronnie powyższe równanie przez oraz otrzymujemy:
Ã2 = (Rw )+ Å‚(Rw )Rw
w
i
Ãpw = (Rw )+ Å‚(Rw )Rp
23
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
OdejmujÄ…c stronami
2
à = à + ł (Rw )( - Rp
Rw )
w pw
Kowariancja portfeli w oraz p będzie równa 0 wtedy I tylko wtedy gdy oczekiwana
Rp
stopa zwrotu portfela p, , spełni warunek:
2
à = ł (Rw )( - Rp
Rw )
w
24
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
z(w), taki, który posiada zerową kowariancję z
Istnieje portfel minimalnego ryzyka,
w z(w) wynosi:
portfelem . Stopa zwrotu z portfela
(Rw ) BRw - C
Rz(w) = - =
Å‚ (Rw ) ARw - B
Mnożnik Lagrange a mierzy krańcowy wpływ nieskończenie małej zmiany warunku
granicznego na funkcjÄ™ celu:
2
"Ã "Ã
"L 1 "wTVw 1
Å‚ (Rw )= = Å" = Å" = Ã
w
"R 2 "R 2 "R "R
w
w w
w
25
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
z(w):
Zatem dla portfela
"Ã
2
à = ł (Rw )(Rw - Rz(w) )= à (R - Rz(w) )
w w w
"R
w
"Ã
à = ( - R )
Rw
w z(w)
"R
w
Rw - Rz(w)
"R
=
"Ã Ã
w w
26
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Sposób wyznaczenia położenia portfela z(w):
" wyznaczyć linię styczną do hiperboli minimalnego ryzyka w punkcie w
" punkt przecięcia wyznaczonej prostej z osią rzędnych określa wartość
Rz(w)
oczekiwanej stopy zwrotu z portfela o zerowej kowariancji z portfelem w,
Rz(w) ; punkt przecięcia tej linii z hiperbolą
" wyznaczyć linię poziomą z punktu
Ã
minimalnego ryzyka definiuje odchylenie standardowe portfela z(w),
z(w )
27
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Jeżeli portfel w jest portfelem efektywnym to portfel z(w) nie jest portfelem
efektywnym i odwrotnie.
Własność powyższą można zilustrować następująco:
w `" g p
Niech należą do zbioru minimalnego ryzyka i niech będzie pewnym
portfelem
wtedy
2
Ãw = Ãpw + Å‚ (Rw)( - Rp
Rw )
i
2
Ãw = Å‚ (Rw)(Rw - Rz(w)).
28
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
ł(Rw ) otrzymujemy wyrażenie określające wartość oczekiwanej stopy
EliminujÄ…c
p
zwrotu z portfela :
Ãpw
Rp = Rz(w) + (Rw - Rz(w))
2
Ã
w
Dla globalnego portfela minimalnego ryzyka g:
à (Rw - Rz(w))
gw
Rg = Rz(w) + (Rw - Rz(w))= Rz(w) +
2 2
à AÅ"Ã
w w
Efektywność w implikuje nieefektywność z(w):
Rw > Rg '" Rw > Rz(w) Ò! Rg > Rz(w)
i odwrotnie.
29
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
p
Oczekiwana stopa zwrotu z portfela jest liniowÄ… funkcjÄ… jego kowariancji z danym
w
portfelem minimalnego ryzyka .
Rp = Rz(w) + ²pw(Rw - Rz(w))
gdzie
Ãpw
²pw =
2
p
w
- współczynnik beta portfela względem portfela .
