TOK POSTĘPOWANIA
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
1)Dyskretyzacja – podział układu na skończoną PODANYCH WIELKOŚCI δ
δ
DEFINICJA MZCIERZY SZTYWNO
ik , ip
ŚCI
liczbę elementów a) ciała 3D dzielimy
δ
ELEMENTU BELKOWEGO MES-u
ik – przemieszczenie punktu pod obc.
powierzchniami b) ciała 2D dzielimy liniami jednostkowym x
Istotą MES-u jest podział złożonego układu na k =1
c)ciała 1D dzielimy punktami
δ
skończoną liczbę elementów oraz analiza
ik = ∫(MiMk/EJ + NiNk/EA + k*TiTk/GA)ds.
2)Utworzenie globalnego układu współrzędnych dla δ
pojedynczego elementu,którego zachowanie
i1*x1 +δi2*x2 +.....+ δik*xk +δin*xn + δip = 0
danego układu
suma przemieszczeń na kierunku „i” wywołana określone jest przez skończoną liczbę parametrów a 3)Lokalny układ współrzędnych dla poszczególnych działaniem sił jednostkowych x
następnie ponowne “złożenie” wszystkich
1,x2,...xk = 1
elementów
δ
elementów celem badania reakcji.
ik – przemieszczenie wywołane siłą zewnętrzną 4)Obliczenie macierzy sztywności [Ke] oraz wektora (przemieszczenie punktu „i”)
1. dyskretyzacja układu-podział danego ciała na obciążeń węzłów [R] dla układów lokalnych
δ
zbiur elementów skończonych połączonych węzłami ip = ∫(MiMp/EJ + NiNp/EA + k*TiTp/GA)ds.
5)Transformacja powyższych wielkości dla układu 2. wprowadzenie globalnego układu współ
żędnych i
globalnego {Re}= [θT] [Re]
układów lokalnych
KLASY UKŁADÓW STATYCZNIE
[Ke] = [θT] [Ke] [θ]
3. oznaczenie współrzędnych węzłowych
WYZNACZALNYCH – SPOSOBY ICH
6)Podbloki macierzy [Ke] – łączone w globalne 4. zestawienie w tabeli danych geometrycznych i ROZWIĄZANIA
macierze sztywności [K]
w
Układy statycznie wyznaczalne
ęzłów (cosinusów kierunkowych) w lokalnych
7)Podbloki wektora {Re} dodajemy w miejsce
układach K*U=R
1)
Belki-
odpowiednich współrzędnych węzłowych k(i,j) K-macierz sztywno
o osi prostej
ści układu
będących węzłami układu, dodajemy wektory
R-uogólniony wektor-suma sił masowych
o osi zakrzywionej
obciążeń węzłów R = ∑Re
k
p + P
o osi załamanej
11 k12 ...... k1n
ci
k
ągłe gerberowskie
21 k22 ...... k2n
DEFINICJA WSPÓŁRZĘDNYCH k
K= ..........................
ij
2)
Ramy-
MACIERZY ELEMENTU DLA RAMY PŁ.
rama trójprzegubowa
kn1 kn2 ...... knn
k
ij – współczynnik macierzy elementu dla ramy łuk
płaskiej oznacza (uogólnioną) reakcję więzi „i”
3)
Kratownice
SPOSÓB BADANIA PRZESÓWNOŚCI I
układu podstawowego spowodowaną jednostkowym 4)
Układy zło
NIEPRZESÓWNOŚCI UKŁADÓW
żone
przemieszczeniem w kierunku więzi „j” gdzie i,j =
typu ramowego
RAMOWYCH W UPROSZCZONEJ
1,2,.....n
ramowo – kratowe
METODZIE PRZEMIESZCZEŃ
Na podstawie twierdzenia o wzajemności prac Układy statycznie wyznaczalne to takie w których Bettiego wykazuje się twierdzenie o wzajemności przy zadanych obc. Wszystkie reakcje sił wew.
reakcji, czyli symetrię macierzy sztywności k ij = kji
można wyznaczyć z warunków równowagi.Jeśli tak Równania kanoniczne :
nie jest nazywamy układ geometrycznie
K
11*Y1 + K12*Y2 +.....+ K1n*Yn + R1p + R1t + R1∆ =0
niewyznaczalnym.Stopień geom.Niewyznaczalności
..
.
n
.
g = k + t k – liczba węzłów swobodnych ; K
n1*Y1 + Kn2*Y2 +.....+ Knn*Yn + Rnp + Rnt + Rn∆ =0
t- liczba niezależnych przesunięć.
Przesówno
ść lub nieprzesówność układu określamy
RÓWNANIA PRACY WIRTUALNEJ
na podstawie analizy kinematycznej. W tym celu (Równania stanu obciąż. ; wirtualnego stanu zamieniamy wszystkie w
ęzły (także podporowe) na
przemieszczenia)
przeguby.
