ANALIZA MATEMATYCZNA I
CIĄGI LICZBOWE
Zad. 1 . Sprawdzić, czy następujące ciągi są monotoniczne: n
n 2 − 3
1) an =
,
2) bn =
,
3) cn = n( − 2) n,
n 2 + 1
n 2 + 1
2 n
n
1
4) dn =
,
5) en =
,
6) fn =
,
n!
3 n
(2 n)!
√
7) g
n
n = n( − 1) n ,
8) hn = cos( nπ) ,
9) in = 2
.
Zad. 2 .? Korzystając z definicji granicy ciągu wykazać, że 3 n
√
1) lim
= 3 ,
2) lim
n + 2 = + ∞,
n→∞ n + 1
n→∞
3) lim (3 + 2 n) = + ∞ ,
4) lim log ( n + 3) = + ∞ ,
n→∞
n→∞
2
1
5) lim log
4 = 0 ,
6) lim
= 0 .
n→∞
n+1
n→∞ 2 n + 5
Zad. 3 . Obliczyć
n 3 + 2 n 2 + 1
√
√
1) lim
,
2) lim
n 2 + 4 n + 1 −
n 2 + 2 n
,
n→∞
n − 3 n 3
n→∞
√
√
2
n 3 + 1
(
n + 3)
3) lim √
,
4) lim
,
n→∞ 3 n 5 + 1 + 1
n→∞
n + 1
r
√
q
√
q
√
5) lim
n +
n −
n −
n
,
6) lim
n
n −
n 2 − 1
,
n→∞
n→∞
√ n
− 8 n− 1
7) lim
,
8) lim
,
n→∞ r
q
√
n→∞ 7 n+1
n +
n +
n
2 n+1 − 3 n+2
2 n− 1 − 5
9) lim
,
10) lim
,
n→∞
3 n+2
n→∞ 22 n − 7
5 − 32 n
log n 5
11) lim
,
12) lim
2
,
n→∞ 2 n + 3 n
n→∞ log n
8
27log3 n
1 + 3 + ... + (2 n − 1)
13) lim
,
14) lim
,
n→∞ 16log2 n
n→∞
2 + 4 + ... + 2 n
1 + 1 + 1 + ... + 1
2 n
15) lim
2
22
2 n ,
16) lim
1 +
,
n→∞ 1 + 1 + 1 + ... + 1
n→∞
n
3
32
3 n
! n 2
2 3 n
n 2 + 5
17) lim
1 −
,
18) lim
,
n→∞
n 2
n→∞
n + 1
3 n + 1 3 n+1
3 n + 1 3 n+1
19) lim
,
20) lim
,
n→∞
3 n + 2
n→∞
n + 2
1
n + 4 5 − 2 n
21) lim
,
22) lim n ( ln ( n + 1) − ln n ) , n→∞
n + 3
n→∞
ln 1 − 3
√
23) lim
n
,
24) lim n 10 n + 9 n + 8 n , n→∞
1
n→∞
n
√
r n
n
25) lim n 5 n 4 + n 3 − n + 1 , 26) lim n
2
+ 3
,
n→∞
n→∞
3
4
√
√
27) lim n 3 + sin n ,
28) lim n 2 n + cos n 2 , n→∞
n→∞
s 3 n + 2 n
2 n + ( − 1) n
29) lim n
,
30) lim
,
n→∞
5 n + 4 n
n→∞
3 n + 2
2 n 2 + sin n!
1
3 n
31) lim
,
32) lim
cos n 2 −
,
n→∞ 4 n 2 − 3 cos n 2
n→∞
2 n
6 n + 1
n sin n!
33) lim 2 −n cos nπ ,
34) lim
.
n→∞
n→∞ n 2 + 1
Zad. 4 . Wykazać, że nie istnieje granica ciągu ( an)
, gdzie
n∈ N
nπ
( − 1) n ! n
1) an = n + ( − 1) n n 2 , 2) an = cos
,
3) an = 1 +
.
