Nr zespołu
Imię i nazwisko
Punkty z przygotowania i
wykonania ćwiczenia
Kierunek
Tytuł ćwiczenia
Punkty ze sprawozdania i
Ćw. nr 1
końcowego testu
Wyznaczanie wartości przyśpieszenia ziemskie-
Grupa
Data wykonania
go metodą wahadła matematycznego.
Punktacja końcowa
1. Wiadomości wstępne
W poniższej tabeli należy udzielić zwięzłej odpowiedzi na trzy pytania wskazane przez Prowadzącego ćwiczenie. Treści pytań, odpowiadające podanym numerom, znajdują się na odwrocie arkusza.
Pytanie nr
Odpowiedź
……………..
……………..
……………..
1
Ćwiczenie 1. Wyznaczanie wartości przyśpieszenia ziemskiego metodą wahadła matematycznego
1. Co to jest przyśpieszenie? Jak definiujemy spadek swobodny?. Jak definiujemy przyśpieszenie ziemskie?
2. Jak wartość przyśpieszenie ziemskiego zależy od położenia na powierzchni Ziemi? Dlaczego tak jest?
3. Uzasadnij dlaczego przyśpieszenie ziemskie nie zależy od masy i kształtu spadającego ciała oraz materiału, z jakiego zbudowane jest to ciało.
4. Podaj definicję wahadła matematycznego. Jakie warunki muszą być spełnione, aby wahadło złożone z kulki na nici było dobrym przybliżeniem wahadła matematycznego?
5. Narysuj siły działające na kulkę i nitkę w wahadle prostym po wychyleniu wahadła z położenia równowagi. Opisz krótko ten rozkład sił. Która z sił jest odpowiedzialna za ruch okresowy kuleczki?
6. Kiedy powstaje ruch harmoniczny? Wymień cechy tego ruchu.
7. W jakich warunkach ruch wahadła matematycznego można z dobrym przybliżeniem uważać za ruch harmoniczny?
8. Podaj wzór na okres małych drgań wahadła matematycznego i wylicz z niego przyśpieszenie ziemskie. Na podstawie tego wzoru opisz krótko zastosowaną w ćwiczeniu metodę pomiaru.
2
2. Dane pomiarowe (wyniki pomiarów bezpośrednich) Okres drgań wahadła
Długość nici
Średnica kulki
długość nici
średnica kulki
L.p.
Czas t= 10 T [s]
L.p.
L.p.
h [cm]
d [mm]
1.
1.
1.
2.
2.
2.
3.
3.
3.
4.
4.
4.
5.
5.
5.
6.
6.
6.
7.
7.
7.
8.
8.
8.
9.
9.
9.
10.
10.
10.
Δ t [s]
Δ h [cm]
Δ d [mm]
Poniższe uwagi i wskazówki dotyczą typowych sytuacji. Jeśli w naszym przypadku jest inaczej niż opisano, to należy skonsultować się z osobą prowadzącą ćwiczenie.
Niepewność pomiaru okresu drgań wahadła
Zaleca się wykonać = 10 pomiarów czasu 10 pełnych drgań wahadła. Na ogół wyniki pomiarów będą wy-kazywały wyraźny rozrzut statystyczny. Uwzględnimy go licząc wkład do niepewności metodą A
∑
−
=
∙ − 1 .
Poza tym musimy uwzględnić wkład do niepewności pomiaru związany z dokładnością przyrządu pomiaro-wego. Jako Δ można przyjąć połowę najmniejszej działki stopera (zwykle ∙ 0,2 s = 0,1 s . Ten wkład do niepewności wyznaczymy metodą B przy następujących założeniach: a) Δ jest połową szerokości przedziału granicznego.
b) Rozkład gęstości prawdopodobieństwa na przedziale granicznym jest rozkładem prostokątnym.
Przy tych założeniach
= .
√
3
Niepewność pomiaru długości nici W przypadku liczby pomiarów mniejszej niż 5 lub jeśli liczba pomiarów wynosi co najmniej 5, ale pomiary wykazują bardzo mały rozrzut statystyczny niepewność pomiaru wyznaczymy metodą B. Jako Δℎ (połowa szerokości przedziału granicznego) możemy przyjąć różnicę między skrajnymi zmierzonymi wartościami, ale nie mniej niż 2 mm. Podczas liczenia niepewności metodą B zrobimy następujące założenia: a) Δℎ jest połową szerokości przedziału granicznego.
b) Rozkład gęstości prawdopodobieństwa na przedziale granicznym jest rozkładem trójkątnym.
Przy tych założeniach
ℎ = !.
