TWIERDZENIE BETTIEGO (o wzajemności prac)

TWIERDZENIE MAXWELLA (o wzajemności przemieszczeń)

TWIERDZENIE RAYLEIGHA (o wzajemności reakcji)

Niech na dowolny układ ramowy statycznie wyznaczalny lub

Rozpatrzmy dowolny układ statycznie wyznaczalny lub

Ciało odkształcalne przedstawione na rysunku:

niewyznaczalny, ale o

niewyznaczalny. Załóżmy

niepodatnych podporach i przy braku naprężeń termicznych,

obciążenia:

działa układ sił i

Pierwszy typ obciążenia: Niech na układ działa siła

momentów skupionych. Obciążenia te rozdzielić można, w

jednostkowa Pk=1, skierowana w

sposób dowolny, na dwie

kierunku przesunięcia δki. Drugi typ obciążenia: Na układ grupy, z których jedną nazwiemy układem sił Pi a drugą

działa siła jednostkowa

układem sił Pk (przez „siły”

Pi=1, skierowana w kierunku przesunięcia δik.

rozumieć należy zarówno siły uogólnione).

Załóżmy, że podpory nie osiadają, a temperatura nie zmienia

Sytuacja pierwsza A: Najpierw przykładamy siłę Pi, a

się, tak że mamy do

następnie siłę Pk.

czynienia wyłącznie z naprężeniami wywołanymi obciążeniem

Obkaśnienia:

zewnętrznym. Między

Punkt i - zestaw punktów poddany obserwacjom,

przesunięciami δik i δki zachodzi szczególny związek.

Pi - układ sił (moment, siła skupiona itd.) działających na

Przykłąd 1:

punkt i,

∆jn - przemieszczenie punktu j wywołane przyczyną w pkt n,

Zakładamy

ogólny

przypadek

konstrukcji

statycznie

∆jn - przemieszczenie punktu j wywołane jednostkową

niewyznaczalnej. Przypuśćmy

przyczyną w pkt n,

wymuszenie kinematyczne ui po kierunku podpory „i” (rys 1).

Następnie założymy

wymuszenie kinematyczne uk po kierunku podpory k (rys 2).

Przemieszczenia podpór

przyjmijmy za jednostkowe. Zgodnie z twierdzeniem Bettiego można

zapisać pracę

pierwszego układu :

Przemieszczenia można przyjąć jako jednostowe:

Do danej belki przykładamy jednostkowe obciążenia; w punkcie

„i” jednostkową siłę

Pi=1 a w punkcie „k” jednostkowy moment Mk=1. korzystając z

Obkaśnienia:

wyżej przedstawionego

twierdzenia Bettiego można zapisać zależność:

Punkt i - zestaw punktów poddany obserwacjom,

Pi - układ sił (moment, siła skupiona itd.) działających na

Podstawiając przyjęte przemieszczenia do wzoru (6.7) otrzymamy:

punkt i,

∆jn - przemieszczenie punktu j wywołane przyczyną w pkt n,

∆jn - przemieszczenie punktu j wywołane jednostkową

przyczyną w pkt n,

Warto zauważyć, że kąt obrotu na którym pracuje moment to

nic innego jak ∆ki.

Najpierw przykładamy grupę sił Pi a następnie do tego stanu

Przyjmując, że układy sił obciążających są jednostkowe,

wprowadzamy grupę sił Pk.

przemieszczenia zapisujemy

Zgodnie z przyjętą konwencją reakcje od jednostkowych

Praca sił zewnętrznych w sytuacji A:

następująco:

przemieszczeń zapisujemy

małą literą podobnie jak przemieszczenia od jednostkowych reakcji.

Twierdzenie:

Reakcja uogólniona rik odpowiadająca i-temu przemieszczeniu

uogólnionemu a wywołana jednostkowym przemieszczeniem uk=1

k-tego

Wykorzystując powyższe założenia otrzymamy:

więzu, równa jest uogólnionej reakcji rki odpowiadającej u-temu

przemieszczeniu uogólnionemu w wywołanej jednostkowym

przemieszczeniem ui i-tego więzu.

TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI PRZEMIESZCZEŃ REAKCJI

Niech na dowolny układ ramowy statycznie wyznaczalny lub

Sytuacja druga B: Najpierw przykładamy siłę Pk, a następnie

niewyznaczalny, przy

siłę Pi

braku naprężeń termicznych, działa najpierw układ sił Pi. Zapiszemy

Przykład 2:

pracę tego układu

Do kratownicy przyłożono siłę jednostkową w puncie 1, która

jako L(z)1. Następnie załóżmy podatność jednej podpór np. kąta

wywołała

obrotu i zapiszmy jego

przemieszczenie w punkcie 2. Następnie do tej samej

pracę jako L(z)2.

kratownicy przyłożono siłę

jednostkową w puncie 2, która wywołała przemieszczenie

punktu 1. Zgodnie z

powyższym twierdzeniem przemieszczenia punktu 1 i 2 są

sobie równe.