2
n
Zad. 5 .? Wykazać zbieżność ciągów o wyrazach ogólnych: ( n!)2
1
1
1
1) an =
,
2) bn = 1 +
+
+ ... +
− ln n.
(2 n)!
2
3
n
Zad. 6 . Wyznaczyć kresy zbiorów: 1
2
1) A = {
: n ∈ N },
2) B = {( − ) n : n ∈ N }, 3) C = {( − 2) n+1 : n ∈ N }, 3 n + 1
3
( − 1) n
nπ
4) D = { 1 +
: n ∈ N },
5) E = {n + n( − 1) n : n ∈ N }, 6) F = { sin
: n ∈ N },
n
2
k
1
1
7) G = { ln( n + 1) : n ∈ N }, 8) ∗H = {
: n, k ∈ N , k < n},
9) ∗I = {
+
: n, k ∈ N }.
n
n
k
Zad. 7 . Wyznaczyć kresy zbiorów: 1) A = {x ∈ R : |x| + | 2 − 2 x| ¬ 3 }, 2) B = {x ∈ R : log ||x| − 1 | < 2 }, 2
1
3) C = {x ∈ R : sin x
∧ x > 0 },
4) D = { cos(2 x) + 1 : x ∈ R }, 2
x + 2
x
5) E = {
: x > − 1 },
6) F = {
: x ∈ R }.
x + 1
x 2 + 1
ARKUSZ II
ANALIZA MATEMATYCZNA I
GRANICE FUNKCJI
Zad. 1 . Obliczyć granice funkcji nie wykorzystując reguły de L’Hospitala: x 2 − 5 x + 4
5 x+4
1) lim ln(
) ,
2) lim e x 3 − 5 ,
x→∞
x ( x − 5)
x→−∞
x 2 − 5 x + 4
x 2 − 5 x + 4
3) lim arctg
,
4) lim arctg
,
x→∞
x − 5
x→−∞
x − 5
x + 4
x + 4
5) lim √
,
6) lim √
,
x→∞
x 2 + x
x→−∞
x 2 + x
√
√
7) lim ( x 2 + 2 − x) ,
8) lim ( x 2 + 2 − x) ,
x→∞
x→−∞
√
√
√
9) lim ( ex + 1 −
ex − 1) ,
10) lim ( 3 x + 1 − x) ,
x→∞
x→−∞
32 x − 4 x
32 x − 4 x
11) lim
,
12) lim
,
x→∞ 9 x + 3 −x + 2
x→−∞ 9 x + 3 −x + 2
13) lim ex+sin2 x,
14) lim ex+sin2 x,
x→∞
x→−∞
1
arctg 2 x
tg
15) lim
,
16) lim
x ,
x→∞
x − 1
x→−∞
2
tg x
3
√x
2 x− 1
√
1
17) lim e ln x+3 ,
18) lim
1 +
,
x→∞
x→−∞
x + 2
x 2 + 2 x! x− 1
x 2 + 2 x! x− 1
19) lim
,
20) lim
.
x→∞
x 2 + 2
x→−∞
2 x 2 + 2
Zad. 2 . Obliczyć:
4 x 2 − 1
x 3 − 8
1) lim
,
2) lim
,
x→ − 1 2 x + 1
x→ 2 x − 2
2
x 2 − 4 x + 3
3 x 2 + 5 x − 2
3) lim
,
4) lim
,
x→ 3
2 x − 6
x→− 2 4 x 2 + 9 x + 2
√
√
√
x − 5
1 + x −
1 − x
5) lim
,
6) lim
,
x→ 25 x − 25
x→ 0
2 x
√
x 6 − 1
x − 2 − 2
7) lim
,
8) lim
,
x→ 1 1 − x 2
x→ 6
x − 6
sin2 x
1
9) lim
,
10) ∗ lim (tg x −
) ,
x→ 0 1 − cos x
x→ π
cos x
2
cos 5 x
3 x − sin 2 x
11) ∗ lim
,
12) lim
,
x→ π cos 3 x
x→ 0 2 x − sin 3 x
2
sin x 3 sin x 7
tg 2 x
13) lim
,
14) lim
,
x→ 0 sin x 4 sin x 6
x→ 0 tg 3 x
√
1
1
15) lim
x cos
,
16) lim (1 − sin 2 x) +1
x
,
x→ 0+
x 2
x→ 0+
ln (1 − 3 x)
1
17) lim
,
18) lim (2 + x) x 2 .