√"
Niepewność pomiaru średnicy kulki
Niepewność pomiaru średnicy kulki za pomocą śruby mikrometrycznej lub suwmiarki ma zaniedbywalny wpływ na wynik końcowy pomiaru przyśpieszenia ziemskiego. Ponadto, na ogół pomiary nie wykazują roz-rzutu statystycznego. Dlatego wystarczy wykonać 2 lub 3 pomiary. Jeśli wyniki są powtarzalne, to niepewność pomiaru będzie związana jedynie z dokładnością przyrządu. Jako Δ# (połowa szerokości przedziału granicznego) możemy wówczas przyjąć połowę najmniejszej działki przyrządu, np. w przypadku suwmiarki o dokładności 0,05 mm, Δ# = ∙ 0,05 mm = 0,025 mm. Niepewność pomiaru zostanie wyznaczona metodą B
przy następujących założeniach:
a) Δ# jest połową szerokości przedziału granicznego b) rozkład gęstości prawdopodobieństwa na przedziale granicznym jest rozkładem trójkątnym.
Przy tych założeniach
# = &.
√"
4
3. Opracowanie danych pomiarowych dla pomiarów T, h, d, i l
Okres drgań waha-
Długość nici
Średnica kulki
Długość wahadła
dła
Średnia wartość
Średnia długość nici
Średnia średnica kulki
okresu
l [cm]
[s]
ℎ [cm]
#̅ [mm]
niepewność złożona
niepewność liczona
niepewność liczona
niepewność liczona
metodą A
metodą A
metodą A
u( l) [cm]
[s]
ℎ [cm]
# [mm]
niepewność względna
niepewność liczona
niepewność liczona
niepewność liczona me-
100·
metodą B
metodą B
todą B
u( l)/ l
[s]
ℎ [cm]
# [mm]
niepewność złożona
niepewność złożona
niepewność złożona
[s]
ℎ [cm]
# [mm]
niepewność procentowa
niepewność procentowa
niepewność procentowa
100· u( T)/ T
100· u( l)/ l
100· u( d)/ d
Wyniki pomiarów T, h, d i l
T =
h =
d =
l =
W typowych sytuacjach opisanych w poprzednim punkcie a)
ℎ = 0, czyli ℎ =
ℎ
b)
# = 0, czyli # =
#
Ponadto
a)
= (
+
b) * = ℎ + #
c)
* =
ℎ + +
# , ≅ ℎ
5
4. Opracowanie danych pomiarowych dla g
Przyspieszenie ziemskie
*
. = 40
1m s
⁄ 3
niepewność złożona
*
. = . ∙ 4 * 5 + 42
5 6m s2
⁄ 7
standardowa niepewność procentowa
.
100 · .
Wynik pomiaru
Wartość tablicowa przyśpieszenia ziemskiego
g
dla Krakowa
g=
9,8105 m/s2
Uwaga: w obliczeniach nie wystarczy przyjąć 0 ≈ 3,14. W przypadku obliczeń wykonywanych w Excelu sko-rzystaj z funkcji PI(). W innym przypadku przyjmij przybliżenie 0 ≈ 3.1416.
Wnioski
1. Porównaj otrzymaną wartość przyśpieszenia ziemskiego z wartością tablicową. Czy wyznaczony przez ciebie przedział zawiera tę wartość?
2. Oszacuj wkład do niepewności pomiaru przyśpieszenia ziemskiego pochodzący od a. niepewności pomiaru okresu drgań wahadła <. ∙= > b. niepewności pomiaru długości wahadła <. = ? >.
?
3. Jakie wnioski odnośnie ewentualnej poprawy dokładności pomiaru przyśpieszenia ziemskiego tą metodą nasuwają się po analizie przeprowadzonej w punkcie 2?
4. Oblicz różnicę pomiędzy okresem drgań harmonicznych wahadła w postaci kulki na nitce, a okresem drgań harmonicznych wahadła matematycznego (do obliczeń użyj zmierzonych wartości *, # i tablicowej wartości .)
*
1 #
*
*
1 #
Δ = 20 .41+ 10+*, 5− 20 . = 20 . ∙ @ 1 + 10+*, − 1A.
6
5. Oblicz różnicę pomiędzy okresem drgań wahadła matematycznego dla amplitudy θC = 0,15 rad ≈
8,5°, a okresem drgań harmonicznych wahadła matematycznego (do obliczeń użyj zmierzonej warto-
ści * i tablicowej wartości .)
*
1
θ
*
0 *
θ
Δ ≅ 20
C
C
. +1 + 4 sin 2 , − 20 . = 2 . ∙ sin 2 .
6. Jakie wnioski można wyciągnąć na podstawie analizy przeprowadzonej w punktach 4 i 5?
a. czy zaniedbanie obu efektów, czyli użycie wzoru przybliżonego na okres drgań wahadła, po-prawnego tylko w przypadku drgań harmonicznych wahadła matematycznego jest w naszym przypadku dozwolone?
b. który z obu efektów ma w naszym przypadku większy wpływ na wynik pomiaru wartości przyśpieszenia ziemskiego?
7