Ã
w
30
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
²pw
jest średnią ważoną współczynników beta walorów wchodzących w skład
²nw :
portfela
N
²pw = pn²nw
"
n=1
²nw mierzy wpÅ‚yw waloru na Å‚Ä…czne ryzyko portfela :
n w
2
"Ã
w
= 2Vw
"w
2
N
"Ãw
2
= 2
"Ã wm = 2cov(Rn,wTR)= 2²nwÃw
nm
"wn
m=1
31
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 "Ãw 1 "Ãw "Ãw ÷Å‚ 1 "Ãw ÷Å‚ 1 "Ãw
ìÅ‚ ìÅ‚
²nw = = Å" = Å" = Å"
2 2 2
2Ãw "wn 2Ãw ìÅ‚ "Ãw "wn ÷Å‚ 2Ãw ìÅ‚2Ãw "wn ÷Å‚ Ãw "wn
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
à = 0 ²pw = 0
Ponieważ pw wtedy i tylko wtedy gdy to
z(w) nazywany jest
portfel o zerowej kowariancji
w
portfelem o zerowym współczynniku beta powiązanym z portfelem
32
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Obecność waloru bez ryzyka
n = 0
Wprowadz
my dodatkowy walor o numerze :
R
- dajÄ…cy stopÄ™ zwrotu bez ryzyka
0
- mogący być kupowanym i sprzedawanym krótko bez ograniczeń
R "
RN - wektor oczekiwanych stop zwrotu portfela ryzykownego
V "
RN x N - macierz wariancji kowariancji stop zwrotu aktywów ryzykownych
w "
RN - wektor wag portfela aktywów ryzykownych
Waga, z jakÄ… inwestor zajmuje pozycjÄ™ w walorze bez ryzyka:
N
w0 = 1- n
"w = 1- 1Tw
n=1
33
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Problem optymalizacji portfela jest następujący:
1
minëÅ‚ wTVwöÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
N
w"R
2
íÅ‚ Å‚Å‚
T
(R - R01) w = R - R0
Funkcja Lagrange a:
1
T
L = wTVw + º(R - R0 -(R - R01) w)
2
Warunek dostateczny i wystarczajÄ…cy ekstremum funkcji Lagrange a:
0 = Vw -º(R - R01)
35
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
(Ã , R):
W przestrzeni
R - R0
à = Ô! R = R0 + H Å"à (" R = R0 - H Å"Ã
H
(0, R0)o
Portfele minimalnego ryzyka to 2 półproste wychodzące z punktu
Ä… H
nachyleniu
R0.
Granica efektywna (efficient frontier) to portfele, które mają stopę zwrotu >
38
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Gdzie:
B
(
V-1(R - R01)= 1T V-1(R - R01)= B - AR0 = AëÅ‚ - R0 öÅ‚ = A Rg - R0 )
ìÅ‚ ÷Å‚
A
íÅ‚ Å‚Å‚
R0 `" Rg
Przypadek 1:
V-1(R - R01)
t =
B - AR0
t jest portfelem:
- minimalnego ryzyka º = 1/(B - AR0)
1Tt = 1
- spełniającym warunek tj. bez waloru bez ryzyka
40
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
H C - BR0
Rt = R0 + ºH = R0 + =
- o stopie zwrotu
B - AR0 B - AR0
- i wariancji
2
(Rt - R0) H
Ãt2 = = = º(Rt - R0)
2
H
(B - AR0)
Z faktu przynależności portfela t do zbioru minimalnego ryzyka wynika:
R0 1
t = ºV-1(R - R01)= -ºR0V-11 + ºV-1R = - V-11 + V-1R
B - AR0 B - AR0
41
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Portfele minimalnego ryzyka w poprzednim przypadku, tj. przy założeniu braku
waloru bez ryzyka, spełniały równanie
w" = V-11 + Å‚V-1R
Portfel t byłby zatem portfelem minimalnego ryzyka w poprzednim przypadku
(gdyby nie istniał waloru bez ryzyka), przy czym dla portfela t byłoby wtedy:
R0 1
 = - = -
B - AR0 , Å‚ B - AR0
Aby się przekonać gdzie na hiperboli ulokowany jest portfel t sprawdz
my własności
portfela z(t) o zerowej kowariancji z portfelem t:
Dla portfela z(t) zachodzi:
Ãt2 = Ãtz(t) + Å‚ (Rt)(Rt - Rz(t))
42
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Ãtz(t) = 0 Ô! Ãt2 = Å‚ (Rt)(Rt - Rz(t))
Jeżeli portfel t jest portfelem będącym punktem styczności zbioru minimalnego
ryzyka określonego z walorem bez ryzyka ze zbiorem minimalnego ryzyka
określonego bez waloru bez ryzyka, to musi zachodzić:
Rz(t) = R0
Co ma miejsce gdyż
1
º(Rt ) = Å‚ (Rt ) = -
Ãt2 = º(Rt) Å"(Rt - R0)
oraz
B - AR0
43
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Wniosek:
R0 `" R
" Jeżeli istnieje walor bez ryzyka taki, że g to zbiór minimalnego ryzyka
powstaje jako kombinacja:
o waloru bez ryzyka
o portfela będącego punktem styczności hiperboli (portfeli minimalnego ryzyka
R0
bez waloru bez ryzyka) i półprostej wychodzącej z punktu .