x→ 0 −
x
x→ 0
Zad. 3 . Obliczyć granice jednostronne funkcji f w punkcie xo (o ile istnieją), jeśli: 2 x − 1
x + 1
1) f ( x) =
,
x
√
o = 2 ,
2) f ( x) =
,
xo = − 1 ,
(2 − x)2
x + 1
x
1
3) f ( x) =
, x
x 2 − 2 x+1 ,
x
1
o = − 1 ,
4) f ( x) = 3
o = 1 ,
2 x + e x+1
tg 3 x
sin(2 − x)
5) f ( x) =
,
xo = 0 ,
6) f ( x) =
, xo = 2 ,
x 2
|x − 2 |
√ tg x
1
7) f ( x) =
,
xo = 0 ,
8) f ( x) = ln
,
xo = 3 .
x
x 2 − 9
Zad. 4 . Uzasadnić, że podane granice nie istnieją: 1
x
1) lim e 1 −x 3 ,
2) lim √
,
x→ 1
x→ 1
x − 1
x 3 + 8
1
3) lim
,
4) lim
.
x→− 2 |x + 2 |
x→ 0 sin 2 x
Zad. 5 . Wyznaczyć dziedzinę funkcji f i granice w punktach brzegowych dziedziny, jeśli: 3
1
1) f ( x) = e 3 −x , 2) f ( x) =
,
arc sin( x − 1)
1
1
3) f ( x) = arctg
,
4) f ( x) = x sin
,
x − 3
x
2 + sin x
2
5) f ( x) =
,
6) f ( x) =
.
3 x
ln x
Zad. 6 . Wyznaczyć asymptoty funkcji f , gdzie:
√
1
1 + x 2
1) f ( x) =
,
2) f ( x) =
,
ex − 1
x
x 3
3) f ( x) =
,
4) f ( x) = x − arctg x ( x + 1)2
x
1 − x
5) f ( x) = x + ln
,
6) f ( x) = arc cos
,
x + 2
1 + x
2 x ln x − 1
1
√
7) f ( x) =
,
8) f ( x) = e 2 −x .
ln x
Arkusz III
ANALIZA MATEMATYCZNA I
CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Zad. 1 . Naszkicować wykres funkcji f , wskazać jej punkty nieciągłości i określić ich rodzaj: (
(
1 − x − 2 x 2 dla x < 0 , ln( −x)
dla x < 0 ,
1) f ( x) =
2) f ( x) =
−ex + 1
dla x 0 ,
sgn (sin x) dla x 0 ,
sin 2 x
dla x < −π,
− arctg x dla x < 0 ,
3) f ( x) =
|x|
dla x ∈ ( −π, 1] ,
4) f ( x) =
ctg πx
dla x ∈ (0 , 1] ,
4
ln( x − 1) dla x > 1 ,
e−x+1
dla x 1 ,
x 2 − 2 x
x
dla x 6= 2 ,
dla x 6= ± 1 ,
5) f ( x) =
|x − 2 |
6) f ( x) =
|x| − 1
− 2
dla x = 2 ,
0
dla x = ± 1 ,
7) f ( x) = sgn ( x ( x − 1)) dla x ∈ R , 8) f ( x) = x sgn ( x − 1) dla x 6= 3 .
