Algorytm obliczeń konstukcyjnych podnośnika śrubowego
1
Wysokość podnoszenia
Wysokość podnoszenia oblicza się na podstawie empirycznej zależności: H pod [ mm]=1,6⋅√ Q[ N ]
lub
H pod [ cm]=0,5⋅√ Q [ kG]
1.1
Podnośnik jednostopniowy
W podnośniku jednostopniowym długość śruby roboczej wynosi w przybliżeniu: l ≃ H
+ 50÷70 [ mm]
śr
pod
1.2
Podnośnik dwustopniowy
W podnośniku dwu stopniowym wysokość podnoszenia rozdziela się na dwie śruby robocze. Ich długości w przybliżeniu są równe:
H
l
≃
pod +50÷70 [ mm]
śr wew
2
H
l
≃
pod +50÷70[ mm ]
śr zew
2
2
Dobór gwintu wewnętrznej śruby roboczej
2.1
Podnośnik jednostopniowy
Długość wyboczeniowa jedynej śruby wynosi:
l =2⋅ l
w
śr
2.2
Podnośnik dwustopniowy
Długość wyboczeniowa wewnętrznej śruby wynosi:
l =2⋅ l
w
śr wew
Na podstawie obciążenia oblicza się wartość siły krytycznej: P = Q⋅ X
kr
wew
X
=6÷10
wew
W celu dalszych obliczeń należy wybrać materiał, z którego zostanie wykonana śruba. Powinna być to stal konstrukcyjna.
Na podstawie wzoru Eulera oblicza się średnicę rdzenie śruby wewnętrznej (wstępnie zakłada się, że wyboczenie jest spreżyste):
P
π2⋅ E⋅ I
kr=
l 2
,
w
gdzie:
π⋅ d 4
I =
r
64
Stąd wzór na średnicę rdzenia ma postać:
2⋅ P
d
4
=
kr
r
√64⋅ lwπ3⋅ E
Dodatkowo oblicza się smukłość:
4⋅ l
λ=
w
d r
Następnie należy określić smukłość graniczną z zależności: λ =π⋅
gr
√ Eσ H
Jeśli obliczona smukłość jest mniejsza od smukłości granicznej tzn.
λ <λ gr ,
wtedy zależność na siłę krytyczną jest nieprawdziwa (wyboczenie nie jest sprężyste jak zostało to założone na początku). W takiej sytuację stosuje się hipotezę T-J lub J-O.
Hipoteza T-J
σ = a⋅λ + b
kr
gdzie:
b=σ plast
σ
a= H −σ plast
λ gr
Na podstawie hipotezy T-J, oblicza się się średnicę rdzenia śruby: P
σ = kr = a⋅λ+ b
kr
A
P =( a⋅λ + b)⋅ A
kr
a⋅4⋅ l
P =
w⋅ A+ b⋅ A
kr
d r
b⋅π⋅ d 2
P = a⋅π⋅ l ⋅ d +
r
kr
w
r
4
Wykorzystując dowolną technikę rozwiązywania rownań drugiego stopnia, należy znaleźć pierwiastki rozpatrywanej równości.
d = ?
r
Ostatnim krokiem jest dobór gwintu trapezowego symetrycznego z normy, dla którego, średnica wewnętrzna gwintu jest pierwszą większą od średnicy rdzenia d r .
Tr ❑x ❑
3
Sprawdzenie samohamowności dobranego gwintu
Warunek samohamowności:
γ⩽ρ '
gdzie:
P
tg (γ)= π⋅ d p
μ
tg (ρ ' )=
cos(β)
2
4
Sprawność dobranego gwintu
Sprawność gwintu wynosi:
tg(γ)
η= tg(γ+ρ ' )
5
Dobór wysokości nakrętki śruby wewnętrznej
Nakrętkę wykonuje się z brązu lub mosiądzu. Wysokokość nakrętki określa się na podstawie warunku na naciski powieszchniowe:
p ⩾
dop
An zwoi
gdzie:
A
= n⋅ A
n zwoi
z
A
2
2
)
z= π⋅( d − D
4
śr
o nak
Do obliczenia jest minimalana liczba zwojów czynnych, wymagana do przeniesienia zadanego obciążenia.
Q
n⩾ A ⋅ p
z
dop
Obliczoną liczbę zwojów zaokrągla się do góry do całkowitej liczby nz .
Ponieważ w nakrętce jest 3/4 zwoja wejściowego i 3/4 zwoja wyjściowego nie współpracujacego w pełni, liczbę zwojów czynnych należy odpowiednio powiększyć.
n = n +1,5
cał
z
Dodatkowo, minimalna liczba współpracujących zwojów, ze względu niedogładności wykonania wynosi n=3 .
