Lista zadań do wykładu piątego

5.1. Napisać równania charakterystyczne podanych równań różniczkowych: a) y00 − 2 y0 + y = 0; b) y00 − 3 y = 0;

c) 4 y00 + y0 = 0;

d) 2 y00 − 3 y0 + 4 y = 0.

5.2. Wyznaczyć równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach postaci y00 + py0 + qy = 0, jeżeli podane są pierwiastki ich wielomianów charakterystycznych:

√

a) λ 1 = 1 +

3 i;

b) λ 1 = λ 2 = − 2; c) λ 1 = 2 , λ 2 = 3;

d) λ 1 = i.

5.3. Wyznaczyć równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach postaci y00 + py0 + qy = 0, jeżeli podane funkcje wchodzą w skład ich układów fundamentalnych: a) cos 2 t;

b) te−t;

c) e 2 t, eαt, gdzie α 6= 2; d) e−t sin t;

e) t;

f) 1, et.

5.4. Rozwiązać podane równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach: a) 6 y00 − 5 y0 + y = 0; b) y00 − y0 − 2 y = 0;

c) 4 y00 − 4 y + y = 0; y

d) y00 + y0 +

= 0;

e) y00 − 4 y0 + 5 y = 0; f) y00 − 2 y0 + 5 y = 0; 4

g) y00 + 6 y0 + 18 y = 0; h) 7 y00 + 4 y0 − 3 y = 0; i) y00 − 6 y0 + 9 y = 0.

5.5. Rozwiązać podane zagadnienia początkowe:

π

π

a) y00 + y0 − 6 y = 0, y 0 = 1 , y0(0) = 0; b) y00 + 9 y = 0, y

= 1 , y0

= 1;

3

3

c) y00 − 2 y0 + y = 0, y 1 = 2 , y0 (1) = 3; d) y00 − 7 y0 + 12 y = 0, y 0 = 3 , y0 (0) = − 2.

5.6. W obwodzie elektrycznym połączono szeregowo cewkę o indukcyjności L [H] oraz kondensator o pojemności C [F]. Wyznaczyć natężenie prądu I [A] w tym obwodzie jako funkcję czasu.

5.7. Sprawdzić, że podane funkcje są rozwiązaniami wskazanych równań różniczkowych liniowych niejednorod-nych. Wyznaczyć rozwiązania ogólne tych równań lub zagadnień początkowych: a) y00 + 10 y0 + 25 y = 4 e− 5 t, ϕ( t) = 2 t 2 e− 5 t; 1

b) y00 + 4 y = sin 2 t, ϕ( t) = − t cos 2 t; 4

c) y00 − y0 − 2 y = 4 t − 2 et, ϕ t = 1 − 2 t + et, y(0) = 0, y0(0) = 1; 1

7

655

157

d) y00 + y0 − 2 y = t 2 e 4 t, ϕ( t) =

t 2 − t +

e 4 t, y(0) =

, y0(0) = −

.

18

18

324

162

1