13 FALE DŹWIĘKOWE (3 strony)

Rozchodzenie się fal dźwiękowych

Aby mogła w danym ośrodku (np. powietrzu) mogła powstać fala dźwiękowa musi w nim istnieć jakieś źródło fal, np poruszać się jakiś obiekt, który zapoczątkuje zburzenia. Jeżeli ruch tego obiektu jest dostatecznie szybki, to powoduje sprężanie powietrza. Gdy w pewnym miejscu gęstość cząsteczek jest większa niż w sąsiednim, cząsteczki poruszają się z obszaru o większej gęstości do obszaru o mniejszej gęstości, aż do wyrównania ciśnień. Aby mogła powstać fala dźwiękowa cząsteczki wybiegając z obszaru o większej gęstości i ciśnieniu muszą przekazywać pęd cząsteczkom znajdującym się w obszarze o mniejszej gęstości. Jest to możliwe jeżeli odstęp między grzbietem i doliną ciśnienia jest znacznie większy od średniej drogi swobodnej cząsteczek, czyli od odległości jaką przebywają cząsteczki zanim zderzą się z innymi cząsteczkami.

Aby możliwie uprościć rozważania będziemy zajmowali się falami w jednym wymiarze.

Opisujemy ruch powietrza przy pomocy funkcji χ (x,t) określającej przemieszczenie środka masy małego obszaru gazu ale nie dotyczącej zachowania pojedynczych cząsteczek.

Zjawiska fizyczne zachodzące w czasie propagacji fali dźwiękowej:

∆ χ

1. Ruch gazu wywołuje zmianę gęstości: ∆ ρ = − ρ

0 ∆ x

∂ χ

lub d ρ = − ρ

0 ∂ x

2. Zmianie gęstości odpowiada zmiana ciśnienia: ∆ P = Κ∆ ρ

∂2χ

P

∂

3. Nierównomierny rozkład ciśnienia wywołuje ruch gazu: ρ0

= −

t

∂ 2

x

∂

P

∂

∂

∂

=

( P + P

∆ ) =

( P

∆ )

0

x

∂

x

∂

x

∂

Po podstawieniu (1) do (2) a potem do (3) otrzymujemy:

2

2

∂ χ

∂ 

∂χ 

∂ χ

ρ

= −

 − K ⋅ ρ

 = ρ Κ

0

0

0

2

2

t

∂

x

∂ 

x

∂ 

x

∂

2

2

∂ χ

∂

=

χ

Κ

Κ

dP

=

∂

gdzie

t 2

∂ x 2

d ρ

po podstawieniu K=v2 otrzymuje się równanie ruchu falowego dla fal dźwiękowych rozchodzących się w powietrzu:

2

2

∂ χ

1 ∂

=

χ

∂ x 2

v 2 ∂ t 2

gdzie χ opisuje przemieszczanie środka masy pewnego małego obszaru z jego normalnego położenia równowagi. Takie samo równanie opisuje też zmiany ciśnienia oraz zmiany gęstości gazu. Rozwiązaniem równania falowego jest dowolna, dwukrotnie różniczkowalna funkcja argumentu (x-vt)

13/ 1

χ = f ( x − vt ) lub χ = g (ω t − kx ) gdzie k=ω /v

2

2

2

2

∂ χ

∂ χ

∂ χ

1 ∂ χ

W trzech wymiarach równanie falowe ma postać:

+

+

=

2

2

∂ x

∂ y

∂ z 2

v 2 ∂ t 2

χ = g(ω t − kx)

O rozwiązaniu

gdzie k jest wektorem falowym ( kx, ky, kz) o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem propagacji fali i o wartości danej równaniem

1

2

2

2

ω

k = ( k + k + k

2

=

x

y

z )

gdzie

v

Zjawisko Dopplera

Efektem typowym dla ruchu falowego jest efekt Dopplera. Zjawisko to polega na zależności częstości fal odbieranych przez odbiornik od prędkości źródła fal i odbiornika względem ośrodka w którym rozchodzi się fala. Rozważmy to zjawisko na przykładzie fal dźwiękowych. Niech dla uproszczenia źródło i obserwator poruszają się po tej samej prostej.

Możliwe są cztery przypadki:

• Gdy obserwator zbliża się od źródła:

Jeżeli

obserwator

porusza

się

w

stronę

nieruchomego źródła napotyka fale o nie

zmienionej długości.

λ = const.

które względem niego rozchodzą się z prędkością:

v' = c + v0 gdzie c-prędkość dźwięku

v′

c + v 0

Obserwowana częstość f’ wynosi więc: f ′ =

=

λ

λ

c

Podstawiając: λ =

f

c + v 0

′ =

otrzymujemy: f

f

c

• Gdy obserwator oddala się od źródła v’ = c – v, a obserwowana częstość wynosi c − v

f ′ = f

0

c

13/ 2

• Gdy źródło dźwięku się porusza to zmianie ulega długość fali a jej prędkość względem nieruchomego obserwatora pozostaje stała. Jeżeli źródło porusza się w kierunku obserwatora to kolejne fronty falowe wysyłane są z coraz mniejszej odległości. Zatem długość fal się zmniejsza.

λ ′ = λ − s z

v

s

= v T

z

=

z

z

f

v

c

c

v

z

λ ′ = λ −

z

=

−

f

f '

f

f

c

f ′ = f c − vz

c

•

′ =

Gdy źródło oddala się od obserwatora λ ' = λ + s

f

f

z i wówczas

c + v

z

Ogólnie

c + v cos

0

θ

f ′ = f

0

c + v cos θ

z

z

gdzie θ0 i θz są to kąty utworzone przez wektory prędkości odbiornika v0 i prędkości źródła vz z wektorem R łączącym odbiornik i źródło fal.

Elementy akustyki fizjologicznej

Słyszalne fale dźwiękowe są to fale o częstotliwościach od 16 do 20000 Hz. Fale te działają na organy słuchu człowieka powodując wrażenia słuchowe. Fale o częstotliwościach f ≤ 16

Hz nazywają się infradźwiękami lub poddźwiękami. Fale o częstotliwościach f ≥ 2·10-4 Hz nazywają się ultradźwiękami lub naddźwiękami.

Charakter wrażeń słuchowych zależy od widma częstotliwości dźwięku. Szumy mają ciągłe widmo częstotliwości z jakiegoś przedziału. Dźwięki muzyczne mają dyskretne widmo częstotliwości: f, 2f, 3f ...

Sinusoidalna fala dźwiękowa nazywa się tonem, wysokość tonu zależy od jego częstości, im większa częstość tym wyższy ton. Ton podstawowy złożonego dźwięku muzycznego to ton odpowiadający najmniejszej częstości f0. Barwa dźwięku zależy od tonów harmonicznych o częstościach 2f0, 3f0, ... występujących razem z tonem podstawowym.

Miarą wielkości wrażeń słuchowych jest poziom głośności. Poziom głośności zależy od częstości i ciśnienia akustycznego, jest on wielkością subiektywną, zależną od indywidualnych możliwości percepcji ucha ludzkiego. Wyraża się go w skali decybelowej w odniesieniu do poziomu progu słyszalności

p

p0 – próg słyszalności

L

2 k lg

e

=

k = 1 daje wynik w belach [B]

p

k = 10 daje wynik w decybelach [dB]

0

13/ 3