Ostatecznie całkowita liczba zwojów wynosi:
n = max ( n +1,5 ; 4,5) cał
z
6
Dobór średnicy zewnętrznej nakrętki śruby wewnętrznej Średnicę zewnętrzną nakrętki określa się na podstawie warunku na nacisku powieszchniowe lub z warunku na równość odkształceń:
6.1
Warunek na naciski powieszchniowe
Q
p ⩾
dop
Apod
gdzie:
A
'
2
2
)
pod= π⋅( d
− D
4
zew obl
r nak
Stąd:
Q
A ⩾
pod
pdop
π
Q
⋅( d '
2− D 2 )⩾
4
zew obl
r nak
pdop
d '
⩾
+ D 2
zew obl
√ 4⋅ Q
π⋅ p
r nak
dop
Tak obliczoną średnicę należy powiększyć o około 1÷2 mm, aby możliwe było wykonanie fazy ułatwiającej wciśnięcie nakrętki w gniazdo
d '
'
zew= d zew obl +1÷ 2[ mm ]
6.2
Warunek na równość odkształceń:
ε =ε
śr
n
σ= E⋅ε⇔ε= σ
E
Q
σ= A
Wynika stąd, że:
Q
ε= E⋅ A
Z warunku na równość otrzymuje się:
Q
Q
=
E ⋅ A
E ⋅ A
śr
śr
n
n
E
A = A
śr
n
śr En
Pole przekroju nakrętki wynosi:
A
' ' 2
2
)
pod= π⋅( d
− D
4
zew
r nak
π
E
⋅( d ' ' 2− D 2 )= A
śr
4
zew
r nak
śr En
4
E
d ' ' 2=
śr + D 2
zew
π⋅ Aśr E
r nak
n
E
d ' ' =
śr + D 2
zew
√4π⋅ Aśr E rnak
n
Ostatecznie dobiera się średnicę zewnętrzną nakrętki jako: d
'
''
zew= max ( d zew ; d zew ) 7
Dobór gwintu zewnętrznej śruby roboczej
7.1
Podnośnik jednostopniowy
W przypadku podnośnika jednostopniowego, zewnętrzna śruba robocza nie istnieje, krok się pomija.
Podnośnik dwustopniowy
Długość wyboczeniowa wewnętrznej śruby wynosi:
l =2⋅ l
w
śr zew
Na podstawie wzoru Eulera oblicza się średnicę rdzenie śruby wewnętrznej (wstępnie zakłada się, że wyboczenie jest spreżyste):
P
π2⋅ E⋅ I
kr=
l 2
,
w
gdzie:
π⋅( d 4− D 4 )
I =
r
w
64
Stąd wzór na średnicę rdzenia ma postać:
2⋅ P
d
4
=
kr + D 4
r
√64⋅ lwπ3⋅ E w
Dodatkowo oblicza się smukłość:
l
l
4⋅ l
4⋅ l
λ= w =
w
=
w
=
w
√ I
4− D 4 )
4− D 4
2− D 2 )⋅( d 2+ D 2 )
w
4
w
w
r
w
A
√π⋅( dr ⋅
64
√ dr √( dr
π⋅( d 2− D 2 )
d 2− D 2
d 2− D 2
r
w
r
w
r
w
gdzie:
π⋅( d 2− D 2 )
A=
r
w
4
4⋅ l
λ=
w
√ d 2
2
r + D w
Następnie należy określić smukłość graniczną z zależności: λ =π⋅
gr
√ Eσ H
Jeśli obliczona smukłość jest mniejsza od smukłości granicznej tzn.
λ <λ gr ,
wtedy zależność na siłę krytyczną jest nieprawdziwa (wyboczenie nie jest sprężyste jak zostało to założone na początku). W takiej sytuację stosuje się hipotezę T-J lub J-O.
Hipoteza T-J
kr
gdzie:
b=σ plast
σ
a= H −σ plast
λ gr
Na podstawie hipotezy T-J, oblicza się się średnicę rdzenia śruby: P
σ = kr = a⋅λ+ b
kr
A
P =( a⋅λ + b)⋅ A
kr
a⋅4⋅ l
P =
w ⋅ A+ b⋅ A
kr
√ d 2
2
r + D w
a⋅4⋅ l
P − b⋅ A=
w ⋅ A
kr
√ d 2
2
r + Dw
( P − b⋅ A)⋅√ d 2+ D 2 = a⋅4⋅ l ⋅ A kr
r
w
w
(
π⋅( d 2− D 2 )
2− D 2 )
P
r
w )2 2 2
2
w )2
kr− b⋅
⋅( d + D )= a 2⋅42⋅ l ⋅(π⋅( d r 4
r
w
w
4
Wykorzystując dowolną technikę rozwiązywania rownań 8 stopnia, należy znaleźć pierwiastki rozpatrywanej równości.
d = ?
r
Znalezione pierwiastki, należy podstawić do równania wyjśćiowego: P
σ = kr = a⋅λ+ b
kr
A
i sprawdzić czy równanie jest spełnione, w celu wyeliminowania rozwiązań nieprawdziwych.