Siły przykładamy podobnie jak w poprzednim wypadku z tą

różnicą, że najpierw

przykładamy grupę sił Pk, a następnie do tego stanu

wprowadzamy grupę sił Pi. Praca sił

zewnętrznych od sytuacji B:

Twierdzenie:

Przemieszczenie uogólnione δik odpowiadające i-tej sile

linia A=linia B

uogólnionej i

Zgodnie z zasadą superpozycji oraz faktem, że wartość pracy

wywołane działaniem jednostkowej siły uogólnionej Pk=1 jest

Zgodnie z zasadą superpozycji oraz faktem, że wartość pracy nie

nie zależy od historii

równe

zależy od kolejności

(kolejności działania przyczyn) obciążeń można zapisać:

przemieszczeniu δki odpowiadającemu k-tej sile uogólnionej i

działań przyczyn praca jednego układu i drugiego są sobie równe:

wywołanemu działaniem jednostkowej siły uogólnionej Pi.

Przyjmujemy, że siła i przemieszczenie są jednostkowe:

Twierdzenie:

Jeżeli na ustrój sprężysty działają dwa niezależne układy

obciążeń, spełniające

równania równowagi to: układ sił Pi wykonuje na

przemieszczeniach

wywołanych układem sił Pk taką samą pracę jak siły Pk na

Wykorzystując zależności (6.11) i (6.12) otrzymujemy:

przemieszczeniach

spowodowanych układem sił Pi.

Twierdzenie:

Jeżeli na ustrój sprężysty w punkcie i działa układ sił Pi=1 wywołuje

w

punkcie k reacje i niezależnie od tego jeśli uogólnione

przemieszczenie

∆k podpory k-tej towarzyszy pojawienie się w punkcie i

przemieszczenia

δik to rzut reakcji rki na kierunek przemieszczenia ∆ik jest równy rzutowi

przemieszczenia ∆ik na kierunek uogólnionej siły Pi z przeciwnym

znakiem.

RÓWNANIE PRACY WIRTUALNEJ

2.2. Interpretacja

Pierwsze twierdzenie redukcyjne

1.1. Twierdzenie

Dotychczas korzystaliśmy z twierdzenia, że siły zewnętrzne

W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie

Jeżeli na układ działa obciążenie rzeczywiste spełniające

wykonywały

statycznie

(warunki równowagi),

pracę na wirtualnych przemieszczeniach. Teraz zróbmy

niewyznaczalnym, wystarczy rozwiązać układ ten od obciążenia

to obciążenie zewnętrzne wykonuje na przemieszczeniu

odwrotnie tzn. stwórzmy

rzeczywistego, zaś wirtualny stan obciążeń określić dla dowolnego

wirtualnym pracę

rzeczywisty model układu (Rys.2.2.1.), a następnie obciążmy go

układu podstawowego statycznie wyznaczalnego.

równą pracy uogólnionych sił przekrojowych na wirtualnych

siłami wirtualnymi

Dowód tego twierdzenia jest następujący (przytoczymy go

odkształceniach

(pomyślanymi)

(Rys.2.2.2.)

i

obliczmy

rzeczywiste

uwzględniając

(na wirtualnych przemieszczeniach wewnętrznych).

przemieszczenia naszego

w

obliczeniach

przemieszczeń

jedynie

wpływ

momentów

1.2. Interpretacja

układu prętowego. Musimy przy tym zaznaczyć, że wirtualne

zginających):

Przyjmujemy dowolny układ pozostający w równowadze

obciążenie spełnia

warunki statycznej dopuszczalności, jest niezależne od

obciążeń

zewnętrznych rzeczywistych i czasu, a zarazem jest

obciążeniem stosunkowo

małym oraz ciągłym (przynajmniej raz różniczkowalnym).

Zgodnie z zasadą superpozycji mamy:

Rys.1.2.1. Rzeczywisty model układu prętowego, obciążony

rzeczywistymi siłami

p( x) pod wpływem, których doznaje przemieszczeń

Iloczyn w wyrażeniu podcałkowym (dla uproszczenia zapisu

pominięto

mianownik EJ) możemy przedstawić jako:

Rys. 2.2.1. Rzeczywisty model układu prętowego, obciążony

rzeczywistymi siłami

p( x) pod wpływem, których doznaje przemieszczeń

Rys.1.2.2.

