Wykład 13. Klasyfikacja powierzchni stopnia drugiego w R3 .

Definicja 13.1.1. ( Zamiana układu współrz ędnych) Translacj ę (przesuni ęcie) w przestrzeni R3

określamy jako



′



x = x − x0





′

y = y − y0 ,



′





z = z − z0

gdzie x, y, z są współrz ędnymi dowolnego punktu P w pierwotnym układzie współrz ędnych ( sta-

′

′

′

′

rym), x , y , z są współrz ędnymi punktu P w przesuni ętym układzie współrz ędnych ( nowym), na-tomiast x0, y0, z0 są współrz ędnymi punktu P0

( pocz ˛

atku nowego układu współrz ędnych) okre-

ślonymi wzgl ędem pierwotnego układu współ-

rz ędnych Oxyz. ( rysunek)

Definicja 13.1.2. ( Obrót układu współrz ędnych) Mając dane cosinusy kierunkowe ( patrz: dygre-

′

′

′

sja w definicji 10.1.2. ) nowych osi Ox , Oy , Oz wzgl ędem osi pierwotnych Ox, Oy, Oz

′

′

′

Ox

Oy

Oz

Ox

cos α1

cos α2

cos α3

Oy

cos β1

cos β2

cos β3

Oz

cos γ1

cos γ2

cos γ3

otrzymujemy wzory na obrót układu współrz ędnych



′ =



x

x cos α1 + y cos β1 + z cos γ1





′

y = x cos α2 + y cos β2 + z cos γ2 .



′





z = x cos α3 + y cos β3 + z cos γ3

′

′

′

Dygresja: W przypadku obrotu układu Ox , Oy , Oz do układu Ox, Oy, Oz (czyli odwrotnie ni ż po-przednio) otrzymujemy



′

′

′

cos

cos

cos



x = x

α1 + y

α2 + z

α3





′

′

′

y = x cos β1 + y cos β2 + z cos β3 .



′

′

′





z = x cos γ1 + y cos γ2 + z cos γ3

Dygresja: Możemy jeszcze poda ć wyznacznik przekształcenia jako

cos α1 cos α2 cos α3

∆ = cos β1 cos β2 cos β3

cos γ

1

cos γ2 cos γ3

lub

cos α1 cos β1 cos γ1

∆ = cos α2 cos β2 cos γ2 ,

cos α

3

cos β3 cos γ3

który jest niezmiennikiem przekształcenia.

Definicja 13.1.3. Położenie dowolnego układu

′

′

′

współrz ędnych Ox , Oy , Oz wzgl ędem układu Ox, Oy, Oz mo żna określi ć za pomocą trzech kątów Eulera ( rysunek):

1. kąta nutacji θ zawartego mi ędzy dodatnimi

′

cz ęściami osi Oz i Oz (0 ≤ θ < π),

2. kąta precesji ψ zawartego mi ędzy dodatnią cz ęścią osi Ox i prostą l utworzoną przez

′

′

przesuni ęcie płaszczyzn Oxy i Ox y i jest liczony w kierunku od osi Ox do Oy

(0 ≤ ψ < 2π),

3. kąta obrotu właściwego φ, który zawarty jest

′

pomi ędzy osią Ox i prostą l i jest liczony w

′

′

kierunku od osi Ox do Oy (0 ≤ φ < 2π).

Dygresja: Kosinusy kierunkowe można wyzna-czy ć za pomocą kątów Eulera jako



cos α



1 = cos ψ cos φ − cos θ sin ψ sin φ



cos α2 = − cos ψ sin φ − cos θ sin ψ cos φ ,





cos α3 = sin θ sin ψ



cos β



1 = sin ψ cos φ + cos θ cos ψ sin φ



cos β2 = − sin ψ sin φ + cos θ cos ψ cos φ ,





cos β3 = − sin θ cos ψ



cos γ



1 = sin θ sin φ



cos γ2 = sin θ cos φ .





cos γ3 = cos θ

Definicja 13.1.4. Równanie ogólne powierzchni stopnia drugiego w R3 ma posta ć

a11x2 + a22y2 + a33z2+

+2a12xy + 2a23yz + 2a13zx+

2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0,

gdzie aij ∈ R (1 ≤ i ≤ 4, 1 ≤ j ≤ 4) są współ-

czynnikami powierzechni, przy czym a12 = a21, a13 = a31, a23 = a32, a14 = a41, a24 = a42, a34 = a43.

Twierdzenie 13.1.1. Nast ępujące wielkości a11 a12 a13 a14

a

∆ =

21

a22 a23 a24

,

a

31

a32 a33 a34

a

41

a42 a43 a44

a11 a12 a13

δ = a21 a22 a23 ,

a

31

a32 a33

S = a11 + a22 + a33,

T = a11a22 + a22a33 + a33a11 − a2

12 − a2

23 − a2

31

są niezmiennikami powierzchni stopnia drugiego.

Dygresja: Niezmienniki oznaczają takie wielko-

ści, które nie zmieniają si ę podczas zamiany (trans-lacji) układu współrz ędnych i przy obrocie układu współrz ędnych.

B ędziemy si ę zajmowa ć postaciami kanonicz-nymi wyróżnionych powierzchni stopnia drugiego.

Posta ´

c kanoniczna to taka posta ć, dla której równanie kanoniczne spełnia nast ępujące wa-runki:

1. początek układu współrz ędnych jest środ-kiem symetrii powierzchni,

2. osie układu współrz ędnych są osiami symetrii,

3. płaszczyzny współrz ędnych są płaszczyznami symetrii.

Równania kanoniczne wyróżnionych powierzchni: 1. kula

x2 + y2 + z2 = r2,

gdzie r jest promieniem kuli,

2. elipsoida

x2

y2

z2

+

+

= 1,

a2

b2

c2

gdzie a, b, c są półosiami elipsoidy,

3. hiperboloida jednopowłokowa

x2

y2

z2

+

−

= 1,

a2

b2

c2

gdzie a, b są półosiami rzeczywistymi, c jest półosią urojoną, oś Oz jest główną osią symetrii,

4. hiperboloida dwupowłokowa

x2

y2

z2

+

−

= −1,

a2

b2

c2

gdzie a, b są półosiami urojonymi, c jest pół-

osią rzeczywistą, oś Oz jest główną osią symetrii,

5. stożek

x2

y2

z2

+

−

= 0,

a2

b2

c2

oś Oz jest główną osią symetrii,

6. paraboloida eliptyczna

x2

y2

z =

+

a2

b2

7. paraboloida hiperboliczna

x2

y2

z =

−

a2

b2

8. walec eliptyczny

x2

y2

+

= 1,

a2

b2

9. walec hiperboliczny

x2

y2

−

= 1,

a2

b2

10. walec paraboliczny

y2 = 2px.

Literatura

• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.

• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-

stochowa 2001.

• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.

• Kiełbasi ński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.

• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.

• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ższej, PWN, Warszawa 1975.

• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.