1. Modele trendu i sezonowości Y = P +
+η , (1)
t
S
t
y
t
y
t
y
X = P
+
+η , i = ,
1 ,
2 K, k, (2)
it
S
i
x t
i
x t
i
x t
gdzie:
y
P i
t
i
x
P oznaczają wielomianowe funkcje zmiennej t
czasowej t,
S
i
y
S
– składniki sezonowe o stałej lub zmiennej t
i
x t
amplitudzie wahań,
η i η – stacjonarne procesy autoregresyjne t
y
i
x t
odpowiednio dla procesu Y i procesów .
t
Xit
2. Modele autoregresyjne
B( u)η
= ε , (3) yt
yt
A ( )η
= ε , i = ,
1 ,
2 K, k, (4)
i u
i
x t
i
x t
gdzie B( u) i A ( iu) są autoregresyjnymi operatorami, dla których wszystkie pierwiastki równań B( u) = 0 i A ( u) = 0 leżą poza okręgiem jednostkowym, a ε
i
i
t
y
ε oznaczają białe szumy dla odpowiednich procesów.
i
x t
3. Model dla białoszumowych składowych odpowiednich procesów
K
ε
=
ρ ε
ε . (5)
yt
∑
+
i x
t
it
i=1
4. Model dla rzeczywistych procesów Y i X ( i=1,2,... K) t
it
B( u)η =
k
ρ A ( u)η + ε .
y
(6)
t
∑ i 1= i i X t
it
B( u)( Y − P − S ) =
ρ
ε
t
yt
yt
∑ k
A ( u)( X − P
− S )
.
i 1
=
+
i i
it
x
x
t
it
it
(7)
Po dalszych przekształceniach otrzymuje się model: B( u)
k
*
Y = ∑
A ( u) X
+ P +
+ ε ,
t
S
i 1
=
(8)
i
it
t
t
t
gdzie:
*
A ( u) = ρ A ( u), i
i i
K
P = B( u)
*
P
−
t
y
∑ A ( u) P ,
i
x
t
it
i 1
=
K
S = B( u)
*
S
−
t
y
∑ A ( u) S .
i
x
t
it
i 1
=
Zgodny dynamiczny model (8) można zapisać w alternatywnej postaci:
q y
*
Y =
xi
β
α
ε ,
t
∑
k
q
s t
Y − +
s
∑
X
P
S
i =1 ∑ s =0
s
it − +
+
+
s
t
t
t
s =1
(9)
gdzie q i oznaczają rząd autoregresji odpowiednio y
qxi
procesów Y i (
t
Xit i = 1, 2, ..., k).
Podejście tradycyjne:
Y = α X + α X + K + α X +η = k∑α X +η
t
1
t
1
2
2 t
k
kt
t
i
it
t
i=1