Ten

sam

układ

ale

z

wymuszonym

przemieszczeniem wirtualnym ) ( x u

(kinematycznie dopuszczalnym)

Rys. 2.2.2. Ten sam układ, ale obciążony siłą wirtualną ) ( x P

pod wpływem, której

doznaje przemieszczeń wirtualnym ) ( x u

z L - praca wszystkich rzeczywistych sił czynnych

obciążających układ oraz

biernych pracujących na przemieszczeniach wirtualnych

(wymuszonych

kinematycznie)

W L - praca wszystkich sił wewnętrznych rzeczywistych na

L - praca sił wirtualnych pracujących na rzeczywistych

odkształceniach

przemieszczeniach

wirtualnych

(na

wirtualnych

przemieszczeniach

(tzn. wytworzonych przez rzeczywiste obciążenia zewnętrzne)

wewnętrznych)

W L - praca wszystkich wirtualnych sił wewnętrznych

pracujących na rzeczywistych

odkształceniach

2.1. Twierdzenie 2

Jeżeli na układ działa dowolne zewnętrzne obciążenie

wirtualne,

spełniające warunki równowagi to wykonuje ono pracę na

rzeczywistych

przemieszczeniach

(wywołanych

przez

rzeczywiste

obciążenie zewnętrzne)

równą pracy wirtualnych sił przekrojowych na rzeczywistych

gdzie:

odkształceniach

(na rzeczywistych przemieszczeniach wewnętrznych).

- całkowita praca wirtualnych sił biernych

(reakcji) na

przemieszczeniach (osiadaniach) rzeczywistych

Na mocy równań kanonicznych metody sił, wartości w nawiasach są

równe zeru.

Ostatecznie twierdzenie to przyjmie postać:

-

całkowita

praca

wirtualnych obciążeń na rzeczywistych

przemieszczeniach

N(x) - funkcja sił normalnych wywołana od obciążenia

zewnętrznego

(rzeczywistego)

N(x) - funkcja sił normalnych wywołana od obciążenia

Uogólnienie relacji (3.5.5) na przypadek, w którym uwzględnia się wirtualnego

wpływ

T(x) - funkcja sił poprzecznych wywołana od obciążenia

wszystkich przyczyn na przemieszczenia nie nastręcza żadnych

zewnętrznego (rzeczywistego)

trudności.

T(x) - funkcja sił poprzecznych wywołana od obciążenia

wirtualnego

M(x)

-

funkcja

momentów

wywołana

od

obciążenia

zewnętrznego

(rzeczywistego)

M(x) - funkcja momentów wywołana od obciążenia wirtualnego

Drugie twierdzenie redukcyjne

W celu obliczenia dowolnego przemieszczenia w układzie

statycznie

niewyznaczalnym, wystarczy rozwiązać układ ten od obciążenia

wirtualnego, zaś rzeczywisty stan obciążeń określić dla dowolnego

układu podstawowego statycznie wyznaczalnego.

Dowód tego twierdzenia jest analogiczny jak przy twierdzeniu

pierwszym

z tym, że w grupowaniu wyrażeń przed nawiasami występują

czynniki

Xk.

Ostatecznie twierdzenie to przyjmie postać:

Warto zaznaczyć, że sprawdzeń kinematycznych jest bardzo

dużo, gdyż

możemy

przyjąć

wiele

różnych

układów

podstawowych.

Reasumując,

kontrole kinematyczną najlepiej przeprowadzać na innym układzie

podstawowym niż przy liczeniu niewiadomych, ponieważ efektem

tego

sprawdzenia

byłoby

wykazanie

poprawności

równania

kanonicznego.

SPOSÓB WERESZCZEGINA-MOHRA OBLICZANIA CAŁEK

Zauważmy, że w równaniu (1.16) występują całki z iloczynu dwóch

funkcji

(np. M M p). W przypadku, gdy obie są ciągłe, a jedna z nich jest liniowa w

określonym przedziale, to całkę z ich iloczynu można obliczyć w

prosty sposób,

korzystając z wykresów tych funkcji.

Słuszne jest twierdzenie:

Jeśli w pewnym przedziale określone są dwie różne funkcje

ciągłe, z których co najmniej jedna jest liniowa, to całka z ich iloczynu równa jest iloczynowi pola wykresu funkcji krzywoliniowej

przez rzędną wykresu liniowego występującą pod środkiem

ciężkości wykresu krzywoliniowego. Niech F(x) jest funkcją krzywoliniową, zaś  (x) liniową. Wówczas:

Dowód: zgodnie z tw.(2.1) możemy zapisać:

stąd po podstawieniu do wzoru (2.2) otrzymujemy:

So - to moment statyczny pola Ωwzględem punkty 0.

Wróćmy do przykładu z wcześniejszego wykładu, gdzie

obliczaliśmy

przemieszczenie pionowe punktu A belki jak na poniższym

rysunku (rys.2.2a).

Otrzymaliśmy, że uA (przemieszczenie) wynosi:

Można je wyznaczyć w znacznie prostszy

sposób!

Wykreślmy wykresy momentów dla naszej

belki przy obciążeniu równym q (rys.2.2a)oraz przy

obciążeniu siłą wirtualną równą 1(rys.2.2b). Jeżeli

Cto rzędna funkcji liniowej odpowiadająca

położeniu środka ciężkości C pola wykresu

gdzie:

Otrzymany wynik jest identyczny z wynikiem całkowania.