Ostatnim krokiem jest dobór gwintu trapezowego symetrycznego z normy, dla którego, średnica wewnętrzna gwintu jest pierwszą większą od średnicy rdzenia d r .
Tr ❑x ❑
8
Sprawdzenie samohamowności dobranego gwintu
Warunek samohamowności:
γ⩽ρ '
P
tg (γ)= π⋅ d p
μ
tg (ρ ' )=
cos(β)
2
9
Sprawność dobranego gwintu
Sprawność gwintu wynosi:
tg(γ)
η= tg(γ+ρ ' )
10 Dobór wysokości nakrętki śruby zewnętrznej Nakrętkę wykonuje się z brązu lub mosiądzu. Wysokokość nakrętki określa się na podstawie warunku na naciski powieszchniowe:
Q
p ⩾
dop
An zwoi
gdzie:
A
= n⋅ A
n zwoi
z
A
2
2
)
z= π⋅( d − D
4
śr
o nak
Do obliczenia jest minimalana liczba zwojów czynnych, wymagana do przeniesienia zadanego obciążenia.
Q
n⩾ A ⋅ p
z
dop
Obliczoną liczbę zwojów zaokrągla się do góry do całkowitej liczby nz .
Ponieważ w nakrętce jest 3/4 zwoja wejściowego i 3/4 zwoja wyjściowego nie współpracujacego w pełni, liczbę zwojów czynnych należy odpowiednio powiększyć.
n = n +1,5
cał
z
Dodatkowo, minimalna liczba współpracujących zwojów, ze względu niedogładności wykonania wynosi n=3 .
Ostatecznie całkowita liczba zwojów wynosi:
n = max ( n +1,5 ; 4,5) cał
z
11 Dobór średnicy zewnętrznej nakrętki śruby zewnętrznej Średnicę zewnętrzną nakrętki określa się na podstawie warunku na nacisku powieszchniowe lub z
warunku na równość odkształceń: 11.1 Warunek na naciski powieszchniowe
Q
p ⩾
dop
Apod
gdzie:
A
'
2
2
)
pod= π⋅( d
− D
4
zew obl
r nak
Stąd:
Q
A ⩾
pod
pdop
π
Q
⋅( d '
2− D 2 )⩾
4
zew obl
r nak
pdop
d '
⩾
+ D 2
zew obl
√ 4⋅ Q
π⋅ p
r nak
dop
Tak obliczoną średnicę należy powiększyć o około 1÷2 mm, aby możliwe było wykonanie fazy ułatwiającej wciśnięcie nakrętki w gniazdo
d '
'
zew= d zew obl +1÷ 2[ mm ]
11.2 Warunek na równość odkształceń:
ε =ε
śr
n
σ= E⋅ε⇔ε= σ
E
Q
σ= A
Wynika stąd, że:
Q
ε= E⋅ A
Z warunku na równość otrzymuje się:
Q
Q
=
E ⋅ A
E ⋅ A
śr
śr
n
n
E
A = A
śr
n
śr En
Pole przekroju nakrętki wynosi:
' ' 2
2
)
pod= π⋅( d
− D
4
zew
r nak
π
E
⋅( d ' ' 2− D 2 )= A
śr
4
zew
r nak
śr En
4
E
d ' ' 2=
śr + D 2
zew
π⋅ Aśr E
r nak
n
E
d ' ' =
śr + D 2
zew
√4π⋅ Aśr E rnak
n
Ostatecznie dobiera się średnicę zewnętrzną nakrętki jako: d
'
''
zew= max ( d zew ; d zew ) 12 Dobór parametrów połączenia wciskowego
Parametry połączenia określa się dla założonej pary ciernej. Obliczenia prowadzi się na podstawie wyników rozwiązania zagadnienia Lamego.
Wcisk rzeczywisty w połączeniu wciskowym można ustalić na podstawie zależności: w= d⋅ C ⋅ p
w
min
gdzie:
d – średnica połączenia
δ −ν
δ + ν
C
1
1
2
2
w=
+
E 1
E 2
d 2+ d 2
δ =
1
1
d 2− d 21
d 2+ d 2
δ = 2
2
d 2− d 2
2
Do ustalenia jest ciśnienie w połączeniu pmin . Na podstawie statyki układu, otrzymuje się d
d
M =
⋅μ⋅ p ⋅ dA= ⋅μ⋅ p ⋅ A
w
∫ 2
min
2
min
w
Aw
Stąd:
2⋅ M
p =
w
min
d⋅μ⋅ Aw
M = X ⋅ M
w
w
o
gdzie:
X =2÷3
w
.
