Izometrie (cd.)
Zadanie 3.1 Niech (G, ) będzie grupą. Lewą translacją w grupie (G, ) o element h 2 G
nazywamy odwzorowanie
lh : G ! G, lh (g) = h g.
Pokazać, że każda lewa translacja jest bijekcją a zbiór wszystkich lewych translacji LG = flh : G ! G : h 2 Gg
jest podgrupą grupy symetrycznej SG (SG—grupa bijekcji zbioru G) izomorficzną z grupą (G, ).
Podobnie, definiujemy grupę prawych translacji
RG = frh : G ! G : 9h 2 G 8g 2 G rh (g) = g hg
SG.
Pokazać, że RG = (G, ).
Zadanie 3.2 Biorąc grupę (Rn, +) wywnioskować z poprzedniego zadania, że zbiór wszystkich translacji w Rn o element z Rn jest grupą.
Zadanie 3.3 Pokazać, że zbiór wszystkich obrotów w R2 wraz ze składaniem odwzorowa ń jest podgrupą grupy symetrycznej zbioru R2 izomorficzną ze specjalną grupą ortogonalną n
o
SO (2) =
A 2 M (2, R) : AAT = I2, det A = 1
(z mnożeniem macierzy jako działaniem). Pokazać, że
cos
SO (2) =
θ
sin θ
2 M (2, R) : 0
sin
θ < 2 π
θ
cos θ
a b
=
2 M (2, R) : a2 + b2 = 1 = c2 + d2 = ad
bc, ac + bd = 0 .
c d
Zadanie 3.4
Znaleźć grupę izometrii prostokąta na płaszczyźnie.
Zadanie 3.5
Znaleźć grupę izometrii trójkąta równobocznego (grupę izometrii płaszczyzny przekształcających trójkąt równoboczny na siebie).
Zadanie 3.6 Które z poniższych odwzorowa ń są izometriami?
1
(a) f : R3 ! R3, f (x1, x2, x3) = 1 (2x 9
1 + 2x2
x3, 2x1 + 2x3
x1, 2x2 + 2x3
x3), gdzie
R3 jest ze standardowym iloczynem skalarnym;
(b) f : Rn ! Rn, f (x1, x2, . . . , xn) = (xn, xn 1, . . . , x2, x1), gdzie Rn jest ze standardowym iloczynem skalarnym;
(c) f : C ! C, f (z) = z, gdzie iloczynem skalarnym w C jest odwzorowanie ( j ) : C C ! C, (zjw) = Re (zw) dla z, w 2 C; a b
c d
(d) f : M (2, R)
! M (2, R), f
=
, gdzie iloczynem skalarnym w
c d
b a
M (2, R) jest odwzorowanie ( j ) : M (2, R) M (2, R) ! R, (AjB) = tr ABT .
Zadanie 3.7 Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową wymiaru n z iloczynem skalarnym ( j ) oraz niech T : V ! V będzie taką funkcją (nie zakładamy liniowości odwzorowania T), że T (0) = 0 oraz jjT (v)
T (w)jj = jjv
wjj dla wszystkich v, w 2 V.
(a) Pokazać, że jjT (v)jj = jjvjj dla każdego v 2 V.
(b) Pokazać, że (T (v) jT (w)) = (vjw) dla wszystkich v, w 2 V.
(c) Jeżeli fe1, . . . , eng jest ortonormaln ą1 baząprzestrzeni wektorowej V, to fT (e1) , . . . , T (en)g jest również ortonormalną bazą V.
(d) Wywnioskować, że T jest odwzorowaniem liniowym i T jest izometrią.
Wskazówka: W (c) wykorzystać twierdzenie Pitagorasa. W dowodzie (d) wykorzystać (b) do pokazania, że (T (rv)
rT (v) jT (w)) = 0 oraz (T (v + u)
T (v)
T (u) jT (w)) =
0 dla dowolnych v, w, u 2 V oraz r 2 R i u żyć (c) oraz niezdegenerowanie iloczynu skalarnego—tj. f ν 2 V : 8w 2 V (vjw) = 0g = f0g.
Zadanie 3.8 Niech V będzie przestrzenią wektorową z iloczynem skalarnym ( j ). Mówimy, że f : V ! V jest funkcją zachowującą odległość jeśli jj f (x) f (y)jj = jjx
yjj dla wszystkich
x, y 2 V.
