Liczby zespolone

2

j = −1

Liczby zespolone

Niech

C = { x + yj; x ∈ R, y ∈ }

R

Wprowadzamy w zbiorze C działania

dodawania (

⊕ ) i mnożenia ( ⋅ ):

(1) ( x + yj)⊕ ( x'+ y' j) = ( x + x') ⊕ ( y + y') j (2) ( x + yj)⋅( x'+ y' j) = ( xx'− yy') + ( xy'+ x' y) j dla dowolnych ( x + yj),( x +

' y' j)∈ C

Twierdzenie 1

Zbiór C z działaniami

⊕ i ⋅określonymi wzorami (1) i (2) oraz z

wyróżnionym elementem neutralnym dodawania i

neutralnym mnożenia jest ciałem.

Ciało to nazywamy ciałem liczb zespolonych.

Dowód polega na sprawdzeniu, że spełnione są aksjomaty teorii ciał.

-Przemienność i łączność dodawania wynika z przemienności i łączności dodawania liczb rzeczywistych.

-Elementem neutralnym dodawania jest 0+0 j.

-Elementem przeciwnym do

z

= x

+ y j jest

− z

= − x − yj .

(odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej)

UWAGA: Zamiast

⊕ będziemy pisać +.

- Przemienność i łączność mnożenia wynika przemienności i łączności mnożenia liczb rzeczywistych.

- Elementem neutralnym mnożenia jest 1+0 j.

- Elementem odwrotnym do z=x+ yj ≠ 0+0 j

−

−

1

x

y

jest

z

=

+

j

x 2 + y 2

x 2 + y 2

(student potrafi to udowodnić)

- Rozdzielność mnożenia względem dodawania wynika z rozdzielności mnożenia względem dodawania dla liczb rzeczywistych.

(dzielenie to mnożenie przez liczbę odwrotną)

Sposoby przedstawienia liczby zespolonej

z = x + yj

1. postać algebraiczna z = ( x, y) liczby rzeczywiste x

i y

nazywamy odpowiednio częścią

rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej z i oznaczamy: x = Re z

y = Im z

2. postać (interpretacja) geometryczna punkt płaszczyzny o odciętej x i rzędnej y, lub wektor [ x, y]

oś OX (części rzeczywistych) nazywamy osią rzeczywistą, oś OY (części urojonych) nazywamy osią urojoną, zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, reprezentujących liczby zespolone nazywamy płaszczyzną zespoloną.

3. postać trygonometryczna z = r(cosϕ + j sin ϕ ) , ( z ≠ 0) ozn

r =

x 2 + y 2 = z

nazywamy modułem liczby z

ϕ jest liczbą rzeczywistą spełniającą układ równań:



x

cosϕ =



r

sinϕ = y



r

Każdą liczbę ϕ spełniającą powyższy układ nazywamy argumentem liczby z i oznaczamy ar g z

Jeżeli argument ϕ ∈ ( ,

0 2π )

to nazywamy go argumentem głównym i oznaczamy Ar g z

jϕ

4. Postać wykładnicza z = re gdzie r jest modułem, a ϕ argumentem liczby z ϕ

Z rozwinięcia w szereg Taylora (Maclaurina) funkcji e , sin ϕ, cosϕ

(będzie w drugim semestrze)



2

4

6

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ





3

5

7

ϕ ϕ ϕ



e j = 1−

+

−

+ ... + jϕ −

+

−

+ ... =



!

2

!

4

!

6





!

3

!

5

!

7



= cosϕ + j sinϕ

i po przemnożeniu przez r mamy:

ϕ

re j

= r[cosϕ + j sinϕ]

jϕ

Z powyższego wynika, że funkcja e

jest

okresowa i ma okres równy π

2

Definicja

Liczbę

z = x − yj

nazywamy liczbą sprzężoną do z = x + yj Wnioski

2

z ⋅ z = z

z = z

Arg z = 2π − Arg z

± = ±

1

z

z 2

1

z

z 2

⋅

= ⋅

1

z

z 2

1

z

z 2

1

z

1

z

=

z 2

z 2

Interpretacja geometryczna dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb zespolonych

- dodawaniu dwóch liczb odpowiada dodawanie geometryczne wektorów reprezentujących te liczby

- odejmowaniu dwóch liczb odpowiada odejmowanie geometryczne wektorów reprezentujących te liczby

- mnożeniu dwóch liczb odpowiada mnożenie modułów tych liczb i dodawanie ich argumentów, to znaczy

⋅

=

⋅

=

+

1

z

z 2

1

z z 2 , arg( 1

z

z 2 ) arg 1

z

arg z 2

- dzieleniu dwóch liczb odpowiada dzielenie modułów tych liczb i odejmowanie ich argumentów, to znaczy





1

z

1

z

1

z

=

, arg

 = arg

−

1

z

arg z 2

z 2

z 2

 z 2 

Przykład

Przedstawić w postaciach 1- 4 następujące liczby zespolone: 1)

z = 1 − 3 j

1

2)

z = −5 − 5 j

2

3)

1

z + z 2 (tylko postaci 1,2)

4)

1

z − z 2 (tylko postaci 1,2)

5)

1

z ⋅ z 2

z

6)

1

z 2

POTĘGOWANIE LICZB ZESPOLONYCH

Twierdzenie 2 (wzór de Moivre’a (1667-1754)) Jeżeli

z = r[cosϕ + j sinϕ]

to dla dowolnego n ∈ N

z n = r n [cos( nϕ ) + j sin( nϕ )]

Dowód: indukcja względem n

1˚ (sprawdzenie dla n=1) Oczywiste jest, że wzór jest prawdziwy dla n=1

2˚ (założenie indukcyjne) Zakładamy, że

z n = r n [cos( nϕ ) + j sin( nϕ )]

3˚ (teza) Pokażemy, że

n 1

+

n 1

z

= +

r

[cos (( n + )1ϕ)+ j sin (( n + )1ϕ)]

dowód tezy:

n+

zal.i

nd.

1

z

= zn ⋅ z = rn[cos( ϕ

n ) + j sin( ϕ

n )]⋅ r[cosϕ + j sinϕ] =

= +

rn [

1 co (s ϕ

n )co ϕ

s + co (s ϕ

n ) j si ϕ

n + j si (

n ϕ

n )co ϕ

s + j si (

n ϕ

n ) j sin ]

ϕ =

= +1

rn

([co (s ϕ

n )co ϕ

s −si (

n ϕ

n )si ϕ

n ) + j(co (s ϕ

n )si ϕ

n +si (

n ϕ

n )co ϕ

s )] =

= +

r n [

1 cos ( n + )

1 ϕ ) + j sin ( n + )

1 ϕ )]

c.n.d.

Przykład

( 3 − j)7

Przedstawić w postaciach 1- 4 liczbę z = (− 2 − 2 j)5

Twierdzenie 3

Jeżeli

z = r[cosϕ + j sinϕ], z ≠ 0, n ∈ N

to istnieje n różnych pierwiastków n- tego stopnia z liczby z danych wzorem:



ϕ

π

ϕ

π

n

+ 2 k

+ 2 k 

zk = r cos

+ j sin

,







n

n



k = ,

0 ,

1 ,

2 ..., n −1

Dowód gimnastyczny ☺.

n

n

Uwaga: r, r są liczbami rzeczywistymi Przykład

4

6

3

Rozwiązać równania

z +16 = 0, x + 8

( − j) x − 8 j = 0