" Portfel będący punktem styczności to jedyny portfel nowego zbioru minimalnego
ryzyka (przy założeniu istnienia waloru bez ryzyka), który nie wymaga inwestycji
(pozycji długiej lub krótkiej) w walor bez ryzyka
R0 < Rg to Rt > Rg i granica efektywna wymaga zajęcia pozycji długiej lub
" Jeżeli
zerowej w portfelu będącym punktem styczności
R0 > Rg to Rt < Rg i portfel będący punktem styczności jest nieefektywny;
" Jeżeli
portfele efektywne wymagają zajęcia krótkiej pozycji w portfelu będącym punktem
styczności i długiej w portfelu bez ryzyka
44
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
R0 < Rg I inwestor podzieli inwestycję pomiędzy portfel bez ryzyka a portfel
" Jeżeli
1-Ä…,Ä…
Ä… > 0
będący punktem styczności w proporcji: przy czym to stopa zwrotu
z portfela i odchylenie standardowe wyniosÄ… odpowiednio:
R = R0 + (Rt - R0)Ä…
o
à = Ä…Ã
o
t
(Rt - R0)Ã
R = R0 +
o Co łącznie da równanie:
Ãt
45
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Przypadek 2
wynikający z możliwego położenia waloru bez ryzyka względem hiperboli:
B
(
V-1(R - R01)= 1T V-1(R - R01)= B - AR0 = AëÅ‚ - R0 öÅ‚ = A Rg - R0 )
ìÅ‚ ÷Å‚
A
íÅ‚ Å‚Å‚
R0 = Rg
Przypadek 2:
Wtedy
B
1T V-1(R - R01)= 1T V-1R - Rg1T V-11 = B - A = 0
A
46
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Portfel minimalnego ryzyka nie zawierajÄ…cy waloru bez ryzyka
z = V-1(R - R01)
ma w tym przypadku własność:
1T z = 0
co oznacza, iż suma wag walorów ryzykownych w portfelu wynosi 0 (pozycje
długie i krótkie się znoszą)
Zbiór portfeli minimalnego ryzyka powstaje wskutek złożenia długiej lub krótkiej
pozycji na portfelu z i zainwestowaniu w walor bez ryzyka
47
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Jeśli inwestor podzieli inwestycję pomiędzy portfel bez ryzyka a portfel z w
1-Ä…,Ä…
Ä… > 0
proporcji: przy czym to stopa zwrotu z portfela i odchylenie
standardowe wyniosÄ… odpowiednio:
RÄ…z = (1-1T(Ä…z))R0 + RT(Ä…z)= R0 +Ä…RTz
Gdzie
"
RTz = C - BR0 = > 0
A
Ä… > 0
Granica efektywna powstaje dla przy czym nie istnieje portfel styczny do
hiperboli. Półprosta reprezentująca granicę efektywną jest asymptodą hiperboli.
48
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Standardowa postać Modelu CAPM (istnieje walor bez ryzyka)
Założenia jak w modelu 0-beta CAPM
R0 < Rg
Przypadek 1:
" Każdy inwestor wybiera portfel efektywny, co oznacza długą (lub zerową)
pozycjÄ™ w portfelu t
" W stanie równowagi rynku popyt na portfel t musi się równać podaży portfela
t (oznaczonej jako m) tzn.: t = m
" m jest portfelem reprezentującym zagregowaną podaż walorów ryzykownych
zatem jest portfelem rynkowym (market portfolio)
" portfel rynkowy m jest zatem portfelem efektywnym
" Może istnieć zatem taki stan równowagi rynku
49
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
R0 > Rg
Przypadek 2:
" Inwestorzy będą zajmowali pozycję krótką (ewentualnie zerową) w portfelu
rynkowym i długą walorze bez ryzyka
" Zagregowany popyt w portfelu rynkowym wynosił będzie zatem  t
" Zagregowany popyt musi się w warunkach równowagi równać
zagregowanej podaży portfela rynkowego, która wynosi m
-1=1Tt =1Tm =1co jest sprzeczne!
