Lista 1 Statystyki i ich rozkłady

1. Zmienne losowe X, Y, Z są niezależne, przy czym X~N(1,9), Y~N(1,25), Z~χ2(4).

Obliczyć: a) P{ X < 1

,

4 64 Z + }

1 b) P (

{ X − Y)2 < 5,

0

}4.

2. Zmienne losowe X, Y, Z są niezależne, przy czym 2

X ~ χ (3), Y ~ N ( 2

,

1 4 ), Z ~ ( 5

,

1 2

N

).

Obliczyć: a) P{11 ,

0 7 − ( Z − Y )2 > }

0 b) P{ ,

6 0548 3 X > Y − }

1 .

3. W pierwszej populacji X~ N(2,9), a w drugiej - Y~ N(1,4).

Losujemy próby proste: z pierwszej populacji n =16, natomiast z drugiej n =25 elementów.

1

2

Obliczyć prawdopodobieństwa: a) {

P X − Y > 1 8

,

}5 b) {

P 3

,

1 3 < X + Y < 6

,

4

}7.

4. Zmienne losowe X 1, X 2 i X 3 są niezależne i mają jednakowy rozkład normalny N(0,4).

Niech χ2

2

2

2

= X + X + X .

1

2

3

P{ 2

χ < 2 }

P{ 2

χ ≥ 6 }

Obliczyć prawdopodobieństwa: a)

0 b)

0 c) P{20

2

< χ ≤ 6 }

0 .

5. Zmienne losowe X , X

są niezależne i mają jednakowy rozkład normalny N(0,4).

1

2 i X 3

Niech

2

2

2

Y = X + X + X . Obliczyć prawdopodobieństwa: 1

2

3

a) {

P Y ≥ 45 3

,

}

8 b) {

P Y < 25 0

, 0 }

4 c) {

P ,

1 408 < Y ≤ 3 ,

1 2 }

6 .

6. Zmienne losowe X, Y, Z, W są niezależne, przy czym X~N(0,1), Y~N(1,1), Z~

2

χ (8),

W ~

2

χ 1

( 0) . Obliczyć prawdopodobieństwa:



13



a) P{ 2

X

+ ( Y − )

1 2 + W > 2 }

1 b) P Y < 1 +

X 2 + Z  c) P{ X + Y > 1 + 9

,

0 6 Z + W }.



12



7. Zmienne losowe X, Y, Z są niezależne, przy czym X~N(0,1), Y~N(2,1), Z~χ2(9).

Obliczyć prawdopodobieństwa:

a) P{ 2

X

+ ( Y − 2)2 > }

6 b) P{ 3

,

1 26 X <

Z } c) P{ Y > 2 + ,

0 461 Z }.

8. Zmienne losowe X, Y, Z są niezależne, przy czym X~N(0,1), Y~N(2,1), Z~χ2(9).

Obliczyć prawdopodobieństwa:

a) P{ 2

X

+ ( Y − 2)2 > }

6 b) P{ 3

,

1 26 X <

Z } c) P{ Y > 2 + ,

0 461 Z }.

9 a) Zmienne losowe X i Z są niezależne, X~ N(2,1), Z~

2

χ 1

( 0) .

 X − 2



n

~

1

Obliczyć P

< 5

,

0 8 ,

2

~

 gdzie S =

∑ ( X

X ) , przy czym n=10;

i −

 S



n −1 i=1

b) z populacji o rozkładzie cechy X normalnym N ( , 0 4) losujemy próbę trzyelementową.

Obliczyć P{ ,

1 4

2

2

2

≤ X + X + X ≤ 3 ,

1

1

2

3

}2.

10. Z pierwszej populacji, w której cecha X ma rozkład N(6,25) losujemy n = 5 elementową 1

dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail: El- 1

[e-mail], [e-mail]

próbę. Z drugiej populacji, w której cecha Y ma rozkład N(7,36) losujemy n = 6

2

elementową próbę. Obliczyć P{ X>Y } oraz P{4 <X+Y 1

< }

0 .

11. Z populacji, w której cecha X ma rozkład N(3,16) losujemy 25 elementową próbę prostą.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia z próby X będzie z przedziału (1,4; 3,8)?

