Weryfikacja modelu, cz. II
• Dobroć dopasowania do danych empirycznych
• Istotność parametrów strukturalnych
• Normalność, homoskedastyczność, brak autokorelacji składników losowych
• Dobór zmiennych objaśniających
• Postać funkcyjna
2
Normalność rozkładu składników losowych
Problemy w procedurze weryfikacji modelu w sytuacji, w której rozkład składników losowych ξ nie jest normalny!
t
Testy normalności znane z zajęć ze statystyki: rozkład zgodności 2
χ
Pearsona?
Test Jarque-Bera (J-B)
Niech
2
X ~ N(µ, σ ) . Wówczas:
t
T
m = (1 T)∑ ξ ~ N µ σ – średnia z próby
=
( 2
,
t
t 1
)
T
2
2
2
2
S = (1 T 1
− )∑ (X − m) ~ σ χ (T 1
− ) / T 1
− – wariancja z próby
t
t=1
(
=
)
=
T
3
Sk = (1 T)∑ (X − m S) ~ N(0,6 T) – skośność z próby t
t 1
=
T
4
Kr = (1 T)∑ (X − m S) ~ N(3,24 T) – kurtoza z próby t
t 1
=
oraz
Sk − 0
−
Kr
3
~ N(0, )
1 ,
~ N(0, )
1
6
24
3
T
T
2
2
Sk − 0
Kr − 3
2
~ χ (1),
2
~ χ (1)
6
24
T
T
2
2
Sk − 0
Kr − 3
JB=
2
+
+
~ χ (2)
6
24
T
T
2
2
Pr[χ (2) ≥ χ (2)] = α
α
Reguła decyzyjna:
2
JB ≤ χ
(2) ⇒ H : ξ ~ N
0,05
0
t
2
JB > χ
(2) ⇒ H
0,05
A
Składniki (błędy) losowe są nieobserwowalne. Test przeprowadza się na resztach z modelu!
Makroekonomiczna funkcja konsumpcji dla Wlk. Brytanii:
2
4
JB = 2,9 < 5,99 = χ
⇒ H
0,05
0
Homoskedastyczność składników (błędów) losowych
Nierch
2
Var(ξ ) = σ ≠ const . Przyczyny?
t
ξ
Konsekwencje: b jest ciągle BLUE, niemniej nie jest najefektywniejszy j
We wszystkich przypadkach wykorzystanie S(b ) w procedurze weryfikacji może j
prowadzić do błędnych decyzji!
Procedura testowa:
2
2
2
Var(ξ ) = E[ξ E
− (ξ )] = E(ξ 0
− ) = E(ξ )
t
t
t
t
t
2
u = γ + γ Z + K + γ Z + ε
t
0
1
t1
r
tr
t
H : γ = K = γ = 0 ,
H : przynajmniej niektóre γ ≠ 0 (l = 1,2, K,r ); ( 2
u = γ + ε )
0
1
r
A
l
t
0
t
Statystyki testowe:
2
T − (r + 1) R
F =
~ F[r,T − (r + 1)];
2
2
TR ~ χ (r)
2
r
1 − R
2
2
(RSS
R
− SS ) /(df d
− f )
(R
R
− ) /(K m
− )
R
U
R
U
U
R
F =
=
~ F[K m
− ,T (
− K 1
+ )]
2
RSS / df
(1 R
− ) /(T (
− K 1
+ )]
U
U
U
5
Homoskedastyczność składników (błedów) losowych, cd.
Makroekonomiczna funkcja konsumpcji dla Wlk. Brytanii:
2
u = α + α Y + ε
t
0
1
t
t
2
2
TR = 38 × 0,23 = 8,74 > 3,84 = χ
(1) ⇒ H
0,05
A
38 − 2
0,23
F =
×
= 36 × 0,299 = 10,75 > 4,11 = F (1,36) ⇒ H
0,05
A
1
1 − 0,23
6
Brak skorelowania skladsników (błędów) losowych
Niech
Cov(ξ , ξ ) = E{[ξ E
− (ξ )][ξ E
− (ξ )]} = E[(ξ 0
− )(ξ 0
− )] = E[(ξ ξ )] ≠ 0 . Przy-t
s
t
t
s
s
t
s
t
s
czyny? Konsekwencje jak poprzednio
Procedura testowa:
u = α + α X + K + α X + γ u
+ K + γ u + ε
t
0
1
t1
K
tK
1 t−1
−
r
t−r
−
t
H : γ = K = γ = 0 ,
H : przynajmniej niektóre γ ≠ 0 (l = 1,2, K,r ) 0
1
r
A
l
Makroekonomiczna funkcja konsumpcji dla Wlk. Brytanii:
u = α + α Y + γ u
+ ε
t
0
1
t
1 t 1
−
t
2
2
TR = 37 × 0,385 = 14,245 > 3,84 = χ
(1) ⇒ H
0,05
A
(0,38536 − 0) / 1
F =
= 0,627 × 34 = 21,317 > 4,13 ⇒ HA (1 −
0,38536) / 34
u = α + α Y + γ u
+ γ u + ε
t
0
1
t
1 t−1
−
2
t−2
t
2
2
TR = 36 × 0,4 = 14,4 > 5,99 = χ
(2) ⇒ H
0,05
A
7
Dobór zmiennych objaśniających
Niech Y = β + β X + β X + ξ
t
0
1
1t
2
2t
t
Wówczas
2
X ,
2
X and X X nie powinny mieć zdolności objaśniają-
t1
t2
1t
2t
cych w regresji reszt u na X i X
t
1t
2t
2
2
u = α + α X + α X + γ X + γ X + δ X X + ε
t
0
1
t1
2
t2
1
t1
2
t2
1
t1
t2
t
H : γ = γ = δ = 0 , H : przynajmniej jeden z γ , γ , δ ≠ 0
0
1
2
1
A
1
2
1
Makroekonomiczna funkcja konsumpcji dla Wlk. Brytanii
2
u = −974,6 + 0,035Y − 0,0000002878Y + reszta t
t
t
t
2
2
TR = 36 × 0,0099152 = 0,377 < 3,84 = χ
(1) ⇒ H
0,05
0
8
Niech Y = β + β X + K + β X + ξ . Wówczas t
0
1
t1
K
tK
t
2
K
ˆ
Y = α + α X +
+ α X + γ Y + ε
t
0
1
t1
K
tK
1
t
t
H : γ = 0 , H : γ ≠ 0
0
1
A
1
Makroekonomiczna funkcja konsumpcji dla Wlk. Brytanii
2
ˆ
C = 6017,0 + 0,83254Y + 0,0000004582C + reszta t
t
t
t
(0,99743 − 0,9974) / 1
0,00003 / 1
F =
=
= 0,397 < 4,13 = F (1,34) ⇒ H
0,05
0
(1 − 0,99743) / 34
0,00257 / 34
9
Proszę przeprowadzić analogiczne obliczenia dla wcześniejszych przykładów (kształtowa-nie się cen domów jednorodzinnych w miasteczku uniwersyteckim w San Diego, dochód i wydatki na ochronę zdrowia w USA)!
10