Zad. 2 . Zbadać ciągłość funkcji f określonej wzorem:
√
(
2 x− 1 −
5+ x 2
(
dla x 6= 2 ,
x sin 1
dla x 6= 0 ,
1) f ( x) =
x− 2
2) f ( x) =
x
4
dla x = 2 ,
0
dla x = 0 ,
3
√
1
xe
2( x−
2 −x)
x
dla x < 0 ,
dla x < 1 ,
x− 1
3) f ( x) =
0
dla x = 0 ,
4) f ( x) =
1
dla x = 1 ,
√
x+ x
1
dla x > 0 ,
x + e 1 −x
dla x > 1 ,
x
2
− 1
(1 − 2 x) x
dla x < 0 ,
x 2
2 + e
dla x < 0 ,
5) f ( x) =
0
dla x = 0 ,
6) f ( x) =
2
dla x = 0 ,
x arctg 1
dla x > 0 ,
x 2
ln 2+ x
dla x > 0 ,
x
(
(
1 − cos 1
dla x 6= 0 ,
ln x+1 + x dla x > 0 , 7) f ( x) =
x
8) f ( x) =
2 ln x
0
dla x = 0 ,
1
dla x = 0 .
2
Zad. 3 . Znaleźć rzeczywiste wartości parametrów a i b, dla których funkcja f jest ciągła: (
sin 2 x
(
dla x 6= 0 ,
bx + 3
dla x < 1 ,
1) f ( x) =
3 x
2) f ( x) =
a
dla x = 0 ,
2 x 2 + x + a dla x 1 , (
2 arctg 1
dla x < 1 ,
(
x + a dla x ¬ 0 ,
3) f ( x) =
1 −x
4) f ( x) =
ax
dla x 1 ,
x
dla x > 0 ,
tg ax
b
(1 − x) x
dla x < 0 ,
( x − 1)3 dla x ¬ − 1 ,
5) f ( x) =
ax + 1
dla 0 ¬ x ¬ 2 ,
6) f ( x) =
ax + b
dla − 1 < x < 1 ,
√
( a − 1 x)2 dla x > 2 ,
x + 3
dla x 1 ,
2
Zad. 4 . Uzasadnić, że podane równania mają rozwiązanie we wskazanych przedziałach: 1) sin x + x = 1 ,
(0 , π ) ,
2) ln x + 2 x = 1 , ( 1 , 1) , 2
2
2
√
3) arctg x = 1 , ( 1
√ ,
3) ,
4) ln x = 2 − x,
[1 , 2] ,
x 2
3
5) x 4 = 4 x,
( −∞, 0] ,
6) x 2 x = 1 ,
(0 , + ∞) .
Arkusz IV
ANALIZA MATEMATYCZNA I
SZEREGI LICZBOWE
Zad. 1 . Wyznaczyć ciąg sum częściowych podanych szeregów i zbadać ich zbieżność:
∞
∞
∞
√
√
1) P ( 5 ) n+1
2) P 3 n+7 n
3) P (
n + 1 −
n )
6
10 n
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
4) P n− 1
5) P ( − 1) nn
6) P
1
n!
n( n+1)
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
7) P
1
8) P ln(1 + 1 )
9) P
1
√
√
(2 n− 1)(2 n+1)
n
n+1 +
n
n=1
n=1
n=1
Zad. 2 . Korzystając z warunku koniecznego zbieżności szeregów wykazać rozbieżność szeregów:
∞
∞
∞
1) P
n 3
2) P (2 − 2 ) n
3) P ( 2 n ) n
2 n 3+ n− 1
n
2 n+1
n=1
n=1
n=1
∞ √
√
∞
∞
4) P
3 n+1 −
n
√
5) P ( − 1) n ctg 1
6) P ( 4 −n ) n
n
n+2
3+ n
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
7) P arc cos 3
8) P 1 ctg 1
9) P arctg n( n 2 + 1)
n 2
n
n
n=1
n=1
n=1
Zad. 3 . Korzystając z kryterium d’Alemberta zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
1) P 100 n
2) P ( n!)2
3) P n!
n!