" Zatem
" W tym przypadku nie może istnieć stan równowagi
R0 = Rg
Przypadek 3:
50
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
" Portfele inwestorów będą się składały z pozycji długiej w walorze bez ryzyka i
pozycji długiej w portfelu rynkowym z, przy czym dla każdego inwestora
suma wag w portfelu z wynosić będzie 0
" Zagregowany popyt na portfel rynkowy z wynosił będzie zatem 0
" Jest to sprzeczne z zasadą równości zagregowanego popytu i podaży na
portfel rynkowy
" Nie może istnieć zatem taki stan równowagi rynku
Standardowa postać modelu CAPM:
R0
Jeśli istnieje walor bez ryzyka o stopie zwrotu ,to oczekiwana stopa zwrotu z
dowolnego portfela p spełnia równanie
51
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Rp = R0 + ²pm (Rm - R0)
gdzie
Rm - R0 > 0
Sharpe (1964), Lintner (1965) and Mossin (1965)
Wnioski:
" Kryterium optymalizacji problem wyboru portfela tj. Poszukiwanie portfeli
efektywnych w przestrzeni: (oczekiwana stopa zwrotu, wariancja) (mean-variance
efficient) implikuje:
o twierdzenie o rozdzieleniu portfela
o liniową zależność między oczekiwanymi stopami zwrotu i kowariancjami dla
portfeli efektywnych
52
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
" Analiza równowagi rynku stwierdza jedynie, iż portfel rynkowy jest portfelem
efektywnym (mean-variance efficient)
" Równanie modelu CAPM można także zapisać następująco:
Rm - R0
Rp - R = Å" ² Ã
pm m
123 123
4 40
1Ã m 3
424
risk _ premium systematic _ risk
market _ price _ of _ risk
" Tylko ryzyko systematyczne (systematic risk) tj. ryzyko związane ze zmiennością
rynku jest premiowane w modelu CAPM w warunkach równowagi rynku, co
zobrazować można przy pomocy linii rynku papierów wartościowych (security
market line, SML)
53
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Rp
Rm
R0
²pm
1
54
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Wyznaczanie granicy efektywnej w sytuacji gdy istnieje walor wolny od ryzyka
Maksymalizowana jest funkcja
Rp - RF
¸ =
´
P
Gdzie:
Rp  stopa zwrotu z portfela P będącego punktem styczności granicy efektywnej bez
waloru wolnego od ryzyka z punktem RF,
RF  stopa zwrotu z waloru wolnego od ryzyka
´
- odchylenie standardowe portfela P
P
N
X = 1
" i
Przy warunku brzegowym:
i=1
55
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
Ponieważ
N
RF = 1Å" RF = X RF
" i
i=1
To funkcja celu przybiera postać
N
X (Ri - RF )
" i
i=1
¸ =
N N N
2
( X ´i2 + X X ´ij )1/ 2
" i "" i j
i=1 i=1 j=1
j`"i
RozwiÄ…zanie polega na policzeniu pochodnych czÄ…stkowych funkcji celu po
zmiennych Xi i przyrównaniu ich do zera  powstaje N równań liniowych:
d¸
= -(X1´1i + X ´ + ... + X1´i2 + ... + X ´ )+ Ri - RF = 0
2 2i N Ni
dX
i
56
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
RP - RF
 =
2
jest stałą
´P
Zk = X
Niech
k
1. Układ równań przybiera postać:
Å„Å‚ - RF = Z1´12 + Z2´12 + ... + ZN´1N
R1
ôÅ‚
2
R2 - RF = Z2´12 + Z2´2 + ... + Z ´2N
ôÅ‚
N
òÅ‚
ôÅ‚M
2
ôÅ‚R - RF = Z1´1N + Z2´1N + ... + Z ´
ół N N N
Zk
X =
k
Gdzie N
"Zi
i=1
57
dr J. Żarnowski, Teoria Inwestowania  materiały do wykładu  część II
2. Układ równań można także rozwiązać traktując RF jako parametr układu
Otrzymuje siÄ™ wtedy
Zk = C0k + C1k RF
3. Załóżmy, że obliczymy wartości Zk dla dwóch dowolnych wartości RF
Zk (R1F ) = C0k + C1kR1F
Zk (R2F ) = C0k + C1kR2F
Zk (R1F )R2F - Zk (R2F )R1F Zk (R2F ) - Zk (R1F )
0k 1k
Zatem C = , C =
R2F - R1F R2F - R1F
Zmieniając zatem wartość parametru RF otrzymujemy kolejne portfele efektywne.
58