(a) Pokazać, że jeżeli T : V ! V jest izometrią oraz xo 2 V, to odwzorowanie F : V ! V, F (x) = T (x) + xo
zachowuje odległość.
(b) Pokazać, że każde odwzorowanie f : V ! V zachowujące odległość jest postaci takiej jak odwzorowanie F z punktu (a), tzn. f jest złożeniem pewnej izometrii oraz translacji o pewien wektor.
Wskazówka: Wziąć xo = f (0) oraz T : V ! V dane wzorem T (x) = f (x) xo oraz
pokazać, że T zachowuje odległość oraz T (0) = 0 i wykorzystać zadanie 3.7.
1Mówimy, że baza fx1, x2, . . . , xng przestrzeni wektorowej V wymiaru n z iloczynem skalarnym ( j ) : V
V ! R jest ortonormalna, jeśli jej ka żdy wektor ma długość 1 oraz jej wektory są parami prostopadłe, j
czyli xijxj = δ dla wszystkich (i, j)
i
2 f1, 2, . . . , ng
f1, 2, . . . , ng.
2
Niech V będzie przestrzenią wektorową z iloczynem skalarnym ( j ) oraz niech f : V ! V będzie odwzorowaniem liniowym. Pokazać, że każde dwa poniższe warunki implikują trzeci:
1. f jest izometrią.
2. f jest symetryczne (tzn. ( f x, y) = (x, f y) dla wszystkich x, y 2 V).
3. f jest inwolucją (tzn. f 2 = idV).
Zadanie 3.10 Zbadać, czy odwzorowanie
02
31
2
p 3 2
3
x1
1
1
2
x
1
p
1
ϕ : R3
! R3, ϕ @4 x 5A
4
5 4
5
2
=
1
1
2
x
2
p
p
2
x3
2
2
0
x3
jest izometrią.
Zadanie 3.11 W układzie OXY dany jest punkt a = (6, 2). Układ ten przesunięto o wektor
v = [3, 4], a następnie obrócono o taki kąt α, że sin α =
5 i cos
. Znaleźć współrzędne
13
α = 12
13
punktu a w nowym układzie współrzędnych.
Zadanie 3.12 Punkt q w nowym układzie współrzędnych O0X0Y0 powstałym z przekształcenia kanonicznego układu o obrót o kąt θ = 34 π i przesunięcie o wektor w = [ 1, 1] ma współrzędne (2, 0). Jakie współrzędne ma ten punkt w układzie OXY?
Zadanie 3.13 Znaleźć obrót i przesunięcie układu OXY tak, aby prosta l w nowym układzie p
p
współrzędnych O0X0Y0 pokrywała się z osią O0X0, gdzie l ma równanie: (a) 3x + y +
2 = 0;
(b) 2x
y
1 = 0.
Zadanie 3.14 Znaleźć obrót (tangens odpowiedniego kąta) i przesunięcie o jakie należy przekształcić płaszczyznę, aby obraz prostej 2x + 5y
3 = 0 był prostą równoległą do osi OY.
Zadanie 3.15 Jak dokonać zmiany układu współrzędnych (obrót i przesunięcie) żeby prosta L
R2 o równaniu 2x + y
2 = 0 zawierała w nowym układzie dwusieczne drugiej i czwartej ćwiartki?
Zadanie 3.16 Znaleźć obrót i przesunięcie, których złożenie przekształca układ współrzędnych OXY na taki układ współrzędnych O0X0Y0, żeby prosta o równaniu 2x y
3 = 0 była w nim
równoległa do wektora, który w tym nowym układzie ma współrzędne [2, 1] i aby przechodziła przez punkt, który w nowym układzie ma współrzędne (1, 0).
Zadanie 3.17 Znaleźć równanie krzywej x2 = y w układzie O0X0Y0 powstałym z kanonicznego z obrotu o kąt o mierze α, gdzie: (a) α = π ; (b)
.
2
α =
π
2
Zadanie 3.18 Dana jest w kanonicznym układzie współrzędnych OXY krzywa o równaniu x2
xy + y2 + 6x = 0. Znaleźć równanie tej krzywej w nowym układzie O0X0Y0 powstałym z OXY
h
i
przez złożenie obrotu o kąt
1
θ = 3
, 3 .
2 π i translacji o wektor w =
2 2
3