(2 n)!
nn
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
√
4) P (3 n+1)3
5) P 2 n tg 2
6) P ( − 5) n n+1
(5 n+1)2
n
(2 n)!
n=1
n=1
n=1
Zad. 4 . Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
√
∞
2 n+1
√
1) P 3 n
2
2) P ( n 2 − 1) n
3) P
n arcctg n n
3
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
n 2
4) P 2 n+3 n
5) P tg n( π − 1 )
6) P ( − 1) n 2 n
3 n+4 n
3
n
2 n− 1
n=1
n=1
n=1
Zad. 5 . Korzystając z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞ √
1) P
2 n 2 − 1
2) P n+1
3) P
n+1+arctg n
n 4+2 n+3
n 2+1
2 n 2+arctg n
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
4) P
1
cos 1
5) P
1
√
sin 1
6) P tg π
n 2 − 1
n!
n
n
n
n=2
n=1
n=1
∞
∞
∞
7) P ln n
8) P
1
√
9) P ln n
n 2+ n
ln n+2
n+1
n=1
n=1
n=1
∞
∞
√
∞
10) P 1
√
arc sin 1
√
11) P
n arctg 1
12) P 1
√
cos 2
3 n
n
n+2
n+1
n
n
n=1
n=1
n=1
Zad. 6 . Korzystając z kryterium ilorazowego zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
1) P n 2+ n+1
2) P
2
3) P 2 n− 1
2 n 3 − 1
n 2+( − 1) n
3 n− 1
n=1
n=2
n=1
∞
∞ sin π
∞
4) P sin 1
√
tg 1
√
5) P
3 n
6) P sin(tg 1 )
n
n
sin π
n
n=1
n=1
2 n
n=1
∞
∞
∞
7) P ln(1 + 2 )
8) P 1
√
cos 1
9) P arctg n
√
n
n
n
3 n
n=1
n=1
n=1
Zad. 7 . Zbadać zbieżność szeregów wykorzystując kryterium Leibniza:
∞
∞
√
∞
1) P ( − 1) n 1
2) P ( − 1) n( n 3 − 1) 3) P ( − 1) n− 1
1
√
n!
n+2
n=1
n=1
n=1
Zad. 8 . Zbadać zbieżność szeregów stosując poznane kryteria:
∞
∞
∞
1) P 3 n nn 2
2) P ( − 1) n nn
3) P ( − 1) n 1
√
3 n n!
2 n
n=1 ( n+1) n 2
n=1
n=2
∞
∞
∞
4) P sin2 n
5) P ( − 1) n ( n+1)2 n P
arctg n n
√
n 3 − 1
(2 n 2+1) n
6)
n n 2
n=2
n=1
n=1
∞
∞
∞
7) P n 2 sin π
8) P sin 2
9) P cos 1
2 n
n
n!
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
10) P
n
11) P ( − 1) n
1
12) P ln( n+1)
ln( n 2+2)
ln( n− 1)
n 3+ n
n=1
n=3
n=1
∞
∞
∞
13) P 2 n+1 sin 1
14) P 2 n sin π
15) P sin 1 cos 1
2 n
n
n
n=1
n=1
3 n 2
n=1
∞
∞
∞
16) P arc cos n 1
17) P 2 n+3 n
18) P ( n!)2 3 n+1
n 2
n!+ n
(2 n+1)!
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
2 n+1
19) P arc sin(1 − 1 )
20) P 3 n − 2
21) P tg
n
n
3
n 3+1
n=1
n=1
n=1
Zad. 9 . Zbadać zbieżność oraz bezwzględną zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
1) P ( − 1) n+1
2) P ( − 1) n tg 1
3) P ( − 1) n ln( n+1)
2 n+1
n+1
n!