Pracą wirtualną nazywamy prace wykonaną przez a) Układ przegubowy ,geometrycznie niezmienny, uogólnione siły na odpowiednich przemieszczeniach nieprzesówny t = 0 ; n
g = k
wirtualnych. Podczas jej wykonywania uogólnione siły nie ulegają zmianie dlatego praca wirtualna wyraża się iloczynem sił uogólnionych i
odpowiadaj
SCHEMAT DO METODY SIŁ
ących im prac wirtualnych. W = P*∆
∑
1. stopień geometrycznej niewyznaczalności P
b) Układ jest chwiejny(geom. zmienny) n
i yi (s) = ∫ (M∆dϕ + N∆ds + T∆dh)ds
g = k + t
n = r
Praca obciążeń zewnętrznych na wirtualnych
n
p + 3z – p – 3
s = rp + 3z – (3 + p)
2. modyfikacja układu do geometrycznie przemieszczeniach równa jest pracy sił
wyznaczalnego z siłą X
wewnętrznych na wirtualnych odkształceniach n
1 (zastępujemy nadliczbową
s>0 – układ geom.
reakcję siłą X
1δ
niezmienny(chwilowo
1)
ip = ∫(MiMp/EJ + NiNp/EA + k*TiTp/GA)ds.
3.obliczamy układ tylko z obciążeniami
dla układu kratowego
zmienny)
zewnętrznymi(reakcje ; wykresy momentów M
1δ
n
p)
1p = ∑ (zkzk/EkAk)*lk
s=0 – układ niezmienny
4. obliczamy układ tylko z obciążeniem
z
n
k , zk – siły w pręcie k
s<0 – układ chwiejny
jednostkowym z X
l
1 = 1 (reakcje ; wykresy
k – długość pręta
momentów M
KONCEPJA METODY PRZEMIESZCZEŃ
1)
5. Równanie kanoniczne
STOPIEŃ STATYCZNEJ
(PEŁNEJ I UPROSZCZONEJ) – Dlaczego w
δ
NIEWYZNACZALNOŚCI UKŁADU
metodzie uproszczonej wyróżniamy układy 11 * X1 + δ1p = 0
δ
n = r
przesówne i nieprzesówne
11-przemnożenie M1*M1
p + 3z – (3 + p)
δ
r
Metoda przemieszczeń jest drugą (obok metody sił) 1p-przemnożenie M1*Mp
p - liczba reakcji podporowych
wyliczenie reakcji X
z – liczba układów zamkniętych
metodą rozwiązywania układów prętowych w
1
6. obliczamy układ z wszyskimi obci
p – liczba przegubów
statyce budowli. Jest szczególnie korzystna dla ążeniami
Schemat obliczeniowy nazywamy statycznie
układów zbudowanych z prętów prostoliniowych. W
zewnętrzne + wyliczone X1
(reakcje ; wykresy M T N)
wyznaczalnym wtedy gdy będziemy wstanie
metodzie przemieszczeń rozpatrujemy każdy układ wyznaczyć siły wewnętrzne i reakcje w układzie na prętowy jako zbiór prętów i węzłów.
podstawie równa
ń równowagi
W metodzie pełnej
∑
X = 0
– Dla “r” węzłów swobodnych można napisać 3r
∑
Y = 0
równań równowagi
Kij –siła na kierunku współrz
∑
– W miejsce sił przywęzłowych wstawiamy wzory ędnej uogólnionej „i”,
M = 0
transformacyjne i otrzymujemy 3r równa
spowodowana jednostkowym przemieszczeniem na ń
liniowych, w których wystąpi 3r nieznanych
kierunku współrzędnej uogólnionej „j”. Podczas gdy RÓWNANIA 3 MOMENTÓW DLA BELKI
składowych przemieszczeń
pozostałe przemieszczenia są równe 0
CIĄGŁEJ
– Po rozwi
x
ązaniu otrzymamy niewiadome
k – 1lk’ + 2xn(lk’ + l’k + 1 ) + xk + 1l’k + 1 = Nkp gometryczne u,v,ϕ pozwala to na wyznaczenie sił
Rusztem płaskim nazywamy układ połączony z lk’ = lk (Jc/Jk) ; Nkp = - 6EJc*(ϕ l1p + ϕ pip) krzyżujących się belek leżących w jednej
Lini
Metoda uproszczona
ą wpływową wielkości „k” (reakcji lub siły
płaszczyźnie. Obciążenie rusztu skierowane jest wewn
– Traktujemy pręty jako nieściśliwe (pomijamy ętrznej) nazywamy obraz graficzny zmiany tej prostopadle do płaszczyzny rusztu. Końce belek wielko
wpływ sił normalnych na odkształcenia)
ści w zależności od położenia siły
– Pomijamy zmian
mogą być wolno podparte albo utwierdzone zupełnie jednostkowej.
ę odległości między końcami
pr
lub sprężyście .
Ka
ęta powodowane jego zakszywieniem
żda rzędna linii wpływu wskazuje na wartości i j
reakcji lub siły wew. Która powstaje gdy nad tą Ns= r+w-2b
rzędną znajduje się siła jednostkowa.
i , ∆l, j
– Wówczas przesunięcia pionowe vi można przyjąć róne 0 a przesunięcia poziome ui przyjąć można jako jednakowe.
– Ostatecznie niewiadomymi są tylko kąty obrotu ϕ
– Stopień geometrycznej niewyznaczalności n =k + t k – liczba węzłów swobodnych
t – liczba niezależnych przesunięć
Wprowadzenie założeń upraszczających do metody przemmieszczeń powoduje podział układów na: a) przesówne – niewiadomymi są kąty obrotu ϕ i niezależne przesunięcia u
b) nieprzesówne – niewiadomymi są jedynie kąty obrotu ϕ
OFFENDING COMMAND: --nostringval--
STACK:
/Title
()
/Subject
(D:20090215234816)
/ModDate
()
/Keywords
(PDFCreator Version 0.8.0)
/Creator
(D:20090215234816)
/CreationDate
(Damian)
/Author
-mark-