Po obliczeniu wcisku należy określić wpły wtłaczanie czopa w piatę na wcisk rzeczywisty. Podczas wtłaczania następuje uplastycznienie a⋅ Rz profilu chropowatości. Związki pomiędzy średnicami przed i po połączeniu są następujęce:
d = d +2⋅ a⋅ R
m 1
1
z1
d
= d −2⋅ a⋅ R
m 2
2
z2
Wcisk wynosi:
w = d − d = d +2⋅ a⋅ R − d +2⋅ a⋅ R = d − d +2⋅ a⋅( R + R ) m
m 1
m 1
1
z1
2
dz2
1
2
z1
z2
w = w+2⋅ a⋅( R + R ) m
z1
z2
13 Obliczenia sprawdzające przeguba kulistego Parametry przegubu określa się na podstawie średnicy śruby, a następnie spradza się naciski ze wzoru Hertza.
Mając srednicę czopa końcowego śruby wewnętrznej d cz (średnica ta jest nie mniejsza niż średnica rdzenia śruby), promień zaokrąglenia określa się jako: R =2÷3⋅ d
k
cz
Dla tak określonego promienia przegubu kulistego, należy sprawdzić naciski powieszchniowe według wzorów Hertza:
1
( R− r )2
p
⩾ p =
⋅ Q
H dop
H
π⋅3√6⋅ R 2⋅ r 2⋅ k 2
gdzie:
1−ν
1−ν
k =
1 +
2
E 1
E 2
p
=450 [ MPa ]
H dop
Aby naciski powieszchniowe były możliwie najmniejsze należy promienie krzywizny przegubu oraz elementu współpracującego wykonać tak, aby były sobie równe lub różniły się co najwyżej o
tolerancję wykonania. Przykładowe pasowania, w których spełniony jest taki warunek to: R H10 / h9
H12/ h10
H11/ h11
k
, Rk
, Rk
14 Dobór parametrów połączenia wpustowego
Dobór parametrów połączenia wpustowego prowadzi się na podstawie normy. Danymi wejściowymi są: średnica czopa oraz moment skręcający.
Na podstawie średnicy czopa d cz z normy dobiera się wymiary przekroju poprzecznego wpustu b x h . Następnie z warunku na naciski powieszchniowe oblicza się długość czynną wpustu l 0 (zakłada się przy tym, że rozkład nacisków powieszchniowych jest jednorodny): P
p ⩾
dop
h
l 0⋅2
stąd:
2
l
⋅ P
⩾
0
p ⋅ h
dop
Siłę w połączeniu wpustowym określa się ze wzoru (równanie statyki momentów): d
P⋅ = M
2
2
P
⋅ M
= d
Ostatecznie długość czynna wpustu wynosi:
4
l
⋅ M
⩾
0
p ⋅ h⋅ d
dop
W zależności od typu wpustu oraz na podstawie jego długości czynnej l 0 wyznacza się długość minamalną wpustu lmin :
•
wpust typu A
l = l + b
min
0
•
wpust typu B
l = l
min
0
•
wpust typu AB
l = l +
min
0
2
Ostatecznie z normy dobiera się znormalizowaną długość wpustu: l⩾ lmin . W przypadku, gdy minimalna długość wpustu jest większa niż długości przewidziane dla danej średnicy w normie, należy zastosować dwa wpusty. Jeśli długość dwóch wpustów, także zbyt mała, należy zmienić typ połączenia.
15 Obliczenie naprężeń rzeczywistych w śrubach roboczych i wyznaczenie rzeczywistych współczynników bezpieczeństwa
Naprężenia zredukowane według hipotezy Hubera: σ =√σ2+3⋅τ2
red
Naprężenia normalne pochodzą od ściskania i wynoszą: Q
σ= Ar
gdzie:
π⋅ d
A =
r
r
4
Naprężenia styczne pochodzą od śkręcania i wynoszą: M
τ=
s
W o
gdzie:
π⋅ d 3
W =
r
o
32
Naprężenia zredukowane należy obliczyć dla obu śrub roboczych, z uwzględnieniem wszystkich momentów skręcających występujących podczas pracy podnośnika. Po ustaleniu naprężeń zredukowanych σ red wew i σ red zew określa się rzeczywiste współczynniki bezpieczeństwa: σ
X
=
kr wew
wew
σ red wew
σ
X
= kr zew
zew
σ red zew