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
n
n 2
4) P
− 2 n
5) P ( − 1) n n− 1
6) P ( − 1) n+1 arctg 1
3 n+5
n+2
n 2
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
7) P ( − 1)2 n+1 n 4 n+1
8) P cos n
9) P sin 2 n
n 3+2 n
2 n+ n
3 n− 1
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
−n 2
10) P n cos( nπ)
11) P ( − 1) n
1 √
12) P ( − 1) n
n
n 2+1
n− n
3 n
n− 1
n=1
n=1
n=1
Zad. 10 . Wykazać, że
1) lim 2 n = 0
2) lim n! = 0
3) lim nn = 0
4) lim 7 n = + ∞
n→∞ n!
n→∞ nn
n→∞ ( n!)2
n→∞ n 5
a następnie zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
5) P 2 n 2
6) P ( n!) n
( n!) n
n=1
n=1 nn 2
Zad. 11 .? Stosując kryterium o zagęszczaniu zbadać zbieżność szeregów:
∞
∞
∞
1) P ln n
2) P
1
3) P
1
n 2
n ln n
n ln2 n
n=1
n=2
n=1
∞
∞
∞
4) P
1
5) P 1 dla α > 0
6) P
1
(ln n)ln n
nα
n+ln2 n
n=2
n=1
n=2
Zad. 12 .? Stosując kryterium Raabego zbadać zbieżność szeregów:
∞
√
∞
1) P
n!
√
√
√
2) P
n!
dla x > 0
(2+
1)(2+
2) ... (2+
n)
( x+1)( x+2) ... ( x+ n) n=1
n=1
Podstawowe oszacowania:
∀
x
x∈
sin x ¬ 1
∀
< sin x
∀
R
x∈(0 , π )
x∈(0 , + ∞)
sin x < x
2
2
∀x∈(0 ,π ) x ¬ tgx
∀x∈(1 , + ∞) 0 < ln x < x
∀x∈(1 , + ∞) ∀α∈(0 , + ∞) 0 < ln x < 1 xα
2
α
SZEREGI FUNKCYJNE I POTĘGOWE
Zad. 13 . Wyznaczyć zbior tych x ∈ R, dla których dany szereg geometryczny jest zbieżny oraz obliczyć sumę tego szeregu:
∞
∞
∞
n
1) P ( x 2 − 8)
2) P (sin x)2 n
3) P e− nx
n=1
n=1
n=1
Zad. 14 .? Wykazać jednostajną i bezwzględną zbieżność szeregów funkcyjnych:
∞
∞
1) P 1 sin x , gdy | x | ¬ M
2) P sin nx , gdy | x | M > 0
n
n
( nx)2
n=1
n=1
∞
∞
3) P cos nx , gdy x ∈
P
n e−nx , gdy x 0
n 2
R
4)
3 n+1
n=1
n=1
Zad. 15 . Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów potęgowych:
∞
∞
∞
1) P xn
2) P ( x− 2) n
3) P 32 n(4 x+1) n
n 2 n
2 nn 3
n 2
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
4) P ( − 1) n ( x+3) n
5) P (2 n)! xn
6) P ( x+1) n
√
n 3
2 n
n+3
n=1
n=1
n=1
Zad. 16 . Wyznaczyć zbior tych x ∈ R, dla których dany szereg jest zbieżny:
∞
∞
∞
n
1) P 1
√
3
2) P (ln x) n
3) P ( n )2 n
1
n
x
n+2
2 n− 3
( x+1) n
n=1
n=1
n=2
∞
∞
∞
n
4) P ne−nx
5) P ( − 1) n xn
6) P
n!
x
2 n+3
( n+2)!
2
n=1
n=1
n=1
∞
∞
∞
7) P n (2 − 3 x) n
8) P x 2 n
9) P sin 2 ( x − 1) n
5 n+2
n!
n
n=1
n=1
n=1