Załóżmy, że parametry m i 2

σ

są nieznane, a wylosowana próba (jak wyżej) dała x = 2

oraz s 2 = 9. Określić 95% przedział ufności dla m.

12. W pierwszej populacji X~ N(2,9), a w drugiej - Y~ N(1,4).

Losujemy próby proste: z pierwszej populacji o liczebności n =16, natomiast z drugiej -

1

n =25. Określić prawdopodobieństwa: a) P{ X − Y > 8

,

1

}5 b) {

P 3

,

1 3 < X + Y < ,

4 6 }

7 .

2

13. Próba o liczebności n=10 została wylosowana z populacji o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną E( X)=250. Obliczyć prawdopodobieństwo P{ S > 5 X −125 }

0 ,

jeżeli X i

S są średnią i odchyleniem standardowym z próby.

14. Z populacji, w której cecha X ma rozkład normalny N ( , 122

m

) wylosowano n=6

elementową próbę i obliczono wariancję 2

S . Obliczyć prawdopodobieństwo

P{9.84

2

< S < 19.9

6

}

2 .

15. Z pierwszej populacji, w której cecha X ma rozkład normalny N(2,3) wylosowano n = 9

1

elementową próbę, natomiast z drugiej populacji, w której cecha Y ma rozkład normalny N(1,2) wylosowano próbę o liczebności n = 16 . Obliczyć prawdopodobieństwa 2

P{ X − Y < }

2 i P{ X − Y > }

1 .

16. Załóżmy, że X , X , X są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie 1

2

3

~

normalnym N (

2

µ, σ ). Niech 2

S będzie nieobciążonym estymatorem wariancji. Obliczyć

~

P{ 2

2

σ

S ≤

} nie używając tablic.

17. Załóżmy, że X , Y i Z są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym N (

)1

,

0

. Znaleźć liczbę β taką, dla której



| X |



P

≤ β  = 0 , .

8

 X 2 + Y 2 + Z 2



18. Zmienna losowa X ma rozkład N ( ,

6 25), zmienne losowe Y i Y mają rozkłady odpo-1

2

wiednio N ( 9

,

2 ) oraz N( )

1

,

3

, zaś zmienne losowe Z , Z , Z

, Z mają rozkład N (

)1

,

0 .

1

2

3

4

Ponadto zmienne X , Y , Y , Z , Z , Z , Z są stochastycznie niezależne.

1

2

1

2

3

4

dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail: El- 2

[e-mail], [e-mail]

4

Obliczyć następujące prawdopodobieństwa: a) P{ X > 1

,

1

Z + }

6 , gdzie Z = ∑ 2

Zi

i=1

P{ Y − 2 2 9 + Z < ,

1 6

P{ Y − 3 2 Z <

2

}

1

}

b)

(

)

1 c)

(

)

3

,

5 .

19. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona o funkcji prawdopodobieństwa λ

λ

p

x,

e −

=

dla x = ,

0

,

1

,

,

2 ....

X (

) x λ

x!

Z rozkładu tego została wylosowana próba prosta o liczebności n=121.

Obliczyć prawdopodobieństwo P{ ,

4 4 < X

przyjmując λ = 4 .

n <

,

4 }

7

Wiadomo (por. S.S. Wilks (1962) zad.9.5 oraz R. Zieliński (1972) str. 31), że zmienna losowa 2 X

L



 →

Wykorzystując ten fakt, obliczyć to samo prawdopodo-

n

(2 λ

N

, 1 n).

bieństwo, a następnie porównać wyniki otrzymane obu metodami. Opisane wyżej oblicze-nia przeprowadzić jeszcze raz, przyjmując n=49.

20.Znaleźć rozkład, wartość oczekiwaną wariancję średniej X z próby 10-elementowej z 1

populacji o rozkładzie cechy dwumianowym z parametrami n = 50 i p =

.

2

dr Elżbieta Getka-Wilczyńska, Zakład Statystyki Matematycznej, Instytut Ekonometrii, KAE SGH, e-mail: El- 3

[e-mail], [e-mail]